2020届北京市朝阳区高三年级下学期二模数学试题及答案解析
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2020届北京市朝阳区高三年级下学期二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在实数范围内，下列命题正确的是（ ）
A．若,ab则1ba B．若,abcd，则acbd
C．若ab，则lg()0ab D．若0,abab，则11ab
2．已知函数()cos23sin21fxxx，则下列判断错误的是（ ）
A．()fx的最小正周期为 B．()fx的值域为[1,3]
C．()fx的图象关于直线6x对称 D．()fx的图象关于点,04对称
3．过抛物线2:4Cyx的焦点F的直线l交抛物线C于,AB两点，且满足2AFFB，则直线l的斜率(0)kk的值为（ ）
A．22 B．23 C．2 D．3
4．已知复数z满足4zii（其中i为虚数单位），则z的虚部为（ ）
A．4i B．4 C．1 D．1
5．函数𝑓(𝑥)=√1𝑥−2的定义域为
A．(2,+∞) B．[2,+∞)
C．(−∞，2) D．(−∞，2]
6．设函数y=f（x）是偶函数，且在,0上是增加的，则（ ）
A．f（−2）
7．在ABC中，a=23，b=6 ， B=60则 C等于 （ ）
A．30 B．90 C．150 D．120
8．长度分别为2xx、、、xxx、、的六条线段能成为同一个四面体的六条棱的充要条件是（ ）
A．233x B．323x
C．32333x D．1x
9．已知3yax与函数2ln5fxx相切，则不等式组010xayxay确定的平面区域在2224xy内的面积为（ ）
A．12π B．6π C．3π D．2π
10．D是ABC所在平面内一点，,ADABACR，则01,01是点D在ABC内部（不含边界）的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
二、双空题
11．已知双曲线C的焦点为10,2F，20,2F，实轴长为2，则双曲线C的离心率是______；若点Q是双曲线C的渐近线上一点，且12FQFQ，则12QFF的面积为______．
三、填空题
12．已知直线l被两条直线1:460lxy与2:3560lxy截得的线段中点为坐标原点，那么直线l的方程是_______．
13．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为__________．
14．将多项式656510axaxaxa分解因式得5(2)(),xxmm为常数，若57a，则0a________．
四、解答题
15．已知向量2,3,1,2ab.
（1）求·2abab；
（2）若向量ab与2ab平行，求的值.
16．已知等差数列na满足1473690,18,aaaaaa前n项和为nS.
（1）求9S
（2）记nnba，求数列nb的前9项和9T.
17．某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）.
（1）应收集多少位女生样本数据？
（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：0,2，2,4，4,6，6,8，8,10，10,12.估计该校学生每周平均体育运动时间超过6个小时的概率.
（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有95％的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
20PKk 0.10 0.05 0.010 0.005
0k 2.706 3.841 6.635 7.879
附：22nadbcKabcdacbd.
18．定义集合M与集合N之差是由所有属于M且不属于N的元素组成的集合，记作{MNxxM 且}xN．已知集合1,2,3,...,100S．
（Ⅰ）若集合2,nTxxnN，写出集合SST的所有元素；
（Ⅱ）从集合S选出10个元素由小到大构成等差数列，其中公差的最大值D和最小值d分别是多少？公差为D和d的等差数列各有多少个？
（Ⅲ）设集合AS,且集合A中含有10个元素，证明：集合SA中必有10个元素组成等差数列．
19．已知1()ln(0)fxxaxax
（1）若函数()fx在xe处的切线平行于x轴，求函数()fx的单调区间；
（2）设函数()()fxFxx，若()Fx在(0,)e上有两个零点，求实数a的取值范围.(其中e为自然对数的底数)
20．已知平面向量(1,2),(,1)abm.
(1)若a∥()ab，求实数m的值；
(2)若a与ab的夹角为锐角，求实数m的取值范围.
21．一个多面体的直观图及三视图如图所示，其中M ，N 分别是AF、BC 的中点
（1）求证：MN∥平面CDEF；
（2）求多面体A-CDEF的体积．
【答案与解析】
1．D
解：A选项中，不符合不等式的性质，因此错误．当a<0不成立．
B选项中，只有同向不等式可以相加，因此结果为adbc，因此错误
选项C中，当a-b>1时，对数值大于零，因此错误．只有D成立．
2．D
先将函数()cos23sin21fxxx化为()2sin216fxx，再由三角函数的性质，逐项判断，即可得出结果.
()cos23sin21fxxx
可得13()2cos2sin212sin21226fxxxx
对于A，()fx的最小正周期为22||2T,故A正确；
对于B，由1sin216x，可得1()3fx，故B正确；
对于C，正弦函数对称轴可得：02,62xkkZ
解得：0,612xkkZ，
当0k，06x，故C正确；
对于D，正弦函数对称中心的横坐标为：02,6xkkZ
解得：01,212xkkZ
若图象关于点,04对称，则12124k
解得：23k，故D错误；
故选：D.
本题考查三角恒等变换，三角函数的性质，熟记三角函数基本公式和基本性质，考查了分析能力和
计算能力，属于基础题.
3．A
过,AB分别作准线的垂线，垂足依次为,MN，过点B作BD垂直于AM，交AM于点D，再利用抛物线的定义求解即可．
解：过,AB分别作准线的垂线，垂足依次为,MN，
过点B作BD垂直于AM，交AM于点D，
设||BFr，则||2AFr，
由抛物线的定义得||BNr，||2AMr，
∴||||||ADAMBNr，22||||22BDABADr，
∴||tan22||BDkBADAD，
故选：A．
本题主要考查抛物线定义的运用，属于中档题．
4．B
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
由4zii，得2(4)414ziiiii．
复数z的虚部是4．
故选：B．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
5．A
由题意得到关于x的不等式，求解不等式即可确定函数的定义域.
函数有意义，则𝑥−2>0，解得𝑥>2。
故函数𝑓(𝑥)=√1𝑥−2的定义域为(2,+∞).
本题选择A选项.
求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．
6．D
试题分析：由函数是偶函数可得fxfx，所以fxfx成立
考点：函数奇偶性单调性
7．B
根据正弦定理求角A，即得C
由正弦定理得sin23sin601sin30,9062aBAabACb,选B.
本题考查正弦定理求角，考查基本分析求解能力，属基础题.
8．A
如图所示，作出四面体的图象，由图可知，只要点,,BDE能构成三角形即可求出．
如图所示，作出四面体的图象，D为AC的中点，2BE，其它各边长为x．
由题意可知，点,,BDE能构成三角形，32BDDEx，所以
BDDEBE，即33222xx，解得233x．
故选：A．
本题考查棱锥的结构特征以及充要条件的转化，求解关键是依据图象得到图中三角形的形成条件，意在考查学生的空间想象能力，属于中档题．
9．C
设切点为00,xy，可得0000002325fxaxyaxylnx，解方程可得2a，然后作出不等式组在2224xy内的区域，再利用扇形的面积公式即可求解.
由3yax与函数2ln5fxx相切，
设切点为00,xy，则0000002325fxaxyaxylnx，解得2a，
所以不等式组为2030xyxy，
则不等式组确定的平面区域在2224xy内的面积为阴影部分，
由题意可得1tan2，11tan33，
所以tantantan11tantan，所以4，
所以阴影部分的面积为：2112432424SR.
故选：C
本题考查了导数的几何意义、不等式表示的平面区域、两角和的正切公式以及扇形的面积公式，综合性比较强，属于中档题.
10．B
若,ADABACR，点D在ABC内部，则01,01，反之不成立，例
