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关于驻波能量的图示法分析

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２００７年２月　第２４卷第１期　沈阳航空工业学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｓｈｅｎｙａｎｇ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ａｅｒｏｎａｕｔｉｃａｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｆｅｂ．２Ｏ０７　Ｖｏ１．２４　Ｎｏ．１　

文章编号：１０ａｒ７—１３８５（２００７）０１一ｏｏ８４—０３　

关于驻波能量的图示法分析　

吴颖谢远亮　（沈阳航空工业学院理学系，辽宁沈阳　ｌ１００３４）　摘　要：为了使学生更好地理解驻波的能量只在局部区域内流动、没有沿某一固定方向传播这一　重要特点，在驻波的能量教学过程中，首先推导出驻波的波腹和波节处媒质质元的能量表达式，　再尝试采用图示法定性分析驻波相邻的波腹和波节之问的能量相互转换。图示法具有形象直　观、学生易于理解的优点。　关键词：驻波能量；波腹；波节；图示法　中国分类号：０３４７．４　１　文献标识码：Ａ　

关于驻波的能量，由于一般教材阐述的不充　分，许多教师对这部分内容讲授又往往一带而过，　因此对驻波中的能量只在局部区域内流动、没有　沿某一固定方向传播的重要特点，学生感到难以　理解。笔者在教学中首先推导出驻波的能量表达　式，再尝试采用图示法定性分析，使学生更好地理　解驻波“能量驻定”这一重要特点。　１　驻波的能量　１．１　波的能量　机械波在传播过程中，媒质中各质元都在各　自平衡位置附近振动，具有动能，同时媒质产生了　形变，又具有弹性势能。因此波的能量为媒质质元　的动能和势能之和。以棒中纵波为例，推导波动传　播方向上某一媒质质元振动动能和弹性势能表达　式　。　设机械波在密度为ＩＤ的弹性媒质中传播，媒　质质元的体积△　，其质量△ｍ＝ｐ△　，杨氏弹　性模量为Ｅ，则媒质质元的动能△　和势能　△Ｅ。分别为　Ａ　Ｅ　＝丢，，△　（　）　（１）　△　＝ＥＡ　（　）　（２）　将两式相加，可得媒质质元的总机械能△Ｅ为　Ａ　Ｅ＝　１　／ｘ　Ｖ　＋　Ｅ△　（　）　（３）　１．２　驻波波腹、波节处质元的能量　

收稿１３期：２００６一ｏ５—２５　作者简介：吴颖（１９６２一），女，吉林辽源人，副教授　在讨论驻波时，驻波方程为Ｙ＝２Ａ　ＣＯＳ　ｃｏｔ　ＣＯＳ　ｋｘ（ｋ：　），将驻波方程分别代人（１）（２）（３）　式，可得：　△Ｅ　１　ｒ，／ｘ　Ｖ４Ａ　Ｏ３２ｓｉｎ　ｃｏｔｃｏｓ２　ｋｘ　△　１　ｒ，／ｘ　Ａ　∞　ｃｏｓ　ｏ￣ｔｓｉｎ　ｋｘ　△Ｅ　＝　１　ｒ，／ｘ　Ｖ４Ａ　∞　（ｓｉｎ　ｃｏｔｃｏｓ　ｋｘ＋　ＣＯＳ　ｏ￣ｔｓｉｎ　ｋｘ）　波节满足的条件为ｃｏｓｋｘ＝０即Ｉ　ｓｉｎｋｘ　ｌ＝１，　代人△　，△Ｅ　表达式得　△Ｅ　＝０　△Ｅｐ　１　ｒ，／ｘ　Ａ　∞　ｃｏｓ　ｃｏｔ　由此说明波节处质元始终保持静止，动能为　零，而势能随时间变化，有最大值。　波腹满足的条件为Ｉ　ｃｏｓｋｘ　ｌ＝１，即Ｉ　ｓｉｎｋｘ　Ｉ＝０，代人△　，△Ｅ　表达式得　△Ｅ　１　ｒ／ｘ　Ｖ４Ａ　Ｏ９２ｓｉｎ　ｃｏｔ　△Ｅ。＝０　由此说明波腹处质元始终没有形变，势能为　零，动能随时间变化，有最大值。　１．３　驻波相邻波腹、波节之间的能量　设体积元△Ｖ＝ＳＡ　，相邻波腹、波节之间　的能量Ｅ为　＝　ｐＳ４Ａ２０９２（ｓｉｎ２　。ｓ２　＋ｃ０ｓ２　ｃｏｔｓｉｎ２ｋｘ）ｄ　

＝寺Ａ　∞　ｐＳＡ

　维普资讯 http://www.cqvip.com 第１期　吴颖等：关于驻波能量的图示法分析　

式中　，　，分别表示相邻波节和波腹的位置坐　标。　综上，波节处的质元始终不动，动能为零，只　有随时间变化的弹性势能；波腹处的各质元没有　形变，弹性势能为零，只有随时间变化的动能。驻　波中能量只在相邻波节和波腹之间传递，相邻波　节和波腹之间的动能和势能不断相互转换其总量　保持不变。驻波中的能量只在局部区域内流动、没　有沿某一固定方向传播。　２　图示法讨论　２．１　驻波波形曲线　用图示法讨论驻波的能量，需画波形曲线，为　此先讨论波形曲线。图１画出了驻波的形成过程，　设有两列波在　轴传播，一列波沿　轴正向传　播，一列波沿　轴负向传播，选取两列波完全重　合的时刻（总会有这样的时刻）开始计时，即ｔ＝　０，图中短虚线表示沿　轴正向传播的波，长虚线　表示沿　轴负向传播的波，用实线表示合成的驻　波。ｔ＝０时，因为这时两列波在各处都是重叠在　一起的，每个质元的合振动位移是其分振动位移　的二倍，见图１（ａ），接着两列波因传播方向相反　而分开，每个质元的合振动位移都变小，经过四分　之一周期，即ｔ＝÷时，两列波各自分别向左向右　‘ｔ　１　移动　的距离，两列波对质元引起相位相反的振　斗　动，所以各质元的合振动位移都等于零，合成波的　波形为一直线，见图１（ｂ），然后两列波继续反向　传播，每个质元的合振动位移都在增大，再经过四　个　分之一周期，即ｔ＝÷时，两列波又重叠在一起，　二　每个质元的合振动位移都变为最大，如此继续进　行，结果是某些质元始终不动，这些质元所在位置　称为波节，某些质元振动振幅最大，这些质元所在　位置称为波腹，图１中的两列波叠加形成驻波，由　于视觉暂留，我们看到的是图１（ｅ）所示的图象。　２．２　驻波能量的图示法分析　以弦驻波为例分析讨论驻波能量特点。如图　２所示，在某一时刻ｔ＝０时，当媒质中各质元的　位移都达到最大时，各质元的振动速度为零，动能　为零，这时驻波上的质元的全部能量为弹性势能。　因为这时除波节外，所有质元都离开平衡位置而　引起弹性媒质的最大弹性形变，由于波节附近质　元（如图中　处）相对形变最大，所以势能最大，　＼　ＡＷ　、一·‘。Ｉ．＾．．一、＿１．·　‘．．．．　’’－Ｊ．－　．．　．一　’－，、…··　、　＿．．－．．．－　’－，一’··．　一　Ａ　‘三　’·．．Ｊ，、，¨。Ｉ．．，　．Ｊ．．－．．．．Ｊ，、　．．．．　，　＼．／’～．，、．．／’～一一－．．．．．　＇、．　一　／一　一　

图　驻波的形成　而在波腹附近质元（如图中Ａ处），相对形变最小，　所以势能最小，如图（）所示，因此驻波的弹性　势能集中在波节附近。＝÷时，当媒质中所有质　‘ｔ　元到达各自的平衡位置时，媒质的形变为零，所以　势能为零，全部能量都是动能，这时波腹附近质元　（如图中Ａ处）的振动速度最大，故动能最大，而　在波节附近质元（如图中Ｂ处）的振动速度最小，　动能最小，如图　）所示，因此驻波的动能都集　中在波腹附近。　以此类推，当　＝÷，＝竿…，媒质质元在　二　．ｔ　振动过程中动能和势能不断转换，在转换过程中，　能量不断地由波腹附近移到波节附近，再由波节　附近移到波腹附近，当所有质元都振动到最大位　移时，相邻波节和波腹之间的能量会全部转化为　势能，当所有质元都振动到平衡位置时，相邻波节　和波腹之间的能量会全部转化为动能。由于形成　驻波的两列行波具有相同的频率和振幅，又在同　一媒质中传播，它们的平均能流密度的数值相等，　，　＝，２＝寺ＰＡ　∞　“，而两列波传播方向相反，所　以合起来平均能流密度为零，驻波中的能量只在　局部区域内流动、没有沿某一固定方向传播着的　能量，就是说，驻波不传播能量。　３　思考与体会　在驻波的能量教学中，推导出驻波的波腹和　波节处媒质质元的能量表达式之后，再采用图示　法定性说明，使学生易于理解驻波中的能量只在　局部区域内流动、没有沿某一固定方向传播这一　重要特点。

　维普资讯 http://www.cqvip.com 沈阳航空工业学院学报　第２４卷　

＼ｉ　ｉ／　＼　／　＼　ｒ　，：　４　；　；　确　厂‘　；　、　／　．　。　－ｒ　，：　；　、、－　；　ｉ　；　，　、＼；套　、．　‘　／　．　‘　＼　；，　；　：　圈２　对振动Ｙ＝Ｙ（ｔ），对行波Ｙ＝Ｙ（　，ｔ），而驻　波Ｙ＝Ｙ。（　）Ｙ：（ｔ）＝Ｙ（　，ｔ），所以从函数形式上　看，驻波应属于波动。但波动是振动状态或相位的　传播过程，即沿波的传播方向逐点相位依次落后，　波动是波源振动能量的传播过程，而驻波波线上　没有逐点相位依次变化，没有宏观振动能量的传　播，只是波节和波腹之间相互有动能和势能转换　和局部传递。因此有人认为，宁说驻波是媒质中波　的干涉引起叠加区的一种特殊振动状态，而不说　驻波是波。　参考文献：　［１］马文蔚．物理学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９９　［２］郭建军．关于驻波能量的分析［Ｊ］．大学物理，２ｏｏ５（５）　［３］张三慧．大学物理学［Ｍ］．北京：清华大学出版社，１９９９　［４］王燕生．工科大学物理［Ｍ］．沈阳：东北大学出版社，１９９５　

Ｉｌｌｕｓｔｒａｔｉｏｎ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｓｔａｎｄｉｎｇ　ｗａｖｅ　ｅｎｅｒｇｙ　ＷＵ　Ｙｉｎｇ　ＸＩＥ　Ｙｕａｎ—ｌｉａｎｇ　（Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ，Ｓｈｅｎｙａｎｇ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ａｅｒｏｎａｕｔｉｃａｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｌｉａｏｎｉｎｇ　Ｓｈｅｎｙａｎｇ　１　１ｏ０３４）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｏｒｄｅｒ　ｔｏ　ｍａｋｅ　ｔｈｅ　ｓｔｕｄｅｎｔｓ　ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ　ｃｌｅａｒｌｙ　ｔｈｅ　ｉｍｐｏｒｔａｎｔ　ｆｅａｔｕｒｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｔａｎｄｉｎｇ　ｗａｖｅ　ｅｎｅｒｇｙ，　ｗｈｉｃｈ　ｉｓ　ｏｎｌｙ　ｔｒａｎｓｍｉｔｔｉｎｇ　ｗｉｔｈｉｎ　ａ　ｌｉｍｉｔｅｄ　ａｒｅａ　ａｎｄ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ，ｗｅ　ｆｉｒｓｔ　ｄｅｄｕｃｅ　ａｎ　ｅｎｅｒｇｙ　ｆｏｒｍｕｌａ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｗａｖｅ　ｌｏｏｐ　ａｎｄ　ｎｏｄｅ，ｔｈｅｎ　ａｎａｌｙｚｅ　ｑｕａｌｉｔａｔｉｖｅｌｙ　ｂｙ　ｐｒｅｓｅｎｔｉｎｇ　ａ　ｓｅｒｉｅｓ　ｏｆ　ｃｈａｒｔｓ　ｔｏ　ｓｈｏｗ　ｔｈｅ　ｅｎｅｒｇｙ　ｔｒａｎｓｉｔｉｏｎ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｔｈｅ　ｗａｖｅ　ｌｏｏｐ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｎｏｄｅ．Ｉｔ　ｐｒｏｖｉｄｅｓ　ａ　ｒｅａｌｌｙ　ｄｉｒｅｃｔ　ａｎｄ　ｖｉｓｕａｌ　ｉｌｌｕｓｔｒａｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｓｔｕｄｅｎｔｓ．　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｓｔａｎｄｉ

ｎｇ　ｗａｖｅ　ｅｎｅｒｇｙ；ｗａｖｅ　ｌｏｏｐ；ｗａｖｅ　ｎｏｄｅ；ｉｌｌｕｓｔｒａｔｉｏｎ　ａｎａｌｙｓｉｓ　维普资讯 http://www.cqvip.com

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关于驻波若干问题

关于驻波若干问题

1 关于驻波若干问题

1. 驻波中能量的转化

驻波中各质点的能量包括动能和势能。在最大位移时，波腹和波节中各质点的瞬时速度为0，动能均为0，此时各质点的形变达到极大，其中波节的形变最大，所以能量以势能存在，势能主要集中于波节处。在平衡位置时，波腹和波节中各质点瞬时速度达到极大，动能达到极大值，但波腹处的振幅最大，故动能主要集中在波腹处，此时各质点形变为0，故势能为0。

纵观这1/4周期过程，能量在波腹和波节之间转移，各质点的势能转化为动能，波节处的势能逐渐转移到波腹处变为波腹的动能。

该过程类似于一个小球左右两端各连接一根橡皮绳，橡皮绳水平放置，两绳的另外一端固定，然后将小球竖直方向拉起一段距离，再放手。让球在橡皮绳拉力作用下上下来回摆动。如下图：

在最大位移时，弹簧的形变最大；在平衡位置时弹簧的形变最小。

2．驻波中能流的问题

课件中关于“驻波中没有净能量传递，能流密度为0”的表述容易引起误解。事实上，从上面的分析我们可以看出，在波腹和波节之间还是有能量转移的。但是平均起来看，的确没有净能量的传递，各处的平均能流密度为0，这是因为驻波是由两列等振幅相向的干涉波叠加而成，它们的平均能流密度大小相等，但方向相反。

详细研究后，我们会发现能流在波腹和波节之间来回流动，但没有能流通过波节和波腹转移出去。关于这点，我们可以从驻波各点的能流密度看出。

假设形成驻波的两个相向波分别为： 最大位移

平衡位置 2 12cos()cos()xuxuyAtyAt

则，这两列波的能流密度分别为：

22212221sin()sin()xuxuiAutiAut

驻波上某点能流密度为二者之合：

2222122222[sin()sin()]sin2sin24sinsin2xxuuxuiiiAuttAutAuxt

驻波的能量特点

驻波的能量特点

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驻波的能量特点

驻波（Standing wave）是在一定空间范围内来回反射形成的波动模式。它具有以下能量特点：

1. 能量局限：驻波的能量被局限在空间的特定区域内。在驻波中，波峰和波谷形成固定的位置，能量在这些位置上来回传递，而在波节处能量几乎为零。这导致能量在空间上被限制在驻波模式所占据的区域内。

2. 能量稳定：由于反射和干涉的作用，驻波中的能量处于稳定状态。波峰和波谷之间的能量交换导致能量在区域内持续循环，而不会传播到其他区域。这使得驻波的能量保持相对稳定，不会随时间推移而减弱或增强。

3. 最大与最小能量点：在一个驻波模式中，存在能量最大和能量最小的位置。能量最大的位置位于波峰，而能量最小的位置位于波节。这种分布使得驻波具有不同位置上能量密度的变化，形成特定的振动模式。

4. 振幅变化：驻波中的能量随着位置的变化而发生振幅的周期性变化。在波峰处，振幅达到最大值；而在波节处，振幅几乎为零。这种振幅变化形成了驻波模式的特征。

需要注意的是，驻波的能量特点与波长、频率等参数密切相关。具体的能量分布和特性取决于驻波的模式和系统的几何形状。驻波在许多领域中都有重要的应用，包括声学、光学和电磁学等。

实验二 驻波比的测量

实验二 驻波比的测量

实验四 驻波比的测量

【实验目的】

掌握测量驻波比的原理和常用方法。

【实验内容】

在测量线系统中，选用合适的方法测量给定器件的电压驻波系数。

【实验框图与仪器】

信号源隔离器频率计衰减器测量线被测件选频放大器网络分析仪被测件信号源被测件频谱仪a.b.c.

图1 驻波比测量系统图

【实验原理】

测试微波传输系统内电磁场的驻波分布情况，包括场强的最大点、最小点的幅度及其位置，从而得到驻波比（或反射系数）和波导波长。由于驻波比（或反射系数）能表征电磁场的分布规律，所以它们时微波设备和元器件的一项重要指标，因此驻波测量是微波测量中最基本和最重要的内容之一，通过驻波测量可以测出阻抗、波长、相位和Q值等其它参量。

产生驻波的原因是由于负载阻抗与波导特性阻抗不匹配。因此，通过对驻波比的测量，就能检查系统的匹配情况，进而明确负载的性质。

在测量时，通常测量电压驻波系数，即波导中电场最大值与最小值之比：

minmaxEE （1－14）

其中，maxE和minE分别是微波传输系统电场的最大值和最小值。一固定长度的探针感应的电动势正比于场强，因此对平方律检波，有

式中，maxI和minI分别是电场为最大和最小时指示器的读数。对于直线律检波有

minmaxII （1－16）

如果不知道检波律，必须用晶体检波特性曲线求出场强和指示器读数的关系再求得。测量驻波系数的方法与仪器种类很多，本实验中将学习用测量线测量驻波系数的几种方法。

驻波比的测量，应根据驻波比的大小采用不同的方法，以保证测量的精度。 1、 直接法（小驻波比的测量 1.05

直接法测量驻波系统框图如图3示。

图3 直接法测量驻波系统框图

直接测量沿线驻波的最大点与最小点场强如图4所示，从而求得驻波系数的方法称为直接法。使用测量线测试驻波比，可直接由测量线探针分别处于波腹及波节位置时的电流表读出Imax和Imin，求出驻波比。但是为了提高检测灵敏度，最好还是将微波信号源加以1KC的方波信号进行调制。此信号由选频放大器放大。在其指示电表上就能读出有关的电流值、分贝值或直接读出驻波比值。

驻波波节处动能和势能

驻波波节处动能和势能

驻波波节处动能和势能

1.引言

1.1 概述

概述

驻波是物理学中一种重要的现象，它是由于传播方向相反的两个波在同一介质中叠加而形成的。在驻波中，存在一些特殊的位置称为波节，这些位置上的振动幅度为零。本文将重点讨论驻波波节处的动能和势能。

在物理学中，动能是指物体由于运动而具有的能量。而势能是指物体由于位置或状态而具有的能量。在驻波波节处，由于振动幅度为零，物体在该位置上的运动速度为零，因此其动能也为零。与此同时，波节处的位置通常对应着波的能量最低的位置，因此在该位置上物体具有最低的势能。

驻波波节处的动能和势能之间存在着密切的关系。当物体在波节处静止不动时，它具有最低的动能和势能。随着物体离开波节，其动能和势能都会增加。当物体到达波的振幅最大值处时，它具有最大的动能和势能。因此，波节处的动能和势能是相互关联的，它们之间的变化是相反且对称的。

了解驻波波节处的动能和势能对于理解波动现象以及相关领域的研究具有重要意义。例如，在乐器的设计和声音调整中，了解波节处的动能和势能可以帮助我们调整乐器的共振频率和音量。此外，在无线电通信和光学通信中，了解驻波波节处的动能和势能可以帮助我们优化信号传输和接收的效果。

本文将进一步探讨驻波波节处动能和势能的定义、特点以及影响因素。通过对相关领域的意义和应用的展望，我们可以更好地理解和应用驻波波节处的动能和势能。

文章结构部分的内容可以按照以下方式编写：

1.2 文章结构

本文共分为引言、正文和结论三个部分。

引言部分主要介绍了本文的概述、结构以及目的。我们将会首先对驻波波节处动能和势能进行全面的定义和解释，并讨论它们的特点和影响因素。接着，我们将在正文部分分别深入探讨驻波波节处动能和势能的内涵和相关理论。最后，通过总结驻波波节处动能和势能之间的关系，我们将得出结论并展望其在相关领域中的意义和应用。

正文部分将分为两个小节，分别讨论驻波波节处动能和驻波波节处势能。