对数函数考点与题型归纳

对数函数考点与题型归纳

一、基础知识

1．对数函数的概念

函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).

y＝log a x的3个特征

(1)底数a>0，且a≠1；

(2)自变量x>0；

(3)函数值域为R.

2．对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象与性质

底数a>10

图象

性质

定义域：(0，＋∞)

值域：R

图象过定点(1,0)，即恒有log a1＝0

当x>1时，恒有y>0；

当0

当x>1时，恒有y<0；

当00在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数

注意当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0

3．反函数

指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．

二、常用结论

对数函数图象的特点

(1)对数函数的图象恒过点(1,0)，(a,1)，⎝⎛⎭⎫1

a ，－1，依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象．

(2)函数y ＝log a x 与y ＝log 1a

x (a >0，且a ≠1)的图象关于x 轴对称．

(3)当a >1时，对数函数的图象呈上升趋势；当0

考点一 对数函数的图象及应用

[典例] (1)函数y ＝lg|x －1|的图象是( )

(2)已知当0

4

时，有x

[解析] (1)因为y ＝lg|x －1|＝⎩

⎪⎨⎪⎧

lg (x －1)，x >1，

lg (1－x )，x <1.

当x ＝1时，函数无意义，故排除B 、D. 又当x ＝2或0时，y ＝0，所以A 项符合题意．

(2)若x

4时成立，则0

由图象知

14

， 所以⎩⎨⎧

0

a 12

>1

4，

解得1

16

即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1

16，1. [答案] (1)A (2)⎝⎛⎭⎫116，1 [变透练清]

1.[变条件]若本例(1)函数变为f (x )＝2log 4(1－x )，则函数f (x )的大致图象是( )

解析：选C 函数f (x )＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ；函数f (x )＝2log 4(1－x )在定义域上单调递减，排除D.故选C.

2．已知函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

log 2x ，x ＞0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则

实数a 的取值范围是________．

解析：问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a ＞1.

答案：(1，＋∞)

3.[变条件]若本例(2)变为不等式x 20，且a ≠1)对x ∈⎝⎛⎭⎫0，1

2恒成立，求实数a 的取值范围．

解：设f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝log a x ，要使x ∈⎝⎛⎭⎫0，1

2时，不等式x 2

⎫0，1

2上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可．当a >1时，显然不成立；

当0

要使x 2

2， 所以有⎝⎛⎭⎫122≤log a 12，解得a ≥116，所以1

16≤a <1. 即实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫1

16，1.

考点二 对数函数的性质及应用

考法(一) 比较对数值的大小

[典例] (2018·天津高考)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 12

1

3

，则a ，b ，c 的大小关系为

( )

A ．a ＞b ＞c

B ．b ＞a ＞c

C ．c ＞b ＞a

D ．c ＞a ＞b

[解析] 因为c ＝log 12

1

3

＝log 23>log 2e ＝a ，

所以c ＞a .

因为b ＝ln 2＝1

log 2e ＜1＜log 2e ＝a ，所以a ＞b .

所以c ＞a ＞b . [答案] D

考法(二) 解简单对数不等式

[典例] 已知不等式log x (2x 2＋1)

[解析] 原不等式⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 03x >1①或⎩⎪⎨⎪⎧

x >1，2x 2＋1<3x <1

②，解不等式组①得13

2

，不

等式组②无解，所以实数x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫

13，12.

[答案] ⎝⎛⎭⎫

13，12

考法(三) 对数型函数性质的综合问题

[典例] 已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)，若f (1)＝1，求f (x )的单调区间． [解] 因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1， 因此a ＋5＝4，a ＝－1， 这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)． 由－x 2＋2x ＋3>0，得－1

则g (x )在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减． 又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，

所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)．

[题组训练]