答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！第一章 空间向量与立体几何--复习小结一、选择题1．（2020·江西省高二期中）在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，则EF uuu r 等于（）A ．1223EF AC AB AD ®®®®=+-B ．112223EF AC AB AD ®®®®=--+C ．112223EF AC AB AD ®®®®=-+D ．112223EF AC AB AD ®®®®=-+-【答案】B 【解析】在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，所以EF EB BA AF ®®®®=++1223AB AC AB AD ®®®®æö=--+ç÷èø112223AC AB AD ®®®=--+，即112223EF AC AB AD ®®®®=--+.故选：B.2. （2020·南昌市八一中学高二期末（理））设,x y R Î，向量()()(),1,1,b 1,,1,c 2,4,2,a x y ===-r r r 且,//c a c b ^r r r r ，则b a +=r r （ ）A ．BC ．3D ．4【答案】D 【解析】(),241,2,1,21b c y y b \=-´\=-\=-Q v v P v ，,,a b ^Q v v ()214+20,a b x \×=+×-=v v1x \=,()()1,112,1,2a a b \=\+=-v v v ，3a b \+==v v ,故选C.3．（2020·延安市第一中学高二月考（理））在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M l l =<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（ ）ABCD【答案】D 【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则M （2，λ，2），D 1（0，0，2），E （2，0，1），F （2，2，1），1ED uuuu v ＝（﹣2，0，1），EF uuu r ＝（0，2，0），EM uuuu r ＝（0，λ，1），设平面D 1EF 的法向量n r ＝（x ，y ，z ），则1·20·20n ED x z n EF y ì=-+=í==îuuuu v v uuu v v ，取x ＝1，得n r ＝（1，0，2），∴点M 到平面D 1EF 的距离为：=N 为EM 中点，所以N ，选D ．4．（2020·浙江省杭州第二中学高二）空间线段AC AB ^，BD AB ^，且::1:3:1AC AB BD =，设CD 与AB 所成的角为a ，CD 与面ABC 所成的角为b ，二面角C AB D --的平面角为g ，则（ ）A ．2g b a ££B ．2g b a ££C ．2g a b ££D ．2g a b££【答案】A【解析】因为空间线段AC AB ^，BD AB ^，所以可将其放在矩形中进行研究，如图，绘出一个矩形，并以A 点为原点构建空间直角坐标系：因为::1:3:1AC AB BD =，所以可设AC x =，3AB x =，BD x =，则()0,0,0A ，()0,3,0B x ，()0,0,C x ，(),3,0D x x ，(),3,CD x x x =-uuu r ，()0,3,0AB x =uuu r ，)0,3,CB x x =-uuu r ，故CD 与AB 所成的角a 的余弦值cos =，因为根据矩形的性质易知平面ABD ^平面ABC ，BD ^平面ABC ，所以二面角C AB D --的平面角为γ90=o ，γ452=o，γcos 2，所以BCD Ð即CD 与面ABC 所成的角b ，故，所以2g b a ££，故选：A.5．（多选题）（2019·山东省青岛二中高二期末）在四面体P ABC -中，以上说法正确的有（ ）A ．若1233AD AC AB =+uuu v uuu v uuu v ，则可知3BC BD =uuu v uuu v B ．若Q 为ABC D 的重心，则111333PQ PA PB PC =++uuu v uuu v uuu v uuu v C ．若0PA BC ×=uuu v uuu v ，0PC AB ×=uuu v uuu v ，则0PB AC ×=uuu v uuu v D ．若四面体P ABC -各棱长都为2，M ，N 分别为PA ，BC 的中点，则1MN =uuuu v 【答案】ABC【解析】对于A ，1233AD AC AB =+uuu r uuu r uuu r Q ，32AD AC AB \=+uuu r uuu r uuu r ，22AD AB AC AD \-=-uuu r uuu r uuu r uuu r ，2BD DC \=uuu r uuu r ，3BD BD DC \=+uuu r uuu r uuu r 即3BD BC =u u u r u u u r ，故A 正确；对于B ，若Q 为ABC D 的重心，则0QA QB QC ++=uuu r uuu r uuu r r ，33PQ QA QB QC PQ \+++=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，3PQ PA PB PC \=++uuu r uuu r uuu r uuu r 即111333PQ PA PB PC =++uuu r uu u r uuu r uuu r ，故B 正确；对于C ，若0PA BC ×=uu u r uuu r ，0PC AB ×=uuu r uuu r ，则PA BC PC AB ×=×uuu r uuu r uuu r uuu r ，0PA BC PC AB \×+×=uuu r uuu r uuu r uuu r ，()0PA BC PC AC CB \×+×+=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 0PA BC PC AC PC CB \×+×+×=uuu r uuu ruuu r uuu r uuu r uuu r ，0PA BC PC AC PC BC \×+×-×=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r()0PA PC BC PC AC \-×+×=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，0CA BC PC AC \×+×=uuu r uuu r uuu r uuu r 0AC CB PC AC \×+×=uuu r uuu r uuu r uuu r ，()0AC CB PC \×+=uuu r uuu r uuu r 0AC PB \×=uuu r uuu r 故C 正确； 对于D ，()()111222MN PN PM PB PC PA PB PC PA =-=+-=+-uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r Q 12MN PA PB PC \=--uuuu r uuu r uuu r uuu r ，PA PB --uuu r uuu r Q=MN \=uuuu r ，故D 错误.故选：ABC6.（多选题）（2020·江苏省高二期中）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD Ð=°，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △位置，连结PC ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A ．PC 与平面BCD 所成的最大角为45°B ．存在某个位置，使得PB CD^C ．当二面角P BD C --的大小为90°时，PC =D ．存在某个位置，使得B 到平面PDC 【答案】BC【解析】如图所示：对A ，取BD 的中点O ，连结OP ，OC ，则当60POC Ð=o 时，PC 与平面BCD 所成的最大角为60°，故A 错误；对B ，当PD PC =时，取CD 的中点N ，可得,,CD PN CD BN ^^所以CD ^平面PBN ，所以PB CD ^，故B 正确；对C ，当二面角P BD C --的大小为90o 时，所以90Ð=o POC ，所以PO OC ==，所以PC =，故C 正确；对D ，因为BN =，所以如果B 到平面PDC ，则BN ^平面PCD ，则2,1,1PB BN PN DN ====，所以PD =D 错误；故选：BC.二、填空题7．（2019·浙江省高二月考）在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动，则直线1D E 与1A D 所成角的大小是__________，若1D E EC ^，则AE =__________．【答案】90o ； 1【解析】长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，又11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动则D （0，0，0），D 1（0，0，1），A （1，0，0），A 1（1，0，1），C （0，2，0），设E （1，m ，0），0≤m≤2，则1D E uuuu r =（1，m ，﹣1），1A D uuuu r =（﹣1，0，﹣1），∴1D E uuuu r •1A D uuuu r =﹣1+0+1=0，∴直线D 1E 与A 1D 所成角的大小是90°．∵1D E uuuu r =（1，m ，﹣1），EC uuu r =（﹣1，2﹣m ，0），D 1E ⊥EC ，∴1D EEC uuuu r uuu r =﹣1+m （2﹣m ）+0=0，解得m=1，∴AE=1．故答案为900，1．8．（2019·湖北省高二期中（理））已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直.若点C 到平面11AB D，则直线1B D 与平面11AB D 所成角的余弦值为______.【解析】如图，连接11A C 交11B D 于O 点，过点C 作CH AO ^于H ，则CH ^平面11AB D，则CH =，设1AA a =，则AO CO ==，AC =，则根据三角形面积得1122AOC S AO CH AC D =´´=´a =以1A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系1A xyz -.则(0,0,A ，()12,0,0B ，()10,2,0D，(0,2,D，(10,2,AD =-uuuu r，(12,0,AB =-uuur，(12,2,B D =-uuuu r ，设平面11AB D 的法向量为(),,n x y z =r ，则11n AD n AB ì×ïí×ïîuuuu v v uuuv v 00==，令x =，得)n =r .1cos ,B D uuuur1B D 与平面1111D C B A 9．（2020·驻马店市基础教学研究室高二期末（理））在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为线段11A B ，AB 的中点，O 为四棱锥11E C D DC -的外接球的球心，点M ，N 分别是直线1DD ，EF 上的动点，记直线OC 与MN 所成的角为q ，则当q 最小时，tan q =__________.【解析】如图，设,P Q 分别为棱CD 和11C D 的中点，则四棱锥11E C D DC -的外接球即为三棱柱11DFC D EC -的外接球，因为三棱柱11DFC D EC -为直三棱柱，所以其外接球球心O 为上、下底面三角形外心G 和H 连线的中点，由题意，MN 是平面1DD EF 内的一条动直线，所以q 最小是直线OC 与平面1DD EF 所成角，即问题转化为求直线OC 与平面1DD EF 所成角的正切值，不妨设正方体的棱长为2，2EQ =，1ED =,因为△为等腰三角形，所以11EC D △外接圆的直径为11152sin 2ED GE EC D ===Ð,则54GE =，从而53244GQ PH =-==，如图，以D 为原点，以1,,DA DC DD r uuu r uuuu r 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()10,0,2D ，()0,2,0C ，()2,1,0F ，3,1,14O æöç÷èø，()10,0,2DD \=uuuu r ，()2,1,0DF =uuu r ，设平面1DD EF 的一个法向量为(),,n x y z =r ，则12020n DD z n DF x y ì×==í×=+=îuuuu v v uuu v v ，令1x =，则()1,2,0n =-r ，因为3,1,14OC æö=--ç÷èøuuu r，所以sin cos ,n OC q ===r uuu r10．（2020·攀枝花市第十五中学校高二期中（理））如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD 是矩形，PA ^平面ABCD ，1==PA AB ，2BC =，四棱锥外接球的球心为O ，点E 是棱AD 上的一个动点.给出如下命题：①直线PB 与直线CE 所成的角中最小的角为45o ；②BE 与PC 一定不垂直；③三棱锥E BCO -的体积为定值；④CE PE +的最小值为其中正确命题的序号是__________.（将你认为正确的命题序号都填上）【答案】①③④【解析】如图所示：以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,1P ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,,0E y ，则()1,0,1BP =-uuu r ，()1,2,0CE y =--uuu r ，cos ,BP £uuu r 2y =时等号成立，此时,4BP CE p =uuu r uuu r ，故直线PB 与直线CE 所成的角中最小的角为45o ，①正确；()()1,,01,2,121BE PC y y ×=-×-=-uuu r uuu r ，当12y =时，BE PC ^uuu r uuu r ，②错误；将四棱锥放入对应的长方体中，则球心为体对角线交点，1111112323226BCE E BCO O BCE AP V V S --==´´=´´´´=△，③正确；如图所示：将平面ABCD 以AD 为轴旋转到平面PAD 内形成平面''ABC D ，则''CE PE C E PE PC +=+³==，当'PEC 共线时等号成立，④正确.故答案为：①③④.三、解答题11.如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，, ,,为的中点，为的中点，以A 为原点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题：（1）证明：直线；（2）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；O ABCD -ABCD 4ABC pÐ=OA ABCD ^底面2OA =M OA N BC MN OCD 平面‖（3）求点B 到平面OCD 的距离.【解析】作于点P,如图,分别以AB,AP,AO 所在直线为轴建立坐标系,(1)的法向量为,则即 取,解得(2)设与所成的角为, , 与所成角的大小为 (3)设点B 到平面OCD 的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,AP CD ^,,x y z (0,0,0),(1,0,0),((0,0,2),(0,0,1),(1A B P D O M N (11),2),(2)MN OP OD =--=-=-uuuu r uuu r uuu r (,,)n x y z =r 0,0n OP n OD ==uuu r uuu r r r g g 20x y z -+-=z =(0,n =r (11)(0,0MN n =-=uuuu r r g g ∵MN OCD \平面‖AB MD q (1,0,0),(1)AB MD ==-uuu r uuuu r ∵1cos ,23AB MD AB MD p q q ===×uuu r uuuu r g uuu r uuuu r ∴∴AB MD 3p d d OB uuu r (0,n =r由 , 得.所以点B 到平面OCD 的距离为 (1,0,2)OB =-uuu r 23OB n d n ×==uuu r r r 2312.（2020·江苏省高考真题）在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CDBD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；（2）若点F 在BC 上，满足BF =14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sin θ的值．【解析】（1）连,CO BC CD BO OD CO BD==\^Q 以,,OB OC OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(1,0,0),(0,2,0),(1,0,0)(0,1,1)A B C D E -\(1,0,2),(1,1,1)cos ,AB DE AB DE \=-=\<>==u u u r u u u r u u u r u u u r 从而直线AB 与DE（2）设平面DEC 一个法向量为1(,,),n x y z =ur 11200(1,2,0),00x y n DC DC x y z n DE ì+=×=ìï=\íí++=×=ïîîuv uuu v uuu v uv uuu v Q 令112,1(2,1,1)y x z n =\=-=\=-u r 设平面DEF 一个法向量为2111(,,),n x y z =u ur11221117100171(,,0),4244200x y n DF DF DB BF DB BC n DE x y z ìì+=×=ïï=+=+=\íí×=ïîï++=îuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uu v uuu v Q 令111272,5(2,7,5)y x z n =-\==\=-u ur 12cos ,n n \<>==u r u u rsin q ==.。
