几类分块矩阵的行列式

分块对称矩阵行列式
分块对称矩阵行列式是一种特殊的矩阵，它由多个分块组成，其中每个分块都是对称矩阵。

这种矩阵的行列式可以通过递归的方法求解。

首先，我们将矩阵分成两个子矩阵，每个子矩阵都是对称矩阵。

然后，我们可以使用矩阵行列式的性质将矩阵行列式表示为两个子矩阵行列式的乘积。

接着，我们再将每个子矩阵分成两个子矩阵，并继续递归地求解每个子矩阵的行列式。

最终，我们会得到每个子矩阵的行列式，然后将它们乘起来就可以得到整个分块对称矩阵的行列式。

这种方法可以在较快的时间内求解较大规模的矩阵行列式，因为每个子矩阵都是对称矩阵，所以其行列式可以快速计算。

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副对角线分块矩阵的行列式以副对角线分块矩阵的行列式为标题，我们来探讨一下这个有趣的数学概念。

副对角线分块矩阵是指将一个矩阵沿着副对角线进行分割，然后将分割后的块组合成一个新的矩阵。

我们将从理论和实际应用两个方面来讨论这个问题。

我们来看一下副对角线分块矩阵的行列式。

行列式是矩阵的一个重要性质，它可以用来描述矩阵的特征和性质。

对于副对角线分块矩阵来说，行列式的计算方法与普通矩阵类似，只需要将每个块的行列式相乘即可。

这个特性使得我们可以更方便地计算大型矩阵的行列式，提高计算效率。

接下来，我们来看一下副对角线分块矩阵的实际应用。

副对角线分块矩阵在科学计算、工程领域和经济学等多个领域都有广泛的应用。

例如，在计算机图形学中，副对角线分块矩阵可以用来表示图像的变换矩阵，从而实现图像的旋转、缩放和平移等操作。

在物理学中，副对角线分块矩阵可以用来描述量子力学中的粒子的自旋和轨道运动等性质。

副对角线分块矩阵还可以用来解决一些实际问题。

例如，在网络流量分析中，可以使用副对角线分块矩阵来描述网络节点之间的连接关系，从而分析网络的拓扑结构和数据流动情况。

在金融领域中，副对角线分块矩阵可以用来构建风险模型，评估投资组合的风险和收益，并进行资产配置和风险控制。

除了理论和应用方面，副对角线分块矩阵还有一些有趣的性质。

例如，副对角线分块矩阵的转置等于每个块的转置的反序排列。

这个性质可以用来简化矩阵运算和证明一些数学定理。

此外，副对角线分块矩阵还可以用来实现一些矩阵的变换，例如矩阵的乘法和求逆等运算。

总结起来，副对角线分块矩阵是一个有趣且实用的数学概念。

它不仅可以用来计算矩阵的行列式，还可以应用于各个领域的实际问题中。

副对角线分块矩阵的理论和应用都非常广泛，对于提高计算效率和解决实际问题有着重要的意义。

希望通过本文的介绍，读者可以对副对角线分块矩阵有一个更深入的理解，并能够将其应用于实际工作和学习中。

分块矩阵公式总结对于行数和列数较高的矩阵，运算时常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算。

将矩阵用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每个小矩阵称为的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。

例如将矩阵分成子块的分法很多，下面举出三种分块形式：分法（i）可记为其中即为的子块，而形式上成为以这些子块为元的分块矩阵。

证明公式时出现的矩阵正是分块矩阵，在那里是把四个矩阵拼成一个大矩阵，这与把大矩阵分成多个小矩阵是同一个概念的两个方面。

分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似，分别说明如下：（i）设矩阵与的行数相同、列数相同，采用相同的分块法，有其中与的行数相同、列数相同，那么（ii）设为数，那么（iii）设为矩阵，为矩阵，分块成其中的列数分别等于的行数，那么其中分块矩阵的乘法也不是很好理解的，看着和矩阵乘法很相似，但是初始做题时，还是有很多顾虑的。

要解决这些顾虑其实不难，我们可以举例说明一下。

和书上的例子一样，不过我们把过程拆开，并且多分析一下。

例设求首先按书上所说的，先把给分成4块我们把的列分成了的形式，这时候的应该怎么分块呢，我们只需要将的行分成的形式（这是因为这样可以使分块后的分块矩阵的列数也等于被乘分块矩阵的行数，从而符合矩阵的乘法），列分成多少段是无所谓的，即列的分法共有种可能。

我们找第1，3，5，8种来计算一下：第1种：则计算出结果得第3种：计算出结果得第5种：计算出结果得第8种：计算出结果得其实上面的过程也没有什么新鲜的东西，随着对分块矩阵越来越熟悉，很多都已经不是问题，只是简单总结出来：的列怎么分决定了的行怎么分；的行的分块决定了结果得行的分块，的列的分块决定了结果列的分块。

（iv）分块矩阵的转置和分块矩阵的乘法其实都是一样的，它们的运算都是整块分块矩阵的运算，其实和普通的矩阵的操作是一样的。

数学不在于第一眼是否能够想象出来，是否能看明白，很多问题光靠脑子是不够的，还得真正的拿起笔来，一步步的算，找规律。

分块对角阵的行列式
分块对角阵的行列式是一种特殊的矩阵行列式，其矩阵的主对角线上每个元素都是一个小的矩阵，也就是说，这种矩阵可以被分解成几个小矩阵的直和形式。

对于这种矩阵，我们可以使用分块矩阵行列式的方式来求解其行列式。

分块对角阵的行列式可以通过将矩阵分块为较小的矩阵，然后通过计算每个小矩阵的行列式再结合一些代数运算来计算得到。

具体来说，我们可以使用以下步骤来计算分块对角阵的行列式：
1. 将待求行列式的矩阵分成若干个小矩阵，这些小矩阵按照主对角线的位置来进行分块。

2. 对于每个小矩阵，计算它的行列式。

3. 使用代数运算，例如加、减、乘等，将每个小矩阵的行列式合并成一个整体。

4. 最终得到的整体即为分块对角阵的行列式。

需要注意的是，在计算分块对角阵的行列式时，如果某个小矩阵的行列式为 0，那么在合并行列式的过程中，这个小矩阵的贡献应该被忽略。

分块对角阵的行列式在实际应用中具有广泛的应用，例如在线性代数、矩阵论和微积分等领域中都有着重要的应用。

理解和掌握分块对角阵的行列式计算方法，对于深入理解这些领域的相关理论和方法都具有非常重要的意义。

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4、克拉默法则。
Ynu hyq
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线性代数 二阶、三阶行列式
Ynu hyq
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线性代数 二阶、三阶行列式
一、二阶行列式
1、引入
一元一次方程 ax = b 当 a≠0 时， x a 1b 例 解二元线性方程组 2 x1 3 x 2 22 x 2 x 10 2 1 得 于是 二元 （三元）线性方程组
1
线性代数 二阶、三阶行列式
a11 a21 a31 a n1
a12 a22 a32 an 2
a13 a1n a23 a3 n a33 a3 n an 3 ann
Ynu hyq
2
线性代数 二阶、三阶行列式
1、知道n 阶行列式的定义，熟练掌握行列式 的基本性质及展开定理，掌握计算行列式 的一般方法，熟悉范德蒙行列式，了解行 列式的乘法定理及某些特殊分块矩阵行列 式的计算方法； 2、正确使用克拉默（Cramer）法则解线性方 程组。
Ynu hyq
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线性代数 二阶、三阶行列式
3、三元线性方程组 a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3
a11 若系数行列式 D a21 a31 b1 a12 a13 a11 D1 b2 a22 a23 , D2 a21 b3 a32 a33 a31
Ynu hyq
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线性代数 二阶、三阶行列式
本章要点
• 1、n 阶行列式的定义及基本性质，展开 定理，行列式的乘法定理，某些特殊分块 矩阵的行列式，范德蒙行列式； 2、克莱姆（Cramer）法则。

分块行列式推导
分块行列式是一种将矩阵进行分块，然后对每个块分别计算行列式的方法。

这种方法可以简化行列式的计算过程，并且对于一些特殊的矩阵，可以更方便地计算行列式。

假设我们有一个n×n 的矩阵 A，我们可以将其分成r×r 的子矩阵 Ai,j，其中 i 表示行索引，j 表示列索引。

这样，我们可以将行列式∣A∣ 分解为多个子矩阵的行列式之积，即：
∣A∣=∣A1,1A2,1⋮Ar,1A1,2A2,2⋮Ar,2⋯⋯⋱⋯A1,n−rA2,n−r⋮Ar,n−r∣
我们可以将这个行列式进一步分解为 r 个r×r 的子行列式∣Ai,j∣ 的乘积。

即：
∣A∣=∣A1,1∣×∣A2,2∣×⋯×∣Ar,n−r∣
其中，每个子行列式∣Ai,j∣ 是一个r×r 的矩阵，可以按照之前的方法分别计算其行列式。

需要注意的是，分块行列式的计算方法并不是适用于所有矩阵的。

对于一些特殊的矩阵（如稀疏矩阵、对称矩阵等），分块行列式的计算可能会更加简便。

同时，分块行列式的计算也需要考虑分块的大小和方式，以避免计算过程过于复杂。

矩阵的行列式计算是数学中的基础问题，对于超大矩阵，其行列式计算过程耗时巨大。因此，采用分块计算方法成为了一个有效的解决方案。本文提出了一是对于可以表示为2x2分块矩阵的情况，本文给出了一种具体的行列式计算方法。通过选择特定的列和行组成新的矩阵，并利用这些矩阵的行列式来计算原矩阵的行列式，从而简化了计算过程。这种方法不仅适用于一般矩阵，更能在超大矩阵计算中发挥重要作用，即使是计算机内存难以存放的矩阵，该算法也能进行有效计算。因此，分块计算方法是特殊情况下行列式计算的必然选择。

一种新的四阶行列式计算方法四阶行列式是指由4行4列的方阵所构成的行列式。

传统计算四阶行列式的方法是应用拉普拉斯展开或对角线法则。

下面我将介绍一种新的四阶行列式计算方法。

这种方法是基于分块矩阵的思想，即将4阶行列式按照其中一种方式分割成较小的块矩阵，并利用这些块矩阵之间的关系来简化计算。

首先，将4阶行列式按照第一行或第一列进行分割，可以得到以下四个块矩阵:A=，a11a12a13a14a21a22a23a2a31a32a33a3a41a42a43a4B=，a21a22a23a24a31a32a33a3a41a42a43a4C=，a11a13a14a21a23a2a31a33a3a41a43a4D=，a11a12a14a21a22a2a31a32a3a41a42a4接下来，我们计算这四个块矩阵的行列式。

块矩阵A的行列式可以直接计算得到。

块矩阵B的行列式可以通过递归计算得到，因为B的形式与原来的行列式形式相同。

块矩阵C的行列式可以应用拉普拉斯展开，将第一行乘以-1的4次方后与其余的三阶行列式相乘，然后依次交换第一列、第二列和第三列，最后求和。

块矩阵D的行列式可以应用拉普拉斯展开，将第一行乘以-1的3次方后与其余的三阶行列式相乘，然后依次交换第一列和第二列，最后求和。

计算得到这四个块矩阵的行列式后，我们可以将它们组合成原来的4阶行列式的结果。

具体做法是，将块矩阵B的行列式乘以a11，块矩阵C的行列式乘以a12，块矩阵D的行列式乘以-a13，最后再加上块矩阵A的行列式乘以a14总而言之，这种新的四阶行列式计算方法利用了分块矩阵的思想，将原来的四阶行列式分割成多个较小的块矩阵，并通过递归和拉普拉斯展开的方法计算出这些块矩阵的行列式，最后再根据块矩阵之间的关系得到原来行列式的结果。

这种方法可以简化计算过程，提高计算效率。

行列式分块运算法则 abb
行列式分块运算法则（也称为“ABB法则”）是一种重要的计算行列式的方法，它适用于将一个大的行列式分成若干个小的行列式的情况。

具体而言，ABB法则将一个n阶行列式A划分为若干个k阶子行列式的乘积，其中k是A的阶数的一个因子。

划分的方法是将A的行或列按一定规律分为k个部分，分别对每个小矩阵计算其行列式，最后将它们乘起来就得到了A的行列式。

ABB法则的具体步骤如下：
（1）将A的行（或列）分成k个部分，每部分包含n/k行（或列）；
（2）将每个部分看成一个k阶矩阵，计算它们的行列式，得到k个k阶子行列式；
（3）将这k个子行列式乘起来，就得到了A的行列式。

ABB法则的优点在于它可以将一个大的行列式分解成若干个小的行列式，这样计算量就会大幅减少。

此外，ABB法则还可以用来证明一些行列式的性质，例如行列式的秩和矩阵的秩相等等。

总之，ABB法则是一种简便而实用的计算行列式的方法，应用广泛而又方便。

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矩阵与行列式的关系矩阵是一个有力的数学工具，有着广泛的应用，同时矩阵也是代数特别是线性代数的一个主要研究对象．矩阵的概念和性质都较易掌握，但是对于阶数较大的矩阵的运算则会是一个很繁琐的过程，甚至仅仅依靠矩阵的基本性质很难计算，为了更好的处理这个问题矩阵分块的思想应运而生[]1．行列式在代数学中是一个非常重要、又应用广泛的概念．对行列式的研究重在计算，但由于行列式的计算灵活、技巧性强，尤其是计算高阶行列式往往较为困难．行列式的计算通常要根据行列式的具体特点采用相应的计算方法，有时甚至需要将几种方法交叉运用，而且一题多种解法的情况很多，好的方法能极大降低计算量，因此行列式计算方法往往灵活多变．在解决行列式的某些问题时，对于级数较高的行列式，常采用分块的方法，将行列式分成若干子块，往往可以使行列式的结构清晰，计算简化．本文在广泛阅读文献的基础上，从温习分块矩阵的定义和性质出发，给出了分块矩阵的一些重要结论并予以证明，在此基础上讨论利用分块矩阵计算行列式的方法，并与其他方法相互比较，以此说明分块矩阵在行列式计算中的优势．1.1 矩阵的定义有时候，我们将一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样[]1．特别在运算中，把这些小矩阵当做数一样来处理．这就是所谓的矩阵的分块．把原矩阵分别按照横竖需要分割成若干小块，每一小块称为矩阵的一个子块或子矩阵，则原矩阵是以这些子块为元素的分块矩阵．这是处理级数较高的矩阵时常用的方法．定义1[]2 设A 是n m ⨯矩阵，将A 的行分割为r 段，每段分别包含r m m m 21行，将A 的列分割为s 段，每段包含s m m m 21列，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=rs r r s s A A A A A A A A A A 212222111211，就称为分块矩阵，其中ij A 是j i m m ⨯矩阵（,,,2,1r i =s j ,,2,1 =）．注：分块矩阵的每一行（列）的小矩阵有相同的行（列）数． 例如，对矩阵A 分块，=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=21010301012102102301A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛22211211A A A A ， 其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210111A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21002312A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100121A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21030122A ．1.2 矩阵的运算进行分块矩阵的加、减、乘法与转置运算时，可将子矩阵当做通常矩阵的元素看待． 加法运算 设n m ij a A ⨯=)(和n m ij b B ⨯=)(为同型矩阵（行数和列数分别相等），若用相同的分块方法，即t s ij n m A A ⨯⨯=)(，t s ij B B ⨯=)(，其中ij A 、ij B 是j i n m ⨯矩阵，t j s i .,2,1,,,2,1 ==，且m m si i =∑=1，n n tj j =∑=1，则A 与B可直接相加，即=+B A t s ij ij B A ⨯+)(．数乘运算 设分块矩阵t s ij n m A A ⨯⨯=)(，k 为任意数，则分块矩阵与k 的数乘为t s ij kA kA ⨯=)(．乘法运算 一般地说，设sn ik a A )(=，nm kj b B )(=，将矩阵A 、B 分块，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s s t t A A A A A A A A A A 212222111211，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=tr t t r r B B B B B B B B B B 212222111211， 其中每个ij A 是j i n s ⨯小矩阵，每个ij B 是j i m n ⨯小矩阵，于是有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==sr s s r r C C C C C CC C C AB C212222111211， 其中ij C 是j i k m ⨯矩阵，=ij C ∑=ni ij ij B A 1．应该注意，在进行乘法运算求乘积AB 时，对矩阵A 、B 分块要求，矩阵A 的列的分法必须与矩阵B 的行的分法一致．矩阵的乘法不适合交换律，即一般来说，没有BA AB =．分块矩阵是一类特殊的矩阵，它的乘法同样不适合交换律．根据上文所述分块矩阵也是一个矩阵，因此有与一般矩阵的加法、数乘、乘法的运算性质相同．不过，分块矩阵运算时应注意以下几点：(1) 进行加法运算时，对应子块的结构需相同；(2) 进行数乘运算时，必须对每一子块都乘以相同的数； (3) 进行乘法运算时，不能随意交换两个相乘子块的顺序．在具体运算过程中，我们要灵活地分块，目的是使运算更简便．而对于乘法，在矩阵A 与矩阵B 相乘时，对B 的一个分块方式，A 可以有几种分块方式都可与B 相乘，同样对A 的一个分块方式，B 也是如此．但不论怎样分块，始终坚持相乘的两个矩阵前一个矩阵列的分法与后一个矩阵行的分法一致，因为只有这样乘积才有意义．例如，已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200010001A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011010100101B ，我们把B 分块为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222122011010100101B B E E ， 其中2E 为二阶单位阵，这时若只考虑乘法的相容性，A 可以分块为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200010001、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200010001或⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛200010001， 我们可以看到第一种分法中有单位块，而⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222A OO E A ， 对于乘法运算显然更加简便，即=AB ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200010001⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛011010100101⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=222122222B B E E A O O E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2222212222B A B A E E ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=022*********． 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=st s s t t A A A A A A A A A A 212222111211是一个分块矩阵，那么它的转置为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛'''''''''='st t ts s A A A A A A A A A A 212221212111．分块矩阵的转置应遵守如下规则：(1) A 的每一块都看成元素，对A 转置； (2) 对A 的每一块都转置．1.3 特殊的分块矩阵形式如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛l A O A O A21的矩阵，其中i A 是i i n n ⨯矩阵),,2,1(l i =，通常称为准对角矩阵．准对角矩阵具有如下性质： (1) 设=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛l A O A O A21， 则有l A A A A 21=；(2) A 可逆⇔i A 可逆),,2,1(l i =，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----112111l A A A A ； (3) 对于两个有相同分块的准对角矩阵=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛l A O A O A21，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=l B O B O B B21， 如果它们相应的分块是同级的，那么显然有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=l l B A O B A O B A AB2211，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+l l B A O B A OB A B A2211 它们还是准对角矩阵．与普通矩阵的初等变换类似，分块矩阵的初等变换有三种： (1) 互换分块矩阵二个块行（列）的位置；(2) 用一个可逆矩阵左乘（右乘）分块矩阵的某一块行（列）； (3) 将分块矩阵某一块行（列）的k （矩阵）倍加到另一块行（列）． 定义2[]3 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵． 现将某个单位矩阵如下进行分块，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n mE O O E ， 对它进行两行（列）对换；矩阵的某行（列）乘以行列可逆阵P ；某一行（列）乘以矩阵Q 加到另一行（列）上，就可得到如下三种分块初等矩阵：(1) 分块初等对换阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O E E O mn ； (2) 分块初等倍乘阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n E O O P ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛P OO E m； (3) 分块初等倍加阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n mE O Q E ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n mE QO E ． 与初等矩阵和初等变换的关系一样，用上面这些矩阵左乘任一个分块矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛D C B A ， 只要分块乘法能够进行，其结果就等于对它进行相应的初等变换：(1) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A D C D C B A O E E O n m ； (2) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D C PB PA D C B A E O O P n ；(3) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛PA D PA C B AD C B AE P O E n m ． 同样，用它们右乘任一矩阵，也有相应的结果．我们通过验证，当用分块初等矩阵左乘（右乘）一个分块矩阵，就相当于对该分块矩阵作了一次相应的分块矩阵的初等行（列）变换．分块矩阵的初等行（列）变换具有直观的优点，用分块初等矩阵左乘（右乘）一个分块矩阵能得到矩阵间的等式，从而有利于计算矩阵行列式的值．定义3]2[ 在一个n 级行列式D 中任意选定k 行k 列)(n k ≤．位于这些行和列的交点上的2k 个元素按照原来的次序组成一个k 级行列式M ，称为行列式D 的一个k 级子式．当n k <时，在D 中划去这k 行k 列后余下的元素按照原来的次序组成的k n -级行列式M '称为k 级子式M 的余子式．引理（拉普拉斯定理）设在行列式D 中任意取定了k )11(-≤≤n k 个行．由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D ．定理1 设A 是m 阶方阵，B 是n m ⨯阶矩阵，C 是n 阶矩阵，则C A CO B A =．证明 利用拉普拉斯定理，只要将行列式CO BA 按后n 行展开，在其所有的n 阶子式中，除C 外至少包含一列零向量，因此它们的值为零．而C 的余子式为A ，且C 位于整个矩阵的第n m m m +++,,2,1 行，第n m m m +++,,2,1 列，即可得C A CO B A =．类似地行列式的形式为CB OA 时，由行列式的转置值不变，因此仍有C A C A C B OA =''='''．通过上面的定理，我们自然想到，若是将行列式CO BA换成OC BA 又会有怎样的结论，它的值等于BC 吗？定理2 设A 、B 、C 均为n 阶方阵，则B C OC B A n 2)1(-=．证明 将拉普拉斯定理应用于上式的后n 行， 在其所有n 阶子式中，除C 外至少包含一列零向量，因此它们的值为零．而C 的余子式为B ，且C 位于整个矩阵的第n n n n +++,,2,1 行， 第n ,,2,1 列，因此C B OC B A s )1(-=，其中偶数+=+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=2)21()()2)(1(n n n n n n s ，即B C OC B A n 2)1(-=．定理3 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=D C B A P 是分块n 阶矩阵，其中A 为r 阶方阵，B 为s r ⨯阶阵，C 为r s ⨯阶阵，D 为s 阶方阵．(1) 若A 可逆，则B CA D A P 1--=； (2) 若D 可逆，则B CD A D P 1--=． 证明 (1) 当0≠A 时，有⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---B CA D O B A D C B A I CA O I 11 两边取行列式可得=P A B CA D 1--．(2) 当0≠D 时，有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---D C O C BD A D C B A I O BD I 11 两边取行列式可得P =D B CD A 1--．将定理3中条件特殊化，可得到如下推论．推论1 设A 、B 、C 、D 分别是r ，s r ⨯，r s ⨯，s 矩阵，则有 (1) CB D D C BE r -=； (2)BC A E CB A s-=．证明 (1) 只需在定理3中令r E A =，即有CB D CBD OB E DCB E r r -=-=．(2) 只需在定理3中令s E B =，即有BC A E C OBC A E C B A ss -=-=．推论2 设B 、C 分别是s r ⨯，r s ⨯，则有BC E CB E E CBE r s sr -=-=． 证明 只需在定理3中令r E A =，s E B =，则有BC E CB E E CBE r s sr -=-=． 定理4[]5,4 设A 、B 、C 、D 都是n 阶方阵，则 (1) 当0≠A 且CA AC =时，=D C B A CD AB -； (2) 当A 0≠且BA AB =时，=D C B A CB DA -； (3) 当0≠D 且CD DC =时，=D C B A BC AD -； (4) 当0≠D 且BD DB =时，=DCB A BC DA -．证明 由A 、B 、C 、D 均为n 阶方阵，当0≠A 且CA AC =时，利用定理3得=DCB A A B CA D 1--B ACA AD 1--=B CAA AD 1--=CB AD -=，即=DCB A CB AD -，(2)、(3)、(4)类似可得．定理5[]7,6 设A 、B 都是n 阶方阵，则有B A B A ABB A -+=．证明 根据分块矩阵性质有BA OB B A AA B B B A ABB A -+=++=B A B A -+=．定理6[]8 设A 为n 阶可逆方阵，α与β均为n 维列向量，则)1(1βαβα-+=+A A A T T ．证明 因⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10110T TT A AE βαββαα， (1) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--αβαβαβ1110110A AA A ET T T ， (2) (1)式、(2)式两边各取行列式，又1101=-=-TE E βα，从而有)1(11αβαββα-+=+=-A A A A T T T．。

第二章 矩阵及其运算说明与要求:此矩阵在线性代数中是一个重要而且应用广泛的概念，它是研究线性代数的基本工具，在数学的其它分支以及相关专业的理论与实际中都有重要的应用．矩阵是一个表格，作为数表的运算与数的运算既有联系又有区别．要熟练掌握矩阵的加法、乘法与数量乘法的运算规则，并熟练掌握矩阵行列式的有关性质．正确理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质及矩阵可逆的充要条件．会用伴随矩阵求矩阵的逆．熟练掌握用初等变换求逆矩阵的方法．了解矩阵的分块原则，掌握分块矩阵的运算规则．注意分块矩阵在矩阵乘法及求逆、齐次线性方程组的解、向量的线性表出、线性相关及矩阵秩等方面的应用．对于几种特殊矩阵，应掌握其定义和它们的性质．。

本章重点：矩阵的运算及性质；初等矩阵；矩阵可逆的判定及求法；分块矩阵． 。

本章难点：初等矩阵的性质；求矩阵的逆；分块矩阵．§1 矩阵的概念在上一章§2.1中已给出了矩阵的定义，即由数域P 中的m ×n 个数a ij (i =1，2，…，m ；j =1，2，…，n )排成一个m 行，n 列的表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅mn m m n naa a a a a a a a 212222111211 称为数域P 上的一个m ×n 矩阵．a ij 称为第i 行，第j 列的元素．矩阵是从许多实际问题中抽象出来的一个数学概念．除了我们所熟知的线性方程组的系数及常数项可用矩阵来表示外，在一些经济活动中，也常常用到矩阵．例１ 某种物资有三个产地、四个销地，调配方案如下表：调运量表(单位：千吨)则表中的数据可构成一个三行四列的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛215402134321 矩阵中每一个数据(元素)都表示从某个产地运往某个销地的物资的吨数．以后我们用字母A 、B 、C 等表示矩阵，有时为了表明A 的行数和列数，可记为 A m ×n 或( a ij ) m ×n ，为了表明A 中的元素，可简记为A =( a ij )．当m =n 时，矩阵A =(a ij )n ×n ＝⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211称为n 阶矩阵或n 阶方阵． 当m =1时，矩阵A =(a ij )1×n ＝(a 11 a 11 … a 1n )称为行矩阵．当n =1时，矩阵A =(a ij )m ×1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛12111m a a a 称为列矩阵．当矩阵中 所有元素都是零时，称该矩阵为零矩阵，记作O 或O m ×n ．即O =nm ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000000当n 阶矩阵的主对角线上的元素都是1，而其它元素都是零时，则称此n 阶矩阵为单位矩阵，记为E 或E n ．即E =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001 对于矩阵A =(a ij ) m ×n ，称(–a ij ) m ×n 为A 的负矩阵，记为 –A ，即：–A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--mn m m n n a a a a a a a a a212222111211 注意：矩阵和行列式虽然在形式上有些类似，但他们是两个完全不同的概念，一方面行列式的值是一个数，而矩阵只是一个数表．另一方面行列式的行数与列数必须相等，而矩阵的行数与列数可以不等．定义１ A =( a ij )，B =( b ij )都是m ×n 矩阵，若它们的对应元素相等，即 a ij ＝b ij ，(i =1，2， …，m ，j =1，2…，n ) 则称矩阵A 与B 相等，记为A =B ．如， 由⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-603540134z y x立即可得x =5， y =6， z = –1．思考题：１．n 阶矩阵与n 阶行列式有什么区别?２．试确定a 、b 、c 的值，使得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a b a 0153012＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--60153201c§2 矩阵的运算矩阵的运算可以认为是矩阵之间最基本的关系．下面介绍矩阵的加法、乘法、矩阵与数的乘法和矩阵的转置．一. 矩阵的加法定义 设A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅mn m m nnaa a a a a a a a 212222111211， B =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅mn m m n nbb b b b b b b b 212222111211 是两个m ×n 矩阵，则矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅mn m m nn cc c c c c c c c 212222111211=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++mn mn m m m m n n nn ba b a b a b a b a b a b a b a b a 221122222221211112121111 称为A 与B 的和，记为 C =A +B ．注意：相加的两个矩阵必须具有相同的行数和列数．例１ 某种物资(单位：千吨)从两个产地运往三个销地，两次调运方案分别用矩阵A 和矩阵B 表示：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=304133 ,330412B A则从各产地运往各销地两次的物资调运总量为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+634545330340143132304133330412B A由于矩阵的加法归结为对应元素相加，也就是数的加法，因此容易验证，矩阵的加法具有以下性质：设 A ，B ，C 均为m ×n 矩阵，则有 (1) A +B =B +A ． (2) (A +B )+C =A +(B +C )； (3) A +0=A ； (4) A +(–A )=0；由矩阵的加法和负矩阵的定义，可以定义矩阵的减法：A –B =A +(–B ) 二. 矩阵的数量乘法 定义2 设有矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==⨯mn m m n nnm ij aa a a a a a a a a A )(212222111211，k 是数域P 中任一个数， 矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⨯mn m m n n nm ij kaka ka ka ka ka ka ka ka ka )(212222111211 称为数k 与矩阵A =(a ij ) m ×n 的数量乘积．记为k A ．注意：用数乘一个矩阵，就是把矩阵的每个元素都乘上k ，而不是用k 乘矩阵的某一行（列）．不难验证，矩阵的数量乘法具有以下性质：设A ，B 都是m ×n 矩阵，k 、l 为数域P 中的任意数．则有 (1)k (A +B )= kA +kB ；(2) (k +l )A = kA +lB ； (3) (kl )A = k (lA )= l (kA )； (4) 1A =A ； 0A =0．例3 求矩阵X 使2A +3X =2B ，其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=120131,016502B A 解：由2A +3X =2B 得 3X =2B –2A =2(B –A ) 于是X =)(32A B -即X =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--01650212013132⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32244232三. 矩阵的乘法矩阵乘法的定义最初是在研究线性变换时提出来的，为了更好地理解这个定义，我们先看一个例子．例3 设y 1， y 2和x 1， x 2， x 3是两组变量，它们之间的关系是⎩⎨⎧++=++=32322212123132121111x a x a x a y x a x a x a y (1)又t 1，t 2是第三组变量，它们与x 1， x 2， x 3的关系是⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=232131322212122121111tb t b x t b t b x t b t b x (2)我们想用t 1， t 2线性地表示出y 1， y 2，即：⎩⎨⎧+=+=22212122121111t c t c y t c t c y(3)则要求出这组系数c 11， c 12， c 21， c 22．事实上：将(2) 代入 (1)式，有y 1= a 11 ( b 11t 1 +b 12t 2 )+ a 12 ( b 21t 1 +b 22t 2 )+ a 13 ( b 31t 1 +b 32t 2 ) =( a 11b 11 +a 12b 21+ a 13b 31)t 1+ ( a 11b 12 +a 12b 22+ a 13b 32)t 2 y 2= a 21 ( b 11t 1 +b 12t 2 )+ a 22 ( b 21t 1 +b 22t 2 )+ a 23 ( b 31t 1 +b 32t 2 ) =( a 21b 11 +a 22b 21+ a 23b 31)t 1+ ( a 21b 12 +a 22b 22+ a 23b 32)t 2 与(3) 对照，得：c 11= a 11b 11 +a 12b 21+ a 13b 31 c 12= a 11b 12 +a 12b 22+ a 13b 32 c 21= a 21b 11 +a 22b 21+ a 23b 31 c 22= a 21b 12 +a 22b 22+ a 23b 32如果用矩阵 A ，B ，C 分别表示关系式 (1)，(2)，(3) 的系数矩阵，即,,323122211211232221131211⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=b b b b b b B a a a a a a A ⎪⎭⎫⎝⎛++++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛=32232222122131232122112132132212121131132112111122211211b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a c c c cC ＝ 我们称C 是A 与B 的乘积，即A 2×3B 3×2 =C 2×2=(c ij ) 2×2，其中元素c ij 等于A 中的第i 行的元素与B 中第j 列的对应元素乘积之和．例4 某地区有四个工厂Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，生产甲、乙、丙三种产品，矩阵A 表示一年内各工厂生产各种产品的数量，矩阵B 表示各种产品的单位价格(元)及单位利润(元)，矩阵C 表示各工厂的总收入及总利润：, , , 4241323122211211323122211211424241333231232221131211ⅣⅢⅡⅠ总利润总收入丙乙甲利润价格单位单位ⅣⅢⅡⅠ丙乙甲⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=c c c c c c c c C b b b b b b B a a a a a a a a a a a a A 其中 a ik (i =1，2，3，4； k =1，2，3) 是第 i 个工厂生产第k 种产品的数量，b k 1， b k 2分别表示第k 种产品的单位价格及单位利润，c i 1及c i 2 (i =1，2，3，4) 分别是第i 工厂生产三种产品的总收入及总利润．如果称矩阵C 是A ，B 的乘积，从经济意义上讲是极为自然的，并且有关系：2332312221121134434241333231232221131211⨯⨯⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛b b b b b b a a a a a a a a a a a a ,24424132312221121124324322121241314321421141323322321231313321321131322322221221312321221121321322121211311321121111⨯⨯⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++++++++++=c c c c c c c c b a b a b a ba b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a ba b a b a b a b a b a b a b a b a 其中矩阵C 的元素c ij 等于A 的第i 行的元素与B 的第j 列的元素的乘积之和．于是引进矩阵乘积的定义．定义3 设矩阵A = (a ik )m ×s ，B = (b kj )s ×n ，则由元素c ij =a i 1b 1j +a i 2b 2j +…+a is b sj (i =1，2，…，m ； j =1，2，…，n )构成的m ×n 矩阵C =(c ij )m ×n 称为矩阵A 与B 的乘积，记为C =AB ． 从这个定义，我们可看出，应注意矩阵乘法有以下三个特点：(1)左矩阵A 的列数必须等于右矩阵B 的行数，矩阵A 与B 才可以相乘，即AB 才有意义；否则AB 没有意义．(2)矩阵A 与B 的乘积C 的第i 行、第j 列的元素等于左矩阵A 的第i 行与右矩阵B 的第j 列的对应元素的乘积之和(i =1，2，…，m ； j =1，2，…，n )．(3)在上述条件下，矩阵A m ×s 与B s ×m 相乘所得的矩阵C 的行数等于左矩阵A 的行数m ，列数等于右矩阵B 的列数n ，即 A m ×S B S ×n = C m ×n ．例5 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=113121032,312021B A ，求AB ．解： 因为A 的列数与B 的行数均为 3 ，所以AB 有意义，且AB 为2×3 矩阵．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=113121032312021A ⎪⎭⎫⎝⎛⨯+-⨯+⨯⨯+-⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+-⨯+⨯⨯+-⨯+⨯⨯+⨯+⨯=13)1(10213)2(132********)1(20110)2(231301221 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2714214 如果将矩阵B 作为左矩阵， A 作为右矩阵相乘，则没有意义，即BA 没意义，因为B 的列数为3 ，而 A 的行数为2 ．此例说明： AB 有意义，但 BA 不一定有意义． 例６ 设A ＝n n n n b b bB a a a ⨯⨯=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛121121),,(, ，求AB 和BA ．解：nn n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b a a a AB ⨯⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= 2122212121112121),,( n n n n n n a b a b a b a b a b a b a a a b b b BA +++=+++=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= 221122112121)(),,(注：在运算结果中，我们可以将一级矩阵看成一个数．此例说明，即使AB 和BA 都有意义，AB 和BA 的行数及列数也不一定相同．例7 设A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111， B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111，求AB 和BA ．解：AB =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111=⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000，BA =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2222此例说明，即使AB 和BA 都有意义且它们的行列数相同，AB 与BA 也不相等．另外此例还说明两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵．例8 设 A =⎪⎭⎫ ⎝⎛6413， B =⎪⎭⎫ ⎝⎛6412， C =⎪⎭⎫ ⎝⎛1100 ，求AC 和BC解：AC =⎪⎭⎫ ⎝⎛6413⎪⎭⎫ ⎝⎛1100＝⎪⎭⎫ ⎝⎛6611；BC =⎪⎭⎫ ⎝⎛6412⎪⎭⎫ ⎝⎛1100=⎪⎪⎭⎫⎝⎛6611 此例说明，由AC =BC ，C ≠0，一般不能推出A =B ．以上几个例子说明了数的乘法的运算律不一定都适合矩阵的乘法．对矩阵乘法请注意下述问题：(1) 矩阵乘法不满足交换律，一般来讲 AB ≠BA(2) 矩阵乘法不满足消去律．一般来说，当AB =AC 或BA =CA 且A ≠0时，不一定有B =C ． (3) 两个非零矩阵的乘积，可能是零矩阵．因此，一般不能由AB =0推出 A =0 或B =0． 若矩阵A 与B 满足AB =BA ，则称A 与B 可交换．根据矩阵乘法定义，还可以直接验证下列性质（假定这些矩阵可以进行有关运算）： (1) 结合律：(AB )C =A (BC )；(2) 分配律：A (B +C )=AB +BC ， (A +B )C =AC +BC ； (3) 对任意数k ，有k (AB )= (k A )B =A (k B )； (4) E m 、E n 为单位矩阵，对任意矩阵A m ×n 有E m A m ×n ＝A m ×n ，A m ×n E n ＝A m ×n特别地，若A 是n 阶矩阵，则有EA =AE =A ， 即单位矩阵E 在矩阵乘法中起的作用类似于数1在数的乘法中的作用．利用矩阵的乘法运算，可以使许多问题表达简明． 例9 若记线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212********* 的系数矩阵为 A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211并记未知量和常数项矩阵分别为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x X 21，B ＝⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m b b b 21 则有AX =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x 21=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 221122221211212111 所以上面的方程组可以简记为矩阵形式 AX =B ．有了矩阵的乘法，可以定义n 阶方阵的幂．定义4 设A 是n 阶方阵，规定A 0 =E ， A k+1=A k A (k 为非负整数)． 因为矩阵的乘法满足结合律，所以方阵的幂满足 A k A l =A k +l ， (A k )l =A kl其中k 、l 为非负整数，又因为矩阵的乘法一般不满足交换律，所以对于两个n 阶方阵A 与B 一般来说，(AB )k ≠A k B k ．此外，若A k =0，也不一定有A ＝0．例如A =⎪⎭⎫⎝⎛--1111≠０，但A 2=⎪⎭⎫⎝⎛--1111⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111＝⎪⎭⎫ ⎝⎛0000例10 设A ，B 均为n 阶方阵，计算(A +B )2．解：(A +B )2=(A +B )(A +B )= (A +B )A +(A +B )B =A 2+BA +AB +B 2四. 矩阵的转置 定义 5 设 m ×n 矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211将A 的行变成列所得的n ×m 矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅mn nn m m a a a a a a a a a 212221212111 称为矩阵A 的转置矩阵，记为A T．例如 A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21530421，则 A T =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--20145231 矩阵的转置满足以下规律：(1) (A T )T=A (2) (A +B )T =A T +B T(3) (kA )T =kA T (k 为常数) (4) (AB )T=B TA T我们只证明(4) 设A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ms m m s s a a a a a a a a a 212222111211，B =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛sn s s n n b b b b b b b b b 212222111211首先容易看出， (AB )T 和B T A T 都是n ×m 矩阵．其次，位于(AB )T 的第 i 行第 j 列的元素就是位于AB 的第 j 行第 i 列的元素，且等于a j 1b 1i + a j 2b 2i +…+a js b si = ∑=sk ki jk b a 1而位于B T A T 的第i 行第j 列的元素位于B T 的第i 行与A T 的第j 列对应元素的乘积之和，因而等于 B 的第i 列的元素与 A 的第 j 行对应元素的乘积之和：b 1i a j 1+ b 2i a j 2+…+ b si a js = ∑=sk jk ki a b 1上面两个式子显然相等，所以(AB )T =B T A T例11 设A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-110211， B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-123101， 求(AB )T 和A T B T解：因为 A T=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-121101， B T =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-130211所以 (AB )T =B T A T =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-130211⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-121101=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4132A TB T =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121101⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-130211=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---552121211 注意：一般情况下 (AB )T ≠A T B T显然，(2)和(4)可以推广到n 个矩阵的情形．即： (A 1+A 2+…+A n )T =A T 1+ A T 2+…+ A T n(A 1A 2…A n –1A n )T= A Tn A T n –1… A T 2 A T1五. 方阵的行列式定义6 由n 阶方阵A =(a ij ) 的元素按原来位置所构成的行列式，称为n 阶方阵A 的行列式，记为|A |．设 A ，B 是n 阶方阵，k 是常数，则n 阶方阵的行列式具有如下性质： (1) |A T|=|A |； (2) |kA| =k n |A |； (3) |AB |=|A |.|B |．性质(1)，(2)可由行列式的性质直接得到，性质(3)的证明较冗长，此处略去． 把性质(3)推广到m 个n 阶方阵相乘的情形，有 |A 1A 2…A m |=|A 1||A 2||…||A m | 例12 设A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2101，B =⎪⎪⎭⎫⎝⎛0113 验证 |A ||B |=|AB |=|BA |．证：显然有|A ||B |= –2，因为 AB =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2101⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0113＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1113 |AB |=1113--= –2而BA =⎪⎪⎭⎫⎝⎛0113⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2101=⎪⎪⎭⎫⎝⎛0122，|BA |=0122= –2 因此|A ||B |=|AB |=|BA |．定义7 设 A 是n 阶方阵，当|A |≠0时，称A 为非奇异的(或非退化的)；当|A |=0时，称A 为奇异的(或退化的)由性质(3)可以得到定理：设A ， B 为n 阶方阵，则 AB 为非奇异的充分必要条件是A 与B 都是非奇异的． 例13 已知A 为 n 阶方阵，且 AA T 是非奇异的，证明A 是非奇异的． 证：因为AA T 非奇异的，所以|AA T |≠0，即|AA T |=|A | |A T |=|A |2≠0从而|A |≠0，即A 是非奇异的．思考题：1．已知A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100120301，B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛103120001求：(1) (A +B )(A -B )(2) A 2-B 2比较(1)与(2)的结果，可得出什么结论？2．证明题(1) 若矩阵A 1，A 2都可与B 交换，则kA 1+lA 2，A 1A 2也都与B 可交换； (2) 若矩阵A 与B 可交换，则A 的任一多项式f (A )也与B 可交换； (3) 若A 2=B 2=E ，则(AB )2=E 的充分必要条件是A 与B 可交换．以下介绍几种特殊且常用的矩阵及这些特殊矩阵的运算性质及方阵乘积的行列式． 一、对角矩阵定义1 如果n 阶方阵A =(a ij )中的元素满足a ij =0，i ≠j (i ，j =1，2，… n )，则称A 为对角矩阵．即：A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn a a a 0000002211，可简记为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn a a a 2211 对角矩阵的运算有下列性质：(1)同阶对角矩阵的和以及数与对角矩阵的乘积仍是对角矩阵． (2)对角矩阵A 的转置A T 仍是对角矩阵，且A T =A ．(3)任意两个同阶对角矩阵的乘积仍是对角矩阵，且它们是可交换的．即若A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n a a a 21， B =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n b b b 21，则 AB =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n b a b a b a2211，并且有AB =BA ． (4)对角矩阵可逆的充分必要条件是它的主对角线元素都不等于零．且A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 21可逆时， 有A –1 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11211n a a a 性质(1)(2)(3)可直接验证，下面只证性质(4)因矩阵A 可逆 ⇔ |A |≠0．对于对角矩阵而言， |A |≠0⇔ a 1a 2 … a n ≠0⇔ a 1≠0，a 2≠0，…， a n ≠0， 即主对角元都不为零．当主对角元都不为零时，有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---121211a a a =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111于是 A –1=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---121211a a a 特别地，当a 1=a 2= … =a n =k 时，对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛k k k称为n 阶数量矩阵，记作kE数量矩阵具有性质：用数量矩阵左乘或右乘(如果可乘)一个矩阵B ，其乘积等于用数k 乘矩阵B ．即若aE 是一个n 阶数量矩阵，B 是一n ×s 矩阵，则(kE )B =B (kE )=kB ．二、三角形矩阵定义3 形如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n a a a a a a 00022211211的n 阶方阵，即主对角线下方的元素全为零的方阵称为上三角形矩阵．形如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n a a a a a a21222111000的n 阶方阵，即主对角线上方的元素全为零的方阵称为下三角形矩阵．上(下)三角形矩阵具有下述性质：(1)若A 、B 是两个同阶的上(下)三角形矩阵，则A +B 、kA 、AB 仍为上(下)三角形矩阵；如 A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n a a a a a a 00022211211，B =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n b b b b b b 00022211211 则，AB =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n a a a a a a 00022211211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n b b b b b b00022211211=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn nn b a b a b a 0*22221111其中*表示主对角线上方的元素；0表示主对角线下方的元素全为零．上(下)三角形矩阵可逆的充分必要条件是它的主对角元都不为零．当上(下)三 角形矩阵可逆时，其逆矩阵仍为上(下)三角形矩阵．如 A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n a O a a a a a22211211，则 A –1=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1122111*nn a O a a ．三、对称矩阵与反对称矩阵定义4 如果n 阶矩阵A 满足A T=A ，则称A 为对称矩阵．由定义知，对称矩阵A =(a ij )中的元素a ij =a ji (i ，j =1，2，… n )，因此，对称矩阵的形式为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn nnn n a a a a a a a a a 212221211211，如⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--501032121、⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0221均为对称矩阵． 对称矩阵有以下性质：(1)如果A 、B 是同阶对称矩阵，则A +B ，kA 也是对称矩阵．证：因为A T =A ，B T =B ，所以(A +B )T =A T +B T =A +B ，即A +B 是对称矩阵． (2)可逆对称矩阵A 的逆矩阵A –1仍是对称矩阵．证：因为A T =A ，所以(A –1)T =(A T )–1=A –1，因此A –1为对称矩阵． 但要注意：两个对称矩阵乘积不一定是对称矩阵．例如 A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0111，B =⎪⎪⎭⎫⎝⎛0110均为对称矩阵，但 AB =⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1011，不是对称矩阵． 定义5 如果n 阶方阵A 满足A T =–A ，则称A 为反对称矩阵．由定义知，反对称矩阵A =(a ij )中的元素满足a ij =–a ji (i ，j =1，2，… n )．因此，反对称矩阵主对角线上的元素一定为零．即反对称的形式为A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00021212112 nnn n a a a a a a ．例如⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---021203130、⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0220均为反对称矩阵．根据反对称矩阵的定义，容易证明以下性质：(1)若A 、B 是同阶反对称矩阵，则A +B ，kA ，A T 仍是反对称矩阵． (2)可逆的反对称矩阵的逆矩阵仍是反对称矩阵．(3)奇数阶反对称矩阵不可逆．因为奇数阶的反对称矩阵的行列式等于0． 注意：两个反对称矩阵的乘积不一定是反对称矩阵．例２ 对任意m ×n 矩阵，证明AA T 和A T A 都是对称矩阵． 证：因为AA T 是m ×m 方阵，且(AA T )T =(A T )T A T =AA T 所以由定义知 AA T 是对称矩阵．同理，A T A 是n 阶方阵，且(A T A )T =A T (A T )T =A TA 所以 A TA 也是对称矩阵．例３ 已知A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵，证明AB +BA 是反对称矩阵． 证：AB +BA 显然是n 阶方阵，且由对称矩阵和反对称矩阵的定义，有A T=A ， B T =–B ，于是（AB +BA )T =(AB )T +(BA )T = B T A T +A T B T =(–B )A +A (–B )= –(AB +BA ) 由反对称矩阵的定义知，AB +BA 是反对称矩阵．思考题：1．试证：对任意一个方阵A ，都有A +A T 是对称矩阵，A –A T 是反对称矩阵． 2．设A 、B 是两个反对称矩阵，试证：(1) A 2是对称矩阵；(2)AB –BA 是反对称矩阵．§3 分块矩阵一、分块矩阵的概念在理论研究及一些实际问题中, 经常遇到行数和列数较高或结构特殊的矩阵, 为了简化运算, 经常采用分块法, 使大矩阵的运算化成若干小矩阵间的运算, 同时也使原矩阵的结构显得简单而清晰. 具体做法是：将大矩阵用若干条横线和竖线分成多个小矩阵. 每个小矩阵称为A 的子块, 以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.例1 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=311320520131A . 则A 就是一个分块矩阵.若记11131250A -⎛⎫=⎪⎝⎭, 1202A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭, 21(3,1,1)A =-, 22(3)A =,则矩阵A 可表示为.22211211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A A A A A 这是一个分成了4块的分块矩阵. 例2 设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1000001100001000001100011A , 则矩阵A 是一个分成了9块的矩阵,且A 的分块有一个特点, 若记⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11012A , )1(3=A , 则 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=32100000A A A A , 即矩阵A 作为分块矩阵来看, 除了主对角线上的块外, 其余各块都是零矩阵, 以后我们会发现这种分块成对角形状的矩阵在运算上是比较简便的. 矩阵的分块有多种方式, 可根据具体需要而定.二、分块矩阵的运算分块矩阵的运算与普通矩阵的运算规则相似. 分块时要注意, 运算的两矩阵按块能运算, 并且参与运算的子块也能运算. 1. 加法设同型矩阵A 与B 采用相同的分块法, 即1111t s st A A A A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ , 1111t s st B B B B B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,其中ij A 与ij B 也是同型矩阵, 1,2,i s = , 1,2,j t = .则11111111t t s s st st A B A B A B A B A B ++⎛⎫ ⎪+= ⎪ ⎪++⎝⎭ .2. 数乘分块矩阵用数k 乘一个分块矩阵时, 等于用k 去乘矩阵的每一个块, 即11111111t t s st s st A A kA kA kA k A A kA kA ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .例 3 设矩阵1013012400100001A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭, 12020006310021B ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪-⎝⎭, 用分块矩阵计算kA , A B +.解 将矩阵计算B A ,分块如下：10130124001000001E C A E ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪--⎝⎭ ⎪-⎝⎭, 1200200006310021D B F E ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭⎪-⎝⎭, 则 kA =0E C k E ⎛⎫ ⎪-⎝⎭=0kE kC kE ⎛⎫ ⎪-⎝⎭=03024000000k kk k k k k k ⎛⎫⎪ ⎪⎪- ⎪-⎝⎭A B +=0E C E ⎛⎫⎪-⎝⎭+0D F E ⎛⎫ ⎪⎝⎭=0E D C F +⎛⎫⎪⎝⎭=221321246300020⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭. 3. 分块矩阵的乘法设A 为l m ⨯矩阵, B 为n l ⨯矩阵, 分块成1111t s st A A A A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ , 1111r t tr B B B B B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,其中pt p p A A A ,,,21 的列数分别等于tq q q B B B ,,,21 的行数, 则1111r s sr C C AB C C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,其中1(1,2,,;1,2,,)tpq pkkqk C AB p s q r ====∑ .例4 设1000010012101101A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭, 1010120110411120B ⎛⎫ ⎪- ⎪=⎪ ⎪--⎝⎭, 用分块矩阵计算AB . 解 把B A ,分块成1E O A A E ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 112122B E B B B ⎛⎫=⎪⎝⎭, 则 111112122111211220E B E B EAB A E B B A B B A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭.又 11121121010341024111211021111A B B ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+=⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 122124133112031A B -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,11111211221010120124331131B E AB A B B A B ⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪==⎪⎪++-⎝⎭ ⎪-⎝⎭. 4. 分块矩阵的转置 设矩阵A 可写成分块矩阵1111t s st A A A A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,则矩阵A 的转置矩阵T A 为1111TT s T T T t stA A A A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.5. 分块对角矩阵设A 为n 阶方阵, 若A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块, 其余子块都为零矩阵, 且在对角线上的子块都是方阵, 即1200s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其中),,2,1(s i A i =都是方阵, 则称A 为分块对角矩阵. 分块对角矩阵具有以下性质：(1) 若 ||0(1,2,,)i A i s ≠= , 则0||≠A , 且12||||||||s A A A A = ；(2) 若1200s A A A A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 1200s B B B B ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 其中i A , i B 是同阶的子方块(1,2,,)i s = , 则1122s s A B A B A B A B +⎛⎫⎪+⎪+= ⎪ ⎪+⎝⎭, 112200s s A B A B AB A B ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 1200k kk k s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(k 为正整数). 形如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ss s s A A A A A A 00022211211的分块矩阵, 称为分块上三角形矩阵. 形如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ss s s A A A A A A21222111000的分块矩阵, 称为分块下三角形矩阵. 如果分块上(下)三角形矩阵的主对角线上的子块ii A (s i ,,2,1 =)均为方阵, 那么有如下结论111211122221221122120000||||||0s s ss sss s ssA A A A A A A A A A A A A A A ==.三、矩阵的按行分块和按列分块矩阵按行（列）分块是最常见的一种分块方法. 一般地，m n ⨯矩阵A 有m 行, 称为矩阵A 的m 个行向量, 若记第i 行为),,,,(21in i i T i a a a =α则矩阵A 就可表示为12T T T m A ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭m n ⨯矩阵A 有n 列, 称为矩阵A 的n 个列向量, 若第j 列记作12j jj mj a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭则矩阵A 就可表示为12(,,,)n A ααα= .§4 矩阵的初等变换和初等矩阵一、矩阵的初等变换定义4.1 下列变换称为矩阵的初等行变换： (1) 对调第i 行与第j 行 (记为i j r r ↔)；(2) 以非零常数k 乘矩阵第i 行每一元素 (记为i r k ⨯)；(3) 把第j 行每一元素的k 倍加到第i 行对应的元素上 (记为i j r kr +).把上述定义中的“行”变成“列”, 即得到矩阵初等列变换的定义(所用记号是把“r ”换成“c ”).矩阵的初等行变换与初等列变换, 统称为矩阵的初等变换.上述三种变换分别称为矩阵的第一类、第二类和第三类初等变换, 变换前后的矩阵之间用“→”连接, 所做变换写在“→”的上方或下方. 由于矩阵的初等变换改变了矩阵的元素, 因此初等变换前后的矩阵是不相等的, 不可用“=”连接. 矩阵的初等变换可以链锁式地反复进行, 以便达到简化矩阵的目的.例如, 对下列矩阵作初等行变换: 将第一、二行互换, 再将第二行乘以-3加到第三行, 即12323123231231231123123312312057r r r r ↔-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 定义 4.2 如果矩阵A 经过有限次初等变换变成矩阵B , 就称矩阵A 与矩阵B 等价, 记作A B .不难验证, 矩阵之间的等价具有下列性质: (1) 自反性 A A ；(2) 对称性 若A B , 则B A ； (3) 传递性 若A B , B C , 则A C .利用等价关系可以对矩阵分类, 将具有等价关系的矩阵作为一类. 我们可以利用矩阵的初等变换达到简化矩阵的目的. 例如,1231212111211214112142111246224231123697936979r r r A A ↔⨯---⎛⎫⎛⎫⎪⎪---⎪ ⎪=−−−→= ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭23314122311214022200553603343r r r r r r A ----⎛⎫⎪- ⎪−−−→= ⎪--- ⎪--⎝⎭232422533112140111000026013r r r r r A ÷+--⎛⎫ ⎪- ⎪−−−→= ⎪- ⎪-⎝⎭34434211214011100001300000r r r r A ↔--⎛⎫ ⎪- ⎪−−−→= ⎪- ⎪⎝⎭ 1223510104011030001300000r r r r A ---⎛⎫ ⎪- ⎪−−−→= ⎪- ⎪⎝⎭34412512343310014100000101301000001030010000000000c c c c c c c c c F ↔++--+-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪- ⎪ ⎪−−−→−−−−−→= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭形如4A 和5A 的矩阵都称为行阶梯形矩阵, 其满足下列条件：(1) 若有零行（元全为0的行）, 则零行位于非零行（元不全为0的行）的下方； (2) 每个非零行的首非零元(即第一个不为0的元素)所在的列号自上而下单调递增(即首非零元下的元素全为0).形如5A 的行阶梯形矩阵还称为行最简形矩阵, 其特点是：非零行的首非零元均为1, 且非零行的首非零元所在的列的其它元都为零.形如F 的矩阵称为矩阵A 的标准形, 其特点是：F 的左上角元1ii a =, 其余元均为0，1,2,,i r = . 用分块矩阵可将矩阵A 的标准形F 写成000rm nE F ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭, 其中r 表示行阶梯形矩阵中非零行的行数.定理4.1 任意非零矩阵A 一定可以经过初等行变换化为行阶梯形矩阵；进而化为行最简形矩阵.证 设非零矩阵()ij m n A a ⨯=, 分三种情形来讨论： (1) 若110a ≠, 则做初等变换1212111111,,m m a a r r r r a a -- , 把第1列的其它元素化为0, 变成形式111*0a A ⎛⎫⎪⎝⎭, 1A 为(1)(1)m n -⨯-矩阵；(2) 若110a =,但在第1列存在某元10i a ≠, 则作初等变换1i r r ↔, 可变为(1)的情形；(3) 若矩阵A 的前k 列元素全为0, 由于A 为非零矩阵, 一定存在1,0k j a +≠, 作变换11k r r +↔, 再按(1)和(2)进行变换为1,100*000k ja A +⎛⎫⎪⎝⎭, 1A 为(1)(1)m k n --⨯-矩阵. 对于矩阵1A 继续按上面方法进行处理, 最后即得行阶梯形矩阵. 推论1 任意非零矩阵A 经过初等行变换化成的行最简形矩阵是唯一的. 推论2 任意非零矩阵A 一定能经过初等变换化为标准形.例1 用初等变换化矩阵0241453170510230-⎛⎫⎪-- ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭为标准形. 解 1202414514502431731705100510230230r r ↔---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭313221513132425145100100024024020011220112201100510051005005100510050r r c c c c r r c c +--++---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−→−−−→−−−→--- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭54112322542212100100020010000000000000000000r r r r r r r +⨯+-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.二、初等矩阵上面我们学习了矩阵初等变换的定义, 并且掌握了“任何一个矩阵都可用初等行变换化为阶梯性矩阵和行最简形矩阵”的结论和方法, 本节通过引入初等矩阵的概念, 建立矩阵的初等变换与矩阵乘法之间的联系.定义4.3 由n 阶单位矩阵n E 经过一次初等变换得到的矩阵称为n 阶初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等矩阵.1. 对调单位阵E 的第j i ,两行(或两列), 得到的初等矩阵记为(,)n E i j ,也可简记为(,)E i j , 即11011(,)11011n i E i j j ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪←⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪←⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭(2) 用非零数k 乘以单位阵E 的第i 行（或第i 列）的元素得到的初等矩阵记为(())n E i k ；即1(())11n ki E i k ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪←= ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(3) 用数k 乘单位阵E 的第j 行加到第i 行上(或用数k 乘单位阵E 的第i 列加到第j列上)得到的初等矩阵, 记为(,())n E i j k , 即11(,())11n k i E i j k j ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪←⎪=⎪ ⎪← ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭例如下面三个矩阵10100100000100001A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭, 21000030000100001A ⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪⎪⎝⎭, 31000010020100001A ⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭都是初等矩阵. 与它们相对应的初等行变换分别是“互换第1、第2行”、“以3乘第2行”、“第1行乘2加到第3行”；相对应的初等列变换分别是“互换第1、第2列”、“以3乘第2列”、“第3列乘2加到第1列”. 易知初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵，且(,)(,),(())(()),(,())(,())T T T n n n n n n E i j E i j E i k E i k E i j k E j i k ===.定理4.2 (初等变换和初等矩阵的关系) 设A 是m n ⨯矩阵, 则对A 施行一次初等行变换, 相当于用一个m 阶的同类型初等矩阵(单位阵经相同初等变换而得到的初等矩阵)左乘矩阵A ；对A 施行一次初等列变换, 相当于用一个n 阶的同类型初等矩阵右乘矩阵A . 即()()()()()()()()()(),,,,i ji j i i i j j i r rm n m m n c cm n m n n r k m n m m nc km n m n n r krm n m m nc kcm n m n n A E i j A A A E i j A E k i A A A E k i A E i j k A A A E i j k ↔⨯⨯↔⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯−−−→−−−→−−−→−−−→−−−→−−−→证 读者可利用(分块)矩阵乘法验证, 详细过程从略.例如, 令111213212223a a a A a a a ⎛⎫=⎪⎝⎭, 111213212223221222311121301(1,2)10a a a a a a E A aa a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.1112131211133212223222123010(1,2)100001a a a a a a AE a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭. 111213111213221222321222310(2())0a a a a a a E k A a a a ka ka ka k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 1112131112133212223212223100(2())00001a a a a ka a AE k k a a a a ka a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭. 11121322122231(1,2())01a a a k E k A a a a ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112112221323212223a ka a ka a ka a a a +++⎛⎫=⎪⎝⎭. 111213321222310(1,2())010001k a a a AE k a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭1112111321222123a a ka a a a ka a +⎛⎫= ⎪+⎝⎭. 通过本节定理4.1及其推论2知, 对于任一m n ⨯矩阵A , 总可以经过初等行变换把它化为行阶梯形矩阵(或行最简形矩阵), 进而通过初等变换(行变换和列变换)把它化成标准形000rm nE F ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭, 其中r 表示行阶梯形矩阵中非零行的行数.由初等矩阵的性质, 利用定理4.2可以将本节的定理4.1及其推论2写成下述形式：定理 4.1' 对任一m n ⨯非零矩阵A , 一定存在有限个m 阶初等矩阵1P ,2P ,,s P , 使得1s P P A 为行阶梯形矩阵(或行最简形矩阵).推论2' 对任一m n ⨯非零矩阵A , 一定存在有限个m 阶初等矩阵1P ,2P ,,s P 和有限个n 阶初等矩阵1Q ,2Q , ,t Q , 使得11000rs t m nE P P AQ Q ⨯⎛⎫=⎪⎝⎭ . 其中r 表示行阶梯形矩阵中非零行的行数. 下面我们来证明本章定理2.1.例2 设,A B 为n 阶方阵，则AB A B =.证 先看一个特殊情形，即A 是一个对角矩阵的情形. 设12000000n d d A d ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭.令()ij B b =，容易算出111112112212222212n n n n n n n nn d b d b d b d b d b d b AB d b d b d b ⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭因此由行列式的性质得12||||||||n AB d d d B A B ==⋅ .现在看一般情形. 由定理4.1与推论2知，可以通过第三种初等变换把A 化成一个对角矩阵1A ，并且1||||A A =. 矩阵A 也可以反过来通过对1A 施行第三种初等变换而得出. 这就是说，存在(,())n E i j k 型矩阵1P ，2P ，…，s P ，使得111t t s A P PA P P +=于是111()()t t s AB P PA P P B += . 然而由行列式的性质知道，任意一个n 阶矩阵的行列式不因对它施行第三种行或列初等变换而有所改变. 换句话说，用一些(,())n E i j k 型的初等矩阵乘一个n 阶矩阵不改变这个矩阵的行列式. 因此，注意到1A 是一个对角矩阵，我们有11111111||||||||||||||||||t t s t s t s AB P PA P P B A P P B A P P B A B A B +++====⋅=⋅=⋅ .§5 逆矩阵数的乘法存在逆运算——除法, 当数0≠a 时，逆11-=a a满足11=-a a , 这使得一元线性方程b ax =的求解可简单得到：方程两边左乘1-a , 即11x x a b -⋅==. 那么, 在解矩阵方程b AX =(此处b 为列矩阵)时是否也存在类似的逆1A -使得b A X 1-=呢？这就是要研究的可逆矩阵问题.一、逆矩阵的定义定义5.1 对于n 阶方阵A , 若存在一个n 阶方阵B , 使E BA AB ==那么称矩阵A 可逆, 并称矩阵B 为矩阵A 的逆矩阵. 若矩阵A 可逆, 则A 的逆矩阵是唯一的.假设1B , 2B 均为可逆矩阵A 的逆矩阵, 由定义5.1有E A B AB ==11, E A B AB ==22,则 ()()22212111B EB B A B AB B E B B =====. 所以一个矩阵如果可逆, 那么它的逆矩阵是唯一的.将A 的逆矩阵记为1-A ，即若E BA AB ==，则1B A -=.注意, 在定义 5.1中A ,B 的地位是平等的, 因此B 也可逆, 且A B =-1(就是11()A A --=), 即A 与B 互为逆矩阵.例1 设12diag(,,,)n A λλλ= , 且120n λλλ≠ , 求1A -. 解 因为1212111diag(,,,)diag ,,,n n λλλλλλ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭1212111=diag ,,,diag(,,,)n n E λλλλλλ⎛⎫⋅=⎪⎝⎭, 所以111212111=[diag(,,,)]diag ,,,n n A λλλλλλ--⎛⎫= ⎪⎝⎭ .二、逆矩阵的计算什么样的矩阵才是可逆的呢？如果一个矩阵可逆, 又如何由它求到它的逆矩阵呢？下面将详细解答这一问题. 1. 利用伴随矩阵求逆矩阵 首先, 我们引入伴随矩阵的定义. 定义5.2 n 阶行列式A 中各元素ij a 的代数余子式ij A 所构成的如下的矩阵112111222212n n nnnn A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭称为矩阵A 的伴随矩阵，记作*A .定理5.1 矩阵A 的伴随矩阵*A 具有如下性质：(1) **||AA A A A E ==, (2) 当0A ≠时, 1*(1)n A An -=>.证 (1) 设*()ij AA b =, 则由行列式按一行(列)展开的公式, 有10,,,nij ik jk k i j b a A A i j=≠⎧=∑=⎨=⎩ (,1,2,)i j n =则 *||||||||A A AA A E A ⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭. 类似地,*1||||||||n ki kj k A A A A A a A E A =⎛⎫⎪⎪=∑== ⎪ ⎪⎝⎭. 因此, E A A A AA ==**.(2) 由性质(1)和方阵乘积的行列式性质, 可知**||||||||||n A A A A A ==,由于0A ≠, 故1*n A A-=.注意上述定理(2)中，当0A =时，*0A =.下面给出求逆矩阵的第一种方法——伴随矩阵法.定理5.2 n 阶方阵A 可逆的充分必要条件为||0A ≠, 且当A 可逆时，*11A AA =-. 证 必要性. 因A 可逆, 故存在1A -, 使得1A A E -=, 从而1|||A A -=1||AA -||1E ==, 所以||0A ≠. 充分性. 由定理5.1 (1)知, E A A A AA ==**, 因为||0A ≠, 有**11()()A A A A E A A==, 根据逆矩阵的定义, 即有,*11A AA =-. 推论1 若n 阶方阵A ,B 满足E AB =(或BA E =), 则A 与B 互逆，即1B A -=，1A B -=.证 因1===E B A AB , 于是0≠A 且0≠B , 所以A 与B 均可逆, 且1111()()B EB A A B A AB A E A ----=====.类似可得1A B -=.利用以上推论去判断一个矩阵是否可逆, 比用定义判断减少一半的工作量.定义 5.3 如果n 阶方阵A 的行列式0≠A , 则称A 是非奇异矩阵(或非退化矩阵), 否则称A 是奇异矩阵(或退化矩阵).定理 5.2指出, 可逆矩阵就是非奇异矩阵. 同时, 它也提供了一种求逆矩阵的方法——伴随矩阵求逆法.例2 求方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=3104252373A 的逆矩阵. 解 因为13104252373=-----=A , 所以A 可逆, 且。

分块矩阵在行列式计算中的应用一、分块矩阵的定义和性质分块矩阵是将一个矩阵按照行和列进行分块的一种表示方式。

假设有一个m×n的矩阵A可以被分成k行l列的分块矩阵，则可表示为：A=[A₁₁A₁₂…A₁lA₂₁…A₂l...Ak₁ Ak₂ … Akl]其中，每个Aij都是一个子矩阵。

分块矩阵有以下重要性质：1.行列式的乘积可以转化为分块矩阵的行列式之积。

例如，设有两个分块矩阵A和B，它们的行列式分别为，A，和，B，则有：AB，=，A，B2.分块矩阵可以简化行列式的计算。

将一个大矩阵按照一定规则分为几个子矩阵后，可以通过计算子矩阵的行列式来获得原矩阵的行列式，从而简化了计算过程。

1.初等行列变换2.求逆矩阵对于分块矩阵，其逆矩阵的计算也可以通过分块的方式进行。

设A为可逆矩阵，其分块矩阵表示为：A=[A₁₁A₁₂A₂₁A₂₂]若A₁₁为可逆矩阵，则其逆矩阵可以表示为：A^(-1)=[A₁₁^(-1)-A₁₁^(-1)A₁₂A₂₂^(-1)A₂₁^(-1)A₁₁^(-1)A₁₂A₂₂^(-1)A₂₂^(-1)]其中A₁₁^(-1)、A₂₂^(-1)和A₁₁^(-2)A₁₂A₂₂^(-1)都是子矩阵的逆矩阵。

3.计算特殊类型的行列式在计算特定类型的行列式时，分块矩阵的应用可以简化计算过程。

例如，计算拟对角行列式时，可以使用分块矩阵的方式将矩阵分解成多个对角块，然后分别计算每个对角块的行列式之积。

4.计算特定型的行列式分块矩阵的应用还可以用于计算特定型的行列式。

例如，计算置换矩阵的行列式时，可以将矩阵按行、列进行分块，然后计算每个子矩阵的行列式，最后通过乘法和加法运算得到最终的行列式。

以上仅是分块矩阵在行列式计算中的一些常见应用，实际上分块矩阵在线性代数的其他领域也有广泛的应用，如特征值和特征向量的计算、线性方程组的求解等。

熟练掌握分块矩阵的定义、性质和应用可以提高行列式计算的效率，并且对于理解线性代数中的其他概念和方法也具有重要意义。

行列式的计算方法1 引言行列式的计算是《线性代数》和《高等代数》的一个重要内容．同时也是工程应用中具有很高价值的数学工具，本文针对几种常见的类型给出了计算行列式的几种典型的方法．2 一般行列式的计算方法2.1 三角化法利用行列式的性质把原来的行列式化为上(下)三角行列式，那么，上(下)三角行列式的值就是对角线各项的积．例 1 计算行列式12311212332125113311231 ------=n n n n n nn n n n D对这个行列式的计算可以用三角化方法将第1行乘以(-1)加到第2,3,n 行，得0001002000200010001231 ---=n n n n D再将其第1,2,1, -n n 列通过相邻两列互换依次调为第n ,,2,1 列，则得102001321)1(2)1(--=-n n D n n=)!1()1(2)1(---n n n2.2 加边法有时为了便于计算行列式，特意把行列式加边升阶进行计算，这种方法称之为升阶法．它的一般方法是：nn n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a D 321333323122322211131211==nnn n n n na a ab a a a b a a a b 212222121121110001(n b b b ,,21任意数)例如下面的例题： 例2 计算行列式nn a a a a D ++++=11111111111111111111321现将行列式n D 加边升阶，得na a a D +++=111011101110111121第1行乘以(-1)加到第1,3,2+n 行，得na a a D10001001001111121----=第2列乘以11a 加到第1列，第3列乘以21a 加到第1列，依次下去直到第1+n 列乘以n a 1加到第1列，得)11(00011111121211∑∑==+=+=ni in nni ia a a a a a a a D2.3 降阶法利用按一行(列)展开定理或Laplace 展开定理将n 阶行列式降为阶较小且容易计算的行列式来计算行列式的方法称为降阶法． 例 3 计算nD 222232222222221=解 首先我们应考虑D 能不能化为上(下)三角形式,若将第一行乘以(-2)加到第n ,3,2 行，数字反而复杂了，要使行列式出现更多的“0”，将D 的第一行乘以(-1)加到第第n ,3,2 行，得2001010100012221-=n D这样仍然不是上（下）三角行列式，我们注意到，第二行除了第一项是1，后面的项全是0，这样我们按第二行展开，降阶得到：201222)1(21--=+n D)!2(2--=n2.4 对于所谓二条线的行列式，可直接展开降阶，再利用三角或次三角行列式的结果直接计算. 例4 计算行列式nnn n n a b b a b a b a D 112211--=解 按第1列展开，得11221111221)1(--+---+=n n n n nn n n b a b ab b a b a b a a Dn n n b b b a a a 21121)1(+-+=2.5 递推法通过降阶等途径，建立所求n 阶行列式n D 和比它低阶的但是结构相同的行列式之间的关系，并求得n D 的方法叫递推法．当n D 与1-n D 是同型的行列式，可考虑用递推法．例 5 计算n 级行列式 2112000002100012100012------=n D 对于形如这样的三角或次三角行列式，按第1行(列)或第n 行(列)展开得到两项的递推关系式，再利用变形递推的技巧求解．解 按第1行展开，得210120000012000011)1)(1(2211-------+=+-n n D D212---=n n D D 直接递推不易得到结果，变形得1221121232211=---=-==-=-=------D D D D D D D D n n n n n n于是 1)1(2)1(21121+=-+=-+==+=+=--n n n D D D D n n n例6 计算n 2级行列式nnn n n n nnn d c d c d c b a b a b a D 111111112----=对于形如这样的所谓两条线行列式,可直接展开得到递推公式． 解 按第1行展开，得)1(1111111121111111112nn n n n nn n n n n nn c d c d c b a b a b d c d c b a b a a D ----+-----+=1111111111111111---------=n n n n nn n n n n nn d c d c b a b a c b d c d c b a b a d a)1(2)(--=n n n n n D c b d a)1(22)(--=n n n n n n D c b d a D)2(21111))((-------=n n n n n n n n n D c b d a c b d a)())((11111111c b d a c b d a c b d a n n n n n n n n ---=----2.6 连加法 例 7 计算mx x x x m x x x x m x D n n n n ---=212121这种行列式的特点是：各行元素之和都相等.先把第2列到第n 列元素同时加到第1列，并提出公因式，得mx x x m x x x m x D n n n ni i n ---=∑=2221111)(然后将第1行乘以(-1)加到第n ,3,2行，得mm x x m x D n ni i n ---=∑=001)(21)()(11m x m ni i n --=∑=-2.7 乘积法根据拉普拉斯定理,所得行列式乘法运算规则如下：nnn nnn n n nn n n c c c c b b b b a a a a 111111111111=⋅ (其中tj ni it ij b a c ∑==1)两个行列式的乘积可以像矩阵的乘法一样来计算,假若两个行列式的阶数不同，只要把它们的阶数化为相同就可以应用上面的公式了．这种方法的关键是寻找有特殊结构的已知行列式去乘原行列式，从而简化原行列式的计算,这也是较为常用的方法．例 8 计算行列式 ab c db a dc cd a bd c b aD =解 取行列式 1111111111111111------=H显然 0≠H ,由行列式的乘法规则：=DH ⋅ab c d ba d c c d a bd c b a 1111111111111111------ H d c b a d c b a d c b a d c b a d c b a ))()()()((+---+--++--++++=等式两边消去,H 得=D ))()()()((d c b a d c b a d c b a d c b a d c b a +---+--++--++++2.8 对称法这是解决具有对称关系的数学问题的常用方法． 例 9 计算n 阶行列式βαβααββααββα++++=1010001000 n D解 按第1行展开，得21)(---+=n n n D D D αββα即 )(211----=-n n n n D D D D αβα由此递推，即得 nn n D D βα=--1因为n D 中αβ与对称，又有 nn n D D αβ=--1当 βα≠ 时，从上两式中消去1-n D ，得 11n n n D αβαβ++-=-当 βα= 时，1-+=n nn D D ββ)(21--++=n n n D ββββ 222-+=n n D ββ11)1(D n n n-+-=ββ )()1(1βαββ++-=-n n nnn β)1(+= 2.9 数学归纳法当n D 与1-n D 是同型的行列式，可考虑用数学归纳法． 例 10 计算n 级行列式ααααcos 2100cos 210001cos 210001cos =n D解 当2=n 时，ααcos 211cos 2=D αα2cos 1cos 22=-=结论成立，假设对级数小于n 的行列式结论成立，则n D 按第n 行展开，得21cos 2---=n n n D D D α由假设αααααααsin )1sin(cos )1cos(])1cos[()2cos(2-+-=--=-=-n n n n D n代入前一式，得]sin )1sin(cos )1[cos()1cos(cos 2αααααα-+---=n n n D nαααααn n n cos sin )1sin(cos )1cos(=---=故对一切自然数n ，结论成立．2.10 拆项法这是计算行列式常用的方法．一般地，当行列式的一列(行)或一列(行)以上的元素能有规律地表示为两项或多项和的形式，就可以考虑用拆为和的方法来进行计算．例 11 在平面上，以点),(),(),(233332332232222221311211x x x x M x x x x M x x x x M ------，，为顶点的三角形面积D S =，其中11121323233322222321212131x x x x x x x x x x x x D ------= )1()1()1()1()1()1(11121323222121332211------=x x x x x x x x x x x x )1()1()1()1()1()1()1()1()1(21323222121332211332211------+--+--+--=x x x x x x x x x x x x x x x x x x解 第1行拆为)1()1()1(11111121111)1)(1)(1(21332211321321232221321321------+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x D32112132332121))()()(1)(1)(1(21x x x x x x x x x x x x +-------=232221321111x x x x x x )]1)(1)(1([))()((21321321121323----⋅---=x x x x x x x x x x x x 3 分块矩阵行列式的计算方法我们学习了矩阵的分块，知道一个矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡B A 00通过分块若能转化成对角矩阵或上（下）三角矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡B C A 0，那么行列式B A B C A B A ⋅==000，其中B A ，分别是r s ，阶可逆矩阵，C 是s r ⨯阶矩阵，0是n s ⨯阶矩阵．可以看出，这样可以把r s +阶行列式的计算问题通过矩阵分块转化为较低阶的s 阶和r 阶行列式计算问题，下面先根据上面的途径给出计算公式．设矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=B C D A b b c c b b c c d d a a d d a a G rr r rsr r s sr s ss s r s 1111111111111111其中B A ，分别是s 阶和r 阶的可逆矩阵，C 是s r ⨯阶矩阵，D 是r s ⨯阶矩阵，则有下面公式成立． C DB A B BCD A G 1--⋅==或C DA B A BCD A G 1--⋅==下面推导公式，事实上，当0≠A 时，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡---D BCA D A B C D A E CA E 1100 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡---B C C DB A B C D A E DB E 0011 上面两式两边同取行列式即可得出上面的公式．例 12 计算 8710650143102101=D这道题的常规解法是将其化为上三角行列式进行计算，若用前面介绍的公式则可以直接得出结果．令 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=8765B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001C ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321D 则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001'A ，由公式(1) 知原行列式D CA B A BCD A 1--⋅==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=43211001100187651001 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=432187651 4444==0这个题还有个特点，那就是C A =，如果我们把公式变形，即D CA B A BCD A 1--⋅=D ACA AB D CA B A 11)(---=-=当C A =时，D ACA AB 1--CD AB D CAA AB -=-=-1，所以当C A =时，我们有CD AB BCD A -=，这样例题就可以直接写出答案了．参考文献:[1] 北京大学数学系，高等代数[M] (第三版)．北京：高等教育出版社，2003，9．[2] 张禾瑞，高等代数[M] (第四版)．北京：高等教育出版社，1997．[3] 丘维生，高等代数[M]．北京:高等教育出版社，1996，12．[4] 杨子胥，高等代数[M]．山东：山东科学技术出版社，2001，9．[5] 王萼芳，高等代数题解[M]．北京：北京大学出版社，1983，10．[6] Gelfand I M, Kapranov M M and Celvinskij A V. Discriminaants, redultants,and multidimensional determinants[M].Mathematics: Theory&Applications,Birkhauser Verlag,1994.[7] 徐仲，陆全等．高等代数导教·导学·导考.西安:：西北工业大学出版社,2004．[8] 陈黎钦．福建：福建商业高等专科学校学报，2007年2月第1期．11。

线性代数与空间解析几何电子教案网络版第二章矩阵运算和行列式§2.1矩阵及其运算§2.2方阵的行列式§2.3行列式的性质及计算§2.4 逆矩阵§2.5矩阵的分块运算说明: 由于PowerPoint软件版本差异, 在您的电脑上浏览本电子课件可能有些内容出现会出现异常.——课件作者：张小向第二章矩阵运算和行列式§2.1 矩阵及其运算一. 矩阵与向量1. m n矩阵元素: aij (i= 1, ..., m, j= 1, ..., n) a11a12 (1)a21a22 (2)… … … …a m1a m2… a mn注: 元素都是实(复)数的矩阵称为实(复)矩阵.今后除非特别说明, 我们所考虑的矩阵都是实矩阵.例1. 某厂家向三个代理商发送四种产品. 南京苏州常州啤酒(瓶装)2016200180190啤酒(易拉罐)5020100120100干啤3016150160140生啤2516180150150重量(Kg/箱)单价(元/箱)数量(箱)A =20 50 30 2516 20 16 16B =200 180 190100 120 100150 160 140180 150 150例2. 四个城市间的单向航线如图所示. 若a ij 表示从i 市到j 市航线的条数, 则右图可用矩阵表示为1 42 3A = (a ij ) =0 1 1 11 0 0 00 1 0 01 0 1 0例3. 直线的一般方程A 1x +B 1y +C 1z +D 1= 0A 2x +B 2y +C 2z +D 2= 0A 1B 1C 1A 2B 2C 2系数矩阵3. 向量n维行向量: 1⨯n矩阵[a1, a2, …, a n]n维列向量: n⨯1矩阵a1 a2…a n第i分量: ai (i= 1, …, n)n阶方阵: n⨯n矩阵2. 方阵4. 两个矩阵的行数相等, 列数也相等时, 称它们是同型矩阵.5. 若两个同型矩阵A = [a ij]m⨯n与B = [b ij]m⨯n满足: 对于任意的1≤i≤m, 1≤j≤n,a ij=b ij都成立, 则称这两个矩阵相等, 记为A= B.二. 矩阵的线性运算1. 加法]m⨯n与B = [b ij]m⨯n的两个同型矩阵A = [aij和C定义为: C= [c]m⨯n= [a ij+b ij]m⨯n.ij注: ①若矩阵A= (a)m⨯n的元素都是零, 则称之ij.为零矩阵, 记为Om⨯n在不引起混淆的情况下, 简记为O.)m⨯n, 记-A= (-a ij)m⨯n , 称②设矩阵A= (aij之为A的负矩阵.③设A, B是同型矩阵, 则它们的差定义为A+ (-B). 记为A-B.即A-B= A+ (-B).2. 数乘设矩阵A = (a ij )m ⨯n , 数k 与A 的乘积定义为(k a ij )m ⨯n ,记为k A 或A k .注: 矩阵加法和数乘运算统称为矩阵的线性运算.即k A = A k =k a 11k a 12… k a 1n k a 21k a 22… k a 2n … … … …k a m 1k a m 2… k a mn3. 性质定理2.1设A, B, C, O是同型矩阵, k, l是数, 则(1) A+ B= B+ A,(2) (A+ B) + C= A+ (B+ C),(3) A+ O= A,(4) A+ ( A) = O,(5) 1A= A,(6) k(lA) = (kl)A,(7) (k + l)A= kA+ lA,(8) k(A+ B) = kA+ kB.三. 矩阵与矩阵相乘例4. 某厂家向三个代理商发送四种产品.南京苏州常州啤酒(瓶装)2016200180190啤酒(易拉罐)5020100120100干啤3016150160140生啤251618015015018000181501675010480102409680数量(箱)总价(元)总重(Kg)重量(Kg/箱)单价(元/箱)A =20 50 30 2516 20 16 16B =200 180 190100 120 100150 160 140例5. 四个城市间的单向航线如图所示. 若a ij 表示从i 市直达j 市航线的条数, 则右图可用矩阵表示为1423A = (a ij ) =0 1 1 11 0 0 00 1 0 01 0 1 0若b ij 表示从i 市经另外一个城市到j 市航线的条数, 则由右图可得矩阵B = (b ij ) = 2 1 1 00 1 1 11 0 0 00 2 1 11234i j1. 设A = (a ij )m ⨯s ,B =(b ij )s ⨯n , 则A 与B 的乘积是一个m ⨯n 矩阵C = (c ij )m ⨯n , 其中c ij = a i 1b 1j + a i 2b 2j +…+ a i s b s j = ∑a i k b k j . k =1s记为C = AB . 称AB 为“以A 左乘B ” 或“以B 右乘A ”.a 11b 11+a 12b 21+a 13b 31a 11b 12+a 12b 22+a 13b 32a 21b 11+a 22b 21+a 23b 31a 21b 12+a 22b 22+a 23b 32=a 11a 12a 13a 21a 22a 23b 11b 12b 21b 22b 31b 32如2. 矩阵乘积的特殊性(1)只有当矩阵A的列数等于矩阵B的行数时,乘积AB才有意义.(2)若A是一个m⨯n矩阵, 与B是一个n⨯m矩阵,则AB和BA都有意义. 但AB是一个m阶方阵, BA是一个n阶方阵. 当m ≠n时, AB 与BA谈不上相等不相等.即使m= n, AB与BA是同阶方阵也未必相.例如:1 1 -2-2 -2 4 1 2-1 00 11 1 -2-2 -2 4 1 2-1 00 1=0 00 0-3 -3 6-1 -1 2-2 -2 4=1 -1-2 21 21 2=0 00 01 -1-2 21 21 2=-33-33定理2.2设k 是数, 矩阵A , B , C 使以下各式中一端有意义, 则另一端也有意义并且等式成立(1) (AB )C = A (BC ),(2) A (B +C ) = AB + AC ,(A +B )C = AC +BC ,(3) (kA )B = k (AB ).对于(1)的证明, 我们先来看一个具体的例子:a 11a 12a 13a 21a 22a 23如A = ,b 11b 12b 21b 22b b B = ,c 11c 12c 21c 22C =.a11b11+a12b21+a13b31a11b12+a12b22+a13b32a21b11+a22b21+a23b31a21b12+a22b22+a23b32 AB=BC=b11c11+b12c21b11c12+b12c22 b21c11+b22c21b21c12+b22c22 b31c11+b32c21b31c12+b32c22a11a12a13a21a22a23A= ,b11b12b21b22b bB= ,c11c12c21c22C=.我们比较(AB)C和A(BC)的“规格”以及它们的第一行第一列处的元素.一般地, 设A = [a ij ]m ⨯k , B = [b ij ]k ⨯s , C = [c ij ]s ⨯n , AB = U = [u ij ]m ⨯s , BC = V = [v ij ]k ⨯n ,则(AB )C = UC 与A (BC ) = AV 都是m ⨯n 矩阵, 且(AB )C = UC 的(i , j )元素是它恰好是A (BC ) = AV 的(i , j )元素.可见(AB )C = A (BC ). ∑u iq c qj q =1s = ∑[(∑a ip b pq )c qj ] q =1s p =1k = ∑(∑a ip b pq c qj ) q =1s p =1k = ∑(∑a ip b pq c qj ) q =1s p =1k = ∑[a ip (∑b pq c qj )] q =1s p =1k = ∑a ip v pj p =1k结合律的妙用之一设A = BC , 其中B = , C = [1 2 3],1231 2 32 4 6 ,3 6 9则A = 我们可以定义A 的正整数幂(还有“妙用之二”喔~~~!)A 1= A , A 2= AA , …, A k +1= A k A ,对于这里的A , A 2005= ?当然, 对于任意方阵A , 都可以像上面这样去定义A 的正整数幂. 而且有如下结论A k A l= A k+l, (A k)l= A kl(AB)k= A k B k但即使A与B是同阶方阵,也未必成立!注: 不能说“因为AB= BA未必成立, 所以(AB)k= A k B k 未必成立”.例如A= 0 10 0,B=1 00 0,AB=0 00 0,BA=0 10 0,AB BA, 但(AB)k= A k B k成立.(AB)k= A k B k要说明即使A与B是同阶方阵,也未必成立, 只要举出一个反例即可.例如A=1 10 0,B=1 01 0,AB=2 00 0,A2= 1 10 0= A,当然这里AB BA B2=1 01 0=B,(AB)2= 4 00 0,A2B2= AB=2 00 0, =1 11 1.补充.数学归纳法1.第一数学归纳法原理:设P是一个关于自然数n的命题, 若成立.①P对于n= n②当n≥n时,由“n= k时P成立”可推出“n= k+1时P成立”,成立.则P对于任意的自然数n≥n2.第二数学归纳法原理:设P为一个关于自然数n的命题, 若成立,①P对于n= n②由“n≤n≤k时P成立”可推出“n= k+1时P成立”,则P对于任意的自然数n≥n成立.例6. 设A = cos θ-sin θsin θcos θ, .求证A n = cos n θ-sin n θsin n θcos n θ证明: 当n = 1时, 结论显然成立.假设结论对于n = k 成立, 即.cos k θ-sin k θsin k θcos k θA k =cos θ-sin θsin θcos θ则A k +1= A k Acos k θ-sin k θsin k θcos k θ=cos θ-sin θsin θcos θA k +1= A k A cos k θ-sin k θsin k θcos k θ=因此对于任意正整数n ,cos k θcos θ-sin k θsin θ-cos k θcos θ-sin k θcos θsin k θcos θ+cos k θsin θ-sin k θsin θ+cos k θcos θ=cos(k +1)θ-sin(k +1)θsin(k +1)θcos(k +1)θ=cos n θ-sin n θsin n θcos n θA n = 成立.四. 矩阵的转置1. 设矩阵A= a11a12 (1)a21a22 (2)… … … …a m1a m2… a mn,A T= a11a21… a m1a12a22… a m2… … … …a1n a2n… a mn为A的转置.则称矩阵定理2.3 矩阵的转置运算满足如下性质(1) (A T )T = A ,(2) (A +B )T = A T + B T ,(3) (kA )T = kA T ,(4) (AB )T = B T A T .五. 几种特殊的矩阵1. 对称矩阵若矩阵A 满足A T = A , 则称A 为对称矩阵.矩阵A = [a ij ]m n 为对称矩阵的充分必要条件是: m = n 且a ij = a ji (i , j = 1, 2, …, n ).2. 对角矩阵方阵A = [a ij ]n ⨯n 的a 11, a 22, …, a nn 称为对角线元素.若方阵A = [a ij ]n ⨯n 除了对角线元素(可能不是0)以外, 其它元素都是0, 则称A 为对角矩阵.对角线元素依次为λ1, λ2, …, λn 的对角矩阵Λ有时也记为Λ= diag[λ1, λ2, …, λn ], 即Λ= diag[λ1, λ2, ..., λn ]=λ10 00 λ2… 0✩✩ ✩0 0 … λ.3. 数量矩阵若对角矩阵A = [a ij ]n ⨯n 的对角线元素为同一个数, 则称A 为数量矩阵(纯量矩阵).可以证明方阵A = [a ij ]n ⨯n 为数量矩阵的充分必要条件是对于任意n 阶矩阵B , AB = BA .4. 单位矩阵称为n 阶单位矩阵. I n = 1 0 00 1 … 0… … …0 0 … 1n ⨯n注: ①对于n阶方阵A 可以证明下列条件等价:(i) A为单位矩阵;(ii) 对于任意n⨯m矩阵B, AB= B.(iii)对于任意m⨯n矩阵C, CA= C.②有时我们也把n阶单位矩阵In简记为I.有的书上用En表示n阶单位矩阵, 简记为E.③利用克罗内克(Kronecker)记号δij =1, i= j0, i≠jn阶单位矩阵I也可以表示为[δ].六. 方阵的多项式设A 为一个方阵, f (x )为一个多项式称之为方阵A 的一个多项式. f (x ) = a s x s + a s -1x s -1+ … + a 1x + a 0规定f (A ) = a s A s + a s -1A s -1+ … + a 1A + a 0I5. 反对称矩阵若矩阵A 满足A T = -A , 则称A 为反对称矩阵. 可以证明任何一个方阵都可以写成一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和.§2.2 方阵的行列式一. 二元线性方程组与二阶行列式(a11a22-a12a21)x1= b1a22-a12b2(a11a22-a12a21)x2= a11b2-b1a21⇒当a11a22-a12a21≠0时,a11x1+ a12x2= b1a21x1+ a22x2= b2x1=b1a22-a12b2a11a22-a12a21,x2=a11a22-a12a21a11b2-b1a21.a 11 a 12 a 21a 22记D =,b 1a 12 b 2a 22D 1=,a 11 b 1a 21b 2D 2=,则当D = a 11a 22-a 12a 21≠0时,,=D 1D =D 2D .a 11x 1+ a 12x 2= b 1a 21x 1+ a 22x 2= b 2x 1=b 1a 22-a 12b 2a 11a 22-a 12a 21有唯一确定的解x 2=a 11a 22-a 12a 21a 11b 2-b 1a 21问题: ①能用对角线法则定义四阶行列式吗?②用对角线法则定义的“四阶行列式”有1 1 0 01 2 0 00 0 1-10 0 1 2仿照三阶行列式的对角线法则可得= 1⨯2⨯1⨯2 -1⨯1⨯(-1)⨯1= 4+1 = 5.3 1 0 05 2 0 000 1-1 30 1 2= 3⨯2⨯1⨯2 -1⨯5⨯(-1)⨯1 = 12+5 = 17.但方程组⎧⎨⎩x 1+ x 2= 3x 1+ 2x 2= 5x 3-x 4= 0x 3+ 2x 4= 3有唯一解⎧⎨⎩x 1= 1x 2= 2x 3= 1x 4= 1≠175二. 排列的逆序数与奇偶性1.全排列把n个不同的元素排成一列全排列, 叫做这n个元素的全排列(简称排列).n个不同元素的所有排列的种数通常用P n表示.例如, 用1,2,3三个数字可以组成如下6个没有重复的三位数:123, 132, 213, 231, 312, 321= n! = n⨯(n-1)⨯…⨯2⨯1.一般地, Pn2. 逆序数对于n 个不同的元素, 先规定各元素之间的一个标准次序(如n 个不同的自然数, 可规定由小到大的次序为标准次序),一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数.逆序数为奇(偶)数的排列称为奇(偶)排列.于是在这n 个元素的任意一个排列中, 当某两个元素的先后次序与标准次序不同时, 就说有一个逆序.例1. 求下列排列的逆序数(1) 32514,(2) (2n )(2n -2)…4213…(2n -3)(2n -1).3. 对换在排列中, 将任意两个元素对调, 其余的元素不动, 称为对换. 将相邻的两个元素对调, 称为邻对换.注: ①任一邻对换都改变排列的奇偶性.②任一对换都可通过奇数次邻对换来实现.☺☹ ☹☺ 定理 2.4. 每一个对换都改变排列的奇偶性. ☺ ☹ ☹ ☺ ☺ ☹ 1 ☺ ☹ 2 ☺ ☹ 3 ☺☹ 4 ☹☺ 5 ☹ ☺ 6 ☹ ☺ 7 ☹ ☺ 89☺ ☹  ☺ ☹ 1 ☺ ☹ 2 ☺☹ 3 ☹☺ 4 ☹ ☺ 5 ☹ ☺ 6 ☹ ☺ 7推论. n 2时, n 个元素的所有排列中, 奇、偶排列各占一半, 即各有n !/2个.三. n 阶行列式的定义1.三阶行列式的特点每一项都是三个元素的乘积. a 11 a 12a 13 a 21a 22 a 23a 31 a 32 a 33= a 11a 22a 33+ a 12a 23a 31+ a 13a 21a 32-a 11a 23a 32-a 12a 21a 33-a 13a 22a 31.每一项的三个元素都位于不同的行和列.行列式的6项恰好对应于1, 2, 3的6种排列. 各项系数与对应的列指标的排列的奇偶性∑-=321321321321)()1( j j jjjjjj jN aaaa11 a12a13a21a22 a23a31 a32 a33j1j2j3的逆序数对所有不同的三级排列j1j2j3求和∑-=21212121)()1( j jjjj jN aaa11 a12 a21a222. n 阶行列式的定义a 11 a 12… a 1n a 21a 22 … a 2n … … … …a n 1 a n 2 … a nn∑-=n nnj jjnj j j j j j N a a a 21212121)()1(注: ①当n = 1时, 一阶行列式|a 11| = a 11, 这与绝对值符号的意义是不一样的.②设A = [a ij ]为n 阶方阵, A 的行列式记为|A |,或det A .3. 几个特殊的行列式λ10 ... 00λ2 0… … … …0 0 … λn0 … 0 λ10 … λ20… … … …λn … 0 0= λ1λ2…λn , λ1λ2…λn .2)1()1(--=n n (1) 对角行列式(2)上(下)三角形行列式a 11 a 12… a 1n 0a 22 … a 2n… … … …00… a nna 11 0 ... 0a 21a 22 0… … … …= a 11 a 22…a nn .= a 11 a 22…a nn .事实上, 只有p i i (i = 1,2,…n )时, nnp p p a a a 2121才有可能不为0.若有某个p k > k , 则必然有若有某个p l < l ,否则1+2+…+n = p 1+p 2+…+p n >1+2+…+n , 矛盾!例2. 设A = [a ij ]n ×n , 证明f (λ) = |λI －A |是λ的n 次多项式, 并求λn , λn －1的系数及常数项.λ-a 11 -a 12… -a 1n -a 21λ-a 22 … -a 2n… … … …-a n 1 -a n 2 … λ-a nnf (λ) = |λI －A | =d 1= (λ-a 11)(λ-a 22)…(λ-a nn )f (0) = |－A | = (－1)n |A |.+-=-=∑11)(n ni ii na λλA 的迹, 记为tr A4.n 阶行列式的另外一种定义a 11 a 12… a 1n a 21a 22 … a 2n … … … …a n 1 a n 2 … a nn∑-=nnn j j j nj j j j j j N a a a 21212121)()1(∑-=nn n i i i ni i i i i i N a a a 21212121)()1(§2.3 行列式的性质及计算一. 行列式的性质性质1. D T = D .记D =行列式D T 称为D 的转置. 记bij= a ji , 则D Ta 11 a 12… a 1n a 21a 22 … a 2n… … … …a n 1 a n 2 … a nna 11a 21… a n 1a 12a 22… a n 2… … … …a 1n a 2n … a nn, D T=∑-=n p p p p p p N n n b b b 21)(2121)1(.)1(212121)(D a a a n n np p p p p p N =-=∑性质2. 互换行列式中的两行(列), 行列式变号.证明: 记互换行列式D 中的第k , l 行得到的行列式为D 1.∑-=n l k n l k np lp kp p p p p p N b b b b D 111)(1)1(∑-=n l k n l k np kp lp p p p p p N a a a a 111)()1(∑-=n k l n l k np lp kp p p p p p N a a a a 111)()1(∑+-=n k l n k l np lp kp p p p p p N a a a a 1111)()1(∑--=nk l n k l np lp kp p p p p p N a a a a 111)()1(= -D .注: 互换第k , l 行记为r k ↔r l ,互换第k , l 列记为c k ↔c l .推论. 如果行列式D 中有两行(列)完全相同,那么D = 0.性质3. 行列式的某一行(列)的公因子可以提到行列式记号外.事实上, 若行列式D 中有两行完全相同, 交换这两行, 得D = -D . 因此D = 0.对于有两列完全相同的情形, 可类似地证明.a 11 a 12… a 1n k a 21k a 22 … k a 2n… … … …a n 1 a n 2 … a nn例如∑-=n n np p p p p p p t a a ka a 32121321)()()1(∑-=nn np p p p p p t a a a k 212121)()1(a 11 a 12… a 1n a 21a 22 … a 2n … … … …a n 1 a n 2 … a nn=k .性质4. 若行列式D 中有两行(列)元素成比例,则D = 0.a 11a 12… a 1n k a 11k a 12… k a 1n … … … …a n 1 a n 2 … a nn 例如a 11a 12… a 1n a 11a 12… a 1n… … … …a n 1 a n 2 … a nn=k= 0.性质5. 行列式可按某一行(列)拆成两个行列式之和. 如|A 1, …, A s +B s , …, A n |= |A 1, …, A s , …, A n | + |A 1, …, B s , …, A n |.例1.a 11 a 12a 13 a 14a 21 a 22a 23 a 240 0a 33 0a 41 a 42a 43 a 44+a 11 a 12a 13 a 14a 21a 22a 23 a 24a 31a 32a 33a 34a 41 a 42a 43 a 44D =a 11 a 12a 13 a 14a 21 a 22a 23 a 240 a 3200a 41 a 42a 43 a 44+a 11 a 12a 13 a 14a 21 a 22a 23 a 24a 31000a 41 a 42a 43 a 44=a 11 a 12a 13 a 14a 21 a 22a 23 a 240 00a 34a 41 a 42a 43 a 44+a 11 a 12a 13 a 14a 21 a 22a 23 a 24a 310 00a 41 a 42a 43 a 44=a 11 a 12a 13 a 14a 21 a 22a 23 a 240a 32a 33a 34a 41 a 42a 43 a 44+。