第1章 《常用逻辑用语-1.2》 教学案

所以1
������
<
1������⇔xy>0,
即1
������
<
1的充要条件是
������
xy>0.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟充要条件的证明方法 (1)定义法:分别证明充分性和必要性两个方面.在解题时要避免 出现把充分性当必要性来证明的错误,这就需要先分清条件与结论, 若从条件推出结论,就是充分性;若从结论推出条件,就是必要性. (2)等价法:就是从条件开始,逐步推出结论,或者从结论开始,逐步 推出条件,但是每一步都是可逆的,即反过来也能推出,故必要性(或 者充分性)也可以不再重复证明,仅作为说明即可.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
思维点拨:判断p是q的什么条件,主要判断p⇒q及q⇒p两命题的真
假,若p⇒q为真,则p是q的充分条件;若q⇒p为真,则p是q的必要条件;
若p⇔q,则p是q的充要条件.
解:(1)因为p⇒q,q p,
所以p是q的充分不必要条件.
(2)因为p⇒q,q p,
所以p是q的充分不必要条件.
因为 x>y,所以 y-x<0,所以 xy>0.
所以1
������
<
1的充要条件是
������
xy>0.
方法二
1 ������
<
1 ������
⇔
1 ������
−
1������<0⇔������������-������������<0.
由条件 x>y⇔y-x<0,故由������������-������������<0⇔xy>0.

第2课时量词[课程目标] 1.通过生活和教学中的实例，理解全称量词和存在量词；2.理解全称量词命题和存在量词命题；3.能判定全称量词命题和存在量词命题的真假.知识点一全称量词与全称量词命题[填一填](1)全称量词的定义一般地，短语“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词．(2)常见的全称量词“所有”“一切”“每一个”“任意一个”等，均表示所述事物的全体．(3)全称量词的记法全称量词用符号“∀”表示．(4)全称量词命题的定义含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．也可以理解为陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题．(5)全称量词命题的形式一般地，设r(x)是某集合M的所有元素都具有的性质，那么全称量词命题就是形如“对集合M中的所有元素x，r(x)”的命题．用符号简记为∀x∈M，r(x)．[答一答]1．怎样判断一个全称量词命题的真假？提示：要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素x验证p(x)成立，一般用代数推理给出证明．要判断一个全称量词命题是假命题，只需举出一个反例(满足命题的条件，但不满足命题结论的例子)．例如：命题p：∀x∈R，x2－4x≥0；当x＝1时，x2－4x＝－3，－3<0，故命题p为假命题．知识点二存在量词与存在量词命题[填一填](1)存在量词的定义短语“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词．(2)常见的存在量词常见的存在量词有“有一个”“有些”“至少有一个”“存在一个”“对某个”“有的”等．(3)存在量词的记法存在量词通常用符号“∃”表示．(4)存在量词命题的定义含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．也可理解为陈述在某集合中有(存在)一些元素具有某性质的命题．(5)存在量词命题的形式一般地，设s(x)是某集合M的有些元素x具有的某种性质，那么存在量词命题就是形如“存在集合M中的元素x，s(x)”的命题，用符号简记为∃x∈M，s(x)．[答一答]2．怎样判断一个存在量词命题的真假？提示：要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x＝x0使q(x0)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题．类型一全称量词命题和存在量词命题的判断[例1] 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出全称量词或存在量词．(1)所有同学都顺利通过了考试；(2)圆周上任意一点到圆心的距离都等于圆的半径；(3)有的整数是奇数；(4)至少有一个三角形没有外接圆．[解](1)全称量词命题，“所有”；(2)全称量词命题，“任意”；(3)存在量词命题，“有的”；(4)存在量词命题，“至少有一个”．判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词是全称量词还是存在量词.[变式训练1] 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题．(1)至少有一个素数不是奇数；(2)实数的绝对值是正数．解：命题(1)中含存在量词“至少有一个”，因而是存在量词命题；命题(2)中省略了全称量词“所有”，实际上是“所有实数的绝对值都是正数”，故是全称量词命题．类型二全称量词命题的真假判断[例2] 判断下列全称量词命题的真假．(1)∀x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；(2)∀x∈Z，都有x∈Q；(3)∀x∈R，x2＋2>0；(4)∀x∈N，x4≥1.[解](1)假命题．因为x＝2是无理数，但x2＝2不是无理数，所以其为假命题．(2)真命题．由有理数包括整数和分数，知命题为真命题．(3)真命题．对∀x∈R，有x2≥0，所以x2＋2≥2>0.(4)假命题．由于x＝0∈N时，x4≥1不成立，所以“∀x∈N，x4≥1”为假命题．要判断一个全称量词命题“∀x∈M，p x”是真命题，需要对限定集合中的每一个元素x证明p x成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p x0不成立，那么这个全称量词命题就是假命题.所以，全称量词命题以反例否定.[变式训练2] 用全称量词把下列语句写成全称量词命题，并判断真假．(1)偶数是合数；(2)三角形有外接圆；(3)非负实数有两个偶次方根．解：(1)所有的偶数都是合数．偶数都能被2整除，2是偶数，但不是合数，是假命题．(2)任意三角形都有外接圆．真命题．(3)所有的非负实数都有两个偶次方根，假命题．类型三存在量词命题的真假判断[例3] 判断下列存在量词命题的真假：(1)∃x∈R，x2＋2x＋3＝0；(2)存在两个相似三角形面积相等；(3)有些整数只有两个正因数．[解](1)由于∀x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此，使x2＋2x＋3＝0的实根x 不存在，所以该命题为假命题．(2)全等三角形一定相似，面积肯定相等，所以是真命题．(3)由于存在整数3，只有两个正因数1和3，所以该命题为真命题．对于存在量词命题的真假判定，要证明其为真命题只要找到一个限定集合中的x0，使q x0成立即可.欲证其假，可结合全称量词命题，利用它们之间互为正反面的关系来说明.[变式训练3] 用存在量词将下列语句写成存在量词命题，并判断真假：(1)素数也可以是偶数；(2)不是每一个四边形都有外接圆．解：(1)存在一个素数是偶数.2既是素数又是偶数，真命题．(2)有的四边形没有外接圆．真命题．1．“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”是( A )A．全称量词命题B．存在量词命题C．不是命题D．假命题解析：题目条件中含有“任意”的意思，所以是全称量词命题．2．在下列存在量词命题中假命题的个数是( A )①有的实数是无限不循环小数；②有些三角形不是等腰三角形；③有的菱形是正方形．A．0 B．1C．2 D．3解析：因为三个命题都是真命题，所以假命题的个数为0.3．给出下列四个命题：①有理数是实数；②有些平行四边形不是菱形；③对任意x∈R，x2－2>0；④有一个素数含有三个正因数．以上命题为真命题的序号是①②.解析：∵当x＝0时，x2－2＝－2<0，∴③是假命题．∵任何素数只有1和它本身是它的正因数，∴④是假命题．4．判断下列语句是全称量词命题还是存在量词命题，并用“∀”或“∃”符号表示．(1)对任意实数x，x2＋2x＋5>0；(2)存在整数x，x2＋1＝0；(3)至少有一个整数，既是3的倍数，又是5的倍数；(4)负数的平方是正数．解：(1)全称量词命题，表示为∀x∈R，x2＋2x＋5>0.(2)存在量词命题，表示为∃x∈Z，x2＋1＝0.(3)存在量词命题，表示为∃x∈Z，x既是3的倍数，又是5的倍数．(4)全称量词命题，表示为∀x<0，x2>0.。

解析:(2)由a⊂α,b⊂β,因此当直线a,b相交时,平面α,β一定相交,但平面α,β 相交时,直线a,b可以异面.故“直线a和b相交”是“平面α和β相交”的充分不 必要条件.故选A.
(3)解不等式x2-3x<0得0<x<3,由题意逐一对比选项,易知A正确.
方法技巧 充分、必要、充要条件的判断方法 若p⇒q,q p,则p是q的充分不必要条件;
(2)若p是q的必要不充分条件,求a的取值范围.
规范解答:(2)设 p 对应的集合为 A={x|1≤x≤4}. 由 x2-(a+2)x+2a≤0,得(x-2)(x-a)≤0, 当 a=2 时,解得 x=2,对应的解集为 B={2}, 当 a>2 时,解得 2≤x≤a,对应的解集为 B={x|2≤x≤a}, 当 a<2 时,解得 a≤x≤2,对应的解集为 B={x|a≤x≤2}, 若 p 是 q 的必要不充分条件,则 B A, 当 a=2 时,满足条件. 当 a>2 时,因为 A={x|1≤x≤4},B={x|2≤x≤a}, 要使 B A,则满足 2<a≤4, 当 a<2 时,因为 A={x|1≤x≤4},B={x|a≤x≤2}, 要使 B A,则满足 1≤a<2, 综上:1≤a≤4.
说,由p可推出q,记作 并且说p是q的
条件,q,是pp的⇒q
条件.
(2)“若p,则q”为充假分命题,那么由p推不出必q要,记作
,这时,我们就说p不是q
的
条件,q不是p的
条件.
p q
充分
必要
知识点三 充要条件
梳理 一般地,如果既有p⇒q,又有q⇒p,就记作
p,⇔此q时,我们说p是q的充分必
要条件,简称充要条件,显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概况地

§1.2充要条件、全称量词与存在量词最新考纲 1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.2.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)∃x0∈M，綈p(x0)特称命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，綈p(x)概念方法微思考若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q 的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．提示若A B，则p是q的充分不必要条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A B ，则p 是q 的必要不充分条件； 若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；若A ⊈B 且A ⊉B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( √ )(2)若p 是q 的充要条件，则命题p 和q 是两个等价命题．( √ ) (3)全称命题一定含有全称量词．( × )(4)∃x 0∈M ，p (x 0)与∀x ∈M ，綈p (x )的真假性相反．( √ ) 题组二 教材改编2．命题“正方形都是矩形”的否定是___________________________． 答案 存在一个正方形，这个正方形不是矩形3．“x －3＝0”是“(x －3)(x －4)＝0”的______条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要 题组三 易错自纠4．(2018·某某质检)命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，x 2－x －1≤0B．∀x ∈R ，x 2－x －1>0 C ．∃x 0∈R ，x 20－x 0－1≤0D．∃x 0∈R ，x 20－x 0－1≥0 答案 A5．已知p ：x >a 是q ：2<x <3的必要不充分条件，则实数a 的取值X 围是________． 答案 (－∞，2]解析 由已知，可得{x |2<x <3}{x |x >a }， ∴a ≤2.6．若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．答案 1解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，∴y max ＝tan π4＝1.依题意知，m ≥y max ，即m ≥1.∴m 的最小值为1.题型一 充分、必要条件的判定例1 (1)已知α，β均为第一象限角，那么“α>β”是“sin α>sin β”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 D解析 取α＝7π3，β＝π3，α>β成立，而sin α＝sin β，sin α>sin β不成立．∴充分性不成立；取α＝π3，β＝13π6，sin α>sin β，但α<β，必要性不成立．故“α>β”是“sin α>sin β”的既不充分也不必要条件．(2)已知条件p ：x >1或x <－3，条件q ：5x －6>x 2，则q 是p 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由5x －6>x 2，得2<x <3，即q ：2<x <3. 所以q ⇒p ，p ⇏q ，所以q 是p 的充分不必要条件，故选A. 思维升华 充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母X 围的推断问题．跟踪训练1 (1)(2018·某某省某某一中月考)王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的( ) A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件 C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件 答案 D解析 非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件． (2)(2018·某某模拟)若集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x >b ，b ∈R }，则A ⊆B 的一个充分不必要条件是( ) A ．b ≥2B．1<b ≤2C ．b ≤1D．b <1 答案 D解析 ∵A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x >b ，b ∈R }，∴A ⊆B 的充要条件是b ≤1，∴b <1是A ⊆B 的充分不必要条件，故选D.题型二 含有一个量词的命题命题点1 全称命题、特称命题的真假例2 (1)(2018·某某模拟)下列四个命题中真命题是( ) A ．∀n ∈R ，n 2≥nB ．∃n 0∈R ，∀m ∈R ，m ·n 0＝mC ．∀n ∈R ，∃m 0∈R ，m 20<n D ．∀n ∈R ，n 2<n 答案 B解析 对于选项A ，令n ＝12，即可验证其不正确；对于选项C ，D ，可令n ＝－1加以验证，均不正确，故选B.(2)下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R,2x －1>0B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0C ．∃x 0∈R ，lg x 0<1D ．∃x 0∈R ，tan x 0＝2 答案 B解析 当x ∈N *时，x －1∈N ，可得(x －1)2≥0，当且仅当x ＝1时取等号，故B 不正确；易知A ，C ，D 正确，故选B.命题点2 含一个量词的命题的否定例3 (1)已知命题p ：“∃x 0∈R ，0e x－x 0－1≤0”，则綈p 为( ) A ．∃x 0∈R ，0e x－x 0－1≥0 B ．∃x 0∈R ，0e x－x 0－1>0 C ．∀x ∈R ，e x －x －1>0 D ．∀x ∈R ，e x －x －1≥0 答案 C解析 根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p 为“∀x ∈R ，e x－x －1>0”，故选C. (2)(2018·某某质检)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≥0，则綈p 是( ) A ．∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0 答案 C解析 已知全称命题p ：∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)≥0，则綈p ：∃x 1，x 2∈R ， [f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0，故选C.思维升华 (1)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立．(2)对全(特)称命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词； ②对原命题的结论进行否定．跟踪训练2 (1)(2018·东北三校联考)下列命题中是假命题的是( ) A ．∃x 0∈R ，log 2x 0＝0B ．∃x 0∈R ，cos x 0＝1 C ．∀x ∈R ，x 2>0D ．∀x ∈R,2x>0 答案 C解析 因为log 21＝0，cos0＝1，所以选项A ，B 均为真命题，02＝0，选项C 为假命题，2x>0，选项D 为真命题，故选C.(2)已知命题p ：∃x 0∈R ，log 2(03x＋1)≤0，则( ) A ．p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)≤0 B ．p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)>0 C ．p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)≤0 D ．p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)>0 答案 B解析 因为3x >0，所以3x ＋1>1，则log 2(3x ＋1)>0，所以p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)>0.故选B.题型三 充分、必要条件的应用例4已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值X 围．解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}．由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2， ∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件， 即所求m 的取值X 围是[0,3]． 引申探究若本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件． 解 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，方程组无解，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练3 (1)若“x >2m 2－3”是“－1<x <4”的必要不充分条件，则实数m 的取值X 围是__________． 答案 [－1,1]解析 依题意，可得(－1,4)(2m 2－3，＋∞)， 所以2m 2－3≤－1，解得－1≤m ≤1.(2)设n ∈N *，则一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________. 答案 3或4解析 由Δ＝16－4n ≥0，得n ≤4， 又n ∈N *，则n ＝1,2,3,4. 当n ＝1,2时，方程没有整数根； 当n ＝3时，方程有整数根1,3，当n ＝4时，方程有整数根2.综上可知，n ＝3或4. 题型四 命题中参数的取值X 围例5已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值X 围是________________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ 解析 当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.引申探究本例中，若将“∃x 2∈[1,2]”改为“∀x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值X 围是________________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12.思维升华 对于含量词的命题中求参数的取值X 围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．跟踪训练4(1)已知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，则实数a 的取值X 围是______________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞ 解析 由“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x 2－5x ＋152a >0对任意实数x 恒成立．设f (x )＝x 2－5x ＋152a ，则其图象恒在x 轴的上方．故Δ＝25－4×152a <0，解得a >56，即实数a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞.(2)已知c >0，且c ≠1，设命题p ：函数y ＝c x为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c恒成立．如果p 和q 有且只有一个是真命题，则c 的取值X 围为________________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪(1，＋∞)解析 由命题p 为真知，0<c <1， 由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤52，要使x ＋1x >1c 恒成立，需1c <2，即c >12，当p 真q 假时，c 的取值X 围是0<c ≤12；当p 假q 真时，c 的取值X 围是c >1.综上可知，c 的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪(1，＋∞)．利用充要条件求参数X 围逻辑推理是从事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养．逻辑推理的主要形式是演绎推理，它是得到数学结论、证明数学命题的主要方式，也是数学交流、表达的基本思维品质． 例已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，q 是p 的必要不充分条件，则实数m 的取值X 围为__________． 答案 [9，＋∞)解析 ∵q 是p 的必要不充分条件． 即p 是q 的充分不必要条件， 由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)， 得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．∴q 对应的集合为{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}． 设M ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}． 又由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10， ∴p 对应的集合为{x |－2≤x ≤10}． 设N ＝{x |－2≤x ≤10}． 由p 是q 的充分不必要条件知，NM ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，解得m ≥9.∴实数m 的取值X 围为[9，＋∞)．素养提升 例题中得到实数m 的X 围的过程就是利用已知条件进行推理论证的过程，数学表达严谨清晰．1．以下四个命题中既是特称命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形有一个内角是钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，1x>2答案 B解析 A 中锐角三角形的内角都是锐角，所以A 是假命题；B 中当x ＝0时，x 2＝0，满足x 2≤0，所以B 既是特称命题又是真命题；C 中因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C 是假命题；D 中对于任意一个负数x ，都有1x <0，不满足1x>2，所以D 是假命题．2．命题“∀x ∈R ，∃n 0∈N *，使得n 0≤x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n 0∈N *，使得n 0>x 2B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n >x 2C ．∃x 0∈R ，∃n 0∈N *，使得n 0>x 20 D ．∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n >x 20 答案 D解析 ∀改写为∃，∃改写为∀，n ≤x 2的否定是n >x 2，则该命题的否定形式为“∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n >x 20”．故选D.3．(2018·某某模拟)设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2<0”是“a <b ”的( ) A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由(a －b )a 2<0可知a 2≠0，则一定有a －b <0，即a <b ；但a <b 即a －b <0时，有可能a ＝0，所以(a －b )a 2<0不一定成立，故“(a －b )a 2<0”是“a <b ”的充分不必要条件，故选A. 4．(2018·某某模拟)“log 2(2x －3)<1”是“4x>8”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由log 2(2x －3)<1⇒0<2x －3<2⇒32<x <52，4x >8⇒2x >3⇒x >32，所以“log 2(2x －3)<1”是“4x>8”的充分不必要条件，故选A.5．(2018·某某河西区模拟)设a ∈R ，则“a ＝3”是“直线ax ＋2y ＋3a ＝0和直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 若直线ax ＋2y ＋3a ＝0和直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行，则⎩⎪⎨⎪⎧a (a －1)－6＝0，a (7－a )－9a ≠0，即a ＝3，即“a ＝3”是“直线ax ＋2y ＋3a ＝0和直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行”的充要条件．6．下列命题中，真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，0e x≤0 B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab＝－1 D ．“a >1，b >1”是“ab >1”的充分条件 答案 D解析 因为y ＝e x>0，x ∈R 恒成立，所以A 不正确； 因为当x ＝－5时，2－5<(－5)2，所以B 不正确；“a b＝－1”是“a ＋b ＝0”的充分不必要条件，C 不正确； 当a >1，b >1时，显然ab >1，D 正确．7．已知p ：x ≥k ，q ：(x ＋1)(2－x )<0，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值X 围是( )A ．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C ．[1，＋∞) D．(－∞，－1] 答案 B解析 由q ：(x ＋1)(2－x )<0，得x <－1或x >2，又p 是q 的充分不必要条件，所以k >2，即实数k 的取值X 围是(2，＋∞)，故选B.8．若∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 20－λx 0＋1<0成立是假命题，则实数λ的取值X 围是( )A ．(－∞，22]B ．(22，3] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，92D ．{3} 答案 A解析 因为∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 20－λx 0＋1<0成立是假命题，所以∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，2x 2－λx＋1≥0恒成立是真命题，即∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，λ≤2x ＋1x 恒成立是真命题，令f (x )＝2x ＋1x ，则f ′(x )＝2－1x 2，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，22时，f ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤22，2时，f ′(x )>0，所以f (x )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝22，则λ≤2 2.9．已知f (x )是R 上的奇函数，则“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的__________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案 充分不必要解析 ∵函数f (x )是奇函数，∴若x 1＋x 2＝0，则x 1＝－x 2，则f (x 1)＝f (－x 2)＝－f (x 2)，即f (x 1)＋f (x 2)＝0成立，即充分性成立；若f (x )＝0，满足f (x )是奇函数，当x 1＝x 2＝2时，满足f (x 1)＝f (x 2)＝0，此时满足f (x 1)＋f (x 2)＝0，但x 1＋x 2＝4≠0，即必要性不成立．故“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的充分不必要条件．10．若命题“对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，则k 的取值X 围是________________． 答案 (－4,0]解析 “对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，当k ＝0时，则有－1<0；当k ≠0时，则有k <0且Δ＝(－k )2－4×k ×(－1)＝k 2＋4k <0，解得－4<k <0，综上所述，实数k 的取值X 围是(－4,0]．11．已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值X 围是________．答案 (－1,3)解析 原命题的否定为∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12>0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a －1)2－4×2×12<0，则－2<a －1<2，即－1<a <3. 12．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，m ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值X 围是____________．答案 (2，＋∞)解析 因为A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}，x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，所以A B ，所以m ＋1>3，即m >2.13．已知α，β∈(0，π)，则“sin α＋sin β<13”是“sin(α＋β)<13”的______________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案 充分不必要解析 因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β<sin α＋sin β，所以若sin α＋sin β<13，则有sin(α＋β)<13，故充分性成立；当α＝β＝π2时，有sin(α＋β)＝sinπ＝0<13，而sin α＋sin β＝1＋1＝2，不满足sin α＋sin β<13，故必要性不成立．所以“sin α＋sin β<13”是“sin(α＋β)<13”的充分不必要条件． 14．(2018·某某某某一中月考)已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则m 的取值X 围是____________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43 解析 解不等式|x －m |<1，得m －1<x <m ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12(m －1，m ＋1)，故⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≤13，m ＋1≥12且等号不同时成立，解得－12≤m ≤43.15．已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∀x 2∈[2,3]，f (x 1)≥g (x 2)恒成立，则实数a 的取值X 围是______________．答案 (－∞，－3] 解析 由题意知f (x )min ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1≥g (x )max (x ∈[2,3])，因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上为减函数，g (x )在[2,3]上为增函数，所以f (x )min ＝f (1)＝5，g (x )max ＝g (3)＝8＋a ，所以5≥8＋a ，即a ≤－3.16．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪ y ＝x 2－32x ＋1，0≤x ≤2，B ＝{x |x ＋m 2≥2}，p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，p 是q 的充分条件，则实数m 的取值X 围是________________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－54∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞ 解析 由y ＝x 2－32x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716，0≤x ≤2， 得716≤y ≤2，∴A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤716，2. 又由题意知A ⊆B ，∴2－m 2≤716，∴m 2≥2516. ∴m ≥54或m ≤－54.。