高考数学压轴题集锦
1．椭圆的中心是原点O，它的短轴长为2 2 ，相应于焦点F（c,0）（c0）的准线l与x轴相交于点A，OF =2FA，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。
（1）求椭圆的方程及离心率；
uuur uuur
（2）若OP OQ=0，求直线PQ的方程；
uuur uuur
（3）设AP =AQ（1），过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，证
uuuur uuur
明FM =-FQ . （14 分）
2．已知函数f（x）对任意实数x都有f（x+1）+ f（x）=1，且当x[0,2]时，f（x）=| x -1| 。
（1）x[2k,2k + 2]（k Z）时，求f（x）的表达式。
（2）证明f（x）是偶函数。
（3）试问方程f（x）+log 1= 0是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有4x 实数根，请说明理由。
3．（本题满分12分）如图，已知点F（0，1），直线L：y=-2，及圆C：x2+（y-3）2=1。
1）若动点M 到点 F 的距离比它到直线L 的距离小1，求动点M 的轨迹 E 的方程；
2）过点 F 的直线g 交轨迹 E 于G（x1，y1）、H（x2，y2）两点，求证：x1x2 为定值；
3）过轨迹 E 上一点P 作圆 C 的切线，切点为A、B，要使四边形PACB 的面积S 最小，求点P 的坐标及S 的最小值。
x2
4.
以椭圆+ y2＝1（a>1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试a2
nn a n
是等差数列吗？请给予证明；
n
（Ⅲ
）
令
判断并推证能作出多少个符合条件的三角形.
5
已知，二次函数 f （ x ）＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 及一次函数 g （x ）＝－ bx ，其中 a 、b 、c ∈R ，a >b >c ，
a ＋
b ＋
c ＝0.
（Ⅰ）求证：f （x ）及 g （x ）两函数图象相交于相异两点；
（Ⅱ）设 f （x ）、 g （x ）两图象交于 A 、B 两点，当 AB 线段在 x 轴上射影为 A 1B 1时，试求|A 1B 1| 的取值范围.
6
已知过函数 f （x ）= x 3 + ax 2 +1的图象上一点 B （1，b ）的切线的斜率为－3。
（1） 求 a 、b 的值；
（2） 求 A 的取值范围，使不等式 f （x ）≤A －1987 对于 x ∈［－1，4］恒成立； （3） 令 g （x ） = - f （x ）- 3x 2 + tx +1。是否存在一个实数 t ，使得当 x
（0,1］时，
g （x ）有
最大值 1？
→→
7
已知两点 M （－2，0）， N （2，0），动点 P 在 y 轴上的射影为 H ，︱ PH ︱是 2 和 PM
PN 的等比中项。
（1） 求动点 P 的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；
（2） 若以点 M 、N 为焦点的双曲线 C 过直线 x+y=1 上的点 Q ，求实轴最长的双曲线 C 的方程。
1）求数列｛b n ｝的通项公式；
7 2）设数列｛b n ｝的前项和为 S n ，试比较 S n 与 7
的大小，并证明你的结论.
8
9．已知焦点在 x 轴上的双曲线 C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点 A （0, 2） 为 圆
心，1 为半径的圆相切，又知 C 的一个焦点与 A 关于直线 y = x 对称．
（Ⅰ）求双曲线 C 的方程；
（Ⅱ）设直线 y = mx +1与双曲线 C 的左支交于 A ，B 两点，另一直线l 经过 M （-2，0） 及
AB 的中点，求直线 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围；
（Ⅲ）若 Q 是双曲线 C 上的任一点，F 1F 2 为双曲线 C 的左，右两个焦点，从 F 1 引 F 1QF 2
的平分线的垂线，垂足为 N ，试求点 N 的轨迹方程．
10. f (x ) 对任意 x
R 都有 f (x ) + f (1- x ) = 1.
(Ⅰ)求 f (1) 和 f (1) + f (n -1) (n
N ) 的值．
2
n n
( Ⅱ ) 数 列
a n
满足
8．已知数列｛a n ｝满足 a
= 3a (a 0),a
22
an + a
,设b n = 2an a n
- a an + a
a n = f (0) + f (1) + f (2) +
+ f (n -1) + f (1) ， 数 列
4an -1,T n =b 1 +b 2 +b 3 + +b n ,S n =32- n 试比较T n 与S n 的大小．
11. ：如图，设 OA 、OB 是过抛物线 y 2＝2px 顶点 O 的两条弦，且O →A ·O →B ＝0，求以 OA 、OB 为
直径的两圆的另一个交点 P 的轨迹.(13 分)
9
12.知函数 f (x )＝log 3(x 2－2mx ＋2m 2＋ 2 )的定义域为 R m －3 (1)求实数 m 的取值集合M ；
(2)求证：对 m ∈M 所确定的所有函数 f (x )中，其函数值最小的一个是 2，并求使函数值等于 2 的 m 的
值和 x 的值.
4 x - t 13.设关于x 的方程2x 2-tx-2=0的两根为,(
),函数f(x)= 4x -t .
x 2 + 1
(1). 求 f(
)和f ()的值。 (2)。证明：f(x)在[
,
] 上是增函数。
(3) 。对任意正数x 1、x 2,求证： f (x 1+ x 2) - f ( x 1+ x 2)
2
-
x + x x +x
14．已知数列｛a n ｝各项均为正数，S n 为其前 n 项的和.对于任意的
n
N * ，都有
4Sn =(an +1)2.
I 、求数列a 的通项公式.
II 、若
2n tS 对于任意的n
N *恒成立，求实数t 的最大值.
15.( 12 分)已知点 H (－3，0)，点 P 在 y 轴上，点 Q 在 x 轴的正半轴上，点 M 在直线 PQ 上，
3
且满足
HP · PM =0， PM =－ 3 MQ ，
(1)当点 P 在 y 轴上移动时，求点 M 的轨迹 C ；
(2)过点T (－1，0)作直线 l 与轨迹 C 交于A 、B 两点，若在 x 轴上存在一点 E (x 0,0)，使 得△ABE 为等边三角形，求 x 0的值.
16.(14分)设f 1(x )= 2 ,定义f n +1 (x )=f 1[f n (x )],a n = fn (0)-1 ,其中n ∈N *.
1 1+ x
n +1 I n n
f n (0)+2
I 求数列｛a n ｝的通项公式；
n
4a n
