圆柱圆锥+解决问题的策略

、圆柱 1.圆柱的形成： 圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得到的。 圆柱也可以由长方形卷曲而得到。 （两种方式：1.以长方形的长为底面周长，宽为高 ；2.以长方形的宽

为底面周长，长为高。其中，第一种方式得到的圆柱体体积较大。 ） 2•圆柱的高是两个底面之间的距离，一个圆柱有无数条高，他们的数值是相等的。 3. 圆柱的切割：a.横切：切面是圆，表面积增加 2倍底面积，即S增

=2n R2 三、圆柱和圆锥的关系

圆柱与圆锥

b.竖切（过直径）：切面是长方形（如果 h=2R,切面为正方形） ，该长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱

的底面直径，表面积增加两个长方形的面积，即 S增=4Rh 4.圆柱的侧面展开图：a沿着高展开，展开图形是长方形，如果 h=2n R,展开图形为正方形。 b.不沿着高展开，展开图形是平行四边形或不规则图形。 c.无论如何展开都得不到梯形 5:圆柱的相关计算公式: a.底面积：S 底 =n R2 b.底面周长：C=n d=2 n R c. 侧面积：S侧=2 n Rh d.表面积：S=2S底+S 侧=2 n R+2 n Rh 体积： V= n R2 h 考试常见题型: a已知圆柱的底面积和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积，底面周长 b已知圆柱的底面周长和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积，底面积 c已知圆柱的底面周长和体积，求圆柱的侧面积，表面积，高，底面积 d已知圆柱的底面面积和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积， e已知圆柱的侧面积和高，求圆柱的底面半径，表面积，体积，底面积 以上几种常见题型的解题方法，通常是求出圆柱的底面半径和高，再根据圆柱的相关计算公式进行计算。

二.圆锥 1.圆锥的形成：圆锥是以直角三角形的一直角边为轴旋转而得到的。 圆锥也可以由扇形卷曲而得到。 2•圆锥的高是两个顶点与底面之间的距离，与圆柱不同，圆锥只有一条高 3.圆柱的切割： a.横切：切面是圆 b.竖切（过顶点和直径直径）：切面是等腰三角形，该等腰三角形的高是圆锥的高，底是圆锥的底面直径, 表面积增加两个等腰三角形的面积，即 S增=2Rh 4:圆锥的相关计算公式 a.底面积：S底=n R2 b.底面周长：C=n d=2 n R c 体积： V= n R2 h/3 考试常见题型： a已知圆锥的底面积和高，求体积，底面周长 b已知圆锥的底面周长和高，求圆锥的体积，底面积 c已知圆锥的底面周长和体积，求圆锥的高，底面积 以上几种常见题型的解题方法，通常是求出圆锥的底面半径和高，再根据圆柱的相关计算公式进行计算。 1. 圆柱与圆锥等底等高，圆柱的体积是圆锥的 3倍。 2. 圆柱与圆锥等底等体积，圆锥的高时圆柱的 3倍。 3. 圆柱与圆锥等高等体积，圆锥的底面积（ 注意：是底面积而不是底面半径）是圆柱的3倍。 4. 圆柱与圆锥等底等高，体积相差 2/3SH。 题型总结 1、 直接利用公式：分析清楚求的的是表面积，侧面积还是底面积以及体积 半径变化导致底面周长，侧面积，底面积，体积的变化。 两个圆柱（或两个圆锥）半径，底面积，底面周长，侧面积，表面积，体积之比。 2、 圆柱与圆锥关系的转换：包括削成最大体积的问题（正方体，长方体与圆柱圆锥之间） 3、 横截面的问题

4、 浸水体积问题（水面上升部分的体积就是浸入水中物品的体积，等于盛水容积的底面积乘以上升的高度） 容积是圆柱或长方体，正方体。 5、 等体积转换问题： 一圆柱融化后做成圆锥， 或圆柱中的溶液倒入圆锥， 都是体积不变的问题， 注意不要乘 以 1/3.

切割、拼接表面积增加、减少问题。 例：一个圆柱高15分米，底面积是3.14平方分米，把它截成两个同样的小圆柱后， 表面积比原来增加了 （ ）平方分米。 1、 沿直径切，增加的是（长是圆柱的高，宽是圆柱的直径）这样的长方形。 例：一个圆柱沿底面的一条直径纵切后，可以得到一个边长 6厘米的正方形截面，这个圆柱的体积是 （ ） 2、 切的次数变化，切一次增加两个面 例：一个长是120厘米的圆柱，把它截成9个小圆柱所得的表面积总和， 比截成6个小圆柱所得的表面积 总和多180平方厘米，原来的圆柱的体积是多少？ 3、 扩展到正方体、长方体。 例1:把一个长6厘米，宽5厘米，高4厘米的长方体木块锯成两个小长方体，表面积至少增加 （ ）

平方厘米，至多增加（ ）平方厘米。 例2： 一个长 2米的长方体钢材截成三段，表面积比原来增加 2.4平方分米，这根钢材原来的体积是 （ ） 2、高增加减少，表面积增加减少问题。 例：有一个圆柱体，如果把高增加2厘米后，表面积增加了 50.24平方厘米，原圆柱体的底面积是 （ ） 解析：根据题目条件可先求出底面周长，然后再求半径，最后可以求出底面积。 变形题目：一个长方体，如果长减少 2厘米，就成为一个正方体，这时，正方体的表面积是 96平方厘米， 原来长方体的体积是（ ） 3、把一个直径是2分米的圆柱体的底面分成许多相等的扇形，然后沿直径把圆柱切开，拼成一个和它体 积相等的长方体，这个长方体的表面比原来圆柱体表面积增加 7平方分米，这个长方体的体积是（ ）立 方分米。 4、 实际问题求表面积

例：一根2米长的通风管，横截面是直径为2分米的圆，制作这个通风管至少需要铁皮多少平方分米？注： 没有底面 归纳：无底面：通风管、烟囱、教学楼里的支撑柱、出水管有一个底面：鱼缸、厨师帽 提高题：一个钢管，长 30厘米，内直径8厘米，外直径10厘米，求它的表面积。 5、 难点题：表面积最大，做一个圆柱省料问题

例1、用一个长是8厘米，宽是6厘米，高是4厘米的长方体做一个圆柱体，这个圆柱体的侧面积最大是 多少？如果让圆柱的表面积最大，那么最大是多少？

例2、用宽4米，长8.28米的厚铁皮做一个带盖的油桶，要求尽量少浪费材料又要把油桶做大些并把油桶涂 上漆，计算油桶油漆

圆柱、圆锥的体积 1、 比例关系

例：一个圆柱体和一个圆锥体的底面半径相等，它们的高的比是 5: 6，它们的体积比是（） 2、 圆柱、圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的 3倍； 圆柱、圆锥等体积等高时，圆锥的底面积是圆柱底面积的 3倍； 圆柱、圆锥等体积等底面积时，圆锥的高是圆柱高的 3倍。 例：1、一个圆柱和一个圆锥等底等高，已知圆柱和圆锥的体积相差 6立方厘米，圆柱的体积是（ ）立方 厘米；圆锥的体积是（ ）立方厘米。 2、一个圆柱形容器与一个圆锥形的容器底面积相等，将圆锥形容器装满水后全部倒入空圆柱形容器内， 这时水深6厘米，圆锥形容器的高是（）厘米。 等体积变换 例：一个底面半径 8厘米，高20厘米的圆柱形铁块，现在要把它铸成一个底面与圆柱相同的圆锥。这个 圆锥的高是（）厘米 4、上升（下降）的水的体积=浸没物体的体积

例：在一个圆柱体容器中，放入一个半径是 10cm的圆钢，若把它全部浸没在水里，水面就上升 0.8cm， 若让它露出水面3cm,水面就下降0.3cm，求这段圆钢的体积。

解决问题的策略 1、 有些应用题涉及两三种物品的数量计算，解答这种应用题，可根据它们的组合关系，用一种物品替换另外 的物品，使数量关系单一化，这样的思考方法，通常叫做替换法（也叫代替法） 。 2、 假设法就是依据题目中的已知条件或结论作出某种设想，然后按已知条件进行推算，再根据数量上的矛盾 作出适当的调整，得出正确答案。 3、 一共有几种并列的情况可能发生，其中一种发生的可能性就是几分之一。

4、在有几种不同的数量组成的一种整体中， 其中的一种发生的可能性是这种情况的数量占总数量的几分之几。

例1鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多 80只。问鸡与兔各有多少只？ 假设100只全是鸡，那么脚的总数是 2 X 100 = 200 （只），这时兔的脚是0,鸡脚比兔脚多 200只。而实际上 鸡脚比兔脚多80只。因此鸡脚与兔脚的差比已知多了 200 -80 = 120 （只），这是因为把其中的兔换成了鸡， 每把一只兔换成鸡，鸡的脚数将增加 2只，兔的脚数减少4只，那么，鸡脚与兔脚的差数增加 2 + 4 = 6 （只）， 所以换成鸡的兔子有 120十6 = 20 （只），有鸡100 - 20 = 80 （只）。 例2刘老师带了 41名同学去北海公园划船，共租了 10条船，每条大船坐6人，每条小船坐4人，问大船、小 船各租几条？ （ 1）假设租的10条船都是大船，那么船上应该坐 6 X 10 = 60 （人）。 （2） 假设后的总人数比实际人数多了 60 - （41 + 1） = 18 （人），多的原因是把小船坐的 4人都假设成坐6人。 （3） —条小船当成大船多出 2人，多出的18人是把18十2 = 9 （条）小船当成大船。 小船：[6 X 10 - （41 + 1 ） ] -（ 6 - 4） = 18 -2= 9 （条） 例3甲、乙、丙三个工人共生产 110个零件，甲生产的零件数是乙的 2倍，丙比乙多生产 10个，三个工人各 生产零件多少个？ 要求三个工人各生产多少个零件，先要弄清楚三人生产零件数之间的关系。根据“甲生 产的零件数是乙的2倍”可用“乙生产的个数X 2”代替甲；根据“丙比乙多生产 10个”，可用“乙生产的 个数+ 10”代替丙。这样“三个工人共生产 110个”就等于“乙生产的个数X 2 +乙生产的个数+ （乙生产的 个数+ 10）”。于是可以求出乙生产了多少个，然后再求其余两人生产的个数。乙生产的个数： （110 - 10 ） + （2 + 1 + 1 ） = 25 （个）甲生产的个数： 25 X 2 = 50 （个）丙生产的个数： 25 + 10 = 35 （个） 例4小红和小林正在玩游戏，用抛硬币的方法决定谁先玩，这种方法公平吗？为什么？ 要看出现各种情况的可能性，如果可能性相同，那么这种方法就公平。 1 抛硬币落下来的结果可能正面朝上，也有可能反面朝上。正面朝上和反面朝上的可能性各占 一，所以这个游 2

戏是公平的。 例5一个口袋里装了 4支红铅笔、6支蓝铅笔，从这个口袋里任意摸出一支铅笔，摸到红铅笔的可能性是几分 2 之几？摸到红铅笔的可能性 =红铅笔的支数 十 铅笔的总支数，要先求出铅笔的总支数 4 +（ 6 + 4）=- 5

例6有一次游戏，小华和小明拿出 1、2、3、4的卡片各2张，每人每次从中任取 2张，和是偶数算小华胜， 和是奇数算小明胜，小华获胜的可能性是几分之几？小明呢？ 算出两数和的所有可能性，看看里面偶数有多少个，奇数有多少个，分别算出各占几分之几。

用列表的方法算出一共可以出现的和: 第1次 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4

第2次 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4