解直线的方程填空(基础题),必修2第三章

第三章《直线与方程》测试题（满分150分，时间120分钟）一、单选题（每小题只有一个正确答案，每小题5分，共60分）1．过两点1,,,))3((2A y B -的直线的倾斜角是135︒，则y 的值为（ ） A ．2 B ．2- C ．5- D ．52．过点()1,3-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为（ ）A ．210x y +-=B ．250x y +-=C ．250x y +-=D ．270x y -+= 3．直线:sin 30cos15010l x y ︒+︒+=的斜率为（ ）A ．3BC ．D ．3-4．若直线1:260l ax y ++=与直线()2:150l x a y +-+=垂直，则实数a 的值是（ ） A ．23 B ．1 C ．12 D ．2 5．已知点A (1，，2)，B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ，2y ，2，0，则实数m 的值是 ( )A ．，2B ．，7C ．3D ．16．经过点()1,1M 且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ）A ．2x y +=B ．1x y +=C ．2x y +=或y x =D ．1x =或1y = 7．两条直线32y x =，64130x y -+=之间的距离为（ ）A B C D ．138．如果直线90x by ++=经过直线56170x y --=与直线4320x y ++=的交点，那么b 的值等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59．若点P （3，4）和点Q （a ，b ）关于直线10x y --=对称，则（ ） A ．5a =，2b =B ．2a =，1b =-C ．4a =，3b =D ．1a =，2b =-方程为（ ）A ．460x y --=B ．420x y +-=C ．4320x y ++=D ．43100x y --= 11．已知点A(2, 3)，B(－3, －2)，若直线l 过点P(1, 1)且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A ．k ≥2或k ≤34B ．34≤k ≤2C ．k ≥34D ．k ≤212．已知()()4,0,0,4A B ，从点(1,0)P 射出的光线被直线AB 反射后，再射到直线OB 上，最后经OB 反射后回到P 点，则光线所经过的路程是（ ）A B ．6 C ．D ．二、填空题（每小题5分，共20分）13．直线l ，(k ，1)x ，(k ，1)y ，2k ，0恒过定点_______14．与直线7x ，24y ，5平行且距离等于3的直线方程为__________________，15．设()3,1A -，()2,4B ，点P 在x 轴上，使得PA PB +取到最小值时的点P 坐标为______．16．若方程()()2223410m m x m m y m +-+--+=表示一条直线，则实数m 满足__________．三、解答题（本大题共70分，解答时写出必要的文字说明或演算过程）17．（10分）已知直线l 1:260ax y ++＝和直线l 2:2(1)10x a y a +-+-=． （1）当l 1∥l 2时，求a 的值；（2）当l 1⊥l 2时，求a 的值．18．（12分）已知直线1:10l ax y a +++=与22(:1)30l x a y +-+=.（1）当0a =时，求直线1l 与2l 的交点坐标；（2）若l 1∥l 2，求a 的值.19．（12分）求直线sin 20()x y αα++=∈R 的倾斜角θ的取值范围.20．（12分）若直线l 的方程为220()ax y a a R +--=∈.（1）若直线l 与直线:20m x y -=垂直，求a 的值；（2）若直线l 在两轴上的截距相等，求该直线的方程.21．（12分）已知直线方程为()()221340m x m y m -++++=.（1）证明：直线恒过定点；（2）m 为何值时，点()3,4Q 到直线的距离最大，最大值为多少？（3）若直线分别与x 轴，y 轴的负半轴交于,A B 两点，求AOB 面积的最小值及此时直线的方程.22．（12分）中，顶点(3,4),(5,2)B C ，AC 边所在直线方程为430x y -+=，AB 边上的高所在直线方程为23160x y +-=．（1）求AB 边所在直线的方程；（2）求AC 边的中线所在直线的方程．参考答案1．B 2．A 3．A 4．A 5．C 6．C 7．B 8．D 9．A 10．C 11．A 12．A 13．(1，，1). 14．7x ，24y ，70，0或7x ，24y ，80，015．()2,0- 16．m≠117．解：（1）由(1)20a a --=，解得a ＝2或1-，经过验证a ＝2时两条直线重合，舍去．∴1a =-．（2）由l 1⊥l 2，得2(1)320a a a +-=-=， 解得23a =． 18． 解：（1）当0a =时，直线1:10l y +=与2:230l x y -+=，联立10230y x y +=⎧⎨-+=⎩，解得21x y =-⎧⎨=-⎩，故直线1l 与2l 的交点坐标为(2,1)--. （2）因为l 1∥l 2，所以(1)203(1)(1)0a a a a --=⎧⎨--+≠⎩，即2(2)(1)040a a a -+=⎧⎨-≠⎩解得1a =-. 19． 解：当sin 0α=时，直线为20x +=，其倾斜角2πθ=； 当sin 0α≠时，直线为12sin sin y x αα=--，其斜率1(,1][1,)sin k α=∈-∞-⋃+∞-，即tan (,1][1,)θ∈-∞-⋃+∞，则3,,4224ππππθ⎡⎫⎛⎤∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦. 所以，倾斜角θ的取值范围是3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 20． 解：（1）直线l 与直线:20m x y -=垂直，220a ∴-=，解得1a =．（2）当0a =时，直线l 化为：1y =．不满足题意．当0a ≠时，可得直线l 与坐标轴的交点2(0,)2a +，2,0a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭． 直线l 在两轴上的截距相等，∴222a a a++=，解得：2a =±．∴该直线的方程为：0x y -=，20x y +-=．21． （1）证明：直线方程为()()221340m x m y m -++++=，可化为()()24230x y m x y +++-++=，对任意m 都成立，所以230240x y x y -++=⎧⎨++=⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩，所以直线恒过定点()1,2--；（2）解：点()3,4Q 到直线的距离最大，可知点Q 与定点()1,2P --的连线的距离就是所求最大值，= 423312PQ k +==+， ()()221340m x m y m -++++=的斜率为23-， 可得22321m m --=-+，解得47=m . （3）解：若直线分别与x 轴，y 轴的负半轴交于,A B 两点，直线方程为()21y k x +=+，k 0<，则21,0A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,2B k -，()121221212224222AOB k S k k k k k -⎛⎫⎛⎫=--=--=++≥+= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭△，当且仅当2k =-时取等号，面积的最小值为4.此时直线的方程240x y ++=.22． 解：（1）据题意，AB 边上的高所在直线方程为23160x y +-= 所以32AB k =AB 边所在直线的方程为()3432AB y k x -==-，即3210x y --=. （2）联立()32101,1430x y A x y --=⎧⇒⎨-+=⎩ ，则AC 的中点33,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则AC 边的中线所在直线的方程为3x =．。

必修2 第3章 直线与方程理论知识：1直线的倾斜角和斜率1、倾斜角：2、 倾斜角α的取值范围： ..3、直线的斜率: k = 记住特殊角的正切值⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;⑵当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在.4、 直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率： 斜率公式: k =2两条直线的平行与垂直1，L1∥L2则 注意:2、则 注意：3.直线方程1、 直线的点斜式方程：2、、直线的斜截式方程： 3 直线的一般式方程： 4.了解斜率和截距的性质4.两条直线的交点坐标求法：联立方程组。

5.距离1.两点间的距离公式： ．2.点到直线距离公式：3、两平行线间的距离公式：6.对称问题1.中点坐标公式：已知两点P 1 (x 1，y 1)、P 1(x 1，y 1)，则线段的中点M 坐标为2.若点11(,)M x y 及(,)N x y 关于(,)P a b 对称；求解方法：3.点关于直线的对称： 若111(,)P x y 与222(,)P x y 关于直线:0l Ax By C ++=对称，求解方法：直线与方程测试题题型一（倾斜角与斜率）1.直线053=-+y x 的倾斜角是( )A.120°B.150°C.60°D.30°2．若直线x ＝1的倾斜角为 ，则( )．A ．等于0B ．等于C ．等于2πD ．不存在3．图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )． A ．k1＜k2＜k3 B ．k3＜k1＜k2 C ．k3＜k2＜k1 D ．k1＜k3＜k24.求直线3x ＋ay ＝1的斜率为题型二（直线位置关系）1．已知直线l1经过两点(－1，－2)、(－1，4)，直线l2经过两点(2，1)、(x ，6)，且l1∥l2，则x ＝()． A ．2 B ．－2 C ．4 D ．12．已知直线l 与过点M(－3，2)，N(2，－3)的直线垂直，则直线l 的倾斜角是( )．A ．3πB ．32πC ．4πD ．43π3.设直线 l1经过点A(m ，1)、B(—3，4)，直线 l2经过点C(1，m)、D(—1，m+1)，当(1) l1/ / l2 (2) l1⊥l1时分别求出m 的值4.已知两直线l1： x+(1+m) y =2—m 和l2：2mx+4y+16=0，m 为何值时l1与l2①相交②平行5.. 已知两直线l1：(3a+2) x+(1—4a) y +8=0和l2：(5a —2)x+(a+4)y —7=0垂直，求a 值。

拓展延伸应用点一 两点式方程【例1】求经过点A (2，1)与B (6，－2)的直线的方程．思路分析：利用直线的两点式方程求解．解：因为直线过点A (2，1)，B (6，－2)，所以直线的两点式方程为y －1－2－1＝x －26－2，即3x ＋4y －10＝0.已知三角形的三个顶点A (－5，0)，B (3，－3)，C (0，2)．求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．应用点二 截距式方程【例2】已知直线l 过点P (－2，3)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线的方程．思路分析：关键是求出斜率k 或求出直线在两坐标轴上的截距，即寻找关于k 的方程或两截距的方程组．解：方法一：显然，直线l 与两坐标轴不垂直，设直线的方程为y －3＝k (x ＋2)．令x ＝0，得y ＝2k ＋3；令y ＝0，得x ＝－3k－2， 于是直线与两坐标轴围成的三角形的面积为12|2k ＋3|·⎪⎪⎪⎪3k ＋2＝4，即(2k ＋3)⎝⎛⎭⎫3k ＋2＝±8. 若(2k ＋3)⎝⎛⎭⎫3k ＋2＝8，则整理得4k 2＋4k ＋9＝0，无解；若(2k ＋3)⎝⎛⎭⎫3k ＋2＝－8，则整理得4k 2＋20k ＋9＝0，解之，得k ＝－12，k ＝－92. ∴所求直线的方程为y －3＝－12(x ＋2)或y －3＝－92(x ＋2)， 即x ＋2y －4＝0或9x ＋2y ＋12＝0.方法二：显然，直线在两坐标轴上的截距均不为零．设所求直线的方程为x a ＋y b＝1. ∵点P (－2，3)在直线上，∴－2a ＋3b ＝1.① 又∵直线与坐标轴围成的面积为4，∴12|a |·|b |＝4，即|a |·|b |＝8.② 由①②可得(1)⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －2b ＝8，ab ＝8，或(2)⎩⎪⎨⎪⎧3a －2b ＝－8，ab ＝－8. 解(1)得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－43，b ＝－6，且方程组(2)无解．∴所求直线的方程为x 4＋y 2＝1或x －43＋y －6＝1， 即x ＋2y －4＝0或9x ＋2y ＋12＝0.直线l 过点(1，2)和第一、二、四象限，若直线l 的横截距与纵截距之和为6，求直线l 的方程．应用点三 一般式方程【例3】已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率为5，且A －2B ＋3C ＝0，求直线的方程．思路分析：利用斜率－A B＝5和已知式子求出B ，C 的关系，代入直线方程消去未知系数．解：方法一：∵直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率为5，∴B ≠0，且－A B＝5，即A ＝－5B ．① 又∵A －2B ＋3C ＝0，②由①②得，－5B －2B ＋3C ＝0，∴C ＝73B ．③ 把①③代入直线方程，得－5Bx ＋By ＋73B ＝0. 又∵B ≠0，∴－5x ＋y ＋73＝0. 故所求直线方程为15x －3y －7＝0.方法二：∵A －2B ＋3C ＝0，∴A ·13＋B ·⎝⎛⎭⎫－23＋C ＝0， ∴直线经过点⎝⎛⎭⎫13，－23. 又∵斜率为5，∴所求直线方程为y ＋23＝5⎝⎛⎭⎫x －13， 即15x －3y －7＝0.设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件分别确定m 的值．(1)l 在x 轴上的截距是－3；(2)l 的斜率是－1.迁移1.解：过B (3，－3)，C (0，2)的直线的两点式方程为y －2－3－2＝x －03－0.整理得5x ＋3y －6＝0.这就是BC 边所在直线的方程．BC 边上的中线是顶点A 与BC 边中点M 所连线段，由中点坐标公式可得点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫3＋02，－3＋22，即⎝⎛⎭⎫32，－12.过A (－5，0)，M ⎝⎛⎭⎫32，－12的直线的方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5.整理得12x ＋132y ＋52＝0，即x ＋13y ＋5＝0.这就是BC 边上的中线所在直线的方程．迁移2.解：由题意可知，直线l 在x 轴，y 轴上的截距都不为0，设直线l 的横截距为a ，由题意可得纵截距为6－a ，所以设直线l 的方程为x a ＋y 6－a＝1.因为点(1，2)在直线l 上，所以1a ＋26－a ＝1.即a 2－5a ＋6＝0，解得a 1＝2，a 2＝3.当a ＝2时，直线方程为x 2＋y 4＝1，直线经过第一、二、四象限；当a ＝3时，直线方程为x 3＋y 3＝1，直线经过第一、二、四象限．综上所述，所求直线方程为2x ＋y －4＝0或x ＋y －3＝0.迁移3.解：(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －3≠0，①2m －6m 2－2m －3＝－3.② 由②解得m ＝3或m ＝－53. 分别代入①检验可知m ＝－53. (2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －1≠0，③－m 2－2m －32m 2＋m －1＝－1.④ 由④解得m ＝－1或m ＝－2.分别代入③检验得m ＝－2.。

[教师断后]对于问题一和问题二，学生求解应该比较精准，值得肯定，对于问题三，学生可能在求三角形面积的时候忘记添加绝对值，数学严密性可能会有所欠缺，需要教师进行提点，最后综合提出：要确定一条直线，必需给出2个条件，这2个条件可以是两个点，也可以是点与方向.进而可给出如下板书：
问题四：（2010年安徽高考文科第17题改编）已知AEF的顶点A(4,4)，E(4,0)，F(1,0)，求∠FAE的平分线所在的直线方程.（至少用2种方法求解）
则|GE|=4x0（1<x0<4），直线AF所在的直线方程为 .
则点G到直线AF的距离为 ，
则由角平分线的性质可知|BE|=4x0=
解得：x0=
则所求直线的方程为3xy8=0.
学生2：如图2所示利用两角和的正切公式求解.
设∠FAE=2，角平分线与x轴交于点G，设GE=x，
则 ，
解得 = ，则x= ，
学生5：如图4所示利用角平分线的性质求解
因为
所以FG= EG，同样也可解得x0=
所以所求直线的方程为3xy8=0.
学生6：如图5所示利用角平分线的性质求解
延长AE至H，使得AH=5，则H（4，1），则由角平分线的性质可知FH的中点（ ， ）在所求直线上，则由两点式得所求直线的方程为3xy8=0.
也可利用FH与平分线垂直直接得斜率求得.
则由两点式得所求直线的方程为3xy8=0.
学生3：如图2所示
设∠FAE=2，则 ，
解得 ，所求直线的斜率为3，
则由点斜式得所求直线的方程为3xy8=0.
学生4：如图3所示利用向量的夹角求解
设G(x0，0)
=（3，4）
=（0，4）
=（x04，4）
则由cos∠FAG=cos∠EAG得