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线性互补问题解的存在性

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线性 互补 问题 是 ： 求 ≥０ ， 使得 Ｙ ＝Ｍｘ ＋ｑ ≥０且 有 Ｙ 一０ ，其 中 Ｍ 为－ 一 个 阶方 阵 ，该互 补 问 题记 为 Ｌ Ｃ Ｐ （ Ｍ， 口 ） ， 称 为非 齐次 互补 问题 ．当 ｑ 一０时 ， 记为 Ｌ Ｃ Ｐ （ Ｍ， ０ ） ，称为 齐 次互 补 问题 ．线 性 互
补 问题是 互补 问题 的一 个 重要组 成 部分 ， 并 且二 次规 划 的 Ｋ— Ｋ — Ｔ 方程也 为线 性互 补 问题 ． 同伦 方法 由于具有 大 范 围收敛 性 ，目前 已成 为求 解 数学 问题 的一个 重 要 工具 ．文 献 ［ １ ］ 构 造 了一
类 同伦方 程求 解互 补 问 题 ；文 献 ［ ２ － ６ ］ 对 文献 ［ １ ］ 的 同伦 方 程 给 出 了不 同条 件 下 同伦 路 径 的存 在性 ；
中 图分类 号 ：Ｏ２ ２ １
文献 标 志码 ： Ａ
文 章编 号 ：１ ６ ７ １ — ５ ４ ８ ９ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ６ — １ ０ ６ ３ — ０ ５
Ｅｘ ｉ ｓ ｔ ｅ ｎｃ ｅ ｏ ｆ ａ Ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ Ｌｉ ｎ ｅ ａ ｒ Ｃｏ ｍ ｐｌ ｅ ｍｅ ｎｔ ａ ｒ ｉ ｔ ｙ Ｐｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ
’
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ｔｈ ｅ ｈ ｏ ｍｏ ｔ ｏ ｐ ｙ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｗａ ｓ ｕ ｓ ｅ ｄ ｔ ｏ ｓ ｏ ｌ ｖ ｅ ｔ ｈ ｅ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｃ ｏ ｍｐ ｌ ｅ ｍｅ ｎ ｔ ａ ｒ ｉ ｔ ｙ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ ＬＣ Ｐ（ Ｍ ， ｑ ） ，
第 ５ １卷
第 ６期
吉 林 大 学 学 报 （理 学 版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｊ ｉ ｌ ｉ ｎ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ）
Ｖｏ １ ． ５ １ Ｎｏ ． ６
ＮＯ Ｖ ２ Ｏ１ ３
ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ Ｌ ＣＰ（ Ｍ ， ０ ） ｗａ ｓ ｇ ｉ ｖ ｅ ｎ ． Ａｎ ｄ ａ ｎ ｅ ｘ ｉ ｓ ｔ ｅ ｎ ｃ ｅ ｃ ｏ ｎ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ａ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ ｗａ ｓ ａ ｌ ｓ ｏ
２的 存 在 性
杨 泰 山 ， 姜兴武。 ， 王 秀玉 。
（ １ ．吉林 大 学 数 学 学 院 ，长 春 １ ３ ０ ０ １ ２ ； ２ ．吉 林 工 商 学 院 基 础 部 ， 长春 １ ３ ０ ０ ６ ２ ； ３ ．长 春 工 业 大学 基 础科 学 学 院 ， 长春 １ ３ ０ Ｏ １ ２ ）
ＹＡＮＧ Ｔａ ｉ — ｓ ｈ ａ ｎ 。 Ｊ Ｉ ＡＮＧ Ｘｉ ｎ ｇ — ｗｕ ，Ｗ Ａ ＮＧ Ｘｉ ｕ — ｙ ｕ 。
（ １ ．Ｃｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ，Ｊｉ ｌ ｉ ｎ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ，Ｃｈ ａ ｎ ｇｃ ｈ ｕ ｎ １ ３ ０ ０ １ ２ ，Ｃｈ ｉ ｎ ａ； ２ ．Ｄｅ ｐ ａ ｒ ｔ ｍｅ ｎ ｔ ｏ ｆ Ｆｏ ｕ ｎ ｄ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ，Ｊ ｉ ｌ ｉ ｎ Ｂｕ ｓ ｉ ｎ ｅ ｓ ｓ ａ ｎ ｄ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ Ｃｏ ｌ ｌ ｅ ｇｅ ，Ｃｈ ａ ｎ ｇ ｃ ｈ ｕ ｎ １ ３ ０ ０ ６ ２ ，Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ； ３ ．Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｂａ ｓ ｉ ｃ Ｓｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ，Ｃ ｈ ａ ｎ ｇ ｃ ｈ ｕ ｎ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｔｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ，Ｃｈ ａ ｎ ｇｃ ｈ ｕ ｎ １ ３ ０ ０ １ ２，Ｃｈ ｉ ｎ ａ ）
摘 要 ：利用 同伦 方 法对 线性 互补 问题 Ｌ Ｃ Ｐ（ Ｍ， 口 ） 进 行 求解 ，给 出 了半 单 调 线性 非齐 次 互 补 问 题 有解及 其 所对 应 的齐次 互补 问题 Ｌ Ｃ Ｐ（ Ｍ， ０ ） 只有 零解 的关 系 ，并给 出了具有 严格 可 行 性 时 互 补 问题 有 解 的一个 条件． 关键 词 ：线性互 补 问题 ；同伦 方 法 ；半单 调矩 阵
ｏ ｂｔ ａ ｉ ｎｅ ｄ ｗｈｅ ｎ ｔ ｈｅ ｓ ｔ ｒ ｉ ｃ ｔ ｌ ｙ ｆ ｅ ａ ｓ ｉ ｂ ｌ ｅ ｃ ｏ ｎｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｈｅ ｌ ｄ ．
Ｋｅ ｙ ｗｏｒ ｄ ｓ：ｌ ｉ ｎｅ ａ ｒ ｃ ｏ ｍ ｐｌ ｅ ｍｅ ｎｔ ａ ｒ ｉ ｔ ｙ ｐ ｒ ｏｂ ｌ ｅ ｍ ；ｈ ｏｍ ｏｔ ｏｐ ｙ ｍｅ ｔ ｈｏ ｄ；ｓ ｅ ｍｉ ｍｏ ｎ ｏｔ ｏｎ ｅ ｍａ ｔ ｒ ｉ ｘ
ｔ ｈｅ ｒ ｅ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎｓ ｈｉ ｐ ｂｅ ｔ ｗｅ ｅ ｎ ｔ ｈｅ ｅ ｘ ｉ ｓ ｔ ｅ ｎｃ ｅ ｏ ｆ ａ ｓ ｏ ｌ ｕｔ ｉ ｏｎ ｏ ｆ ｔ ｈｅ ｓ ｅ ｍｉ ｍｏ ｎｏ ｔ ｏ ｎｅ ｎ ｏ ｎｈｏ ｍｏ ｇ ｅ ｎ ｅ ｏｕ ｓ ｃ ｏｍ ｐ ｌ ｅ ｍｅ ｎｔ ａ ｒ ｉ ｔ ｙ ｐ ｒ ｏ ｂｌ ｅ ｍ ａ ｎｄ ｔ ｈｅ ｕｎ ｉ ｑｕ ｅ ｎ ｅ ｓ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈｅ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｈｏ ｍｏｇ ｅ ｎｅ ｏ ｕｓ ｃ ｏ ｍｐ ｌ ｅ ｍｅ ｎｔ ａ ｒ ｉ ｔ ｙ

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集值变分不等式解的存在性问题

集值变分不等式解的存在性问题


定义 １４ 设 、 是两个拓扑空间， ． ｌ ， 集值映射 Ｆ 一 ２ 称为上半连续的， ： 若对任意‰ ∈ ， 中任 Ｙ 包 含 Ｆ（ ）的 开 集 ， 在 中 的 开 集 Ｕ ∈ 存
一
凸且一致光滑的 Ｂ ｎ ｃ ａａｈ空间 ， 从而解决集值变分
收 稿 日期 ：０ ８一 ５— ７ ２０ Ｏ ２
２１ ０ ０年 ３月
四川师范大学学报（ 自然科学版）
Ｊｕ ｆ ｉ ｕｎＮ ｒ Ｍ Ｕ ｉ ￣ｉ （ ａｕａ Ｓｉ ｃ） ｏｍＭ ｏ ｃ ａ ｏｍ ｎｖ ｔ Ｎ ｔｒｌ ｃｅ ｅ Ｓｈ ｅ ｙ ｎ
Ｍａ ．， ０１ ｒ ２ ０ Ｖｏ． ３， ． １３ Ｎｏ ２
第３ ３卷
第 ２期
，
如果 ∈
其它．
集值变分不等式的研究少见． 因而本文首先在无穷 维 Ｂ ｎｃ 空间针对集值变分不等式定义 了一个例 ａａｈ 外簇 ， 并利用 文 献 ［ ］在 Ｂ ｎｃ ８ ａ ａｈ空 间中给 出的
Ｌｒｙ—Ｓｈｕ ｅ 型不 动 点 定理 ， 其应 用 Ｎ －致 ｅａ ｃａｄｒ 将 一
集值变分不等式解的存在性问题
刘 智 ， 何 诣 然
（ 四川师范大学 数学与软件科学学 院， 四川 成都 ６０ ６ ） １０ ６
摘要： 为研究 Ｂ ｎ ｃ ａａｈ空间 中的集值变分不等式问题 ， 提出 了一个 新的例外簇概 念 ， 并利 用零调集值 映 射的一个 Ｌ ｒ —ｃａｄｒ ｅａ Ｓ ｈｕｅ 型不动点定理 ， ｙ 证明 了变分不等式或有解 ， 或集值映射 ［ （ Ｊ ）一Ｆ ） ： ２ 有 （ ］Ｋ一
注 １ 本 文记 Ｊ ）和 仉 分别 为正 规对偶 映 （ 射和广义投影算子．
的发展 ， 如文献 ［ — ］ 文献［ ， １ ９． ２５—７ 在 Ｒ 空间 ］ 中提出了各类例外簇概念， 并在此概念的基础上利
利用互补松弛定理求解对偶问题的解法

利用互补松弛定理求解对偶问题的解法

利用互补松弛定理求解对偶问题的解法互补松弛定理是一种求解对偶问题的方法，它可以帮助我们通过将原问题转化为对偶问题，进而利用互补松弛定理找到对偶问题的最优解。

本文将通过介绍对偶问题的概念、互补松弛定理的原理和应用案例等方面，来详细阐述利用互补松弛定理求解对偶问题的方法。

一、对偶问题的概念1.对偶问题的基本概念对偶问题是指在线性规划中，针对原始问题所建立的对应的一个新的线性规划问题。

原始问题和对偶问题具有相似的结构和性质，但是它们的变量和约束条件是相互倒置的。

2.对偶问题的形式化表示设原始问题为：max c^T xs.t. Ax ≤ bx ≥ 0其对偶问题为：min b^T ys.t. A^T y ≥ cy ≥ 0其中，c、b、x、y分别表示原始问题和对偶问题的目标函数系数、约束条件右端常数、决策变量和对偶变量；A为系数矩阵，A^T为A的转置矩阵。

3.对偶问题的性质对偶问题和原始问题具有一些重要的性质，包括强对偶性、对偶问题的最优解和原始问题的最优解等。

二、互补松弛定理的原理1.互补松弛定理互补松弛定理是指对于原始问题和对偶问题，若原始问题和对偶问题同时存在最优解，则它们的最优解必须满足互补松弛条件。

2.互补松弛条件互补松弛条件是指对于原始问题的最优解x*和对偶问题的最优解y*，它们必须满足以下条件：a) x*和y*是原始问题和对偶问题的可行解；b) (c - A^T y*)^T x* = 0；c) (A x* - b)^T y* = 0。

3.互补松弛定理的意义互补松弛定理的意义在于通过对原始问题和对偶问题的最优解进行互补松弛条件的检验，来验证最优解的存在性和唯一性，进而找到原始问题和对偶问题的最优解。

三、利用互补松弛定理求解对偶问题的方法1.基本步骤求解对偶问题的基本步骤包括：a)将原始线性规划问题转化为对偶问题；b)求解对偶问题的最优解；c)利用互补松弛条件验证最优解的存在性和唯一性。

2.具体操作具体操作包括：a)根据原始问题的结构建立对偶问题；b)求解对偶问题的最优解；c)对对偶问题的最优解进行互补松弛条件的检验。

解一类广义线性互补问题的神经网络模型

解一类广义线性互补问题的神经网络模型

（） ５
注 ：） Ｒ＝Ｓ＝ １当 ０且 约束 ＹＩ０不存 在 时 ， ＞ 网络
（） ５ 变为
单 的神 经 网络模 型 ， 运 用 Ｌａｕｏ 并 ｙｐｎｖ稳定 性 理 论 和
ＬＳｌ 不变集原理严格证 明了， ａａｅ ｌ 当矩阵 为半正定
时 ， 提 出 的模 型 渐 近稳 定 地 收 剑 于原 问题 的 一个 所
网络 模 型．
全文用 ｌ ｌ ｌ 表示欧 氏范数 ， 示列 向量． ・ｌ 表 记
Ｒ ＝｛ Ｒ｝ Ｉ ≥ ，＝ ，， ｎ ， ＝ ， ， ∈ ０ ｉ １２ …， ｝ （
警＝ ） ＋ ＋ 一 一（Ｉ （ Ｍ ） ｑ
ＭＴ ｎ ｘ一（ ｐＩ Ｍｘ＋ｑ ］ ， ）｝ （） ７
（） １ 变为如 下形 式
『ｘ ＋ Ｒ ＋Ｐ ≥ ０， ≥ ０， Ｙ ，
记 Ｚ＝（ ， ∈Ｒ” 由引 理 １求 解 问题 （ ） Ｙ） ， ， ２ 的神 经 网络模 型 可定义 为
面 卜 ） ｄ ｚ ＝ ＝
一
ｔ ｘ≥ ０ Ｍｘ＋ｑ≥ ０ ‘Ｍｘ＋ｑ ， ， （ ）＝０ ．
（） １
其 中 Ｍ ∈Ｒ ， ∈Ｒ ， ∈Ｒ ， Ｎ Ｒ Ｓ∈Ｒ 是 给定 的矩 阵 ， Ｐ∈Ｒ ｑ∈Ｒ 是 给定 的 向量． ， ，
２ 神 经 网 络模 型
首先给出问题解 的一个等价条 件． 由问题 （ ） ２
和式（）， ３ 易得如 下 结果 ：
由于该问题包括线性互补问题和混合线性互补 问题 ， 并且 它在 双线 性规划 、 两层 规划 和全 局优 化 问
题 中有重 要应用 ， 此对 它 的研 究 具有 一 定 的 理论 因
引理 １ （ ，） ＸＹ 为问题 （ ） ２ 的解当且仅 当 ＝ （
弹塑性问题线性互补方程解的存在惟一性

弹塑性问题线性互补方程解的存在惟一性


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河 海 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ）
２０ ０２年 ９月
薹 Ｔ Ｔ ｄ ； 强矩，＝ Ｔ （）笔 （） ］） Ｎｃ（ 。 ｎ Ｍ 化阵 ｃ （ Ｔ 一Ｅ 一 ｄ ； Ｅ： ） 为 ｃ Ｍ Ｎ 。 Ｔ Ｅ ［ （ ３ ： Ｐ ｎ
引 １ 方 Ａ 【 Ｍ，为 称 逆 阵 ＝ 一 ， 理 阵 ＝ Ｈ 对 可 矩 ， Ｍ 懈 日 设 ］ 则
转 化为 二 次规 划 或线 性 互 补 问题 ， 只要 问题 的解 存 在 ， 这类 解 法总 能得 到 其 真解 ． ［］ 接 利用 塑 性理 论 中 文 １直
屈 服 函数 与 塑性 流动 参 量 之 间 的互补 性 ， 出了弹 塑性 的 互补 变 分原 理 ， 给 出 了基 于有 限元 离散 的线 性 互 提 并
Ｖ０ ． ｏ Ｎｏ． １３ ５ Ｓ ｐ．２ ０ ｅ Ｏ２
弹 塑 性 问 题 线 性 互 补 方 程 解 的 存 在 惟 一 性
孙林松 王德 信２郭兴 文２施荷 芳３ ， ， ，
（ ． 州 大学水利与 建筑工程学 院 ， 苏 扬州 １扬 江 ２５ ０ ； ． 海 大 学 土 木 工 程 学 院 ， 苏 南 京 ２０９ ２ 河 江 ２０ １） １０ １ ２０ ９ ； １０８ ３南京铁路 分局南京 建筑段 ， 苏 南京 ． 江
・ ＝ｄ 口
１
０， ≥ ０， ≥ ０ ｙ
ｊ
．
（ ４ ）
式 中： ， ＇ —— 松 弛 向量 和塑 性 流动 因子 向量 ； ＝ Ｍ — ＷＫ 日， ｇ ＝一 ｔ — ＷＫ ｄ 两 者都 只 与增 量发 ， ｄ ｏ Ｐ，
生 前 应 状 有 ． 中 Ｋ 劲 矩 ， ∑（ｅ（ Ｔ ｄ） 为 载 量 量 ｄ 之 的 力 态 关 其 ： 为 度 阵 Ｋ＝ Ｃ Ｔ１ Ｄ ＯＣ； 荷 增 向 ， Ｂ Ｂ ｅＰ ） ｄ Ｐ：