3.1.1与3.1.2空间向量及其加减与数乘运算(2个课时)

3.1.1 空间向量及其加减运算~3.1.2 空间向量的数乘运算A 组 基础巩固练一、选择题1．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是( ) ①任一向量与它的相反向量不相等；②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ③平行且模相等的两个向量是相等向量； ④若a ≠b ，则|a |≠|b |；⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同． A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A ．23B ．13C ．－13D ．－233．非零向量e 1，e 2不共线，使k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线的k 等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1D ．±14．在下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是( ) A ．OM →＝3OA →－2OB →－OC → B ．OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0 C ．MA →＋MB →＋MC →＝0 D ．OM →＝14OB →－OA →＋12OC →5．已知在长方形ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点E 是A 1C 1的中点， 点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →＝( ) A ．AA 1→＋12AB →＋12AD →B ．12AA 1→＋12AB →＋12AD →C ．12AA 1→＋16AB →＋16AD →D ．13AA 1→＋16AB →＋16AD →二、填空题6．在四面体O ­ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________．(用a ，b ，c 表示)7．已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任意一点，若由OP →＝15OA →＋23OB →＋λOC →确定的一点P 与A ，B ，C 三点共面，则λ＝________．8．在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，若AC 1→＝xAB →＋2yBC →＋3zC 1C →，则x ＋y ＋z ＝________． 三、解答题9．已知四边形ABCD 为正方形，P 是四边形ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O ，Q 是CD 的中点．求下列各式中x ，y 的值． (1)OQ →＝PQ →＋xPC →＋yP A →； (2)P A →＝xPO →＋yPQ →＋PD →．10．在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，点N 在AC 上，且AN ∶NC ＝2∶1，求证：A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．B 组 素养提升练1．给出下列命题：①若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0； ②|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ③若AB →，CD →共线，则AB ∥CD ；④对空间任意一点O 与不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ，y ，z ∈R )，则P ，A ，B ，C 四点共面． 其中不正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．42．如图是一平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1，E 为BC 延长线上一点，BC →＝2CE →，则D 1E →＝( )A ．AB →＋AD →＋AA 1→ B ．AB →＋12AD →－AA 1→C ．AB →＋AD →－AA 1→D ．AB →＋13AD →－AA 1→3．已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．4．如图，O 为△ABC 所在平面外一点，M 为BC 的中点，若AG →＝λAM →与OG →＝12OA →＋14OB →＋14OC →同时成立，则实数λ的值为_________________________．5．如图所示，平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1．(1)证明：A ，E ，C 1，F 四点共面；(2)若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，求x ＋y ＋z 的值．参考答案A 组 基础巩固练一、选择题 1．【答案】B【解析】因为零向量与它的相反向量相等，所以①不正确；根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，②正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，③不正确；当a ＝－b 时，也有|a |＝|b |，④不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，⑤不正确．综上可知只有②正确，故选B ．2．【答案】A【解析】∵CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23．3．【答案】D【解析】若k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线， 则k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，λk ＝1，∴k ＝±1． 4．【答案】C【解析】∵MA →＋MB →＋MC →＝0， ∴MA →＝－MB →－MC →， ∴M 与A ，B ，C 必共面． 5．【答案】D【解析】如图所示，AF →＝13AE →，AE →＝AA 1→＋A 1E →，A 1E →＝12A 1C 1→，A 1C 1→＝A 1B 1→＋A 1D 1→，A 1B 1→＝AB →，A 1D 1→＝AD →，所以AF →＝13AA 1→＋12A 1C 1→＝13AA 1→＋16AB →＋16AD →，故选D ．二、填空题6．【答案】12a ＋14b ＋14c【解析】OE →＝OA →＋AE →＝a ＋12AD →＝a ＋12(OD →－OA →)＝12a ＋12OD →＝12a ＋12×12(OB →＋OC →) ＝12a ＋14b ＋14c ． 7．【答案】215【解析】根据P ，A ，B ，C 四点共面的条件，知存在实数x ，y ，z ，使得OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →成立，其中x ＋y ＋z ＝1，于是15＋23＋λ＝1，所以λ＝215．8．【答案】76【解析】如图所示，AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AB →＋BC →＋(－1)C 1C →．又∵AC 1→＝xAB →＋2yBC →＋3zC 1C →，∴xAB →＋2yBC →＋3zC 1C →＝AB →＋BC →＋(－1)C 1C →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2y ＝1，3z ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝12，z ＝－13，∴x ＋y ＋z ＝1＋12－13＝76．三、解答题9．解：如图所示，(1)∵OQ →＝PQ →－PO → ＝PQ →－12(P A →＋PC →)＝PQ →－12P A →－12PC →，∴x ＝y ＝－12．(2)∵P A →＋PC →＝2PO →，∴P A →＝2PO →－PC →． 又∵PC →＋PD →＝2PQ →， ∴PC →＝2PQ →－PD →．从而有P A →＝2PO →－(2PQ →－PD →) ＝2PO →－2PQ →＋PD →． ∴x ＝2，y ＝－2．10．证明：∵A 1B →＝AB →－AA 1→， A 1M →＝A 1D 1→＋D 1M →＝AD →－12AA 1→，AN →＝23AC →＝23(AB →＋AD →)，∴A 1N →＝AN →－AA 1→ ＝23(AB →＋AD →)－AA 1→ ＝23(AB →－AA 1→)＋23(AD →－12AA 1→) ＝23A 1B →＋23A 1M →， ∴A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．B 组 素养提升练1．【答案】C【解析】显然①正确；若a ，b 共线，则|a |＋|b |＝|a ＋b |或|a ＋b |＝||a |－|b ||，故②错误；若AB →，CD →共线，则直线AB ，CD 可能重合，故③错误；只有当x ＋y ＋z ＝1时，P ，A ，B ，C 四点才共面，故④错误．故选C ． 2．【答案】B【解析】取BC 的中点F ，连接A 1F ，则A 1D 1綊FE ，所以四边形A 1D 1EF 是平行四边形，所以A 1F 綊D 1E ，所以A 1F →＝D 1E →．又A 1F →＝A 1A →＋AB →＋BF →＝－AA 1→＋AB →＋12AD →，所以D 1E →＝AB→＋12AD →－AA 1→，故选B ．3．【答案】0【解析】由λOA →＋mOB →＋nOC →＝0得OA →＝－m λOB →－n λOC →由A ，B ，C 三点共线知－m λ－nλ＝1，则λ＋m ＋n ＝0．4．【答案】12【解析】OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋λAM →＝OA →＋λ2(AB →＋AC →)＝OA →＋λ2(OB →－OA →＋OC →－OA →)＝(1－λ)OA →＋λ2OB →＋λ2OC →，所以1－λ＝12，λ2＝14，解得λ＝125． (1)证明：因为AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋AD →＋13AA 1→＋23AA 1→＝⎝⎛⎭⎫AB →＋13AA 1→＋⎝⎛⎭⎫AD →＋23AA 1→＝()AB →＋BE →＋()AD →＋DF→＝AE →＋AF →，所以A ，E ，C 1，F 四点共面． (2)解：因为EF →＝AF →－AE →＝AD →＋DF →－(AB →＋BE →)＝AD →＋23DD 1→－AB →－13BB 1→＝－AB →＋AD →＋13AA 1→，所以x ＝－1，y ＝1，z ＝13，所以x ＋y ＋z ＝13．。

共线向量(或平行向量),记作: a / /b
注：零向量与任意向量共线 2.共线向量定理:
对空间任意两个向量 a, b(b 0), a / /b
的充要条件是存在实数 使 a b
推论:如果
l
为经过点A且平行于已知非零向量
a
的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要
条件是存在实数t，满足等式 OP OA ta ① 其中向量 a 叫做直线l的方向向量.
所有向量的一组基底。
P87探究
bp a
2.共面向量定理:如果两个向量 a , b不共
线,则向量 p 与向量 a , b 共面的充要条件是存
在唯一有序实数对(x,y),使 P xa yb
判定四点共面的方法
推论: 空间一点P位于平面ABC内的充要条件 是存在唯一有序实数对(x,y),使
AP x AB yAC
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量.
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
P85探究： AB AD AA' AC ' AB AA' AD AC'
二、共面向量: 定义：平行于同一平面的向量，叫做共面向量. 课本P87页的探究？三个向量共面的充要条件？
向量 p与a，b共面 p xa yb (a, b不共线向量,x, y唯一确定） 课本P88页思考：如何判定四点共面？
结论：P位于平面ABC内的充要条件是 （1）存在唯一确定实数对x, y使AP x AB y AC; （2）对空间任意一点O,有OP xOA yOB zOC .

• (1)|λa|＝|λ||a|. • (2)当λ>0时，λa与a同向; • 当λ<0时，λa与a反向; • 当λ＝0时，λa＝0.
第1课时 空间向量的线性运算
• 向量的运算律: • 加法交换律:a＋b＝b＋a; • 加法结合律:(a＋b)＋c＝a＋(b＋c); • 数乘分配律:λ(a＋b)＝λa＋λb.
第三章 空间向量与立体几何
• 单元结构
第1课时 空间向量的线性运算
• 为使走路方便,小区准 备在小道上铺上地砖, 为了让路面平整耐用, 先对地面进行打夯,如 图所示,一块大木头嵌 有四条绳索,四名建筑 工人借助绳索用力,让 木头抬起向下打夯.
第1课时 空间向量的线性运算
• 预学1:空间向量的有关概念 • (1)打夯图中的四个人的用力方向不一致，
第1课时 空间向量的线性运算
• ④向量的模或长度:向量的大小叫作向量的 模或向量的长度.
• ⑤零向量:长度为0的向量. • ⑥单位向量:长度为1的向量. • 议一议:如何理解有向线段与向量的关系?两
个向量能否比较大小?
第1课时 空间向量的线性运算
• 【解析】向量可用有向线段来表示，但有 向线段不是向量，它只是向量的一种表示 方法.空间向量是具有大小与方向的量，两 个向量之间只有等与不等之分，而无大小 之分.
第1课时 空间向量的线性运算
第1课时 空间向量的线性运算
• 1.用已知向量来表示未知向量，一定要结合 图形，以图形为指导是解题的关键.要正确 理解向量加法、减法与数乘运算的几何意 义.在立体几何中三角形法则、平行四边形 法则仍然成立.利用向量的线性运算和空间 向量基本定理表示向量是向量应用的基础.
第1课时 空间向量的线性运算
第1课时 空间向量的线性运算

学习课件
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.12空间向量及其加减运算空间向 量的数乘运算课件新人教A版选修2
3．1.1 空间向量及其加减运算 3．1.2 空间向量的数乘运算
2．如图所示，在平行六面体 ABCD－A′B′C′D′中，与 A→ A′相等的向量有( )
A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个
解析：与AA→′相等的向量有B→B′，CC→′，DD→′，共 3 个． 答案：A
跟踪训练 2 ห้องสมุดไป่ตู้图，空间四边形 OABC 中，O→A＝a，O→B＝b， O→C＝c，点 M 在 OA 上，且 OM＝2MA，N 是 BC 的中点，则 MN 等于( )
A.12a－23b＋12c B．－23a＋12b＋12c C.12a＋12b－23c D.23a＋23b－12c
结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成 功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念， 考试加油!奥利给~
证明：连接 AC，则 N∈AC 且 N 为 AC 的中点，
所以A→N＝12A→C，
由已知得A→M＝12A→D1，
所以M→N＝A→N－
→ AM
＝12A→C－12A→D1＝12D→1C.
所以M→N与
D→1C共
线．
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你 们休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐 对身体不好哦~