深圳市耀华实验学校2018届高三上学期期末考试(文数)
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深圳市耀华实验学校2018届高三上学期期末考试数学（文科）本试卷共22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生先检查试卷与答题卷是否整洁无缺损，并用黑色字迹的签字笔在答题卷指定位置填写自己的班级、姓名、学号和座位号。
2．选择题每小题选出答案后，请将答案填写在答题卷上对应的题目序号后，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。
不按要求填涂的，答案无效。
3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．1．某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生500人，现用分层抽样的方法在这三个年级中抽取120人进行体能测试，则从高三抽取的人数应为 （A ）40(B) 48(C) 50 (D)802．若(12i)i 1i a b +=-，其中a b ∈，R ，i 是虚数单位，则|i |a b +=（A ）12i + (B) (C) 2 (D)543．已知a b ∈，R ,且b a >，则下列不等式中成立的是（A ）1>b a (B) 22b a > (C) ()0lg >-b a (D)ba ⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛21214．已知直线l 、m ,平面βα、，则下列命题中假命题是（A ）若βα//，α⊂l ,则β//l (B)若βα//，α⊥l ,则β⊥l (C)若α//l ，α⊂m ,则m l // (D)若βα⊥，l αβ=,α⊂m ,l m ⊥,则β⊥m5．设i 是虚数单位，复数1i2ia +-为纯虚数，则实数a 为（A ）2 (B) -2 (C) 1-2 (D) 126．已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为 （A ）3 (B) 2 (C)1 (D)127．若0a >,0b >,且函数224)(23---=bx ax x x f 在1x =处有极值，则ab 的最大值 （A ）2 (B) 3 (C) 6 (D)98．已知O 是坐标原点，点(1,2)A ，若点(,)M x y 为平面区域210,10,0x y x y x -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OA OM ⋅的最大值是（A ）1-(B) 12-(C) 0(D)19．阅读如图所示程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填的是（A ）4<n (B) 5<n (C) 6<n (D)7<n 10．圆心在曲线()30y x x=> 上，且与直线3430x y ++=相切的面积最小的圆的方程为（ ）（A ）()223292x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ (B) ()()22216315x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭(C) ()()22218135x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭(D)((229x y -+-=11．一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为(A) 36π(B)112π3(C) 32π(D) 28π12．已知整数对按如下规律排成一列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1）， （1，4），（2，3），（3，2），（4，1），……，则第60个数对是（A ）（10，1） (B)（2，10） (C)（5，7） (D)（7，5）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．平面向量a 与b 的夹角为60︒，20=a （，），||1=b ，则||+a b =__________. 14．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为_________．w 。
15．设1F 、2F 分别为双曲线12222=-by a x 的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足212||||PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为_________．16．对正整数n ，设曲线(1)ny x x =-在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则{}1na n +的前n 项和是_________． 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．17．（本小题满分10分） 在△ABC中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，()()2sin 2sin 2sin b B a c A c a C =+++.(Ⅰ) 求B 的大小； (Ⅱ)若b =A =4π, 求△ABC 的面积.侧视图俯视图234442244正视图已知{}n a 为公差不为零的等差数列，其中125,,a a a 成等比数列，3412a a +=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记12n n n b a a +=，设{}n b 的前n 项和为n S ，求最小的正整数n ，使得20162017n S >.19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，E 、F 分别为PC 、BD 的中点，侧面P A D A B⊥底面，且P A P A D==. (Ⅰ)求证：EF ∥平面PAD ； (Ⅱ)求三棱锥C PBD -的体积.20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线,:sin ,x C y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以O 原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos()14πρθ+=-． （Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）过点(10)M -，且与直线l 平行的直线1l 交C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积．ACDEFP某企业为了对生产的一种新产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到以下数据：（Ⅰ）通过画散点图可判断销量y 与单价x 线性相关，请求y 关于x 的回归直线方程； （Ⅱ）已知该产品的成本是36元/件，预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（Ⅰ）中的关系，为使企业获得最大利润，该产品的单价应定为多少元（精确到元）？附：回归直线ˆˆˆya bx =+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 121()()ˆˆˆ.()niii nii x x y y bay bx x x ==--==--∑∑，22．(本小题满分12分)过点(),2P a -作抛物线2:4C x y =的两条切线, 切点分别为()11,A x y , ()22,B x y .（Ⅰ） 证明: 1212x x y y +为定值;（Ⅱ） 记PAB ∆的外接圆的圆心为点M , 点F 是抛物线C 的焦点, 对任意实数a , 试判断以PM 为直径的圆是否恒过点F ? 并说明理由.数学（文科）参考答案二、填空题：本大题每小题5分；满分20分．13. 14．23. 15．35．16．122n +-． 三、解答题：17．（本小题满分10分） 在△ABC中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，()()2s i n 2s i n 2s i nb B ac A ca C =+++. (Ⅰ) 求B 的大小；(Ⅱ) 若b =A =4π, 求△ABC 的面积. （17）(Ⅰ)解: ∵()()2sin 2sin 2sin b B a c A c a C =+++,由正弦定理得，()()2222b a c a c a c =+++， ……………………………………1分化简得，2220a c b ac +-+=. ……………………………………………………2分∴2221cos 222a cb ac B ac ac +--===-. …………………………………………………4分 ∵0B <<π，∴B =23π. ……………………………………………………5分 (Ⅱ)∵A =4π, ∴C 24334ππππ=π--=-. …………………………………6分∴sin sin C =34ππ⎛⎫-⎪⎝⎭sin cos cos sin 3434ππππ=-4=. …………8分由正弦定理得，sin sin c bC B =， ……………………………………………………9分∵b =B =23π，∴sin sin b C c B ==. ………………………………………………………10分∴△ABC的面积11sin sin 22S bc A ==4π=分 18．（本小题满分12分）已知{}n a 为公差不为零的等差数列，其中125,,a a a 成等比数列，3412a a +=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记12n n n b a a +=，设{}n b 的前n 项和为n S ，求最小的正整数n ，使得20162017n S >. 解:(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意有22153412a a a a a ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，即()()2111142512a d a a d a d ⎧+=+⎪⎨+=⎪⎩， 因为0d ≠，所以解得11,2a d ==，从而{}n a 的通项公式为21,N *n a n n =-∈.……………………………………6分 (Ⅱ)因为12112121n n n b a a n n +==--+， 所以1111111...1335212121n b n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令120161212017n ->+，解得1008n >，故取1009n =.……………………………12分 19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，E 、F 分别为PC 、BD 的中点，侧面PAD ABCD ⊥底面，且2PA PD AD ==. (Ⅰ)求证：EF ∥平面PAD ； (Ⅱ)求三棱锥C PBD -的体积.ABCDEFP解:(1)连结AC ，则F 是AC 的中点，E 为PC 的中点 故在△CPA 中， //EF PA ，………………………………3分 且PA ⊂平面PAD ，EF⊄平面PAD ，∴EF //平面PAD……………………………………6分 (Ⅱ)取AD 的中点N,连结PN ,PA PD =,∴PN AD ⊥ ……………………8分又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ,PN ABCD ∴⊥平面, ………………………10分31111332212C PBD P BCDBCD a V V S PN a a a --∆∴==⋅=⋅⋅⋅= ………………………12分 20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线,:sin ,x C y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以O 原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos()124πρθ+=-． （Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （Ⅱ）过点(10)M -，且与直线l 平行的直线1l 交C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积．解:（Ⅰ）曲线C 化为普通方程为：2213x y +=，……………………………………2分由πcos()124ρθ+=-，得cos sin 2ρθρθ-=-， 所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+=．………………………………………5分（Ⅱ）直线1l的参数方程为122x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），………………………8分 代入2213x y +=化简，得2220t -=， 设A ，B 两点所对应的参数分别为12t t ，，则121t t =-，∴12||||||1MA MB t t ⋅==．……………………………………………………12分 21．(本小题满分12分)某企业为了对生产的一种新产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到以下数据：（Ⅰ）通过画散点图可判断销量y 与单价x 线性相关，请求y 关于x 的回归直线方程； （Ⅱ）已知该产品的成本是36元/件，预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（Ⅰ）中的关系，为使企业获得最大利润，该产品的单价应定为多少元（精确到元）？附：回归直线ˆˆˆya bx =+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：121()()ˆˆˆ.()niii nii x x y y bay bx x x ==--==--∑∑， 解:（I ）散点图如图 ……………2分 由图得销量y 与单价x 线性相关606264666870656x +++++== …………3分918481757067786y +++++== …………4分2251336133871112ˆ2(531)5b -⨯-⨯-⨯-⨯-⨯=++=-，……6分 12ˆ7865234,5a=+⨯= ∴回归直线方程为12ˆ2345yx =-+ ……………8分 （II ）利润1212585234(36)()(36)556Q x x x x =-+-=---（） ……………10分当5853662x +=时，利润最大，这时67≈x故定价约为67元时，企业获得最大利润. ……………12分 22．(本小题满分12分)过点(),2P a -作抛物线2:4C x y =的两条切线, 切点分别为()11,A x y , ()22,B x y .（Ⅰ） 证明: 1212x x y y +为定值;（Ⅱ） 记PAB ∆的外接圆的圆心为点M , 点F 是抛物线C 的焦点, 对任意实数a , 试判断以PM 为直径的圆是否恒过点F ? 并说明理由.解：(1) 法1:由24x y =,得214y x =,所以12y x '=. 所以直线PA 的斜率为112x . 因为点()11,A x y 和()22,B x y 在抛物线C 上, 所以21114y x =,22214y x =. 所以直线PA 的方程为()21111142y x x x x -=-. …………………………………1分 因为点(),2P a -在直线PA 上, 所以()211111242x x a x --=-,即211280x ax --=. ………………………………2分 同理, 222280x ax --=. …………………………………………3分 所以12,x x 是方程2280x ax --=的两个根.所以128x x =-. …………………………………………4分 又()22212121211144416y y x x x x =⋅==, …………………………………………5分 所以12124x x y y +=-为定值. …………………………………………6分法2:设过点(),2P a -且与抛物线C 相切的切线方程为()2y k x a +=-, ………………1分由()22,4,y k x a x y ⎧+=-⎨=⎩消去y 得24480x kx ka -++=, 由()2164480k ak ∆=-+=, 化简得220k ak --=. …………………………2分 所以122k k =-. ………………………………………………………………3分 由24x y =,得214y x =,所以12y x '=. 所以直线PA 的斜率为1112k x =,直线PB 的斜率为2212k x =. 所以12124x x =-, 即128x x =-. ………………………………………4分 又()22212121211144416y y x x x x =⋅==, …………………………………………5分 所以12124x x y y +=-为定值. …………………………………………6分(2) 直线PA 的垂直平分线方程为1112222y x a y x x -+⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭,……………7分 由于21114y x =,21182x ax -=,11 所以直线PA 的垂直平分线方程为111242ax x a y x x +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭. ① …………8分 同理直线PB 的垂直平分线方程为222242ax x a y x x +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭. ②……………9分 由①②解得32x a =, 212a y =+, 所以点23,122a M a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. ……………………………………………………10分 抛物线C 的焦点为()0,1,F 则()23,,,3.22a MF a PF a ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭ 由于2233022a a MF PF ⋅=-=，……………………………………………………11分 所以.MF PF ⊥所以以PM 为直径的圆恒过点.F …………………………………………………12分另法: 以PM 为直径的圆的方程为()()23210.22a x a x a y y ⎛⎫⎛⎫--++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ……11分 把点()0,1F 代入上方程,知点F 的坐标是方程的解.所以以PM 为直径的圆恒过点.F …………………………………………………12分。
