一、情境导入
如图所示，要用长20m 的铁栏杆，围成一个一面靠墙的长方形花圃，怎么围才能使围成的花圃的面积最大？
如果花圃垂直于墙的一边长为x m ，花圃的面积为y m 2，那么y ＝x (20－2x )．试问：x 为何值时，才能使y 的值最大？
二、合作探究
探究点一：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最值
已知二次函数y ＝ax 2＋4x ＋a －1的最小值为2，则a 的值为( ) A ．3 B ．－1 C ．4 D ．4或－1
解析：∵二次函数
y ＝ax 2＋4x ＋a －1
有最小值2，∴a ＞0，y 最小值＝4ac －b 24a ＝4a （a －1）－42
4a
＝2，
整理，得a 2－3a －4＝0，解得a ＝－1或4.∵a ＞0，∴a ＝4.故选C.
方法总结：求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种是由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第1题 探究点二：利用二次函数求图形面积的最大值 【类型一】 利用二次函数求矩形面积的最大值
如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花
圃的宽AB 为x 米，面积为S 平方米．
(1)求S 与x 的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当x 取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积．
解析：(1)根据AB 为x m ，则BC 为(24－4x )m ，利用长方形的面积公式，可求出关系式；(2)由(1)可知y 和x 为二次函数关系，根据二次函数的性质即可求围成的长方形花圃的最大面积及对应的AB 的长；(3)根据BC 的长度大于0且小于等于8列出不等式组求解即可．
解：(1)∵AB ＝x ，∴BC ＝24－4x ，∴S ＝AB ·BC ＝x (24－4x )＝－4x 2＋24x (0＜x ＜6)； (2)S ＝－4x 2＋24x ＝－4(x －3)2＋36，∵0＜x ＜6，∴当x ＝3时，S 有最大值为36；
(3)∵⎩
⎪⎨⎪⎧24－4x ≤8，24－4x ＞0，∴4≤x ＜6.
所以，当x ＝4时，花圃的面积最大，最大面积为32平方米． 方法总结：根据已知条件列出二次函数式是解题的关键．但要注意不要漏掉题中自变量的取值范围． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第8题 【类型二】 利用割补法求图形的最大面积
在矩形ABCD 的各边AB ，BC ，CD ，DA 上分别选取点E ，F ，G ，H ，使得AE ＝AH ＝CF ＝
CG ，如果AB ＝60，BC ＝40，四边形EFGH 的最大面积是( )
A ．1350
B ．1300
C ．1250
D ．1200
解析：设AE ＝AH ＝CF ＝CG ＝x ，四边形EFGH 的面积是S .由题意得BE ＝DG ＝60－x ，BF ＝DH ＝40－x ，则S △AHE ＝S △CGF ＝12x 2，S △DGH ＝S △BEF ＝ 1
2(60－x )(40－x )，所以四边形EFGH 的面积为S ＝60×40
－x 2－(60－x )(40－x )＝－2x 2＋100x ＝－2(x －25)2＋1250(0＜x ≤40)．当x ＝25时，S 最大值＝1250.故选C.
方法总结：考查利用配方法求二次函数的最值，先配方，确定函数的对称轴，再与函数的自变量的取值范围结合即可求出四边形EFGH 的面积最大值．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第7题 【类型三】 动点问题中的最值问题
如图，在矩形ABCD 中，AB ＝m (m 是大于0的常数)，BC ＝8，E 为线段BC 上的动点(不与B 、
C 重合)．连接DE ，作EF ⊥DE ，垂足为E ，EF 与线段BA 交于点F ，设CE ＝x ，BF ＝y .
(1)求y 关于x 的函数关系式；
(2)若m ＝8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？
(3)若y ＝12
m
，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？
解析：(1)利用互余关系找角相等，证明△BEF ∽△CDE ，根据对应边的比相等求函数关系式；(2)把m 的值代入函数关系式，再求二次函数的最大值；(3)∵∠DEF ＝90°，只有当DE ＝EF 时，△DEF 为等腰三角形，把条件代入即可．
解：(1)∵EF ⊥DE ，∴∠BEF ＝90°－∠CED ＝∠CDE .又∠B ＝∠C ＝90°，∴△BEF ∽△CDE ，∴BF CE ＝BE CD ，即y x ＝8－x
m ，解得y ＝8x －x 2m
； (2)由(1)得y ＝8x －x 2m ，将m ＝8代入，得y ＝－18x 2＋x ＝－18(x 2－8x )＝－1
8(x －4)2＋2，所以当x ＝4
时，y 取得最大值为2；
(3)∵∠DEF ＝90°，∴只有当DE ＝EF 时，△DEF 为等腰三角形，∴△BEF ≌△CDE ，∴BE ＝CD ＝m ，此时m ＝8－x .解方程12m ＝8x －x 2
m ，得x ＝6，或x ＝2.当x ＝2时，m ＝6；当x ＝6时，m ＝2.
方法总结：在解题过程中，要充分运用相似三角形对应边的比相等的性质建立函数关系式，是解决
问题的关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题 【类型四】 图形运动过程中的最大面积问题
如图，有一边长为5cm 的正方形ABCD 和等腰△PQR ，PQ ＝PR ＝5cm ，QR ＝8cm ，点B 、C 、
Q 、R 在同一条直线l 上，当C 、Q 两点重合时，等腰△PQR 以1cm/秒的速度沿直线l 按箭头所示方向开始匀速运动，t 秒后正方形ABCD 与等腰△PQR 重合部分的面积为S cm 2.解答下列问题：
(1)当t ＝3秒时，求S 的值； (2)当t ＝5秒时，求S 的值；
(3)当5秒≤t ≤8秒时，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值．
解析：当t ＝3秒和5秒时，利用三角形相似求出重合部分的面积．当5秒≤t ≤8秒时，利用二次函数求出重合部分面积的最大值．
