中考数学考点拔高串讲班：(第13课时)二次函数及其应用
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x O 中考数学考点拔高串讲班——第14课时 二次函数及其应用
一、【知识要点】
1. 二次函数的解析式：（1）一般式： ；（2）顶点式： ；
2. 顶点式的几种特殊形式.
⑴ ， ⑵ ， ⑶ ，（4） .
3. 二次函数2()yaxhk的图像和性质
a＞0
a＜0
图 象
开
口
对 称 轴
顶点坐标
最 值 当x＝ 时，y有最 值 当x＝ 时，y有最 值
增减性 在对称轴左侧 y随x的增大而 y 随x的增大而
在对称轴右侧 y随x的增大而 y随x的增大而
4. cbxaxy2用配方法可化成khxay2的形式，其中h＝ ， k＝ .
5. 二次函数2()yaxhk的图像和2axy图像的关系.
6．二次函数cbxaxy2通过配方可得224()24bacbyaxaa，其抛物线关于直线x 对称，顶点坐标为（ ， ）.
⑴ 当0a时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当
x 时，y有最 （“大”或“小”）值是 ；
⑵ 当0a时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当x
时，y有最 （“大”或“小”）值是 ．
7、二次函数与一元二次方程的关系：
（1）一元二次方程ax2+bx+c=0就是二次函数y=ax2+bx+c当函数y的值为0时的情况．
（2）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根．
（3）当二次函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有两个交点时，则一元二次方程y=ax2+bx+c有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根；当二次函数y＝ax2+ bx+c的图象与
x轴没有交点时，则一元二次方程y=ax2+bx+c没有实数根
8、二次函数的应用：
（1）二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大（小）值；
（2）二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值．
二、【经典例题剖析】
1. 已知二次函数y=x2－6x+8，求：
（1）抛物线与x轴J轴相交的交点坐标；
（2）抛物线的顶点坐标；
（3）画出此抛物线图象，利用图象回答下列问题：
①方程x2 －6x＋8=0的解是什么？
②x取什么值时，函数值大于0？
③x取什么值时，函数值小于0？
2. 已知抛物线y＝x2－2x－8，
（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；
（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积．
3.如图所示，直线y=-2x+2与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC=90o，
过C作CD⊥x轴，垂足为D
（1）求点A、B的坐标和AD的长
（2）求过B 、A、D三点的抛物线的解析式
DOBAC
三、当堂检测
一、选择题
1．(2014·滨州)下列函数中，图象经过原点的是( )
A．y＝3x B．y＝1－2x
C．y＝4x D．y＝x2－1
2．(2014·成都)将二次函数y＝x2－2x＋3化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为( )
A．y＝(x＋1)2＋4 B．y＝(x＋1)2＋2
C．y＝(x－1)2＋4 D．y＝(x－1)2＋2
3．(2014·黄石)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，则函数值y＞0时，x的取值范围是( )
A．x＜－1 B．x＞3
C．－1＜x＜3 D．x＜－1或x＞3
4．(2014·毕节)抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝12x2共有的性质是( )
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．都有最低点 D．y随x的增大而减小
5．(2014·荆门)将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是( )
A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－4)2－2
C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－1)2－3
6．(2014·陕西)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是( )
A．c＞－1 B．b＞0
C．2a＋b≠0 D．9a＋c＞3b
7．(2014·云南)抛物线y＝x2－2x＋3的顶点坐标是__ _．
8．已知二次函数的图象开口向上，且顶点在y轴的负半轴上，请你写出一个满足条件的二次函数的表达式_ _ _．
9．(2014·扬州)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y轴的直线，若点P(4，0)在该抛物线上，则4a－2b＋c的值为__ __．
10．出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出(6－x)个，则当x＝__ __元时，一天出售该种文具盒的总利润y最大．
11．数学课本上，用“描点法”画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象时，列了如下表格：
x „ －1 －2 0 1 2 „
y „ －612 －4 －212 －2 －212 „
根据表格上的信息回答问题：该二次函数y＝ax2＋bx＋c在x＝3时，y＝__ __．
12．(2014·菏泽)如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1＝x2(x≥0)与y2＝x23(x≥0)于B，C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则DEAB＝_
三、解答题
13．(2014·滨州)已知二次函数y＝x2－4x＋3.
(1)用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；
(2)求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．
14．(2014·泉州)如图，已知二次函数y＝a(x－h)2＋3的图象经过原点O(0，0)，A(2，0)．
(1)写出该函数图象的对称轴；
(2)若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？
16．(2014·泰州)某研究所将某种材料加热到1000 ℃时停止加热，并立即将材料分为A，B两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过x min时，A，B两组材料的温度分别为yA℃，yB℃，yA，yB与x的函数关系式分别为yA＝kx＋b，yB＝14(x－60)2＋m(部分图象如图所示)，当x＝40时，两组材料的温度相同．
(1)分别求yA，yB关于x的函数关系式；
(2)当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是多少？
(3)在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？
