第九章 静电场 提高题

第九章 静电场 提高题

9 －1 一半径为R 的半球壳，均匀地带有电荷，电荷面密度为σ，求球心处电场强度的大小

.

分析 这仍是一个连续带电体问题，求解的关键在于如何取电荷元.现将半球壳分割为一组平行的细圆环，如图所示，所有平行圆环在轴线上P 处的电场强度方向都相同，将所有带电圆环的电场强度积分，即可求得球心O 处的电场强度. 解 将半球壳分割为一组平行细圆环，任一个圆环所带电荷元

θθR δS δq d sin π2d d 2⋅==，在点O 激发的电场强度为

()

i E 3

/22

20d π41d r x q x ε+=

由于平行细圆环在点O 激发的电场强度方向相同，利用几何关系θR x cos =，θR r sin =统一积分变量，有

()

θ

θθεδθθR πδR

θR πεr x q x πεE d cos sin 2 d sin 2cos 41d 41d 0

2

303/2220=⋅=+=

积分得 0

2

/0

04d cos sin 2εδθθθεδE π⎰

==

9 －2 设匀强电场的电场强度E 与半径为R 的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量.

分析 方法1：由电场强度通量的定义，对半球面S 求积分，即⎰

⋅=S

S d s E Φ

方法2：作半径为R 的平面S ′与半球面S 一起可构成闭合曲面，由于闭合面内无电荷，由高斯定理

∑⎰==

⋅01

d 0

q εS

S E 这表明穿过闭合曲面的净通量为零，穿入平面S ′的电场强度通量在数值上等于穿出半球面S 的电场强度通量.因而

⎰⎰'

⋅-=⋅=S S

S E S E Φd d

解1 由于闭合曲面内无电荷分布，根据高斯定理，有

⎰⎰'

⋅-=⋅=S S

S E S E Φd d

依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元d S 的方向，

E R πR E 22πcos π=⋅⋅-=Φ

解2 取球坐标系，电场强度矢量和面元在球坐标系中可表示为①

()r θθθE e e e E sin sin cos sin cos ++=

r θθR e S d d sin d 2=

E

R θθER θθER S

S

2π

π

2

222πd

sin d sin d

d sin sin d ===⋅=⎰⎰⎰⎰S E Φ

9 －3 设在半径为R 的球体内，其电荷为球对称分布，电荷体密度为

()()

R r ρkr ρ>=≤≤= 0R r 0

k 为一常量.试分别用高斯定理和电场叠加原理求电场强度E 与r 的函数关系.

分析 通常有两种处理方法：(1) 利用高斯定理求球内外的电场分布.由题意知电荷呈球对称分布，因而电场分布也是球对称，选择与带电球体同心的球面为高斯面，在球面上电场强

度大小为常量，且方向垂直于球面，因而有2

S

π4d r E ⋅=⋅⎰

S E

根据高斯定理⎰

⎰

=

⋅V ρεd 1

d 0S E ，可解得电场强度的分布. (2) 利用带电球壳电场叠加的方法求球内外的电场分布.将带电球分割成无数个同心带电球壳，球壳带电荷为r r ρq ''⋅=d π4d 2

，每个带电球壳在壳内激发的电场0d =E ，而在球壳外激发的电场

r r εq

e E 2

0π4d d =

由电场叠加可解得带电球体内外的电场分布

()()()()R r r r R

r

>=≤≤=⎰⎰

d R r 0

d 0

E E E E

解1 因电荷分布和电场分布均为球对称，球面上各点电场强度的大小为常量，由高斯定理

⎰⎰=

⋅V ρεd 1

d 0

S E 得球体内(0≤r ≤R ) ()4

20

2

πd π41

π4r εk r r kr εr r E r

=

=

⎰

()r εkr r e E 0

2

4=

球体外(r ＞R )

()4

20

2

πd π41

π4r εk r r kr εr r E R

=

=

⎰

()r εkR r e E 0

2

4=

解2 将带电球分割成球壳，球壳带电

r r r k V ρq '''==d π4d d 2

由上述分析，球体内(0≤r ≤R )

()r r r

εkr r r r r k εr e e E 02

2200

4d π4π41=''⋅'=⎰ 球体外(r ＞R )

()r r R

r εkR r r r πr k πεr e e E 2

02

220

04d 441=''⋅'=⎰

9 －4 一无限大均匀带电薄平板，电荷面密度为σ，在平板中部有一半径为r 的小圆孔.求圆孔中心轴线上与平板相距为x 的一点P 的电场强度

.

分析 用补偿法求解利用高斯定理求解电场强度只适用于几种非常特殊的对称性电场.本题的电场分布虽然不具有这样的对称性，但可以利用具有对称性的无限大带电平面和带电圆盘的电场叠加，求出电场的分布.若把小圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成，挖去圆孔的带电平板等效于一个完整的带电平板和一个带相反电荷(电荷面密度σ′＝－σ)的小圆盘.这样中心轴线上的电场强度等效于平板和小圆盘各自独立在该处激发电场的矢量和. 解 由教材中第9 －4 节例4 可知，在无限大带电平面附近

n εσ

e E 0

12=

n e 为沿平面外法线的单位矢量；圆盘激发的电场

n r x x εσe E ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+--

=220212 它们的合电场强度为

n r

x x εσe E E E 2

2

212+=

+=