第四节 全概率公式与
贝叶斯公式(续)
定理 设事件组n B B B ,,,21⋅⋅⋅满足：
（1）S B n i i =∑=1；
（2）n B B B ,,,21⋅⋅⋅互不相容；
（3）n i B P i ,,2,1,0)(⋅⋅⋅=>， (如果某0)(0=i
B P ,则在概率计算中
将其去掉) 则有如下结论
(I)对任意事件A ，恒有 )|()()(1i n
i i B A P B P A P ∑==; (1.10) (II)对任意事件)0)((>A P A ，有 ∑===n j j
j i i i i B A P B P B A P B P A P AB P A B P 1)|()()
|()()()()|( ,
n i ,,2,1⋅⋅⋅=,(1.11)
注:这两个公式当+∞=n 时,(条件也变为可列个事件),也有相应的公式.
)|()()(1
i i i B A P B P A P ∑+∞
== , ∑∞+===1)|()()|()()()()|(j j
j i i i i B A P B P B A P B P A P AB P A B P .
1. 理论意义,以后经常在论证
推导中用到;
2. 实际计算概率方法,化难为
易,解决问题;
3. 注意典型例题及在变化的情
景中灵活运用;
4. 贝叶斯公式在概率诊断,
概率推断方面有用。
例 4 在无线电通讯中,由于随机干扰,当发出信号为“0”时,收到信号为“0”、不清和1的概率分别为0.7,0.2,0.1; 当发出信号为 1时,收到信号
为1、不清和0的概率分别为0.9,0.1和0.如果在发报过程中0和1出现的概率分别是0.6和0.4,当收到信号不清时,原发信号是什么？试加以推测. 解 设=1B 原发信号为“0”, =2B 原发信号为“1”, =A 收到信号“不清”,
由贝叶斯公式得
)
|()()|()()|()()|(2211111B A P B P B A P B P B A P B P A B P +=
75.01
.04.02.06.02.06.0=⨯+⨯⨯=, )
|()()|()()|()()|(2211222B A P B P B A P B P B A P B P A B P +=
25.01.04.02.06.01.04.0=⨯+⨯⨯= . 由于收到信号不清时, 原发信号为“0”概率较之原发信号为“1”的概率为大,因此通常应推断原发信号为“0”.
例5 甲袋中装有3只红球、2只白球,乙袋中装有红、白球各2只.从甲袋中任取2只球放入乙袋,然后再从乙袋中任意取出3只球.
(1) 求从乙袋中至多取出1只
红球的概率;
(2) 若从乙袋中取出的红球不
多于1只,求从甲袋中
取出的2只全是白球的
概率.
解 令
=A 从乙袋中至多取出1只红球, =i B 从甲袋中恰好取出i 只红球, (i -2只白球), 2,1,0=i ;
(1) 易知210,,B B B 互不相容,
S B B B =++210 ,且
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=====-2,1031,10
60,101)(25223i i i C C C B P i i i ; 又
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧====+=-+-+2,511,2
10,54)|(3624123402i i i C C C C C B A P i i i
i i , 故由全概率公式得
)|)(()(2
i i i B A B P A P ∑== 2511511032110654101=⨯+⨯+⨯=; (2) 易知要求概率)|(0A B P ,
由贝叶斯公式得
11
225
1154101)()|()()|(000=⨯==A P B A P B P A B P .
第五节 事件的独立性
一般情况下,条件概率
)()
()()|(A P B P AB P B A P ≠=, 这说明事件B 的发生对于事件A 发生的概率有影响.
如果事件B 的发生不影响事件A 发生的概率, 即)()()()|(A P B P AB P B A P ==,
便得 )()()(B P A P AB P =.
我们把具有这种性质的两个事件A 与B 称为是相互独立的,即有
定义8 对任意两个事件A 、B ,若成立
)()()(B P A P AB P =,
则称A 与B 相互独立,简称独立.
例 把一颗匀称的骰子连续掷两次,观察出现的点数。
=A 第一次掷出5点,
=B 第二次掷时出5点, 则显然有61)(=A P , 61)(=B P ,
36
1)(=AB P , 成立)()()(B P A P AB P =,
即A 与B 相互独立。
(这与实际感觉到的相符).
特殊事件的性质:
(1) 若0)(=C P ,则对任意事件B , C CB ⊂, 0)()(0=≤≤C P CB P ,
)()(0)(B P C P CB P ==,
C 与B 相互独立;
特别∅与B 相互独立.
(2) 若1)(=C P ,对任意事件B , 由S C C =+且∅=C C 知
0)(=C P ,0)(=C B P , 且)()()()}({)(BC P C B P BC P C C B P B P =+=+=, 故 )()()()(B P C P B P CB P ==, 即C 与B 相互独立;
特别S 与B 相互独立.
(3) 设A 为事件,若对任意事件B ,都
有A 与B 相互独立,则有0)(=A P 或1)(=A P .
事实上, )()()(B P A P AB P =,对任意事件B ,
特别取A B =,则
