辽宁省沈阳市中考数学试卷及答案

2022年辽宁省沈阳市中考数学试卷和答案一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题2分，共20分）1．（2分）计算5+（﹣3），结果正确的是（）A．2B．﹣2C．8D．﹣82．（2分）如图是由4个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．3．（2分）下列计算结果正确的是（）A．（a3）3＝a6B．a6÷a3＝a2C．（ab4）2＝ab8D．（a+b）2＝a2+2ab+b24．（2分）在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（）A．（﹣2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣3，﹣2）5．（2分）调查某少年足球队全体队员的年龄，得到数据结果如下表：年龄/岁1112131415人数34722则该足球队队员年龄的众数是（）A．15岁B．14岁C．13岁D．7人6．（2分）不等式2x+1＞3的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，点D、E分别是直角边AC、BC的中点，连接DE，则∠CED的度数是（）A．70°B．60°C．30°D．20°8．（2分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+1的图象是（）A．B．C．D．9．（2分）下列说法正确的是（）A．了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式B．如果某彩票的中奖概率是1%，那么一次购买100张这种彩票一定会中奖C．若甲、乙两组数据的平均数相同，S甲2＝2.5，S乙2＝8.7，则乙组数据较稳定D．“任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7”是必然事件10．（2分）如图，一条河的两岸互相平行，为了测量河的宽度PT（PT 与河岸PQ垂直），测量得P，Q两点间距离为m米，∠PQT＝α，则河宽PT的长为（）A．msinαB．mcosαC．mtanαD．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）因式分解：ay2+6ay+9a＝．12．（3分）二元一次方程组的解是．13．（3分）化简：（1﹣）•＝．14．（3分）如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，则的长是（结果保留π）．15．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，CD在x轴上，点B 在y轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过第一象限点A，且▱ABCD的面积为6，则k＝．16．（3分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M，N 分别在边AD，BC上，点C，D的对应点分别为点E，F，且点F 在矩形内部，MF的延长线交边BC于点G，EF交边BC于点H．EN ＝2，AB＝4，当点H为GN的三等分点时，MD的长为．三、答案题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．（6分）计算：﹣3tan30°+（）﹣2+|﹣2|．18．（8分）为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了“数学小先生”讲题比赛，老师将四道备讲题的题号1，2，3，4，分别写在完全相同的4张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀．（1）随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是；（2）小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率．19．（8分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，分别以点A，D为圆心，大于AD的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AB，AD，AC于点E，O，F，连接DE，DF．（1）由作图可知，直线MN是线段AD的．（2）求证：四边形AEDF是菱形．四、（每小题8分，共16分）20．（8分）某校积极落实“双减”政策，将要开设拓展课程．为让学生可以根据自己的兴趣爱好选择最喜欢的课程，进行问卷调查，问卷设置以下四种选项：A（综合模型）、B（摄影艺术）、C（音乐鉴赏）、D（劳动实践），随机抽取了部分学生进行调查，每名学生必须且只能选择其中最喜欢的一种课程，并将调查结果整理绘制成如下不完整的统计图．根据以上信息，答案下列问题：（1）此次被调查的学生人数为名；（2）直接在答题卡中补全条形统计图；（3）求拓展课程D（劳动实践）所对应的扇形的圆心角的度数；（4）根据抽样调查结果，请你估计该校800名学生中，有多少名学生最喜欢C（音乐鉴赏）拓展课程．21．（8分）如图，用一根60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．（1）若所围成的矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB 的长为多少厘米？（2）矩形框架ABCD面积的最大值为平方厘米．五、（本题10分）22．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD是⊙O的直径，AD，BC的延长线交于点E，延长CB交PA于点P，∠BAP+∠DCE＝90°．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）连接AC，sin∠BAC＝，BC＝2，AD的长为．六、（本题10分）23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，9），与直线OC交于点C （8，3）．（1）求直线AB的函数表达式；（2）过点C作CD⊥x轴于点D，将△ACD沿射线CB平移得到的三角形记为△A′C′D′，点A，C，D的对应点分别为A′，C′，D′，若△A′C′D′与△BOC重叠部分的面积为S，平移的距离CC′＝m，当点A′与点B重合时停止运动．①若直线C′D′交直线OC于点E，则线段C′E的长为（用含有m的代数式表示）；②当0＜m＜时，S与m的关系式为；③当S＝时，m的值为．七、（本题12分）24．（12分）【特例感知】（1）如图1，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，点C在OA上，点D在BO的延长线上，连接AD，BC，线段AD与BC的数量关系是；【类比迁移】（2）如图2，将图1中的△COD绕着点O顺时针旋转α（0°＜α＜90°），那么第（1）问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由．【方法运用】（3）如图3，若AB＝8，点C是线段AB外一动点，AC＝3，连接BC．①若将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连接AD，则AD的最大值是；②若以BC为斜边作Rt△BCD（B，C，D三点按顺时针排列），∠CDB＝90°，连接AD，当∠CBD＝∠DAB＝30°时，直接写出AD的值．八、（本题12分）25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），与x轴的另一个交点为A，与y轴交于点C，作直线AD．（1）①求抛物线的函数表达式；②直接写出直线AD的函数表达式；（2）点E是直线AD下方的抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，△BDF的面积记为S1，△DEF的面积记为S2，当S1＝2S2时，求点E的坐标；（3）点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方的部分沿x 轴向上翻折，与抛物线剩下的部分组成新的曲线记为C1，点C的对应点为C′，点G的对应点为G′，将曲线C1沿y轴向下平移n个单位长度（0＜n＜6）．曲线C1与直线BC的公共点中，选两个公共点记作点P和点Q，若四边形C′G′QP是平行四边形，直接写出点P的坐标．答案一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题2分，共20分）1．【知识点】有理数的加法．【答案】解：5+（﹣3）＝2，故选：A．2．【知识点】简单组合体的三视图．【答案】解：从正面看，底层有2个正方形，上层左边有1个正方形，故选：D．3．【知识点】完全平方公式；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．【答案】解：A．（a3）3＝a9，因此选项A不符合题意；B．a6÷a3＝a6﹣3＝a3，因此选项B 不符合题意；C．（ab4）2＝a2b8，因此选项C不符合题意；D．（a+b）2＝a2+2ab+b2，因此选项D符合题意；故选：D．4．【知识点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【答案】解：点A（2，3）关于y轴的对称点坐标为（﹣2，3）．故选：B．5．【知识点】众数．【答案】解：该足球队队员年龄13岁出现的次数最多，故众数为13岁．故选：C．6．【知识点】在数轴上表示不等式的解集．【答案】解：不等式2x+1＞3的解集为：x＞1，故选：B．7．【知识点】三角形中位线定理．【答案】解：在Rt△ABC中，∠A＝30°，则∠B＝90°﹣∠A＝60°，∵D、E分别是边AC、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠CED＝∠B＝60°，故选：B．8．【知识点】一次函数的图象．【答案】解：一次函数y＝﹣x+1中，令x＝0，则y＝1；令y＝0，则x＝1，∴一次函数y＝﹣x+1的图象经过点（0，1）和（1，0），∴一次函数y＝﹣x+1的图象经过一、二、四象限，故选：C．9．【知识点】随机事件；全面调查与抽样调查；方差．【答案】解：A．了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式，是正确的，因此选项A符合题意；B．如果某彩票的中奖概率是1%，那么一次购买100张这种彩票也不一定会中奖，因此选项B不符合题意；C．若甲、乙两组数据的平均数相同，S甲2＝2.5，S乙2＝8.7，则甲组数据较稳定，因此选项C不符合题意；D．“任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7”是不可能事件，因此选项D不符合题意；故选：A．10．【知识点】解直角三角形的应用．【答案】解：由题意得：PT⊥PQ，∴∠APQ＝90°，在Rt△APQ中，PQ＝m米，∠PQT＝α，∴PT＝PQ•tanα＝mtanα（米），∴河宽PT的长度是mtanα米，故选：C．二、填空题（每小题3分，共18分）11．【知识点】提公因式法与公式法的综合运用．【答案】解：ay2+6ay+9a＝a（y2+6y+9）＝a（y+3）2．故答案为：a（y+3）2．12．【知识点】解二元一次方程组．【答案】解：，将②代入①，得x+4x＝5，解得x＝1，将x＝1代入②，得y＝2，∴方程组的解为，故答案为：．13．【知识点】分式的混合运算．【答案】解：（1﹣）•＝＝＝x﹣1，故答案为：x﹣1．14．【知识点】弧长的计算；圆内接四边形的性质．【答案】解：连接OA、OB．∵正方形ABCD内接于⊙O，∴AB＝BC＝DC＝AD，∴＝＝＝，∴∠AOB＝×360°＝90°，在Rt△AOB中，由勾股定理得：2AO2＝42，解得：AO＝2，∴的长＝＝π，故答案为：π．15．【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质；反比例函数的性质．【答案】解：作AE⊥CD于E，如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥x轴，∴四边形ABOE为矩形，∴S平行四边形ABCD＝S矩形ABOE＝6，∴|k|＝6，而k＞0，∴k＝6．故答案为：6．16．【知识点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【答案】解：当HN＝GN时，GH＝2HN，∵将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，∴MF＝MD，CN＝EN，∠E＝∠C＝∠D＝∠MFE＝90°，∠DMN ＝∠GMN，AD∥BC，∴∠GFH＝90°，∠DMN＝∠MNG，∴∠GMN＝∠MNG，∴MG＝NG，∵∠GFH＝∠E＝90°，∠FHG＝∠EHN，∴△FGH∽△ENH，∴＝＝2，∴FG＝2EN＝4，过点G作GP⊥AD于点P，则PG＝AB＝4，设MD＝MF＝x，则MG＝GN＝x+4，∴CG＝x+6，∴PM＝6，∵GP2+PM2＝MG2，∴42+62＝（x+4）2，解得：x＝2﹣4，∴MD＝2﹣4；当GH＝GN时，HN＝2GH，∵△FGH∽△ENH，∴＝＝，∴FG＝EN＝1，∴MG＝GN＝x+1，∴CG＝x+3，∴PM＝3，∵GP2+PM2＝MG2，∴42+32＝（x+1）2，解得：x＝4，∴MD＝4；故答案为：2﹣4或4．三、答案题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．【知识点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【答案】解：原式＝2﹣3×+4+2﹣＝2﹣+4+2﹣＝6．18．【知识点】列表法与树状图法；概率公式．【答案】解：（1）由题意得，随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是．故答案为：．（2）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是“2”和“3”的结果有2种，∴小明随机抽取两张卡片，两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率为．19．【知识点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；菱形的判定．【答案】（1）解：根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线；故答案为：垂直平分线；（2）证明：∵MN是AD的垂直平分线，∴AF＝DF，AE＝DE，∴∠FAD＝∠FDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠FDA＝∠BAD，∴DF∥AB，同理DE∥AF，∴四边形AEDF是平行四边形，∵FA＝FD，∴四边形AEDF为菱形．四、（每小题8分，共16分）20．【知识点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【答案】解：（1）此次被调查的学生人数为：12÷10%＝120（名），故答案为：120；（2）选择B的学生有：120﹣12﹣48﹣24＝36（名），补全的条形统计图如图所示；（3）360°×＝72°，即拓展课程D（劳动实践）所对应的扇形的圆心角的度数是72°；（3）800×＝320（名），答：估计该校800名学生中，有320名学生最喜欢C（音乐鉴赏）拓展课程．21．【知识点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．【答案】解：（1）设框架的长AD为xcm，则宽AB为cm，∴x•＝144，解得x＝12或x＝18，∴AB＝12cm或AB＝8cm，∴AB的长为12厘米或8厘米；（2）由（1）知，框架的长AD为xcm，则宽AB为cm，∴S＝x•，即S＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣15）2+150，∵﹣＜0，∴要使框架的面积最大，则x＝15，此时AB＝10，最大为150平方厘米．故答案为：150．五、（本题10分）22．【知识点】切线的判定与性质；解直角三角形；圆周角定理．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BCD+∠DCE＝180°，∴∠BAD＝∠DCE，∵∠BAP+∠DCE＝90°，∴∠BAP+∠BAD＝90°，∴∠OAP＝90°，∵OA是⊙O的半径，∴PA是圆O的切线；（2）连接BO并延长交⊙O于点F，连接CF，∵BF是⊙O的直径，∴∠BCF＝90°，∵∠BAC＝∠F，∴sin∠BAC＝sinF＝，在Rt△BCF中，BC＝2，∴BF＝＝＝6，∴AD＝BF＝6，故答案为：6．六、（本题10分）23．【知识点】一次函数综合题．【答案】解：（1）将点B（0，9），C（8，3）的坐标代入直线y ＝kx+b，∴，解得．∴直线AB的函数表达式为：y＝﹣x+9；（2）①由（1）知直线AB的函数表达式为：y＝﹣x+9，令y＝0，则x＝12，∴A（12，0），∴OA＝12，OB＝9，∴AB＝15；如图1，过点C作CF⊥C′D′于点F，∴CF∥OA，∴∠OAB＝∠FCC′，∵∠C′FC＝∠BOA＝90°，∴△CFC′∽△AOB，∴OB：OA：AB＝C′F：CF：CC′＝9：12：15，∵CC′＝m，∴CF＝m，C′F＝m，∴C′（8﹣m，3+m），A′（12﹣m，m），D′（8﹣m，m），∵C（8，3），∴直线OC的解析式为：y＝x，∴E（8﹣m，3﹣m）.∴C′E＝3+m﹣（3﹣m）＝m．故答案为：m．②当点D′落在直线OC上时，有m＝（8﹣m），解得m＝，∴当0＜m＜时，点D′未到直线OC，此时S＝C′E•CF＝•m•m＝m2；故答案为：m2．③分情况讨论，当0＜m＜时，由②可知，S＝m2；令S＝m2＝，解得m＝＞（舍）或m＝﹣（舍）；当≤m＜5时，如图2，设线段A′D′与直线OC交于点M，∴M（m，m），∴D′E＝m﹣（3﹣m）＝m﹣3，D′M＝m﹣（8﹣m）＝m﹣8；∴S＝m2﹣•（m﹣3）•（m﹣8）＝﹣m2+m﹣12，令﹣m2+m﹣12＝；整理得，3m2﹣30m+70＝0，解得m＝或m＝＞5（舍）；当5≤m＜10时，如图3，S＝S△A′C′D′＝×4×3＝6≠，不符合题意；当10≤m＜15时，如图4，此时A′B＝15﹣m，∴BN＝（15﹣m），A′N＝（15﹣m），∴S＝•（15﹣m）•（15﹣m）＝（15﹣m）2，令（15﹣m）2＝，解得m＝15+2＞15（舍）或m＝15﹣2．故答案为：或15﹣2．七、（本题12分）24．【知识点】几何变换综合题．【答案】解：（1）AD＝BC．理由如下：如图1，∵△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD ＝90°，∴OA＝OB，OD＝OC，在△AOD和△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴AD＝BC，故答案为：AD＝BC；（2）AD＝BC仍然成立.证明：如图2，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOB+∠AOC＝∠AOC+∠COD＝90°+α，即∠BOC＝∠AOD，在△AOD和△BOC中，，°∴△AOD≌△BOC（SAS），∴AD＝BC；（3）①过点A作AT⊥AB，使AT＝AB，连接BT，AD，DT，BD，∵△ABT和△CBD都是等腰直角三角形，∴BT＝AB，BD＝BC，∠ABT＝∠CBD＝45°，∴＝＝，∠ABC＝∠TBD，∴△ABC∽△TBD，∴＝＝，∴DT＝AC＝×3＝3，∵AT＝AB＝8，DT＝3，∴点D的运动轨迹是以T为圆心，3为半径的圆，∴当D在AT的延长线上时，AD的值最大，最大值为8+3，故答案为：8+3；②如图4，在AB上方作∠ABT＝30°，过点A作AT⊥BT于点T，连接AD、BD、DT，过点T作TH⊥AD于点H，∵＝＝cos30°＝，∠ABC＝∠TBD＝30°+∠TBC，∴△BAC∽△BTD，∴＝＝，∴DT＝AC＝×3＝，在Rt△ABT中，AT＝AB•sin∠ABT＝8sin30°＝4，∵∠BAT＝90°﹣30°＝60°，∴∠TAH＝∠BAT﹣∠DAB＝60°﹣30°＝30°，∵TH⊥AD，∴TH＝AT•sin∠TAH＝4sin30°＝2，AH＝AT•cos∠TAH＝4cos30°＝2，在Rt△DTH中，DH＝＝＝，∴AD＝AH+DH＝2+；如图5，在AB上方作∠ABE＝30°，过点A作AE⊥BE于点E，连接DE，则＝＝cos30°＝，∵∠EBD＝∠ABC＝∠ABD+30°，∴△BDE∽△BCA，∴＝＝，∴DE＝AC＝×3＝，∵∠BAE＝90°﹣30°＝60°，AE＝AB•sin30°＝8×＝4，∴∠DAE＝∠DAB+∠BAE＝30°+60°＝90°，∴AD＝＝＝；综上所述，AD的值为2+或．八、（本题12分）25．【知识点】二次函数综合题．【答案】解：（1）①∵抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），∴，解得：，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣3；②由①得y＝x2﹣x﹣3，当y＝0时，x2﹣x﹣3＝0，解得：x1＝6，x2＝﹣2，∴A（﹣2，0），设直线AD的函数表达式为y＝kx+d，则，解得：，∴直线AD的函数表达式为y＝x﹣1；（2）设点E（t，t2﹣t﹣3），F（x，y），过点E作EM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥x轴于点N，如图1，∵S1＝2S2，即＝2，∴＝2，∴＝，∵EM⊥x轴，FN⊥x轴，∴EM∥FN，∴△BFN∽△BEM，∴＝＝＝，∵BM＝6﹣t，EM＝﹣（t2﹣t﹣3）＝﹣t2+t+3，∴BN＝（6﹣t），FN＝（﹣t2+t+3），∴x＝OB﹣BN＝6﹣（6﹣t）＝2+t，y＝﹣（﹣t2+t+3）＝t2﹣t﹣2，∴F（2+t，t2﹣t﹣2），∵点F在直线AD上，∴t2﹣t﹣2＝﹣（2+t）﹣1，解得：t1＝0，t2＝2，∴E（0，﹣3）或（2，﹣4）；（3）∵y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣2）2﹣4，∴顶点坐标为G（2，﹣4），当x＝0时，y＝3，即点C （0，﹣3），∴点C′（0，3），G′（2，4），∴向上翻折部分的图象解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4，∴向上翻折部分平移后的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4﹣n，平移后抛物线剩下部分的解析式为y＝（x﹣2）2﹣4﹣n，设直线BC的解析式为y＝k′x+d′（k′≠0），把点B（6，0），C（0，﹣3）代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，同理直线C′G′的解析式为y＝x+3，∴BC∥C′G′，设点P的坐标为（s，s﹣3），∵点C′（0，3），G′（2，4），∴点C′向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点G′，∵四边形C′G′QP是平行四边形，∴点Q（s+2，s﹣2），当点P，Q均在向上翻折部分平移后的图象上时，则，解得：（不符合题意，舍去），当点P在向上翻折部分平移后的图象上，点Q在平移后抛物线剩下部分的图象上时，则，解得：或（不合题意，舍去），当点P在平移后抛物线剩下部分的图象上，点Q在向上翻折部分平移后的图象上时，则，解得：或（不合题意，舍去），综上所述，点P的坐标为（1+，）或（1﹣，）．。

辽宁省沈阳市2015年初中学生学业水平（升学）考试数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题1.【答案】D【解析】A 、B 、C 都是负数，故A 、B 、C 错误；1是正数，故D 正确，故选D 。

【考点】有理数的大小比较2.【答案】A【解析】从左面看易得第一层有4个正方形，第二层最左边有一个正方形，故选A 。

【考点】几何体的三视图3.【答案】C【解析】经过某一有交通信号灯的路口遇到红灯是随机事件，A 错误；明天可能是晴天，也可能是雨天，属于不确定性事件中的可能性事件，B 错误；在操场上抛出的篮球会下落，是必然事件，C 正确；任意买一张电影票，座位号是2的倍数为不确定事件，即随机事件，D 错误，故选：C 。

【考点】必然事件，随机事件4.【答案】C【解析】∵DE BC ∥，AED 40∠=︒，∴C AED 60∠=∠=︒，∵B 40∠=︒，∴A 180C B 180406080∠=︒∠∠=︒︒︒=︒----，故选C 。

【考点】平行线的性质及三角形内角和定理5.【答案】D【解析】426a a a =，故A 错误；5210a )(a =，故B 错误；()222a b a 2ab b -=+-，故C 错误；()222ab a b =，故D 正确，故选D 。

【考点】整式的相关运算6.【答案】C【解析】数据按从小到大排列：2、3、4、4、5、5、5，中位数是4；数据5出现3次，次数最多，所以众数是5，故选C 。

【考点】中位数和众数的概念7.【答案】B【解析】如图所示，∵E ，F 分别为AB ，BC 的中点，∴EF 为△ABC 的中位线，∴EF AC ∥，1EF AC 2=，同理HG AC ∥，1HG AC 2=，∴EF HG ∥，且E F H G =，∴四边形EFGH 为平行四边形，∵1EH BD 2=，AC BD =，∴EF EH =，则四边形EFGH 为菱形，故选B 。

【考点】二次函数的图像和性质8.【答案】D【解析】二次函数()()2y a x h a 0=≠-的顶点坐标为（h ，0），它的顶点坐标在x 轴上，故选：D 。

根据以上信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生人数为________名；
（2）直接在答题卡中补全条形统计图；
（3）求拓展课程D（劳动实践）所对应的扇形的圆心角的度数；
（4）根据抽样调查结果，请你估计该校800名学生中，有多少名学生最喜欢C（音乐鉴赏）拓展课程．
21.如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．
A.70°B.60°C.30°D.20°
8.在平面直角坐标系中，一次函数 的图象是（）
A. B.
C. D.
9.下列说法正确的是( )
A.了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式
B.如果某彩票的中奖概率是1%，那么一次购买100张这种彩票一定会中奖
C.若甲、乙两组数据的平均数相同， ， ，则乙组数据较稳定
（1）若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？
（2）矩形框架ABCD面积最大值为______平方厘米．
22.如图，四边形 内接于圆 ， 是圆 的直径， ， 的延长线交于点 ，延长 交 于点 ， ．
（1）求证： 是圆 的切线；
（2）连接 ， ， ， 的长为______．
23.如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与x轴交于点A，与y轴交于点 ，与直线OC交于点 ．
沈阳市2022年初中学业水平考试
数学试题
试题满分120分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本试题卷规定位置填写自己的姓名、准考证号；
2．考生须在答题卡上作答，不能在本试题卷上作答，答在本试题卷上无效；
3．考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回；
4．本试题卷包括八道大题，25道小题，共6页．如缺页、印刷不清，考生须声明．

2018辽宁省沈阳市初中毕业、升学考试数学（满分120分，考试时间120分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内． 1．（2018辽宁省沈阳市，1，2分）下列各数中是有理数的是（ ） A. π B. 0 C.2 D.35【答案】B【解析】根据有理数的定义：整数和分数（有限小数和无线循环小数）统称为有理数；无理数的定义：无线不循环小数.可知：A 、C 、D 项为无理数，B 项为有理数. 故选B. 【知识点】有理数；无理数. 2．（2018辽宁省沈阳市，2，2分）辽宁男篮夺冠后，从4月21日至24日各类媒体关于”辽篮CBA 夺冠”的相关文章达到81000篇，将数据81000用科学记数法表示为（ ）A.0.81×410B.0.81×510C.8.1×410D.8.1×510 【答案】C【解析】科学记数法的表示形式为a ×n10的形式，其中0＜a ＜1，所以将数据81000用科学记数法可表示为8.1×410 . 故选C.【知识点】科学记数法. 3．（2018辽宁省沈阳市，3，2分）左下图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ）第3题图 A B C D 【答案】D【解析】左视图即为从左边看到的图形.观察可知：从左向右的小正方形的个数依次为2，1. 故选D. 【知识点】左视图. 4．（2018辽宁省沈阳市，4，2分）在平面直角坐标系中，点B 的坐标是（4，-1），点A 与点B 关于x 轴对称，则点A 的坐标是（ ）A ．（4，1）B ．（-1，4）C ．（-4，-1）D ．（-1，-4）【答案】A【解析】平面直角坐标系中任意一点P （x ，y ），关于x 轴对称的点Q 的坐标为（x ，-y ），因此可知点B （4，-1）关于x 轴的对称点A 的坐标为（4，1）.故选A. 【知识点】关于x 轴对称的点的坐标. 5．（2018辽宁省沈阳市，5，2分）下列运算错误的是（ ）A.236（m ）=m B.109a a =a ÷ C.358x x =x ⋅ D.437a +a =a【答案】D【解析】根据幂的乘方及同底数幂的乘、除法法则可知A、B、C项运算均正确，不符合题意.D项中4a与3a不是同类项，不能合并，故D项运算正确，符合题意. 故选D.【知识点】幂的乘方；同底数幂的乘、除法；合并同类项.6．（2018辽宁省沈阳市，6，2分）如图，AB∥CD，EF∥GH，∠1＝60°，则∠2补角的度数是（）第6题图A.60°B.100°C.110 °D.120°【答案】D【解析】如图，根据平行线的性质可知：∠1=∠3=∠2，即∠2=60°，故∠2的补角的度数是120°．故选D.【知识点】平行线的性质.7．（2018辽宁省沈阳市，7，2分）下列事件中，是必然事件的是（）A任意买一张电影票，座位号是2的倍数B．13个人中至少有两个人生肖相同C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯D．明天一定会下雨【答案】B【解析】根据必然事件（在一定条件下，有些事情必然会发生，这样的事件称为必然事件）、随机事件（在一定条件下，可能发生也可能不发生的时间，称为随机事件）、不可能事件（有些事件，必然不会发生，这样的事件称为不可能事件）的概念可知：A、C、D项均属于随机事件，B项属于必然事件. 故选A．【知识点】必然事件；随机事件；不可能事件.8．（2018辽宁省沈阳市，8，2分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则k和b的取值范围是（）第8题图A. k>0，b>0B. k>0，b<0C. k<0，b>0D. k<0，b<0【答案】C【解析】∵一次函数y＝kx＋b的图象过一、二、四象限，∴k<0，b>0.故选C.【知识点】一次函数图象与系数的关系．9．（2018辽宁省沈阳市，9，2分）点A （－3，2）在反比例函数ky=x（k ≠0）的图象上，则k 的值是（ ） A .-6 B.3-2C.-1D. 6 【答案】A【解析】∵点A （－3，2）在反比例函数k y=x （k ≠0）的图象上，∴2=k -3，解得k=-6.故选A ． 【知识点】反比例函数图象上点的坐标的特征.10．（2018辽宁省沈阳市，10，2分）如图，正方形ABCD 内接于e O ，AB ＝22，则»AB 的长是（ ）第10题图A.πB.32πC.2πD.12π 【答案】A【解析】如图，连接AC ，BD ，可知AO=BO=r ，∵AB ＝22，222AB AO BO =+，即222（22）r r =+.解得r=2.∴»AB 的长为90πr 180=90π2180⨯=π.故选A. 【知识点】正方形的性质；圆的性质；勾股定理.；圆的弧长公式．二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上． 11．（2018辽宁省沈阳市，11，3分）因式分解：33x -12x= . 【答案】3×（x+2）（x-2）【解析】33x -12x=3x （2x -4）=3x （x+2）（x-2）. 【知识点】提公因式法；平方差公式 .12．（2018辽宁省沈阳市，12，3分）一组数3，4，7，4，3，4，5，6，5的众数是 .【答案】4【解析】一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数. 由题可知：这组数中，4出现的次数最多，故该组数据的众数是4. 【知识点】众数.13．（2018辽宁省沈阳市，13，3分）化简：22a 1-a-2a -4= . 【答案】1a+2【解析】原式=2a a+22a-a-2a-21===（a+2）（a-2）(a+2)(a-2)（a+2）（a-2）（a+2）（a-2）a+2-.【知识点】分式的加减 .14（2018辽宁省沈阳市，14，3分）不等式组x-2＜03x+60⎧⎨≥⎩的 解集是 .【答案】-2≤x ＜2【解析】解x-2＜0，得x ＜2；解3x+6≥0，得x ≥-2.∴不等式组x-2＜03x+60⎧⎨≥⎩的解集是-2≤x ＜2.【知识点】解不等式组 . 15．（2018辽宁省沈阳市，15，3分）如图，一块矩形土地ABCD 由篱笆围着，并且由一条与CD 边平行的篱笆EF 分开. 已知篱笆的总长为900 m （篱笆的厚度忽略不计），当AB ＝ m 时，矩形土地ABCD 的面积最大.第15题图【答案】150【解析】设AB ＝x m ，矩形土地ABCD 的面积为y 2m ，由题意，得y=x 900-3x 2⋅=23-（x-150）+337502，∵3-2＜0，∴该函数图象开口向下，当x=150时，该函数有最大值. 即AB ＝150m 时，矩形土地ABCD 的面积最大.【知识点】二次函数的应用.16．（2018辽宁省沈阳市，16，3分）如图，△ABC 是等边三角形，AB=7，点D 是边BC 上一点，点H 是线段AD 上一点，连接BH ，CH ，当∠BHD=60°，∠AHC=90°时，DH= .第16题图【答案】13【解析】在△BDH 和△ADB 中， 60，，BHD ABD BDH ADB ∠=∠=︒∠=∠⎧⎨⎩∴△BDH ∽△ADB.∴BD DH AD BD=. ∴2BD AD DH =⋅. 如图， AE ⊥BC 与点E ，∵∠AHC=90°，∴∠CHD=∠AED=90°. 在△CHD 和△AED 中，，，CHD AED CDH ADE ∠=∠∠=∠⎧⎨⎩∴△CHD ∽△AED.∴CD DHAD DE=. ∴.CD DE AD DH ⋅=⋅ ∴2.BD CD DE =⋅在等边三角形ABC 中，∵AE ⊥BC ，∴BE=CE=12BC=12AB=72.∴由2BDCD DE =⋅，得2（）()BE DE CE DE DE -=+⋅，即277（）()22DE DE DE -=+⋅. 解得DE=76. ∴BD=BE-DE=72-76=73. 又∵AE=2222721(7)()22AC CE -=-=， ∴AD=22222177()()263AEDE +=-=. ∴由2BDAD DH =⋅，得27（）3=73DH ⋅.解得DH=13.【知识点】相似三角形的判定及性质；勾股定理；等边三角形的性质.三、解答题（本大题共9小题，满分82分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（2018辽宁省沈阳市，17，6分）计算：2tan45°-2-3+-21（）2-0（4-π）.【思路分析】先代入特殊三角函数值、计算绝对值、负分数的指数幂、零指数幂，再进行加减乘混合运算. 【解题过程】解：2tan45°-2-3+-21（）2-0（4-π）=2 1-（3-2）+4-1 =2+2.【知识点】特殊三角函数值；绝对值；负分数的指数幂；零指数幂；实数的混合运算.18．（2018辽宁省沈阳市，18，8分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，过点C 作BD 的平行线，过点D 作AC 的平行线，两直线相交于点E.第18题图（1）求证：四边形OCED 是矩形；（2）若CE ＝1，DE ＝2，则菱形ABCD 的面积是 .【思路分析】（1）先证明四边形OCED 是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直平分得出该平行四边形的一个角为直角，即可证明四边形OCED 是矩形.(2)由菱形的性质和矩形的性质，可知菱形ABCD 的面积=4△OCD S =4×12矩形OCEDS=2矩形OCED S =2×1×2=4. 【解题过程】（1）证明：∵四边形ABCD 为菱形， ∴AC ⊥BD ，∴∠COD ＝90°.∵CE ∥OD ，DE ∥OC ，∴四边形OCED 是平行四边形.∵∠COD ＝90°，∴平行四边形OCED 是矩形. (2)解：4【知识点】平行线的性质；菱形的性质；全等三角形的判定；矩形的性质及判定.19．（2018辽宁省沈阳市，19，8分）经过校园某路口的行人，可能左转，也可能直行或右转. 假设这三种可能性相同，现有小明和小亮两人经过该路口，请用列表法或画树状图法，求两人之中至少有一人直行的概率. 【思路分析】用列表法或画树状图得出所有等可能的结果，再利用概率的计算公式即可求出两人之中至少有一人直行的概率.【解题过程】解：依据题意，列表得或画树状图得由表格（或树状图）可知，共有9种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人中至少有一人直行的结果有5种：（左转，直行），（直行，左转），（直行，直行），（直行，右转），（右转，直行），∴（两人中至少有一人直行）P =59. 【知识点】列表法；画树状图法；概率的计算公式. 20．（2018辽宁省沈阳市，20，8分）九年三班的小雨同学想了解本校九年级学生对哪门课程感兴趣，随机抽取了部分九年级学生进行调查（每名学生必选且只能选择一门课程），将获得的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图：第20题图 根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）在这次调查中一共抽取了 名学生，m 的值是 ； （2）请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；（3）扇形统计图中，“数学”所对应的圆心角度数是 度；（4）若该校九年级共有1000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级学生中有多少名学生对数学感兴趣. 【思路分析】（1）用对化学课程感兴趣的学生人数除以其所占的百分比即可得到样本容量；再用对语文课程感兴趣的学生人数除以样本容量即可得到m 的值.（2）分别用对英语、物理、其他课程感兴趣的学生人数除以样本容量得到各自所占的百分比，再用1减去对语文、英语、物理、化学、其他课程感兴趣的学生人数所占的百分比，即可得到对数学课程感兴趣的学生人数所占的百分比，进而可求对数学课程感兴趣的学生人数.补全条形统计图即可. （3）利用圆心角计算公式得出“数学”所对应的圆心角度数.（4）总人数乘以“数学”所占的百分比即可求出该校九年级学生中对数学感兴趣的人数.. 【解题过程】解：（1）50 18 （2）如答图即为所求(3)108 (4)1550100％=30％，1000×30％＝300（名）. 答：估计该校九年级学生中大约有300名学生对数学感兴趣. 【知识点】条形统计图；扇形统计图；用样本估计总体. 21．（2018辽宁省沈阳市，21，8分）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进生产技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同. （1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本.【思路分析】（1）设该公司每个月生产成本的下降率为x ，则等量关系为一月份的生产成本×（1-生产成本的下降率）×（1-生产成本的下降率）=3月份的生产成本. 将相关数量代入，即可列出方程并求解. （2）用3月份的生产成本×（1-生产成本的下降率）即可求得4月份该公司的生产成本. 【解题过程】解：（1）设该公司每个月生产成本的下降率为x ，根据题意，得4002（1-x ）=361. 解得1x =5%，2x =1.95. ∵1.95＞1，∴2x =1.95不符合题意舍去. 答：每个月生产成本的下降率为5％. （2）361×（1-5％）=342.95（万元）.答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元.【知识点】一元二次方程的应用；增长率问题.22．（2018辽宁省沈阳市，22，10分）如图，BE是e O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙0的切线交BE延长线于点C.第22题图（1）若∠ADE＝25°，求∠C的度数；（2）若AB＝AC，CE＝2，求⊙O半径的长.【思路分析】）（1）连接OA，由切线的性质可得∠OAC=90°，由圆周角定理可得∠AOC=2∠ADE=2×25°=50°，再由直角三角形的两个锐角互余，可得∠C=90°-∠AOC=90°-50°=40°.(2)由圆周角定理可得∠AOC=2∠B=2∠C，再由.【解题过程】解：（1）如图，连接OA，切线的性质可得∠OAC=90°，进而可得∠C＝30°. 设⊙O的半径为r，由直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得r=12（r＋CE），解得r=2.∵AC为⊙O的切线，OA是⊙O半径，∴OA⊥AC.∴∠OAC＝90°.∵»AE=»AE，∠ADE＝25°,∴∠AOE＝2∠ADE＝50°.∴∠C＝90°－∠AOE＝90°－50°＝40°.(2) ∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵»AE=»AE，∴∠AOC=2∠B. ∴∠AOC=2∠C.∴∠OAC=90°.∴∠AOC+∠C=90°，3∠C＝90°，∠C＝30°.∵∠OAC＝90°，∴OA=12 OC.设⊙O的半径为r，∵CE=2, ∴r=12（r ＋2）. ∴r =2. ∴⊙O 的半径为2.【知识点】圆的性质；切线的性质；同弧的性质；等腰三角形的性质.23．（2018辽宁省沈阳市，23，10分）如图，在平面直角坐标系中，点F 的坐标为（0，10），点E 的坐标为（20，0），直线1l 经过点F 和点E ，直线1l 与直线2l ：y=34x 相交于点P ． （1）求直线1l 的表达式和点P 的坐标；（2）矩形ABCD 的边AB 在y 轴的正半轴上，点A 与点F 重合，点B 在线段OF 上，边AD 平行于x 轴，且AB ＝6，AD ＝9，将矩形ABCD 沿射线FE 的方向平移，边AD 始终与x 轴平行，已知矩形ABCD以毎秒5个单位的速度匀速移动（点A 移动到点E 时停止移动），设移动时间为t 秒（t ＞0）， ①矩形ABCD 在移动过程中，B 、C 、D 三点中有且只有一个顶点落在直线1l 或2l 上，请直接写出此时t 的值；②若矩形ABCD 在移动的过程中，直线CD 交直线1l 于点N ，交直线2l 于点M ，当△PMN 的面积等于18时，请直接写出此时t 的值【思路分析】（1）设直线1l 的表达式为y ＝kx ＋b ，将点F 、E 的坐标代入y ＝kx ＋b ，即可求出直线1l 的表达式；将直线1l 的表达式与y=34x 联立，即可求得点P 的坐标. (2) ①分两种情况，当点D 落在直线2l 上时，如解答过程图甲，作DR ∥1l 交2l 于点R ，设直线2l 与DC 相交于点Q ，可证△DRQ ∽△FPO ，可知DR DQFP FO =.可求得DR 长， 故此时，t=5DR ；如解答过程图乙，当点B 落在直线2l 上时，作BS ∥1l 交2l 于点S ，设直线2l 与BC 相交于点K ，可证△OBS ∽△OFP ，可知BS OBFP OF=.可求得BS 长，故此时，t=5BS .综上，即可求出t 的两个值.②如图丙，过点P 作UV ⊥OF 于点V ，UV ⊥MN 于点U ，设FN 与DC 交于点T ，可证△FTD ∽△EFO ，可求出FT=AD EF OE⋅. 又可证△MNP ∽△OFP ，△UNP ∽△VFP ，可求出MN=OF PN PF ⋅，PU=PV PN PF ⋅，∴△12PMN S MN PU =⋅=18，即可记得t 的值. 【解题过程】解：（1）设直线1l 的表达式为y ＝kx ＋b ，∵直线1l 过点F （0，10）和点E （20，0）， ∴1k=-，b=10，解得220k+b=0，b=10.⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩∴直线1l 的表达式为y=1-2x+10. 解方程组1y=-x+10，23y=x ，4⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩得x=8,y=6.⎧⎨⎩ ∴P 点的坐标为（8，6）.（2）①分两种情况，当点D 落在直线2l 上时，如图甲，作DR ∥1l 交2l 于点R ，设直线2l与DC 相交于点Q ， ∴△DRQ ∽△FPO. ∴DR DQ FP FO =. ∴DR DQ FP FO⋅= 由点P ，F 的坐标可知，点P 到x 轴、y 轴的距离为6和8，FO=10，FP=22（10-6）+8=45.∵AD=9，∴点Q 的横坐标为9，即点Q 的纵坐标y=3279=44⨯.∴DQ=10-2713=44. 由F 的纵坐标可知FO=10.∴DR DQ FP FO ⋅==1345410⨯=13510. 故此时，t=5DR =1310；如图乙，当点B 落在直线2l 上时，作BS ∥1l 交2l 于点S ，设直线2l与BC 相交于点K ， ∴△OBS ∽△OFP. ∴BS OB FP OF=. ∵OB=OF-AB=4，∴ BS OB FP OF ⋅==44585105⨯=. 故此时，t=8585==555BS . 综上，t 的值为85或1310.②如图丙，过点P 作UV ⊥OF 于点V ，UV ⊥MN 于点U ，设FN 与DC 交于点T ，∵FD ∥OE ，∴△FTD ∽△EFO. ∴FT AD EF OE=. 又∵EF=22221020105OF OE +=+=，∴FT=AD EF OE⋅=9105=20⨯952. 又∵MN ∥FO ，∴△MNP ∽△OFP ，△UNP ∽△VFP ， 则有PU MN PN PV OF PF==. ∴MN=9510（-45+5t ）552+t 4245OF PN PF⨯⋅==，PU=958（-45+5t ）212t 45PV PN PF ⨯⋅==+. ∴△1122PMN S MN PU =⋅=(55t 42+)（1+2t ）=18. 解得t=651-52.甲乙丙【知识点】一次函数；矩形的性质；动点问题.24．（2018辽宁省沈阳市，24，12分）已知：△ABC是等腰三角形，CA＝CB，0°＜∠ACB≤90°，点M在边AC 上，点N在边BC上（点M、点N不与所在线段端点重合），BN＝AM，连接AN，BM．射线AG∥BC，延长BM交射线AG于点D，点E在直线AN上，且AE＝DE．（1）如图，当∠ACB=90°时：①求证：△BCM≌△CAN；②求∠BDE的度数；（2）当∠ACB＝α，其它条件不变时，∠BDE的度数是（用含α的代数式表示）；（3）若△ABC是等边三角形，AB＝33，点N是BC边上的三等分点，直线ED与直线BC交于点F，请直接写出线段CF的长.第24题图第24题备用图1 第24题备用图2【思路分析】（1）①由CA＝CB，BN＝AM，得CN=CM ，由“边角边”即可证明△BCM≌△CAN. ②由△BCM≌△CAN可知：∠MBC＝∠NAC.由AE＝DE可知：∠EAD＝∠EDA. 故由AG∥BC可知：∠GAC＝∠ACB ＝90°，∠ADB＝∠DBC. 故可知：∠ADB =∠NAC，＋∠ANC=90°，故可得∠BDE＝∠ADB＋∠EDA＝∠NAC ＋∠EAD＝180°－90°＝90°.(2)当α=90°时，∠BDE的度数是90°.求法同（1）②．当α≠90°时，∠BDE的度数是180°-α.通过∠BDE=∠ADB＋∠EDA＝∠ANC＋∠NAC=180°-∠CAN=180°-α，即可求得.（3）分两种情况：【解题过程】解：（1）①∵CA＝CB，BN＝AM，∴CB-BN=CA-AM .∴CN=CM.∵∠ACB＝∠ACB，BC＝CA，△BCM≌△CAN.②∵△BCM≌△ACN，∴∠MBC＝∠NAC.∵EA=ED，∴∠EAD＝∠EDA.∵AG∥BC，∴∠GAC＝∠ACB＝90°，∠ADB＝∠DBC.∴∠ADB＝∠NAC.∴∠ADB＋∠EDA＝∠NAC＋∠EAD.∵∠ADB＋∠EDA＝180°－90°＝90°，∴∠BDE＝90°.(2)当α=90°时，∠BDE 的度数是α.同（1）②可求 ．当α≠90°时，由（1）知：△BCM ≌△ACN ，∠MBC ＝∠NAC.又∵AG ∥BC ，AE ＝DE ，∴∠EAD ＝∠ANC=∠EDA.∴∠BDE=∠ADB ＋∠EDA ＝∠ANC ＋∠NAC ＝∠ANC ＋∠NAC=180°-∠CAN=180°-α.故∠BDE 的度数是α或180°-α.（3）分两种情况：如图甲，作AI ⊥BC 与点I ，DH ⊥BC 于点H ，∵△ABC 是等边三角形，AB ＝33，点N 是BC 边上的三等分点，∴BN=3，CN=23.又∵在等边△ABC 中，AI ⊥BC ，∴BI=332. ∴NI= BI- BN=32. ∵点N 是BC 边上的三等分点，△ABC 是等边三角形，AB ＝33，∴AM=BN=1333⋅=3. ∵AG ∥BC ，∴△ADM ∽△CBM . ∴AD AM BC CM ==323=12. ∴AD=1233⋅=332=CI. ∴点H 与点C 重合，即此时，DC ⊥BC 于点C.∵△ADE 是等腰三角形，且AD ∥BC ，∴三角形NFE 为等腰三角形.∴∠ANI=∠DFH. 又∵∠AIN=∠DCF ，AN=EN-AE=EF-ED=DF ，∴△ANI ≌△DFC.∴CF=NI=32. 如图乙，作AH ⊥BC 与点H ，EK ⊥AD 于点K ，∵△ABC 是等边三角形，AB ＝33，点N 是BC 边上的三等分点，BN ＝AM ，∴BN ＝AM =23，CN=CM=3，AH=JK=22AB BH -=92. 又∵在等边△ABC 中，AH ⊥BC ，∴BH=CH=332. ∴NH= CH- CN=32. ∵AH ⊥BC ，EK ⊥AD ， AH ∥EK ，∴∠HAN=∠KEA ，∠AHN=∠EKA.∴△ANH ∽△EAK. ∴AH EK HN AK=. 又∵AG ∥BC ，∴△ADM ∽△CBM . ∴AD AM CB CM =. ∴AD=AM CB CM⋅=63. ∴AK=DK=33. ∴EK=AH AK HN ⋅=27. ∴EJ=EK-JK=452.∵AG ∥BC ，∴FN EJ AD EK =. ∴FN=AD EJ EK⋅=53. ∴CF=FN-CN=43.综上所述，线段CF 的长为32或43.甲 乙 43或32【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形与等边三角形的性质；平行线的性质；分类讨论思想 .25．（2018辽宁省沈阳市，25，12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线1C ：y ＝2ax +bx-1经过点A （-2，1）和点B （-1，-1），抛物线2C ：y ＝22x +x+1，动直线x ＝t 与抛物线1C 交于点N ，与抛物线2C 交于点M.（1）求抛物线1C 的表达式;（2）直接用含t 的代数式表示线段MN 的长;（3）当△AMN 是以MN 为直角边的等腰直角三角形时，求t 的值；（4）在（3）的条件下，设抛物线1C 与y 轴交于点P ，点M 在y 轴右侧的抛物线2C 上，连接AM 交y 轴于点K ，连接KN ，在平面内有一点Q ，连接KQ 和ON ．当KQ ＝1且∠KNQ ＝∠BNP 时，请直接写出点Q 的坐标.【思路分析】（1）将A ，B 两点坐标代入1C 求出a ，b 的值即可；（2）将x=t 代入1C ，2C 中，再用2C -1C 即可；（3）此题可分当∠ANM=90°时，AN=MN 求得t 值，当∠AMN=90°时，AM=MN 求得t 值；（4）由（3）可知，t=1时符合题意，此时P(0，-1)，N （1,1），M （1,4），K （0,3），∴PN=KN=5，过N 作NE ⊥y 轴于E ，作点F 为（0,2），作直线NF 过点N ，F ，此时∠FNK=∠BNP ，在直线NF 上找与点K 距离为1的点12,Q Q ，求出坐标，之后再作12,Q Q 关于直线KN 的对称点34,Q Q ，求出坐标即可.【解题过程】解：（1）抛物线1C ：y =2ax +bx-1经过点A （－2，1）和B （-1，-1）， 4a-2b-1=1，a-b-1=-1，⎧⎨⎩∴a=1，b=1.⎧⎨⎩ ∴抛物线1C 的表达式为y ＝2x +x-1.(2)MN=2t +2.理由：由题意可知，M （t ，2t ²+t+1），N （t ，t ²+t-1）由图可知，线段MN 的长为2t ²+t+1-（t ²+t-1）=t ²+2.（3）共分两种情况①当∠ANM ＝90°，AN ＝MN 时，依题意N （t ，2t +t-1），A(-2，-1)，∴AN ＝t-（-2）＝t ＋2，由（2）得MN ＝2t +2.∴t+2=2t +2.∴1t =0，2t =1.∵t ＝0时，∠AMN ＝90°，不符合题意舍去，∴t=1.②当∠AMN ＝90°，AM ＝MN 时，依题意M （t ，22t +t+1），A(-2,1)，∴AM=t-（-2）＝t+2，由（2）得MN ＝2t +2.t+2=2t +2.∴3t =0，4t =1.∵t ＝1时∠ANM ＝90°，不符合题意舍去，∴t=0.综上所述，t 的值为0或1. (4) (0，2) (-1，3) 412（，）55319（，）55. 理由：由（3）得t=0或t=1.当t=0时，直线MN 与y 轴重合，不符合题意，∴t=1.∴此时P(0，-1)，N （1,1），M （1,4），K （0,3）.∵A(-2,1)，B （-1，-1），∴PN=KN=5.即△KNP 为等腰三角形，BN 过点O.设直线KN 的解析式为y=cx+d ，代入K ，N 两点坐标得1=c d 3=d.+⎧⎨⎩，解得c=2d=3.-⎧⎨⎩， ∴直线KN 的解析式为y=-2x+3.作NE ⊥y 轴于点E ，取（0，2）为点F ，作直线NF ，∴∠ENP=∠ENK ，∵EN=EO=EF=1,∴∠ONE=∠ENF=45°，∴∠BNP=∠FNK.设直线NF 的解析式为y=kx+b ，代入N,F 两点坐标得1=k b 2=b.+⎧⎨⎩，解得k=1b=2.-⎧⎨⎩， ∴直线NF 的解析式为y=-x+2.设直线NF 上有一点Q （q ，-q+2），到点K 的距离为1，则（q-0）²+（-q+2-3）²=1²，解得q=0，或q=-1.∴1Q （0,2），2Q （-1,3） .过点1Q 作直线KN 的垂线，设此垂线的解析式为y=12x+c ，代入1Q 的坐标得y=12x+2， ∴1y=x 22y=2x 3.⎧+⎪⎨⎪-+⎩，解得2x=511y=.5⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，∴垂足的坐标为（25，115）. 作1Q 关于直线KN 的对称点3Q ，∴3Q 的坐标为（45，125）. 求4Q 的方法与求3Q 的方法相同，4Q （35，195）.【知识点】求关于直线对称点坐标，待定系数法，二次函数图象的性质，二次函数的动点问题，两点间距离的求法，等腰三角形的性质.。