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三次函数专题

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三次函数专题一、定义：定义1、形如32(0)y ax bx cx d a =+++≠的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。

定义2、三次函数的导数232(0)y ax bx c a '=++≠，把2412b ac ∆=-叫做三次函数导函数的判别式。

由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。

二、三次函数图象与性质的探究： 1、单调性。

一般地，当032≤-ac b 时，三次函数)0(23≠+++=a d cx bx ax y 在R 上是单调函数；当032>-ac b 时，三次函数)0(23≠+++=a d cx bx ax y 在R 上有三个单调区间。

（根据0,0<>a a 两种不同情况进行分类讨论） 2、对称中心。

三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 是关于点对称，且对称中心为点))3(,3(abf a b --，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。

【证明：设函数的对称中心为（m ，n ）。

按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以化简得：上式对恒成立，故，得，。

所以，函数的对称中心是（）。

可见，y ＝f(x)图象的对称中心在导函数y ＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。

3、三次方程根的问题。

（1）当△=01242≤-ac b 时，由于不等式0)(≥'x f 恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。

(（2）当△=01242>-ac b 时，由于方程0)(='x f 有两个不同的实根21,x x ，不妨设21x x <，可知，))(,(11x f x 为函数的极大值点，))(,(22x f x 为极小值点，且函数)(x f y =在),(1x -∞和),(2+∞x 上单调递增，在[]21,x x 上单调递减。

此时：①若0)()(21>⋅x f x f ，即函数)(x f y =极大值点和极小值点在x 轴同侧，图象均与x 轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。

若0)()(21<⋅x f x f ，即函数)(x f y =极大值点与极小值点在x 轴异侧，图象与x 轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。

③ 若0)()(21=⋅x f x f ，即)(1x f 与)(2x f 中有且只有一个值为0，所以，原方程有三个实根，其中两个相等。

4、极值点问题。

若函数f(x)在点x 0的附近恒有f(x 0)≥f(x) (或f(x 0)≤f(x))，则称函数f(x)在点x 0处取得极大值（或极小值），称点x 0为极大值点（或极小值点）。

当0∆>时，三次函数()y f x =在(),-∞+∞上的极值点要么有两个。

当0∆≤时，三次函数()y f x =在(),-∞+∞上不存在极值点。

}5、最值问题。

函数若，且，则：()()()(){}max 0,,f x f m f x f n =；。

三、例题讲解：例1、（函数的单调区间、极值及函数与方程的）已知函数f （x ）=x 3-3ax 2+3x+1。

（Ⅰ）设a=2，求f （x ）的单调期间；（Ⅱ）设f （x ）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a 的取值范围。

解：①式无解，②式的解为5543a <<， 因此a 的取值范围是5543⎛⎫ ⎪⎝⎭，. [例2、已知函数)(x f 满足C x x f x x f +-⎪⎭⎫⎝⎛+=2332')(（其中C 为常数）．（1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若方程0)(=x f 有且只有两个不等的实数根，求常数C ；（3）在（2）的条件下，若031>⎪⎭⎫⎝⎛-f ，求函数)(x f 的图象与x 轴围成的封闭图形的面积．解：（1）由C x x f x x f +-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2332')(，得132'23)('2-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x f x x f ．取32=x ，得13232'232332'2-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛ff ，解之，得132'-=⎪⎭⎫⎝⎛f ， ∴C x x x x f +--=23)(．从而()1313123)('2-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--=x x x x x f ， 列表如下：∴)(x f 的单调递增区间是)3,(--∞和),1(∞+；)(x f 的单调递减区间是)1,31(-． （2）由（1）知，C C f x f +=+⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=27531313131)]([23极大值；C C f x f +-=+--==1111)1()]([23极小值．∴方程0)(=x f 有且只有两个不等的实数根，等价于0)]([=极大值x f 或0)]([=极小值x f ． ………8分∴常数275-=C 或1=C ．（3）由（2）知，275)(23---=x x x x f 或1)(23+--=x x x x f ． 【而031>⎪⎭⎫ ⎝⎛-f ，所以1)(23+--=x x x x f ．令01)(23=+--=x x x x f ，得0)1()1(2=+-x x ，11-=x ，12=x ． ∴所求封闭图形的面积()⎰-+--=1123 1dx x x x 11234213141-⎪⎭⎫⎝⎛+--=x x x x 34=．例3、（恒成立问题）已知函数3211()32f x x x cx d =-++有极值． （1）求c 的取值范围；（2）若()f x 在2x =处取得极值，且当0x <时，21()26f x d d <+恒成立，求d 的取值范围．解：（1）∵3211()32f x x x cx d =-++，∴2()f x x x c '=-+，要使()f x 有极值，则方程2()0f x x x c '=-+=有两个实数解，从而△＝140c ->，∴14c <． （2）∵()f x 在2x =处取得极值，∴(2)420f c '=-+=，*∴2c =-．∴3211()232f x x x x d =--+，∵2()2(2)(1)f x x x x x '=--=-+，∴当(,1]x ∈-∞-时，()0f x '>，函数单调递增， 当x ∈(1,2]-时，()0f x '<，函数单调递减．∴0x <时，()f x 在1x =-处取得最大值76d +，∵0x <时，21()26f x d d <+恒成立，∴76d +<2126d d +，即(7)(1)0d d +->， ∴7d <-或1d >，即d 的取值范围是(,7)(1,)-∞-+∞．例4、（信息迁移题）对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠。

定义：（1）()f x 的导数()f x '（也叫()f x 一阶导数）的导数()f x ''为()f x 的二阶导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”；定义：（2）设0x 为常数，若定义在R 上的函数()y f x =对于定义域内的一切实数x ，都有000()()2()f x x f x x f x ++-=恒成立，则函数()y f x =的图象关于点00(,())x f x 对称。

（1）己知32()322f x x x x =-++， 求函数()f x 的“拐点”A 的坐标； 、（2）检验（1）中的函数()f x 的图象是否关于“拐点”A 对称;（3）对于任意的三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）。

解：（1）依题意，得：2()362f x x x '=-+ ，()66f x x ''∴=-。

由()0f x ''= ，即660x -=。

∴1x =，又 (1)2f =，∴32()322f x x x x =-++的“拐点”坐标是(1,2)。

（2）由(1)知“拐点”坐标是(1,2)。

而(1)(1)f x f x ++-=32(1)3(1)2(1)2x x x +-++++32(1)3(1)2(1)2x x x +---+-+=222666444x x +--++==2(1)f ，由定义(2)知：()32322f x x x x =-++关于点(1,2)对称。

（3）一般地，三次函数()32f x ax bx cx d =+++(0)a ≠的“拐点”是,()33b b f aa ⎛⎫--⎪⎝⎭，它就是()f x 的对称中心。

或者：任何一个三次函数都有拐点； 任何一个三次函数都有对称中心；&任何一个三次函数平移后可以是奇函数 .例5、（与线性规划的交汇问题）设函数,其中,是的导函数.(1)若,求函数的解析式; (2)若,函数的两个极值点为满足.设, 试求实数的取值范围. 解:(Ⅰ)据题意,由知,是二次函数图象的对称轴又, 故是方程的两根. 设,将代入得比较系数得:故为所求.·另解：，据题意得解得故为所求.(2)据题意,,则又是方程的两根,且则则点的可行区域如图的几何意义为点P与点的距离的平方.观察图形知点，A到直线的距离的平方为的最小值故的取值范围是<例6：（1）已知函数f(x)=x 3-x ,其图像记为曲线C.（i ） 求函数f(x)的单调区间；（ii ）证明：若对于任意非零实数x 1 ,曲线C 与其在点P 1 （x 1,f(x 1)））处的切线交于另一点P 2（x 2,f(x 2)），曲线C 与其在点P 2处的切线交于另一点P 3（x 3,f(x 3)），线段P 1 P 2, P 2 P 3与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为S 1，S 2，则12S S 为定值； （2）对于一般的三次函数g(x)=ax 3+bx 2+cx+d(a ≠0),请给出类似于（Ⅰ）（ii ）的正确命题，并予以证明。

解法一：（1）（i ）有f(x)=x 3-x 得f ’(x)=3x 2-1=3(x-33)(x+33). 当x ∈(-∞,3-)和(3，+∞)时，f ’(x)>0; 当x ∈(3-，3)时，f ’(x)<0。

（ⅱ）曲线C 在点P 1处的切线方程为 y=(3x 12-1)(x-x 1)+x 13-x 1，}即y=(3x 12-1)x-2 x 13.由得x 3-x=(3x 12-1)x-2 x 13即（x-x 1）2(x+2x 1)=0,解得 x=x 1或x=-2x 1, 故x 2=-2x 1.进而有用x 2代替x 1,重复上述计算过程，可得x 3= -2x 2和S 2=42274x 。

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高中数学三次函数的所有题型及解答总计

高中数学三次函数的所有题型及解答总计


当 m 1时 , x ( , 1 1 m)或x ( 1 1 m , ) 单调递增， x ( 1 1 m, 1 1 m) 单调递减。
【 老吴帮你解后反思 】：函数求导后为常数项未知的二次函数，不能确定二次函数与图像的交
点个数，即二次方程的跟，所以要讨论 Δ的正负。
【 变式 3】： 设函数 f ( x) = 1 x3 + mx2 + x + 1 在 x ∈（- ∞ ，+∞ ）为单调函数，求 m 的取
1
f ′( x) = x2 + 2x - 3< 0 ? x∈ (-3,1) ，此时为 f ( x) 的单调递减区间。
【 老吴帮你解后反思 】：变式 1 与例题的区别在于把三次函数的常数项换成参数
函数的单调性。
【 变式 2】： 设函数 f ( x) = 1 x3 + x2 + m x+ 1 ，求函数 f ( x) 的单调区间。
调函数（或两极值同号） ，所以 b2 3ac 0 （或 b2 3ac 0 ，且 f ( x1) f ( x2 ) 0 ） ; (3) f (x) 0 有两个相异实根的充要条件是曲线 y f ( x) 与 x 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以
2
b
3ac
0，且 f ( x1 ) f (x2 )
0;
(4) f (x) 0 有三个不相等的实根的充要条件是曲线
y f ( x) 与 x 轴有三个公共点， 即 f ( x) 有一个极大
值，一个极小值，且两极值异号 . 所以 b 2 3ac 0 且 f ( x1) f (x2 ) 0 .
【 例题 1】：设函数 f (x) = 1 x3 + x2 - 3x+ 1 ，求函数 f ( x) 的单调区间。
三次函数的对称性中心问题

三次函数的对称性中心问题

三次函数的对称性中心问题而)3()3()3()3]()3(3[)3(2323a b c a b b d a b a a b c a b a d a b a -++-=-++-)3(ab f -=)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的图象关于))3(,3(a b f a b --对称。

证明3：设函数)0()(23≠+++=a d cx bx axx f 的对称中心为（m ，n ）。

按向量),(a n m --=将函数的图象平移，则所得函数n m x f y -+=)(是奇函数，所以2)()(=-+-++n m x f m x f+++++++d m x c m x b m x a )()()(23dm x c m x b m x a ++-++-++-)()()(23-2n=0化简得：上式对恒成立，故⎩⎨⎧=-+++=+00323n d cm bm am b am 得，。

所以，函数的对称中心是（）。

定理3：若三次函数有极值，则它的对称中心是两个极值点的中点证明：不妨设0232=++c bx ax 为)(x f 的导方程，判别式01242>-=∆ac b ,设)(x f 两极值点为))(,()),(,(2211x f x B x f x A[][]acx x a b x x d x x c x x x x b x x x x x x a dx x c x x b x x a d cx bx ax d cx bx ax x f x f 3,322)(2)(3)()(2)()()()()(2121212122121221212122213231222321213121=-=++++-++-++=++++++=+++++++=+∴ 又dabc a b b a b a da b c a c b a b b a c a b a a b a x f x f 2)3(2)3(2)3(22)32(32323)32(332)()(232321+-+-+-=+-+-⎪⎭⎫⎝⎛-+--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+∴)3(2)(21ab f x x f -=+∴所以此时的对称中心是两个极值点的中点，同时也是函数)(x f 的拐点。

第37讲 三次函数的图像与性质(学生版)

第37讲 三次函数的图像与性质(学生版)

第37讲三次函数的图像与性质三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)具有丰富的性质，利用导数研究这些性质，其研究的过程与方法具有普遍性,一般性和有效性,可以迁移到其他函数的研究中．本专题主要研究三次函数的单调性,极值,最值,对称性等,并在研究的过程中体会数形结合,分类与整合,化归与转化等思想方法.1.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a,b,c,d∈R),设直线l1,l2分别是曲线y＝f(x)的两条不同的切线,若函数f(x)为奇函数,且当x＝1时f(x)有极小值为－4.①求a,b,c,d的值；②若直线l3亦与y＝f(x)相切,且三条不同的直线l1,l2,l3交于点G(m,4),求实数m的取值范围.2.已知函数f(x)＝x3－tx2＋1,求证：对任意实数t，函数f(x)的图像总存在两条切线相互平行.3.已知函数32()3f x x x ax =-+()a ∈R ，()|()|g x f x =．（1）求以(2,(2))P f 为切点的切线方程，并证明此切线恒过一个定点；（2）若()g x kx ≤对一切[0,2]x ∈恒成立，求k 的最小值()h a 的表达式；（3）设0a >，求()y g x =的单调增区间．4.已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b.(1)讨论f(x)的单调性；(2)是否存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]的最小值为－1且最大值为1？若存在,求出a,b的所有值；若不存在,说明理由．5.已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数'()f x 的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：33b a >；（3）若(),'()f x f x 这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围．。

三次函数性质解析版

三次函数性质解析版

三次函数的图像及性质形如的函数叫做三次函数，其中是自变量，是常数。

它具有以下性质：1、图像、单调区间与极值三次函数求导以后是二次函数，，它的零点个数决定了三次函数的极值情况与单调区间，下面是三次函数及其对应的导函数全部共六种图像：2、零点个数△=，若方程的判别式，则在R 上是单调函数，无极值，值域为，故有唯一的零点。

若方程的判别式，方程有两个不等的实根、，它们是函数的极值点，则：（i ）当时，有一个零点；（ii ）当时，有两个零点；32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠x ,,,a b c d2()32f x ax bx c '=++xx 0a >0a <)3(412422ac b ac b -=-()0f x '=0∆≤()f x (,)-∞+∞()0f x '=0∆>1x 2x ()f x 12()()0f x f x ⋅>()fx xxxx12()()0f x f x ⋅=()f x（iii ）当时，有三个零点。

3、对称中心三次函数的图象关于点对称，并且在处取得最小值，其图象关于直线对称. 证1 易知是奇函数，图象关于原点对称，则关于点对称. 4、过平面内一点能作三次函数图像切线的条数（1） (2012·大纲全国高考)已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝( )A ．－2或2B ．－9或3C ．－1或1D ．－3或1答案：A（2）函数f(x)=x 3-3x 2+x -1的图象关于（ ）对称A 、直线x=1B 、直线y=xC 、点(1,-2)D 、原点(3)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)的对称中心为M (x 0，y 0)，记函数f (x )的导函数为f ′(x )，f ′(x )的导函数为f ″(x )，则有f ″(x 0)＝0.若函数f (x )＝x 3－3x 2，则f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫32 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎫4 0322 017＋f ⎝⎛⎭⎫4 0332 017＝( )A ．－8 066B ．－4 033C ．8 066D ．4 033xxxx12()()0f x f x ⋅<()fx xx)0()(23>+++=a d cx bx ax x f ))3(,3(abf a b --)('x f a b x 3-=abx 3-=)3()3)(3()3()(2323abf a b x a b c a b x a d cx bx ax x f -++-++=+++=x ab c ax x g )3()(23-+=)(x f ))3(,3(a b f a b --2条1条【解析】由f (x )＝x 3－3x 2得f ′(x )＝3x 2－6x ，f ″(x )＝6x －6，又f ″(x 0)＝0，所以x 0＝1且f (1)＝－2，即函数f (x )的对称中心为(1，－2)，即f (x )＋f (2－x )＝－4.令S ＝f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫32 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎫4 0322 017＋f ⎝⎛⎭⎫4 0332 017，则S ＝f ⎝⎛⎭⎫4 0332 017＋f ⎝⎛⎭⎫4 0322 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎫32 017＋f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫12 017，所以2S ＝4 033×(－4)＝－16 132，S ＝－8 066.解析 由f(x)=ax 3+bx 2+cx+d(a ≠0)的图象关于成中心对称知选C（4）已知函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图所示，则（ ）A 、b ∈(-∞,0)B 、b ∈(0,1)C 、b ∈(1,2)D 、b ∈(2,+ ∞解析 显然f(0)=d=0，由f(x)=ax(x -1)(x -2)知a>0，又 f(x)= ax 3-3ax 2+2ax 比较系数可知b=-3a<0，故选A(5) 试确定的a,b,c,d 符号（答：a>0,b<0,c>0,d=0）（6）（2013课标全国Ⅱ卷，10）已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c ） （A ）x α∈R,f(x α)=0 （B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形 （C ）若x α是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,x α）单调递减（D ）若x 0是f （x ）的极值点，则解析：由三次函数值域为R 知f(x)=0有解，A 正确；由性质可知B 正确;由性质可知若f(x)有极小值点，则由两个不相等的实数根,,则f(x)在（-∞,x 1)上为增函数，在上为减函数，在（x 2，,)上为增函数，故C 错。