多元函数积分方法技巧
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多元函数积分方法技巧
摘要：对于不同的背景，如讨论一般形状的物体的体积、质量、重心等问题的时
候我们一般就要运用多元积分的内容。多元函数有各种不同的概念，因而多元函
数积分学具有十分丰富的内容，其中最重要的还是多元函数积分的计算方法。
关键词：多元函数 积分技巧
提到积分，首先想到的应该就是二重积分了。这类积分实际上是通过计算曲
顶柱体的体积来引出的。若f(x,y)=1则∫∫f(x,y)dδ=A(D),即积分区域的面积。
计算方法如下：
1、二次积分在直角坐标系两种不同次序积分：
一是先积y后积x的累次积分，即：若),(yxf在矩形区域dcbaD,,上
可积，且对每个bax,，积分其
dyyxf
dc,存在，则累次积分dyyxfdxdcb
a
,
也
存在，且：
dyxfD,
dyyxfdxdcba,
其二是先积x后积y的累次积分，即：若yxf,在矩形区域dcbaD,,上
可积，且对每个dcy,，积分
dxyxf
ba,存在，则累次积分dxyxfdybad
c
,
也
存在，且：
dyxfD,
dxyxfdybadc,
2、二次积分在极坐标系下的积分：
当一些二重积分的积分区域D用极坐标表示比较简单,或者一些函数它们的二
重积分在直角坐标系下根本无法计算时,我们可以在极坐标系下考虑其计算问题.
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例如:dxdyyxdxdyyxdxdyeayxayxayxyx22222222222)cos(,)sin(,2222等.
用极坐标计算二重积分的步骤
(1)画出积分区域的草图;
(2)将(,)Dfxydxdy转化为(cos,sin)Dfrrrdrd,根据积分区域的草图确定
r
和的积分范围;
(3)将(cos,sin)Dfrrrdrd转化为二次定积分,并计算得出结果.
三重积分的计算方法介绍：
三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重
积分）和一个二重积分。从顺序看：
如果先做定积分
2
1
),,(zzdzzyxf
，再做二重积分DdyxF),(，就是“投影法”，
也即“先一后二”。步骤为：找及在xoy面投影域D。多D上一点（x,y）“穿
线”确定z的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计
算步骤计算投影域D上的二重积分，完成“后二”这一步。
ddzzyxfdvzyxfDzz21]),,([),,(
如果先做二重积分
z
D
dzyxf),,(
再做定积分21)(ccdzzF，就是“截面法”，也
即“先二后一”。步骤为：确定位于平面
21czcz与之间，即],[21
ccz
，过
z作平行于xoy面的平面截，截面
zD。区域z
D
的边界曲面都是z的函数。计
算区域
z
D
上的二重积分zDdzyxf),,(，完成了“先二”这一步（二重积分）；
进而计算定积分
2
1
)(ccdzzF
，完成“后一”这一步。
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dzdzyxfdvzyxfccDz]),,([),,(21
当被积函数f（z）仅为z的函数（与x,y无关），且
z
D
的面积)(z容易求出
时，“截面法”尤为方便。
为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以
下几点考虑：将积分区域投影到xoy面，得投影区域D(平面)：（1）D是X型
或Y型，可选择直角坐标系计算（当的边界曲面中有较多的平面时，常用直
角坐标系计算）；（2）D是圆域（或其部分），且被积函数形如
)(),(
22
x
y
fyxf
时，
可选择柱面坐标系计算（当为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）；（3）
是球体或球顶锥体，且被积函数形如
)(
222
zyxf
时，可选择球面坐标系计算
计算积分应该注意以下几点:
首先,选择坐标系.先要考虑积分区域的形状,看其边界曲线用直系方程表示
简单还是极系方程表示简单,其次要看被积函数的特点,看使用极坐标后函数表达
式能否简化并易于积分.
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对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域及被积函数f(x,y,z)
的情况选取。
一般地，投影法（先一后二）：较直观易掌握；
截面法（先二后一）：
z
D
是在z处的截面，其边界曲线方
程易写错，故较难一些。
特殊地，对
z
D
积分时，f(x,y,z)与x,y无关，可直接计算zDS。因而中
只要],[baz, 且f(x,y,z)仅含z时，选取“截面法”更佳。
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2.
对坐标系的选取，当为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲
面所围成的形体；被积函数为仅含z或
)(
22
yxzf
时，可考虑用
柱面坐标计算。
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