3．(2013·浙江卷)已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如右图所示，则该函数的图象是( )
解析 由导函数的图象可知，原函数单调递增，且切线的斜率由小到大再变小，故只有选项B 满足．
答案 B
4．(2013·大纲全国卷)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在(1
2，＋∞)上
是增函数，则a 的取值范围是( )
A ．[－1,0]
B ．[－1，＋∞)
C ．[0,3]
D ．[3，＋∞)
解析 由f (x )＝x 2
＋ax ＋1x 在(1
2
，＋∞)上为增函数，得f ′(x )
＝2x ＋a －1
x 2≥0在(12，＋∞)上恒成立，即a ≥1x 2－2x 在(1
2，＋∞)上
恒成立，令g (x )＝1x 2－2x (x >12)，g ′(x )＝－2x 3－2<0，故g (x )在(1
2，
＋∞)上为减函数，所以a ≥g (1
2
)＝3.故选D.
答案 D
5．(2013·浙江卷)已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x
－1)(x －1)k (k ＝1,2)，则( )
A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值
B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值
C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值
D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值
解析 当k ＝1时，f (x )＝(e x －1)(x －1)，f ′(1)＝x e x －1，x ＝1不是f ′(x )＝0的根，所以不是极值点，排除A 、B ；当k ＝2时，
f (x )＝(e x －1)(x －1)2，f ′(x )＝(x －1)(x e x ＋e x －2)，当x ＝1时f ′(x )＝0且x >1时f ′(x )>0，结合选项，故选C.
答案 C
6．(2013·湖北卷)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，0)
C ．(0,1)
D ．(0，＋∞)
解析 f ′(x )＝ln x －ax ＋x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x －a ＝ln x －2ax ＋1，假设函数f (x )
只有1个极值点，则方程ln x －2ax ＋1＝0(x >0)只有一根，数形结合，
即直线y ＝2ax －1与曲线y ＝ln x 相切．设切点为(x 0，ln x 0)，则切线方程为y －ln x 0＝1
x 0(x －x 0)，即y ＝1
x 0
x ＋ln x 0－1.又切线方程为y ＝2ax
－1，对比得⎩⎪⎨
⎪⎧
2a ＝1x 0
，－1＝ln x 0
－1，
解得a ＝1
2
，x 0＝1.故若要使直线y
＝2ax －1与曲线y ＝ln x 相交，即函数f (x )＝x (ln x －ax )有2个极值点，需满足0.
答案 B
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ∈[－1,1]，则f (m )的最小值为________．
解析 求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，故a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x .由此可得f (x )在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增，所以对m ∈[－1，1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.
答案 －4
8．已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围是________．
解析 f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋m ＋6＝0有两个不等实根，即Δ＝4m 2
－12×(m ＋6)>0.所以m >6或m <－3.
答案 (－∞，－3)∪(6，＋∞)
9．已知函数f (x )＝(m －2)x 2＋(m 2－4)x ＋m 是偶函数，函数g (x )＝－x 3＋2x 2＋mx ＋5在(－∞，＋∞)内单调递减，则实数m ＝________.
