2019-2020学年高中数学 2.3.2双曲线的简单几何性质导学案 理新人教A版选修2-1.doc

精品导学案：§2.3.2双曲线的简单几何性质(2)1．从具体情境中抽象出椭圆的模型；2．掌握椭圆的定义；3．掌握椭圆的标准方程．5860，文P51~ P53找出疑惑之处）复习1：说出双曲线的几何性质?复习2：双曲线的方程为221 914x y-=，其顶点坐标是( )，( )；渐近线方程．二、新课导学※学习探究探究1：椭圆22464x y+=的焦点是？探究2：双曲线的一条渐近线方程是0x+=，则可设双曲线方程为？问题：若双曲线与22464x y+=有相同的焦点，它的一条渐近线方程是0x+=，则双曲线的方程是？※典型例题例1双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m ，上口半径为13m ，下口半径为25m ，高为55m ，试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程．例2点(,)M x y 到定点(5,0)F 的距离和它到定直线l :165x =的距离的比是常数54，求点M 的轨迹．（理）例3过双曲线22136x y -=的右焦点，倾斜角为30的直线交双曲线于,A B 两点，求,A B 两点的坐标．变式：求AB ？思考：1AF B ∆的周长？※动手试试练1．若椭圆22214x ya+=与双曲线2212x ya-=的焦点相同，则a=____.练2 ．若双曲线2214x ym-=的渐近线方程为y=，求双曲线的焦点坐标．三、总结提升※学习小结1．双曲线的综合应用：与椭圆知识对比，结合；2．双曲线的另一定义；3．（理）直线与双曲线的位置关系．※知识拓展双曲线的第二定义：到定点的距离与到定直线的距离之比大于1的点的轨迹是双曲线．※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1．若椭圆2212516x y +=和双曲线22145x y -=的共同焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则12PF PF ∙的值为（ ）．A ．212B ．84C ．3D ．21 2．以椭圆2212516x y +=的焦点为顶点，离心率为2的双曲线的方程（ ）． A. 2211648x y -= B. 221927x y -= C. 2211648x y -=或221927x y -= D. 以上都不对 3．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的直线，交双曲线于P 、Q ，1F 是另一焦点，若∠12PFQ π=，则双曲线的离心率e 等于（ ）．1 B. C. 1 D. 24．双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________. 5．方程22141x y k k+=--表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围 ．1．已知双曲线的焦点在x 轴上，方程为22221x y a b -=，两顶点的距离为8，一渐近线上有点(8,6)A ，试求此双曲线的方程．。

2019-2020学年高中数学 2.3.3双曲线习题课学案 新人教A 版选修2-1【学习目标】1. 掌握与双曲线有关的轨迹问题；2. 会求直线与双曲线有关的综合问题；【重点难点】 与双曲线有关的轨迹问题及综合应用【学习过程】：一、复习旧知：1.双曲线的定义：__________________________________.2.双曲线的标准方程:_______________、______________.3.双曲线的几何性质：描述位置的量_________、_________、__________、___________、___________；描述大小的量：__________、__________、__________、通径.二、课堂互动探究：典例精析 变式训练 类型一 与双曲线有关的轨迹问题例1. 设(),M x y 与定点()5,0F 的距离和它到直线l ：165x =的距离的比是常数54，求点M 的轨迹．思考：本例与书2.2的例6比较，你有什么发现？例2. 在ABC ∆中，2=BC ，且A B C sin 21sin sin =-，求点A 的轨迹。

例3. 已知双曲线222x y -=的右焦点为F ，过点F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点，点C 的坐标是（1，0）．若动点M 满足CM CA CB CO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程．类型二 双曲线的几何性质的综合应用例4.如图，双曲线12222=-by a x （a ，b ＞0）的两顶点为1A ，2A ，虚轴两端点为1B ，2B ，两焦点为1F ，2F ，若以21A A 为直径的圆内切于菱形2211B F B F ，切点分别为A ，B ，C ，D 。

则：（1）求双曲线的离心率e =___； （2）菱形2211B F B F 的面积1S 与矩形ABCD 的面积2S 的比值=21S S ________.例5.设O 为坐标原点，1F ，2F 是双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足02160=∠PF F ，a OP 7=，则求该双曲线的渐近线方程.类型三 直线与双曲线的综合应用 例6. 已知双曲线C 的方程为12222=-bx a y （a ，b ＞0），离心率25=e ，顶点到渐近线的距离为552。

2.等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,显然,它的渐近线方
程为 y=±x,离心率为 2, 方程可表示为2 − 2 = (≠0).
【做一做 2】
2
已知双曲线

2
−
12-
= 1 是等轴双曲线, 则 =
___________.
2
解析:∵双曲线

2
−
12-
= 1 是等轴双曲线,
∴n=12-n,∴n=6.
答案:6
第七页，编辑于星期日：点 十七分。
-7-
2.3.2
目标导航
双曲线的简单几何性质
知识梳理
重难聚焦典ຫໍສະໝຸດ 透析有共同渐近线的双曲线系方程
2
2
2
2
剖析若双曲线 2 − 2 = ±1( > 0, > 0)与双曲线 '2 − '2 =




±1(′ > 0, ′ > 0)有相同的渐近线,即两条渐近线方程 ±
4
2
−
9
= 1.
-13-
第十三页，编辑于星期日：点 十七分。
2.3.2
题型一
双曲线的简单几何性质
题型二
题型三
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
题型四
反思双曲线的方程有两种设法,第一种方法是直接设出双曲线的标准
方程,利用条件列出独立的关于a,b,c的等式,解方程组求出待定系数.第
二种方法是利用共渐近线的双曲线系,由题设条件建立关于参数λ的关
2
则 2

−
20

2
故|PF2|=
= 1, 解得y0=±

2.3.2 双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的简单几何性质内容标准学科素养1.掌握双曲线的简单几何性质．2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义．3.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.运用直观想象提升数学运算发展逻辑推理授课提示：对应学生用书第36页[基础认识]知识点双曲线的几何性质预习教材P56－58，思考并完成以下问题椭圆的简单几何性质有哪些？研究方法是什么？双曲线是否有类似的性质呢？提示：范围、对称性、顶点、离心率．研究方法是：通过方程来研究图形的几何性质．知识梳理(1)双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)性质图形焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范围x≤－a或x≥ay∈R y≤－a或y≥ax∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b离心率e＝ca∈(1，＋∞)渐近线y＝±ba x y＝±ab x2.[自我检测]1．若点M (x 0，y 0)是双曲线y 24－x 225＝1上支上的任意一点，则x 0的取值范围是________，y 0的取值范围是________．答案：(－∞，＋∞) [2，＋∞)2．双曲线4x 2－2y 2＝1的实轴长等于________，虚轴长等于________，焦距等于________． 答案：1233．双曲线x 22－y 214＝1的离心率为________．答案：2 2授课提示：对应学生用书第37页探究一 根据双曲线方程研究几何性质[阅读教材P 58例3]求双曲线9y 2－16x 2＝144的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．题型：根据双曲线方程研究其几何性质． 方法步骤：(1)将方程化成标准方程的形式． (2)写出a 2、b 2，从而求出a 、b 、c 的值． (3)求出双曲线的几何性质．[例1] 求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．[解析] 将9y 2－4x 2＝－36化为标准方程x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1，∴a ＝3，b ＝2，c ＝13. 因此顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)， 焦点坐标为F 1(－13，0)，F 2(13，0)， 实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4， 离心率e ＝c a ＝133，渐近线方程为y ＝±b a x ＝±23x .方法技巧 1.已知双曲线的方程研究其几何性质时，若不是标准方程，则应先化为标准方程，确定方程中a ，b 的对应值，利用c 2＝a 2＋b 2得到c 值，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出它的几何性质．2．求双曲线的渐近线方程时要特别注意焦点在x 轴上还是在y 轴上，以免写错． 跟踪探究 1.求双曲线25y 2－4x 2＋100＝0的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程．解析：双曲线的方程25y 2－4x 2＋100＝0可化为x 225－y 24＝1，所以焦点在x 轴上，所以a 2＝25，b 2＝4，因此实半轴长a ＝5，虚半轴长b ＝2，顶点坐标为(－5,0)，(5,0)．由c ＝a 2＋b 2＝29，得焦点坐标为(29，0)，(－29，0)．离心率e ＝c a ＝295，渐近线方程y ＝±25x .探究二 根据双曲线的几何性质求标准方程[阅读教材P 58例4]双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面(图(1))，它的最小半径为12 m ，上口半径为13 m ，下口半径为25 m ，高为55 m ．试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1 m)．题型：根据双曲线的几何性质求其标准方程．方法步骤：(1)根据双曲线的对称性，建立适当的坐标系． (2)设出标准方程．(3)求出方程中的a 2、b 2，进而求出c . [例2] 求满足下列条件的双曲线的方程：(1)已知双曲线的焦点在y 轴上，实轴长与虚轴长之比为2∶3，且经过点P (6，2)； (2)已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为53，且经过点M (－3,23)；(3)若双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且两顶点间的距离是6. [解析] (1)设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．∵双曲线过点P (6，2)， ∵4a 2－6b2＝1. 由题意得⎩⎨⎧a b ＝23，4a 2－6b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝43，b 2＝3.故所求双曲线方程为3y 24－x 23＝1.(2)设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．∵e ＝53，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝259， ∴b a ＝43. 由题意得⎩⎨⎧b a ＝43，9a 2－12b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝94，b 2＝4.∴所求的双曲线方程为4x 29－y 24＝1.(3)设双曲线方程为4x 2－9y 2＝λ(λ≠0)，即x 2λ4－y 2λ9＝1(λ≠0)，由题意得a ＝3.当λ>0时，λ4＝9，λ＝36，双曲线方程为x 29－y 24＝1；当λ<0时，－λ9＝9，λ＝－81，双曲线方程为y 29－4x 281＝1.故所求双曲线方程为x 29－y 24＝1或y 29－4x 281＝1.方法技巧 1.根据双曲线的几何性质求其标准方程时，常用的方法是先定型(确定焦点在哪个轴上)，后计算(确定a 2，b 2的值)．要特别注意c 2＝a 2＋b 2的应用，不要与椭圆中的关系混淆．2．根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程．渐近线为y ＝n m x 的双曲线方程可设为x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)；如果两条渐近线的方程为Ax ±By ＝0，那么双曲线的方程可设为A 2x 2－B 2y 2＝m (m ≠0)；与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．跟踪探究 2.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为(0,13)，且离心率为135；(2)渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点A (2，－3)．解析：(1)依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13， 又c a ＝135，∴a ＝5，b ＝c 2－a 2＝12，故其标准方程为y 225－x 2144＝1.(2)法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x .当焦点在x 轴上时，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则b a ＝12.① ∵点A (2，－3)在双曲线上，∴4a 2－9b 2＝1.②①②联立，无解．当焦点在y 轴上时，设所求方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，则a b ＝12.③ ∵点A (2，－3)在双曲线上，∴9a 2－4b 2＝1.④联立③④，解得a 2＝8，b 2＝32. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.法二：由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线方程为x 222－y 2＝λ(λ≠0)，∵A (2，－3)在双曲线上，∴2222－(－3)2＝λ，即λ＝－8.∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.探究三 求双曲线的离心率[例3] (1)点P 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上，F 1，F 2是这条双曲线的两个焦点，∠F 1PF 2＝90°，且△F 1PF 2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是( )A ．2B ．3C ．4D ．5(2)设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为________．[解析] (1)由题意得不妨设|PF 1|，|PF 2|，|F 1F 2|成等差数列， 分别设为m －d ，m ，m ＋d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧m －(m －d )＝2a ，m ＋d ＝2c ，(m －d )2＋m 2＝(m ＋d )2，解得m ＝4d ＝8a ，c ＝5d 2，∴离心率e ＝c a ＝5aa ＝5.故选D.(2)不妨设一个焦点F (c,0)，虚轴的一个端点B (0，b )，则k FB ＝b－c .又∵双曲线的渐近线为y ＝±ba x ，∴－b c ·ba＝－1，即b 2＝ac ，c 2－a 2＝ac ，∴c 2－ac －a 2＝0，即e 2－e －1＝0， ∴e ＝1±52(舍负)，∴e ＝1＋52.[答案] (1)D (2)1＋52方法技巧 求双曲线离心率的方法 (1)若可求得a ，c ，则直接利用e ＝ca 得解；(2)若已知a ，b ，可直接利用e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2得解；(3)若得到的是关于a ，c 的齐次方程pc 2＋q ·ac ＋r ·a 2＝0(p ，q ，r 为常数，且p ≠0)，则转化为关于e 的方程pe 2＋q ·e ＋r ＝0求解．跟踪探究 3.已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率．解析：设F 1(c,0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得c 2a 2－y 2b 2＝1，那么y ＝±b 2a .由|PF 2|＝|QF 2|，∠PF 2Q ＝90°， 知|PF 1|＝|F 1F 2|，所以b 2a ＝2c ，所以b 2＝2ac ，所以c 2－2ac －a 2＝0， 所以⎝⎛⎭⎫c a 2－2×c a －1＝0， 即e 2－2e －1＝0，所以e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)， 所以双曲线的离心率为1＋ 2.授课提示：对应学生用书第38页[课后小结](1)通过双曲线方程可以讨论双曲线的几何性质，通过双曲线的几何性质也可以得到双曲线方程．(2)渐近线是双曲线特有的性质，渐近线和离心率都可以描述双曲线的“张口”大小．[素养培优]1．考虑问题不全面致误已知双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，求其离心率．易错分析 因为渐近线方程为y ＝±13x ，所以b a ＝13，即a ＝3b ，所以a 2＝9b 2，a 2＝9(c 2－a 2)， 即10a 2＝9c 2，c 2a 2＝109，所以e ＝103. 本解法忽视了该双曲线的焦点位置不确定，故13＝b a 或13＝ab 两种情况，考查直观想象、逻辑推理及数学运算的学科素养．自我纠正 由题意得b a ＝13或a b ＝13，故c 2－a 2a 2＝13或a 2c 2－a 2＝13， e 2－1＝13或e 2－1＝3，e ＝103或e ＝10. 2．解题缺乏依据致误点P 是双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和圆C 2：x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一个交点，且有2∠PF 1F 2＝∠PF 2F 1，其中F 1，F 2是双曲线C 1的左、右两个焦点，求双曲线C 1的离心率．易错分析 因为圆的半径r ＝a 2＋b 2＝c ，又因为∠F 1PF 2＝90°，2∠PF 1F 2＝∠PF 2F 1，所以∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°.在Rt△F1PF2中，|F1F2|＝2c，故|PF1|＝3c，|PF2|＝c.又点P在双曲线上，且在双曲线右支上，所以|PF1|－|PF2|＝3c－c＝2a，所以e＝ca＝23－1＝3＋1.此解法步骤不严谨，解析缺乏依据．考查直观想象、逻辑推理．自我纠正因为圆的半径r＝a2＋b2＝c，所以圆过双曲线C1的焦点，即F1F2为圆的直径．所以∠F1PF2＝90°.因为2∠PF1F2＝∠PF2F1，所以∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°.在Rt△F1PF2中，|F1F2|＝2c.故|PF1|＝3c，|PF2|＝c.又点P在双曲线上，且在双曲线右支上，所以|PF1|－|PF2|＝3c－c＝2a，所以e＝ca＝23－1＝3＋1.。