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常用弯矩图

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题型：计算题
题目：试作图所示悬臂梁AB的剪力图和弯矩图。

【解】
1、列剪力方程和弯矩方程
取坐标原点与梁左端点A对应。选取距梁左端点A为x的任一截面，
如图(a)所示，以该截面左侧梁段上的外力，写该截面上的剪力和弯矩表达
式，即可得到梁AB的剪力方程和弯矩方程为

上面两式后的括号内，表明方程适用范围。由于截面A,B处有集中力
作用，则其剪力为不定值，第一式的适用范围为。由于截面B有
集中力偶作用，则其弯矩也为不定值，第二式的适用范围为关于
这个问题，待后面作进一步说明。
2、作剪力图和弯矩图
剪力方程表明，梁各截面上的剪力都相等，因此剪力图应是一条平行

于横轴的直线。取直角坐标系x—，画出梁的剪力图为一水平直线。因
各横截面的剪力为负值，故画在横轴下面，如图（b）所示。
弯矩方程表明，弯矩M是x的一次函数，因此弯矩图应是一条倾斜直
线。可以确定其上两点，在x = 0处，M=0；在x=L处（应理解为x略小于
L处），M=PL。取直角坐标系OxM，表示弯矩的纵坐标以向下为正，画出
梁的弯矩图，如图（c）所示。由图可见，最大弯矩发生在固定端B稍偏左
的横截面上，其值为

常见问题题2
题型：计算题
题目：试作图（a）所示简支梁AB的剪力图和弯矩图。

【解】
1、求支座反力
由梁的平衡方程，可求得支座A,B两处的反力为

2、列剪力方程和弯矩方程
取坐标原点与梁左端点A对应。列出梁AB的剪力方程和弯矩方程为

3、作剪力图和弯矩图
剪力方程表明，剪力是x的一次函数，剪力图应是一条倾斜直线。
因此，只要确定其上两点，即可绘出该梁的剪力图。在处（应理解为
x略大于0）, ；处（应理解为x略小于），。画
出梁的剪力图，如图(b)所示。由剪力图可见，，该梁最大剪力发生在支座
内侧的横截面上，其值为

弯矩方程表明，弯矩M是x的二次函数，弯矩图应是一条抛物线。因
此，只要确定其上三个点，即可绘出该梁的弯矩图。在处，M=0；在

处，M=0；在处，
。画出弯矩图，如图6-12(c)所示。由弯矩图可
见，该梁最大弯矩发生在梁的跨中截面处，其值为

在此截面上剪力为零。
常见问题题3
题型：计算题
题目：试作图(a)所示简支梁AB的剪力图和弯矩图。

【解】
1、求支座反力
由梁的静力平衡方程，可求得支座A,B两处的反力为
2、列剪力方程和弯矩方程
当作用在梁上的外力不连续时，通常不能角一个方程描述全梁的剪力
或弯矩，必须分段研究。在该例题中，集中力P把梁分成AC和CB两段，
这两段梁的剪力方程和弯矩方程分别为
AC段：

CB段：
3、作剪力图和弯矩图
两段梁的剪力方程表明，两段梁的剪力图均为水平直线。画出梁的剪
力图，如图(b)所示。由剪力图可见，在集中力P作用的C处，其左右两侧

横截面上剪力的数值分别为和，剪力图发生突变，其突变值等于
集中力P的大小。由此可得，在集中力作用处剪力图发生突变，其突变值
等于该集中力的大小。如果b＞a，则最大剪力发生在AC段梁的任一截面
上，其值为

两段梁的弯矩方程表明，两段梁的弯矩图均为倾斜直线。画出梁的弯
矩图，如图 (c)所示。由弯矩图可见，AC和CB两段梁的弯攀图两直线斜
率不同，在C处形成向下凸的“尖角”，而剪力图在此处改变了正、负号。
最大弯矩发生在集中力P作用的截面上，其值为

如果a=b，则最大弯矩的值为
常见问题题4
题型：计算题
题目：试作图(a)所示简支梁AB的剪力图和弯矩图。
【解】
1、求支座反力
由梁的静力平衡方程，可求得支座A,B两处的反力为

2、列剪力方程和弯矩方程
集中力偶Me把梁分成AC和CB两段，这两段梁的剪力方程和弯矩方
程分别为
AC段：

CB段：
3、作剪力图和弯矩图
在集中力偶作用处的左、右梁段上，剪力方程相同，全梁剪力图为一
水平直线。画出梁的剪力图，如图(b)所示示。由剪力图可见，在集中力偶
作用处，剪力图并不发生突变，即集中力偶不影响剪力图。
两段梁的弯矩方程表明，两段梁的弯矩图均为倾斜直线。画出梁的弯
矩图，如图(c)所示。由弯矩图可见，在集中力偶从作用的C处，其左右两

侧横截面上弯矩的数值分别为和，弯矩图发生突变，其突变值
等于集中力偶Me的大小。由此可得，在集中力偶作用处弯矩图发生突变，
其突变值等于该集中力偶的大小。如果b＞a，则最大弯矩发生在集中力偶
从作用处右侧横截面上，其值为

常见问题题5
题型：计算题
题目：试作图示简支梁的剪力图和弯矩图。

【解】
1、求支座反力
由梁的静力平衡方程可知，支座A,B的反力为

2、列剪力方程和弯矩方程
当梁上荷载不连续，剪力或弯矩不能用一个统一的函数式表达时，必
须分段列出剪力方程和弯矩方程。通常分段是以集中力、集中力偶和分布
荷载的起点与终点分界。因此，该简支梁应分为AC,CD和DB三段，分别
列出剪力方程和弯矩方程。
AC段：
CD段：
DB段：
3、作剪力图和弯矩图
按上述剪力方程和弯矩方程，画出剪力图和弯矩图，如图(b)、（c）所
示。
在画AC段弯矩图时，由于弯矩方程是二次函数，弯矩图应是一条抛物

线，至少需要确定其上三个点，才可绘出该梁的弯矩图。在处,M=0；

在x＝3m处，M＝33kN．m。在剪力为零处x=2.4m，该点处弯矩
。用光滑曲线连接这三个点即可得AC段的
弯矩M图。如图（c）所示。

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结构设计师离不开的100张弯矩图汇总

结构设计师离不开的100张弯矩图汇总

作为一名土木工程师，在实际工作中，有时候要对软件（midas、sap2000、pkpm 的计算结果有个判断）就要对结构的弯矩和剪力图有个大概的判断。

下面总结各种结构弯矩图的绘制及图例：
一、方法步骤
1、确定支反力的大小和方向（一般情况心算即可计算出支反力）
●悬臂式刚架不必先求支反力；
●简支式刚架取整体为分离体求反力；
●求三铰式刚架的水平反力以中间铰C的某一边为分离体；
●对于主从结构的复杂式刚架，注意“先从后主”的计算顺序；
●对于复杂的组合结构，注意寻找求出支反力的突破口。

2、对于悬臂式刚架，从自由端开始，按照分段叠加法，逐段求作M图（M图画在受拉一侧）；对于其它形式的刚架，从支座端开始，按照分段叠加法，逐段求作M图（M图画在受拉一侧）。

二、观察检验M图的正确性
1、观察各个关键点和梁段的M图特点是否相符
●铰心的弯矩一定为零；
●集中力偶作用点的弯矩有突变，突变值与集中力偶相等；
●集中力作用点的弯矩有折角；
●均布荷载作用段的M图是抛物线，其凹凸方向与荷载方向要符合“弓箭法则”；
2、结构中的链杆（二力杆）没有弯矩；
3、结构中所有结点的杆端弯矩必须符合平衡特点。

100张结构弯矩图例如下：。

梁的内力图-剪力图和弯矩_OK

梁的内力图-剪力图和弯矩_OK


2021/9/10
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返回
2. 梁内力图的绘制
例1:如图a 所示外伸梁，已知F=5 kN，q=4 kN/10
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返回 10
返回
(3) 绘制弯矩图(图c)。无力偶，跟剪力图走，绘制过程见表4-4。
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（4） FS 图、M 图均自行封闭，绘图正确。
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返回 13
返回
（2） 绘制剪力图( 图4b)。看荷载图，跟集中力、均布荷载 走，绘制过程见表4-5。
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（3） 绘制弯矩图（图c）。有力偶，跟剪力图走，绘制过程 见表4-6。 （4） FS 图、M 图均自行封闭，绘图正确。
2021/9/10
4.3 梁的内力图——剪力图与弯矩图
返回
一、 剪力图和弯矩图的概念 在工程中，了解剪力和弯矩在全梁内沿梁轴线的分布情况，知 道剪力和弯矩的最大值及其所在横截面的位置，有助于施工人 员理解图纸的设计意图，从而采用正确的施工方法。若用平行 于梁轴的横坐标表示梁横截面的位置，用垂直于梁轴的纵坐标 表示相应横截面上的剪力或弯矩，按一定比例绘制出来，这种 形象地表示剪力和弯矩沿梁轴线变化情况的图形，分别称为剪 力图和弯矩图，即梁的内力图。 在绘制梁的内力图时，习惯上正剪力画在横坐标轴的上方，负 剪力画在横坐标轴的下方（画剪力图时要求标出正负号）；而 把弯矩图画在受拉侧（即正弯矩画在横坐标轴的下方，负弯矩 画在横坐标轴的上方，由于弯矩图画在梁的受拉侧，故弯矩图 的正负号可标可不标）。将弯矩图画在梁轴线受拉一侧的目的， 是便于在混凝土梁中配置钢筋，即混凝土梁的受力钢筋基本上 配置在梁的受拉一侧。
材料力学4-弯矩图剪力图

材料力学4-弯矩图剪力图


由（2），（4）式可知， AC，CB 两段梁的弯矩 图各是一条斜直线
作剪力图和弯矩图的几条规律
取梁的左端点为坐标原点，x 轴向右为正；剪 力图向上为正；弯矩图向下为正。
以集中力、集中力偶作用处，分布荷载开始或 结束处，及支座截面处为界点将梁分段。分段 写出剪力方程和弯矩方程，然后绘出剪力图和 弯矩图。
例2 图a 所示坐标原点取在梁 的左端，写出梁的剪力 方程和弯矩方程 ：
根据方程画剪力图、弯矩图（注意正负号画的方向）
例3 图a 所示悬臂梁，在全梁上受集度为q 的均布荷 载作用 。试作此梁的的剪力图和弯矩图。
解：为计算方便，将坐标原 点取在梁的右端，得梁的剪 力方程和弯矩方程：
梁上最大弯矩可能发生在Fs(x) = 0 的截面上或梁段边界 的截面上。最大剪力发生在全梁或梁段的界面。 在集中力作用处剪力图有突变，其突变值等于集中力的 值。弯矩图的相应处形成尖角。
在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突变值等于集中力 偶的值，但剪力图无变化。
叠加原理：当梁上受几项荷载共同作用时，某一横 截面上的弯矩就等于梁在各项荷载单独作用下同一 横截面上弯矩的代数和。
例4 图a 所示的简支梁，在全梁上受集度为q的均布 荷载作用。试作此梁的的剪力图和弯矩图。
解：由Σy =0求得两个支反力 取距左端为x的任意横截面。写出剪力方程和弯矩方程。
由式（1）可知，剪力图为一倾斜直线。由
由式（2）知，弯矩图为一条二次抛物线。由
由（1），（3）两 式可知，AC，CB 两段梁的剪力图各 是一条平行于 x轴 的直线。
• 5.3 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图
一、剪力和弯矩方程： 剪力和弯矩沿梁长度方向的表达式，表示的是剪力和 弯矩沿轴线长度方向的分布情况
常用的三弯矩方程式

常用的三弯矩方程式

常用的《结构力学》三弯矩方程式
常用的基本三弯矩方程式：
)(6)(211111φ
φ++++-+-=+++n n n n n n n n n A B M l M l l M l (1)
适用条件：等值均质连续梁，各跨的惯性矩I 相同时，可取I o =I ，则
,
n
l =n l ，1,+n l =1+n l 。

对于超静定结构连续梁而言，每一个中间支座都可以写出这样的一个弯矩方程式。

这样的方程式，可求出全部中间支座的弯矩。

假如各跨的惯性矩I 相同，跨度l 也相同，式（1）则简化成：
)(64111φ
φ++-+-=++n n n n n A B l
M M M ………………（2） 为便于计算，表1中列出了几种常见荷载下的支座虚反力A φ和B φ值。

对复杂一些的荷载，可根据表内数据，由叠加法求得。

表1： 几种常见荷载下的虚支点反力（A φ和B φ值）
求出各支点弯矩后，以各点弯矩为连续，再对各跨按简支梁做荷载弯矩计算，按叠加法绘制总弯矩图。

根据弯矩图作剪力图：
↑+=
→n
n
p 1-n n l M M -M 左n Q ；↓=
+→++1
n n
p n 1n l M -M -M 1n 右n Q 。

其中：M n 、M n+1、M p →n 有正负之分。

根据剪力计算支座反力。

支点n 上的反力：W n =Q n -Q n+1（↑为正）。