浙江省温州市2021年五年级下学期数学期末试卷(I)卷

浙江省温州市2024届高三年级期末统一测试试题数 学注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自已的姓名．准考证号填写在答题卷上．将条形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠．不要弄破．选择题部分一、选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设1i z =+（其中i 为虚数单位），则11z z +=-（ ）A. 1B.C. 3D. 52. 设集合{}2Z 340A x x x =∈--≤，{}1B x x =≤，则A B = （ ） A {}1,0,1-B. {}2,1,0--C. {}0,1,2D. {}0,13. 已知函数()cos f x x =，若关于x 的方程()f x a =在ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不同的根，则实数a 的取值范围是（ ）A. ,12⎫⎪⎪⎣⎭B. ,12⎤⎥⎣⎦C. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦4. 已知x ，y ∈R ，则“1x y >>”是“ln ln x x y y ->-”的（ ） A. 充分条件但不是必要条件 B. 必要条件但不是充分条件 C. 充要条件D. 既不是充分条件也不是必要条件5. 6名同学排成一排，其中甲与乙互不相邻，丙与丁必须相邻的不同排法有（ ） A. 72种B. 144种C. 216种D. 256种.6. 已知()424567845678x x a x a x a x a x a x +=++++，则（ ）A. 45a a =B. 56a a =C. 67a a =D. 57a a =7. 《九章算术》中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，则堆放的米约有（ ）A. 14斛B. 22斛C. 36斛D. 66斛8. 已知12304πx x x <<<<，函数()sin f x x =在点()(),sin 1,2,3i i x x i =处的切线均经过坐标原点，则（ ）A. 3113tan tan x x x x < B. 1313tan tan x x x x > C. 1322x x x +< D. 1322x x x +>二、选择题：本题共3小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知函数()2121x x f x -=+，则（ ）A. 不等式()13f x <的解集是()1,1- B. x ∀∈R ，都有()()f x f x -= C. ()f x 是R 上的递减函数 D. ()f x 的值域为()1,1-10. 某企业协会规定：企业员工一周7天要有一天休息，另有一天的工作时间不超过4小时，且其余5天的工作时间均不超过8小时（每天的工作时间以整数小时计），则认为该企业“达标”．请根据以下企业上报的一周7天的工作时间的数值特征，判断其中无法确保“达标”的企业有（ ） A. 甲企业：均值为5，中位数为8 B. 乙企业：众数为6，中位数为6C. 丙企业：众数和均值均为5，下四分位数为4，上四分位数为8D. 丁企业：均值为5，方差为611. 已知数列{}n a 满足21n n n a a a λ+++=，R λ∈，若11a =，22a =，20242024a ≥，则λ的值可能为（ ） A. －1B. 2C.52D. －2非选择题部分三、填空题：本大题共3小题，把答案填在题中的横线上．12. 若tan 2θ=，则cos πsin()4θθ=-______． 13. 已知圆2216x y +=与直线y =交于A ，B 两点，则经过点A ，B ，()8,0C 的圆的方程为______． 14. 已知四棱锥P ABCD -的底面为边长为1的菱形且60DAB ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，且1PA =，M ，N 分别为边PB 和PD 的中点，PC ⋂平面AMN Q =，则PQ =______，四边形AMQN 的面积等于______．四．解答题：本大题共5小题，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．15. 已知函数()()23f x x x =-，[]1,x a ∈．（1）若()f x 不单调，求实数a 的取值范围；（2）若()f x 的最小值为()f a ，求实数a 的取值范围．16. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6356a a -=，63112S S -=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1nn n n a b S S +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．17. 如图，以AD 所在直线为轴将直角梯形ABCD 旋转得到三棱台ABE DCF -，其中AB BC ⊥，22AB BC CD ==．（1）求证：AD BE ⊥；（2）若π3EAB ∠=，求直线AD 与平面CDF 所成角的正弦值． 18. 现有标号依次为1，2，…，n n 个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从n 1-号盒子里取出2个球放入n 号盒子为止． （1）当2n =时，求2号盒子里有2个红球概率； （2）当3n =时，求3号盒子里的红球的个数ξ的分布列； （3）记n 号盒子中红球的个数为n X ，求n X 的期望()n E X ．19. 已知动点M 到点()1,0F -距离与到直线l ：2x =-的距离之比等于2． （1）求动点M 的轨迹W 的方程；（2）过直线l 上的一点P 作轨迹W 的两条切线，切点分别为A ，B ，且60APB ∠=︒， ①求点P 坐标；②求APB ∠的角平分线与x 轴交点Q 的坐标．的的的的参考答案一、选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设1i z =+（其中i 为虚数单位），则11z z +=-（ ）A. 1B.C. 3D. 5【答案】B 【答案解析】【详细分析】将z 表示的复数代入所求式，化简成一个复数的模，再运用模的运算公式计算即得.【过程详解】因1i z =+，则()12i 2i 112i 1i z z ++==--=-=-. 故选：B. 2. 设集合{}2Z 340A x x x =∈--≤，{}1B x x =≤，则A B = （ ）A.{}1,0,1- B. {}2,1,0-- C. {}0,1,2 D.{}0,1【答案】A 【答案解析】【详细分析】根据不等式的解法求得集合,A B ，结合集合交集的运算，即可求解.【过程详解】由不等式2340x x --≤，解得14x -≤≤，所以{}1,0,1,2,3,4A =-， 又由不等式1x ≤，解得{}11B x x =-≤≤，所以{}1,0,1A B =- .故选：A.3. 已知函数()cos f x x =，若关于x 的方程()f x a =在ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不同的根，则实数a 的取值范围是（ ）A,12⎫⎪⎪⎣⎭B. ,12⎤⎥⎣⎦C. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【答案解析】【详细分析】将方程的根转化为两函数的交点，数形结合即可..【过程详解】画出函数()cosf x x=，ππ,32x⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象，若方程()f x a=在ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不同的根，，由图可知1,12a⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：C4. 已知x，y∈R，则“1x y>>”是“ln lnx x y y->-”的（）A. 充分条件但不是必要条件B. 必要条件但不是充分条件C. 充要条件D. 既不是充分条件也不是必要条件【答案】A【答案解析】【详细分析】设()lnf x x x=-，利用导数研究函数()f x的性质可知()f x在(1,)+∞上单调递增，结合函数的单调性解不等式以及充分、必要条件的定义即可求解.【过程详解】设()lnf x x x=-，则11()1xf xx x'-=-=，令()01f x x'>⇒>，所以函数()f x在(1,)+∞上单调递增.当1x y>>时，则()()f x f y>，即ln lnx x y y->-，充分性成立；当ln lnx x y y->-时，有()()f x f y>，得x y>，所以1x y>>不一定成立，即必要性不成立，所以“1x y>>”是“ln lnx x y y->-”的充分不必要条件.故选：A5. 6名同学排成一排，其中甲与乙互不相邻，丙与丁必须相邻的不同排法有（）A. 72种B. 144种C. 216种D. 256种【答案】B【答案解析】【详细分析】要使元素不相邻，则用插空法，要使元素相邻，则运用捆绑法，分步完成即得. 【过程详解】先将丙与丁看成一“个”人，与除甲和乙之外的另外两个人留下4个空， 在其中选2个给甲和乙，有24A 种方法；再考虑丙丁这“个”人和另两个人进行全排，有33A 种排法；最后将丙丁“松绑”，有22A 种方法，由分步计数原理，可得不同排法数为：232432A A A 144⋅⋅=种.故选：B.6. 已知()424567845678x x a x a x a x a x a x +=++++，则（ ）A. 45a a =B. 56a a =C. 67a a =D. 57a a =【答案】D 【答案解析】详细分析】利用二项式定理展开即可. 【过程详解】()()()()()()423424213222231240244444C C C C C x x xx x xxx x xxx +=++++45678464x x x x x =++++，所以574a a ==.故选：D7. 《九章算术》中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，则堆放的米约有（ ）A. 14斛B. 22斛C. 36斛D. 66斛 【答案】B 【答案解析】【详细分析】由地面弧长求出圆锥底面半径，再利用体积公式求体积，再代换为斛即可.【【过程详解】设圆锥的底面半径为r ，则π82r ⨯=，解得16πr =， 故米堆的体积2221116320π543π3π11π43V r h =⨯⨯⨯==⨯（立方尺）． 1斛米的体积约为1.62立方尺，故221.03π6232≈（斛）.故选：B.8. 已知12304πx x x <<<<，函数()sin f x x =在点()(),sin 1,2,3i i x x i =处的切线均经过坐标原点，则（ ）A.3113tan tan x x x x < B.1313tan tan x x x x > C.1322x x x +< D. 1322x x x +>【答案】C 【答案解析】【详细分析】根据导数的几何意义求出曲线()f x 在点112233(,sin ),(,sin ),(,sin )x x x x x x 处的切线方程，进而312123tan tan tan 1x x x x x x ===即可判断AB ；画出函数tan y x =与y x =图象，由AD EC k k <可得32212132ππx x x x x x x x --<----，化简计算即可判断CD.【过程详解】由题意知，()cos f x x '=，则112233()cos ,()cos ,()cos f x x f x x f x x '''===，所以曲线()f x 在点112233(,sin ),(,sin ),(,sin )x x x x x x 处的切线方程分别为111222333sin cos (),sin cos (),sin cos ()y x x x x y x x x x y x x x x -=--=--=-，因为切线均过原点，所以111222333sin cos ,sin cos ,sin cos x x x x x x x x x ===，即112233tan ,tan ,tan x x x x x x ===，得312123tan tan tan 1x x x x x x ===，故AB 错误；由312123tan tan tan 1x x x x x x ===，得tan (1,2,3)i i x x i ==，画出函数tan y x =与y x =图象，如图，设()()()112233,tan ,,tan ,,tan A x x B x x C x x ，如上图易知：2222(π,tan ),(+π,tan )D x x E x x -，由正切函数图象性质AD EC k k <，得32212132tan tan tan tan ππx x x x x x x x --<----，即32212132ππx x x x x x x x --<----，又2132π0,π0x x x x -->-->，所以21323221()(π)()(π)x x x x x x x x ---<---， 即132ππ2πx x x +<，解得1322x x x +<，故C 正确，D 错误.故选：C【点评】关键点点评：证明选项CD 的关键是根据tan (1,2,3)i i x x i ==构造新函数tan x x =，通过转化的思想和数形结合思想详细分析是解题的关键.二、选择题：本题共3小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9. 已知函数()2121x xf x -=+，则（ ） A. 不等式()13f x <的解集是()1,1-B x ∀∈R ，都有()()f x f x -= C. ()f x 是R 上的递减函数 D.()f x 的值域为()1,1-【答案】AD 【答案解析】【详细分析】由题意可得2()121x f x =-+，利用绝对值不等式、指数不等式的解法计算即可判断A ；利用奇偶函数的定义计算即可判断B ；举例说明即可判断C ；根据指数型函数的的值域的求法计算即可判断D..【过程详解】A ：212()12121x x x f x -==-++，由1()3f x <，得12113321x -<-<+，即1123321x <<+， 得32132x <+<，解得11x -<<，即原不等式的解集为(1,1)-，故A 正确； B ：122()11()2121x x x f x f x +--=-=-≠++，故B 错误； C ：2132(1)11(2)3355f f =-=<=-=，所以()f x 在R 上单调递减不成立，故C 错误；D ：由20221x<<+知211121x -<-<+，即函数()f x 的值域为(1,1)-，故D 正确. 故选：AD10. 某企业协会规定：企业员工一周7天要有一天休息，另有一天的工作时间不超过4小时，且其余5天的工作时间均不超过8小时（每天的工作时间以整数小时计），则认为该企业“达标”．请根据以下企业上报的一周7天的工作时间的数值特征，判断其中无法确保“达标”的企业有（ ）A. 甲企业：均值为5，中位数为8B. 乙企业：众数为6，中位数为6C. 丙企业：众数和均值均为5，下四分位数为4，上四分位数为8D. 丁企业：均值为5，方差为6 【答案】ABD 【答案解析】【详细分析】根据每个企业所给数字特征，找出满足数字特征但不达标的一个特例即可判断ABD ，对C 中满足条件的数据详细分析，确定工作时长数据达标.【过程详解】甲企业每周7天的工作时间可以为：9,8,8,8,2,0,0，满足均值为5，中位数为8，故不达标，故A 正确；乙企业：众数为6，中位数为6，满足条件的7天工作时间可以为：6,6,6,6,6,6,6,故不达标，故B 正确； 丙企业：众数和均值均为5，下四分位数为4，上四分位数为8， 设7天的工作时间为：4,5,5,8,a,b,c()48a b c ≤≤≤≤,13,139b c a c b ++=∴≤-≤,9,4c b ==与众数矛盾，8c =，为使众数为5，5b =成立，故丙企业达标，故C 错误；丁企业：均值为5，方差为6，7天的工作时间可以为0,5,5,5,5,6,9，故D 正确. 故选：ABD11. 已知数列{}n a 满足21n n n a a a λ+++=，R λ∈，若11a =，22a=，20242024a ≥，则λ的值可能为（ ）A. －1B. 2C. 52D. －2【答案】BCD 【答案解析】【详细分析】由题意，结合选项根据λ的取值，得出对应的递推公式，利用归纳法求出对应的通项公式，依次验证即可.【过程详解】A ：当1λ=-时，21n n n a a a ++=--，得3214325436543,1,2,3a a a a a a a a a a a a =--=-=--==--==--=-， 所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列，则2024222024a a ==<，不符合题意，故A 错误；B ：当2λ=时，212n n n a a a ++=-，得32143254365423,24,25,26,,n a a a a a a a a a a a a a n =-==-==-==-== ， 所以20242024a =，符合题意，故B 正确；C ：当52λ=时，2152n n na a a ++=-，得2345132143254365455552,2,2,2,,22222n n a a a a a a a a a a a a a -=-==-==-==-== ，所以2023202422024a =>，符合题意，故C 正确； D ：当2λ=-时，212n n n a a a ++=--，得32143254365425,28,211,214,,(1)(34)nn a a a a a a a a a a a a a n =--=-=--==--=-=--==-- ，所以202432024460682024a =⨯-=>，符合题意，故D 正确. 故选：BCD 非选择题部分三、填空题：本大题共3小题，把答案填在题中的横线上．12. 若tan 2θ=，则cos πsin()4θθ=-______．【答案】 【答案解析】【详细分析】利用差角的正弦公式，结合齐次式法计算即得.【过程详解】当tan 2θ=时，cos π1tan sin()422θθθ===--.故答案为：13. 已知圆2216x y +=与直线y =交于A ，B 两点，则经过点A ，B ，()8,0C 的圆的方程为______． 【答案】()(22328x y -+-=【答案解析】 【详细分析】设()()1122,,,A x y B x y ，直线方程与圆的方程联立求出,A B 点坐标，设经过点A ，B ，C 的圆的方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，代入三点坐标解方程组可得答案.过程详解】设()()1122,,,A x y B x y ，由2216y x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解得121222x x y y ==-⎧⎧⎪⎪⎨⎨=-=⎪⎪⎩⎩，可得((2,,2,A B --，设经过点A ，B ，()8,0C 的圆的方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，所以412204120640800D F Dx F D F ⎧++-+=⎪⎪+-++=⎨⎪++++=⎪⎩，解得616D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，即226160+---=x y x ，可得()(22328x y -+=.故答案为：()(22328x y -+-=.14. 已知四棱锥P ABCD -的底面为边长为1的菱形且60DAB ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，且1PA =，M ，N 分别为边PB 和PD 的中点，PC ⋂平面AMN Q =，则PQ =______，四边形AMQN 的面积等于______． 【答案】 ①. 23 ②.12【答案解析】【【详细分析】过点A 作AD 的垂线AE ，建立如图空间直角坐标系，设PQ PC λ= ，利用空间向量法求出平面AMN 的法向量n ，由题意可知0n MQ ⋅=，求出点Q 的坐标，进而可求得PQ ；再求得AQ MN ⊥ ，从而利用三角形面积公式即可得解.【过程详解】过点A 作AB 的垂线AE ，建立如图空间直角坐标系，由题意可知1111(0,0,1),(0,0,0),,(0,,4222P A M N，3,,0)22C ，则1111(,,(0,,)44222AM AN ==，3(,,1)22PC =- ， 设PQ PC λ=，即33,1),,)22PQ λλλ=-=-，则3,,1)2Q λλ-，所以311,)242QM λλ=-- ，设平面AMN 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则11044211022n AM x y z n AN y z ⎧⋅=++=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，令3y =，得3x z ==-，所以3)n =- ，因为PC ⋂平面AMN Q =，所以,,,A M N Q 四点共面，得0n MQ ⋅=，即311330242λλ⎛⎫⎛⎫+⨯---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得13λ=，则12(,623Q，11,623PQ =-，12,)623AQ = ，此时23PQ ==；又1(,0)44MN =-，所以1106424AQ MN ⎛⋅=-+⨯= ⎝⎭ ，则AQ MN ⊥ ，因为3AQ ==，12MN == ，所以四边形AMQN的面积为111222AQ MN ⋅==. 故答案为：23；12.【点评】关键点评：本题主要考查利用向量法证明空间的线面关系，根据,,,A M N Q 四点共面确定0n MQ ⋅=是本题的关键，属于难题.四．解答题：本大题共5小题，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．15. 已知函数()()23f x x x =-，[]1,x a ∈．（1）若()f x 不单调，求实数a 的取值范围； （2）若()f x 的最小值为()f a ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）3a > （2）13a <? 【答案解析】【详细分析】（1）利用导数讨论函数()f x 的单调性，即可求解；（2）由（1）知函数()f x 的单调性，求出函数的最小值即可求解.【小问1过程详解】()()()23129313f x x x x x =-+=--'， 当13x <<时，()0f x '<，当3x >时，()0f x ¢>，∴函数()f x 在()1,3上单调递减，在()3,+∞上单调递增，又∵()f x 在[1,]a 上不单调，∴3a >；【小问2过程详解】 由（1）知函数()f x 在()1,3上单调递减，在()3,+∞上单调递增，当3a >时，min ()(3)f x f =，不符合题意，当13a <?时，min ()()f x f a =，所以实数a 的取值范围为13a <?.16. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6356a a -=，63112S S -=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1nn n n a b S S +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）2nn a =；（2）1111421n n T +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭. 【答案解析】【详细分析】（1）利用等比数列通项公式、前n 项和求基本量，进而写出等比数列通项公式. （2）等比数列前n 项和公式写出n S ，应用裂项相消法求n T【小问1过程详解】 由题知：()3633156a a a q -=-=①，()()22634564311112S S a a a a q q a q q q -=++=++=++=②，②÷①得，()()23331211a q q q qq a q ++==--，解得2q =，代入①式得，38a =，所以3822n nn a -=⨯=．【小问2过程详解】由（1）知：()12122212n n n S +-==--，所以()()121212111222222222n n n n n n n n n a b S S +++++⎛⎫===- ⎪----⎝⎭，所以2334122111111111122222222222222222n n n n T +++⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭1111421n +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭．17. 如图，以AD 所在直线为轴将直角梯形ABCD 旋转得到三棱台ABE DCF -，其中AB BC ⊥，22AB BC CD ==．（1）求证：AD BE ⊥；（2）若π3EAB ∠=，求直线AD 与平面CDF 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见答案解析（2）3【答案解析】【详细分析】（1）如图，取AB 的中点G ，连接DG ，BD ，DE ，设2AB a =，由勾股定理的逆定理可得AD BD ⊥，同理可得AD DE ⊥，结合线面垂直的判定定理和性质即可证明；（2）由（1）和勾股定理的逆定理可得DE BD ⊥，又DE AD ⊥，根据线面、面面垂直的判定定理可得面DEM ⊥面ABE ，如图，则NAD ∠为题意所求的线面角，解三角形NAD V 即可.【小问1过程详解】连接BD ，DE ，设2AB a =，则BC CD a ==，取AB 的中点G ，连接DG ，则四边形BCDG 为正方形，故DG a =，得AD BD ==，∴222AD BD AB +=，∴AD BD ⊥同理可得，AD DE ⊥，又,BD DE D BD DE =⊂ 、面BDE ， ∴AD ⊥面BDE ，又BE ⊂面BDE ，AD BE ⊥；【小问2过程详解】由（1）知BD DE =，又∵π3EAB ∠=，∴2AB AE EB a ===，由222ED BD EB +=，得DE BD ⊥．又∵DE AD ⊥，,BD AD D BD AD =⊂ 、面ABCD ，∴DE ⊥面ABCD ， 过点D 作DM AB ⊥交AB 于点M ，连接EM ．因为AB ⊂面ABCD ，所以DE AB ⊥，又因为DE DM D = ，且,DE DM ⊂面DEM ， 则AB ⊥面DEM ，又AB ⊂面ABE ，∴面DEM ⊥面ABE ． 过点D 作DN EM ⊥交EM 于点N ，连接AN ． ∴NAD ∠就是直线AD 与面ABE 所成的线面角．∵面//CDF 面ADE ，∴NAD ∠就是直线AD 与面CDF 所成的线面角．∵DE DM ⊥，又DG a =，DE =，∴3DN a =，又AD =，∴sin 3aNAD ∠==， 即直线AD 与平面CDF所成线面角的正弦值为3.18. 现有标号依次为1，2，…，n 的n 个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从n 1-号盒子里取出2个球放入n 号盒子为止． （1）当2n =时，求2号盒子里有2个红球的概率； （2）当3n =时，求3号盒子里的红球的个数ξ的分布列； （3）记n 号盒子中红球的个数为n X ，求n X 的期望()n E X ．【答案】（1）23（2）分布列见答案解析 （3）()2n E X =【答案解析】【详细分析】(1)由古典概率模型进行求解；(2) ξ可取1,2,3，求出对应的概率，再列出分布列即可；(3) 记1n a -为第()2n n ≥号盒子有三个红球和一个白球的概率，则116a =，1n b -为第()2n n ≥号盒子有两个红球和两个白球的概率，则123b =，则第()2n n ≥号盒子有一个红球和三个白球的概率为111n n a b ----，且()()1222221113322n n n n n b b a a b n -----=++--≥，化解得121162n n b b --=+，即可求解. 【小问1过程详解】由题可知2号盒子里有2个红球的概率为112224C C 2C 3P ==； 【小问2过程详解】由题可知ξ可取1,2,3，()221123222222224444C C C C C 71C C C C 36P ξ==⨯+⨯=， ()221123222222224444C C C C C 73C C C C 36P ξ==⨯+⨯=()()()11211318P P P ξξξ==-=-==，所以3号盒子里的红球的个数ξ的分布列为【小问3过程详解】记1n a -为第()2n n ≥号盒子有三个红球和一个白球的概率，则116a =，1n b -为第()2n n ≥号盒子有两个红球和两个白球的概率，则12211318，==b b ，则第()2n n ≥号盒子有一个红球和三个白球的概率为111n n a b ----，且()()1222221113322n n n n n b b a a b n -----=++--≥，化解得121162n n b b --=+， 得12131331565515n n b b b --⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，，而21313565b b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则数列35n b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列,首项为131515-=b ，公比为16，所以13115156n n b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又由1221162n n n a b a ---=+求得：111556nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭因此()()1111111231322n n n n n n n E X a b a b a b ------=⨯+⨯+⨯--=--=．【点评】关键点点评：记1n a -为第()2n n ≥号盒子有三个红球和一个白球的概率，则116a =，1n b -为第()2n n ≥号盒子有两个红球和两个白球的概率，则12211318，==b b ，则第()2n n ≥号盒子有一个红球和三个白球的概率为111n n a b ----，且()()1222221113322n n n n n b b a a b n -----=++--≥，即可求解.19. 已知动点M 到点()1,0F -的距离与到直线l ：2x =-的距离之比等于2．（1）求动点M 的轨迹W 的方程；（2）过直线l 上的一点P 作轨迹W 的两条切线，切点分别为A ，B ，且60APB ∠=︒， ①求点P 的坐标；②求APB ∠的角平分线与x 轴交点Q 的坐标．【答案】（1）2212x y += （2）①2,3P ⎛⎫-± ⎪ ⎪⎝⎭；②1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【答案解析】【详细分析】（1）根据题意，设(),M x y2=，化简得解；（2）①()2,P t -，切线方程为；()2y k x t=++，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出1cos 2APB ∠==，求解即可；②由对称性，不妨取t =，所以2,3P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，解出tan ,PB k PBQ =∠再根据()tan 30PQ k PBQ =∠+︒可求解.【小问1过程详解】 设(),M x y ，2=，化简得：动点M 的轨迹方程为：2212x y +=；【小问2过程详解】①()2,P t -，切线方程为；()2y k x t =++， 代入2222x y +=得：()2212k x+()42k k t x ++()222k t ++20-=， ∵切线，∴Δ0=，得：222410k tk t ++-=（*），设方程（*）的两根分别为1k ，2k ，分别为P A ，PB 的斜率则有122k k t +=-，21212t k k -= 又∵P A ，PB 的方向向量分别为()11,a k = ，()21,b k = ，∴1cos cos ,2APB a b ∠==== ，解得：253t =，∴2,3P ⎛⎫-± ⎪⎪⎝⎭．②由对称性，不妨取3t =，所以2,3P ⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭， 将t =代入（*）得：2620k++=，解得3k ±=，则tan 3PB k PBQ -==∠，∴()3tan 305233PQQ k PBQ x -+=∠+︒===-=--， 得：13Q x =-，所以点Q 坐标为1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭.的【点评】求动点轨迹一般有：直接发，定义法，相关点法.。

2023学年第二学期温州市高一期末教学质量统一检测数学试题（A 卷）（答案在最后）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟．考生注意：1．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卡上．2．选择题的答案须用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净．3．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应区域内，答案写在本试题卷上无效．选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量()()2,1,,1a b t ==-，若a ∥b，则t =（）A.2B.12C.2- D.3【答案】C 【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示运算求解.【详解】因为()()2,1,,1a b t ==-，若a∥b，则()211t ⨯-=⨯，即2t =-.故选：C.2.设m 是一条直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（）A.若αβ⊥，m α⊥，则//m βB.若αβ⊥，//m α，则m β⊥C.若//αβ，m α⊥，则m β⊥D.若//αβ，//m α，则//m β【答案】C 【解析】【分析】对于选项A ：根据面面垂直的性质定理即可判断；对于选项B ：根据面面垂直的性质定理即可判断；对于选项C ：根据面面平行的性质定理判断即可；对于选项D ：根据线面的位置关系判断即可.【详解】对于选项A ：若αβ⊥，m α⊥，则//m β或m β⊂，故A 不正确；对于选项B ：若αβ⊥，//m α，则//m β或m β⊂或m β⊥，故B 不正确；对于选项C ：若//αβ，m α⊥，根据面面平行的性质定理可得m β⊥，故C 正确；对于选项D ：若//αβ，//m α，则//m β或m β⊂，故D 不正确.故选：C.【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质定理以及面面平行的性质定理.属于较易题.3.复数024i 1i2=+（）A.11i 22-- B.11i 22-+ C.11i 22- D.11i 22+【答案】C 【解析】【分析】由复数的乘除法运算法则求解即可.【详解】()()2024i 11i 1i 11i 1i 1i 1i 1i 222z --=====-+++-.故选：C.4.如图，某校数学兴趣小组对古塔AB 进行测量，AB 与地面垂直，从地面C 点看塔顶A 的仰角β为60︒，沿直线BC 前行20米到点D 此时看塔顶A 的仰角α为30︒，根据以上数据可得古塔AB 的高为（）米.A. B.20 C.10D.【答案】A 【解析】【分析】根据直角三角形三角关系可得3BC h =，BD =，根据题意列式求解即可.【详解】设古塔AB 的高为h 米，在Rt ABC △中，可得60tan 3h BC ︒==；在Rt △ABD 中，可得tan 30hBD ==︒；由题意可知：CD BD BC =-，即203h =-，解得h =，所以古塔AB 的高为米.故选：A.5.数据：1，1，2，3，3，5，5，7，7，x 的40%分位数为2.5，则x 可以是（）A.2 B.3 C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】按照百分位数计算公式，逐项计算即可求解.【详解】对于A ，因为1040%4⨯=，所以若2x =，则1，1，2，2，3，3，5，5，7，7的40%分位数为232.52+=，故A 正确；对于B ，因为1040%4⨯=，所以若3x =，则1，1，2，3，3，3，5，5，7，7的40%分位数为3332+=，故B 错误；对于C ，因为1040%4⨯=，所以若4x =，则1，1，2，3，3，4，5，5，7，7的40%分位数为3332+=，故C 错误；对于D ，因为1040%4⨯=，所以若5x =，则1，1，2，3，3，5，5，5，7，7的40%分位数为3332+=，故D 错误.故选：A.6.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，)2224a c b S +-=，若1c =，则ABC 面积的取值范围是（）A.,84⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ B.,82⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C.,42⎛⎫⎪⎪⎝⎭D.,8⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据题意利用余弦定理和面积公式可得π3B=，利用正弦定理结合三角恒等变换可得112tanaC⎛⎫=+⎪⎪⎝⎭，代入面积公式结合角C的范围运算求解.)2224a cb S+-=，则12cos4sin2ac B ac B=⨯，整理可得tan B=，且π0,2B⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可知π3B=，由题意可得：π22ππ32CC⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ62C<<，由正弦定理sin sina cA C=可得()31cos sinsinsin1221sin sin sin2tanC CB Cc AaC C C C+⎛⎫+====+⎪⎪⎝⎭，则ABC面积111sin111222tan28tanS ac BC C⎛⎫⎫==⨯+⨯⨯⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因为ππ62C<<，则tan3C>，可得01tan C<<，所以ABC面积1,8tan84SC⎛⎫⎛⎫=+∈⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.7.已知样本数据129,,,x x x⋅⋅⋅的平均数为9，方差为12，现这组样本数据增加一个数据10x，此时新样本数据的平均数为10，则新样本数据的方差为（）A.18.2B.19.6C.19.8D.21.7【答案】C【解析】【分析】根据平均数和方差公式整理可得9921181,837i ii ix x====∑∑，由新样本数据的平均数可得1019x=，结合方差公式运算求解即可.【详解】由题意可知：()9992221111119,99912999i i i i i i x x x ===⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭∑∑∑，可得9921181,837ii i i xx ====∑∑，且()9101011181101010i i x x x =⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭∑，解得1019x =，所以新样本数据的方差为()1010922222210111111101010101019.8101010i i i i i i x x x x ===⎛⎫⎛⎫-=-⨯=+-⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑.故选：C.8.已知平面向量,,a b c 满足12,2a c a b a b a b λ==⋅=-≥- 对任意实数λ恒成立．若对每一个确定的c ，对任意实数m ，n ，c ma c nb -+- 有最小值t ．当c变化时，t 的值域为[],x y ，则x y +=（）A.2+B.C.2+D.【答案】D 【解析】【分析】根据题意结合向量的几何意义分析可知2b =，进而分析可知,MC NC 的最小值分别为过点C 分别作直线,OA OB 的垂线长，设COA θ∠=，分π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦和π,π3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦两种情况讨论，结合三角函数运算求解即可.【详解】设,,OA a OB b OC c === ，OP b =uu u r rλ，可知P OB ∈，则a b OA OP PA -=-=uu r uu u r uu r r r λ，可知PA 的最小值即为点A 到直线OB 的距离，若12a b a b λ-≥-对任意实数λ恒成立，可知当点P 为线段OB 的中点，且AP OB ⊥，即a 在b方向上的投影向量为12b r ，则2122a b b ⋅==r r r ，可得2b = ，即2OB OA BA ===，可知OAB 为等边三角形，可设,OM ma ON nb ==uuu r uuur r r ，则,c ma MC c nb NC -=-= ，可知,MC NC的最小值分别为过点C 分别作直线,OA OB的垂线长，设COA θ∠=，根据对称性只需分析[]0,πθ∈即可，若π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得min minπ2sin 2sin 3t MC NC θθ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭π2sin sin sin 2sin 3θθθθθθ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，因为π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ2π,333θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，可得πsin ,132θ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，即2t ⎤∈⎦；若π,π3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则min min π2sin 2sin 3t MC NC θθ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭π2sin sin 3sin 6θθθθθθ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭，因为π,π3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ5π,666θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，可得π1sin ,132θ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即t ∈；综上所述：t ∈，即x y ==x y +=故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是把向量的模长转化为两点间距离，结合几何性质分析求解，这样可以省去烦琐的运算.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.已知复数z 满足1z =，则下列结论正确．．的是（）A.1z z ⋅= B.1z z+∈R C.1z -的最大值为2 D.21z =【答案】ABC 【解析】【分析】根据共轭复数及乘法计算判断A,B 选项，应用特殊值法判断D 选项，结合模长公式判断C 选项.【详解】设i z =,所以22i 1z ==-,D 选项错误；112z z -≤+=,C 选项正确；设i z a b =+,因为1,z =所以221,1a b =+=，所以()()22222·i i i =1z z a b a b a b a b =+-=-+=,A 选项正确；1·i+i=2R z z z z z z a b a b a z z+=+=+=+-∈,B 选项正确.故选：ABC.10.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（）A.图（1）的平均数=中位数=众数B.图（2）的平均数<众数<中位数C.图（2）的众数<中位数<平均数D.图（3）的平均数<中位数<众数【答案】ACD 【解析】【详解】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断.【分析】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A 正确；图（2）众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B 错误，C 正确；图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D 正确.故选：ACD.11.正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，E ，F 分别为棱11B C ，AD （含端点）上的动点，记过C ，E ，F 三点的平面为α，记1d 为点B 到平面α的距离，2d 为点1D 到平面α的距离，则满足条件（）的α是不唯一的．A.12d d +=B.12d d +=C.122d d -=D.122d d +=【答案】AC 【解析】【分析】设1,C E x DF y ==，结合解三角形知识求得CEF △的面积S =，利用等体积法求得1d =2d =.根据题意结合选项逐一分析判断即可.【详解】设1,C E x DF y ==，则[],0,1x y ∈，可得CE CF EF ===在CEF △中，由余弦定理可得222cos 2CE CF EF ECF CE CF+-∠==⋅且()0,πECF ∠∈，则sin ECF ∠==，所以CEF △的面积1sin 2S CE CF ECF =⋅⋅∠=，设平面α与直线11A D 的交点为G ，连接,GF GE ，可知1D G x y =+，因为平面11ADD A ∥平面11BCC B ，且平面α 平面11ADD A GF =，平面α 平面11BCC B CE =，可得GF ∥CE ，同理可得：GE ∥CF ，可知四边形CEGF 为平行四边形，则GEF CEF S S S ==△△，对于三棱锥B CEF -可知：B CEF E BCF V V --=，则1111111332S d ⋅=⨯⨯⨯⨯，解得112d S ==；对于三棱锥1D GEF -可知：11D GEF F D EG V V --=，则()211111332S d x y ⋅=⨯⨯⨯⨯+，解得22x y d S +==；对于选项A：若12d d +==+=，显然01x y =⎧⎨=⎩和1x y =⎧⎨=⎩上式均成立，所以平面α是不唯一的，故A 正确；对于选项B：若12d d ==+=，整理可得()()()222110x y x y -+-+-=，解得1x y ==，所以平面α是唯一的，故B 错误；对于选项C：若122d d -+-===，显然02x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩和20x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩上式均成立，所以平面α是不唯一的，故C 正确；对于选项D：若122d d +===，整理可得()()()22221210x y x y -+-+-=，解得12x y ==，所以平面α是唯一的，故D 错误；故选：AC.【点睛】关键点点睛：将平面α延展为平面CEGF ，分析可知CEGF 为平行四边形，进而可利用等体积法求12,d d .非选择题部分三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分．把答案填在题中的横线上12.已知2i 3-是关于x 的实系数方程220x px q ++=的一个根，则实数p 的值为_______．【答案】12【解析】【分析】根据题意分析可知2i 3--也是方程220x px q ++=的一个根，利用韦达定理运算求解即可.【详解】因为2i 3-是关于x 的实系数方程220x px q ++=的一个根，则2i 3--也是关于x 的实系数方程220x px q ++=的一个根，由韦达定理可得()()2i 32i 362p-+--=-=-，解得12p =.故答案为：12.13.设样本空间{}1,2,3,4Ω=含有等可能的样本点，{}{}{}1231,2,1,3,1,4A A A ===，则()()()()123123P A A A P A P A P A =_______．【答案】2【解析】【分析】根据题意利用列举法求()()()()123123,,,P A P A P A P A A A ，代入即可得结果.【详解】因为样本空间{}1,2,3,4Ω=，{}{}{}1231,2,1,3,1,4A A A ===，则{}1231A A A =，可知()()()()()1231234,2,1n n A n A n A n A A A Ω=====，则()()()()()()()()()()()()1231231231231111,,,2224n A n A n A n A A A P A P A P A P A A A n n n n ========ΩΩΩΩ，所以()()()()123123142111222P A A A P A P A P A ==⨯⨯.故答案为：2.14.与多面体的每条棱都相切的球称为该多面体的棱切球．已知四面体ABCD 满足6AB BC CD DA ====，8BD =，且四面体ABCD 有棱切球，则AC 的长为________．【答案】4【解析】【分析】设球心，和相应的切点，根据题意结合切线长性质可知相应的长度关系，结合题中棱长关系分析运算即可.【详解】设棱切球的球心为O ，与棱,,,,,AB BC CD DA AC BD 分别切于点,,,,,E F G H I J ，可知,,,AH AI AE BE BF BJ CI CF CG DH DG DJ ========，由题意可得：6668AH DH AE BE AH BE BF CF BE CF BJ DJ BE DH +=⎧⎪+=+=⎪⎨+=+=⎪⎪+=+=⎩，解得42BE DH AH CF ==⎧⎨==⎩，所以4AC AI CI AH CF =+=+=.故答案为：4.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是切线长相等，结合棱长列式求解即可.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知圆台上底面半径为1，下底面半径为2，高为2．（1）求该圆台的体积；（2）求该圆台母线与下底面所成角的余弦值．【答案】（1）14π3（25【解析】【分析】（1）根据题意利用台体的体积公式运算求解；（2）借助于轴截面，分析可知该圆台母线与下底面所成角的大小为CBE ∠，结合题中数据分析求解.【小问1详解】由题意可知：该圆台的体积(114ππ4ππ4π233V =++⨯⨯=.【小问2详解】借助于轴截面，如图所示，其中21,O O 分别为上、下底面圆的圆心，则21O O 与上、下底面均垂直，过C 作CE AB ⊥，垂足为E ，可知CE ∥21O O ，则CE 与上、下底面均垂直，则该圆台母线与下底面所成角的大小为CBE ∠，由题意可知：212CE O O ==，1BE =，可得BC ==，则cos 5BE CBE BC ∠==，所以该圆台母线与下底面所成角的余弦值为5.16.已知,a b是单位向量，满足2a b -= a 与b 夹角为θ．（1）求θ；（2）若平面向量c 在a 上的投影向量为,1a b c ⋅=，求c ．【答案】（1）2π3θ=（2）2c =【解析】【分析】（1）由题意可知1==a b r r ，cos a b θ⋅=r r ，由2a b -= 结合数量积的运算可得1cos 2θ=-，即可得结果；（2）设,,c xa yb x y =+∈R rr r，结合题意列式解得2x y ==，结合模长与数量积的运算律分析求解.【小问1详解】因为1==a b r r ，则cos cos a b a b θθ⋅==，若2a b -= ，则222244a b a a b b -=-⋅+，即714cos 4=-+θ，可得1cos 2θ=-，且[]0,πθ∈，所以2π3θ=.【小问2详解】由（1）可知：1==a b r r ，12a b ⋅=-r r ，由题意可设,,c xa yb x y =+∈R r r r，因为平面向量c 在a 上的投影向量为a，则21a c a ⋅==r r r ，由题意可得：22a c xa yab bc xa b yb⎧⋅=+⋅⎪⎨⋅=⋅⋅+⎪⎩ ，可得112112x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得2x y ==，则()2a c b =+ ，可得()()2224241114c a a b b =+⋅+=-+= ，所以2c =.17.如图，ABC 绕边BC 旋转得到DBC △，其中2AC BC ==，,AC BC AE ⊥⊥平面ABC ，DE ∥AC．（1）证明：BC ⊥平面ACD ；（2）若二面角B DE C --的平面角为60︒，求锐二面角D CB A --平面角的正弦值．【答案】（1）证明见详解（2）3【解析】【分析】（1）根据题意可得,BCAC BC CD ⊥⊥，结合线面垂直的判定定理分析证明；（2）作辅助线，根据三垂线法分析可知二面角B DE C --的平面角为60BFC ∠=︒，可得CF =结合（1）分析可知锐二面角D CB A --平面角为ACD ∠，运算求解即可.【小问1详解】由题意可知：,BCAC BC CD ⊥⊥，且AC CD C = ，,AC CD ⊂平面ACD ，所以BC ⊥平面ACD .【小问2详解】过C 作CF DE ⊥，垂足为F ，连接BF ，即CF EF ⊥，因为BC ⊥平面ACD ，EF ⊂平面ACD ，则BC EF ⊥，且CF BC C = ，,CF BC ⊂平面BCF ，则EF ⊥平面BCF ，由BF ⊂平面BCF ，可得EF BF ⊥，可知二面角B DE C --的平面角为60BFC ∠=︒，且2BC =，可得23CF =，由（1）可知：,BCAC BC CD ⊥⊥，则锐二面角D CB A --平面角为ACD ∠，且DE ∥AC ，可知ACD CDF ∠=∠，可得233sin sin 23CF ACD CDF CD ∠=∠==，所以锐二面角D CB A --平面角的正弦值为33.18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，过ABC 内一点M 的直线l 与直线AB 交于D ，记BA 与DM夹角为θ.（1）已知cos sin c a B b A -=，（i ）求角A ﹔（ii ）M 为ABC 的重心，1,30b c θ===︒，求AD；（2）请用向量方法．．．．探究θ与ABC 的边和角之间的等量关系.【答案】（1）（i ）45︒；（ii ）6226+（2）cos cos()cos()c a B b A θθθ=-++【解析】【分析】（1）（i ）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得；（ii ）由1()3AM AB AC =+ 及数量积模的运算求得2cos 32AAM =，根据正弦定理结合三角恒等变换得AD211sin cos 3222A A ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭，将45A =o 代入求值即可；（2）由BA BC CA =+，结合数量积可得DE BA DE BC DE CA ⋅=⋅+⋅ ，再运用数量积定义可分别求出DE BA ⋅ 、DE BC ⋅、DE CA ⋅ ，代入整理即可.【小问1详解】（i ）因为cos sin c a B b A -=，由正弦定理可得sin sin cos sin sin C A B B A -=，即()sin sin cos sin sin A B A B B A +-=，所以cos sin sin sin A B B A =，又0180B << ，所以sin 0B >，所以cos sin A A =，所以tan 1A =，又0180A << ，所以45A =o .（ii ）由题意1,30b c θ===︒，因为M 为ABC 的重心，所以1()3AM AB AC =+，所以12cos 332A AM AM AB AC ==+=== ，在ADM △中，由正弦定理知AD AM θ=∠，所以sin AM AD AMD θ=⨯∠，显然ABC 为等腰三角形，则AM 平分BAC ∠，所以sin 302sin 301222AM A A AD AD AM ⎛⎫⎛⎫==⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭441cos sin 30cos sin cos 322322222A A A A A ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222112sin cos cos sin cos 322223222A A A A A ⎛⎫⎛⎫=⨯+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2321216223222226⎛⎫++=⨯+⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭；【小问2详解】直线l 与ABC 的边AC 相交于点E ，如图所示，因为BA BC CA =+，所以()DE BA DE BC CA ⋅=⋅+ ，即DE BA DE BC DE CA ⋅=⋅+⋅ ，又因为||||cos ||cos DE BA DE BA EDA c DE θ⋅=∠=，||||cos()||cos()DE BC DE BC B a DE B θθ⋅=-=-，||||cos()||cos()DE CA DE CA A b DE A θθ⋅=+=+，所以||cos ||cos()||cos()c DE a DE B b DE A θθθ=-++，即cos cos()cos()c a B b A θθθ=-++.19.给定两组数据()12,,,n A x x x =⋅⋅⋅与()12,,,n B y y y =⋅⋅⋅，称()1,niii X A B x y==-∑为这两组数据之间的“差异量”．鉴宝类的节目是当下非常流行的综艺节目．现有n 个古董，它们的价值各不相同，最值钱的古董记为1号，第二值钱的古董记为2号，以此类推，则古董价值的真实排序为()1,2,,I n =⋅⋅⋅．现在某专家在不知道古董真实排序的前提下，根据自己的经验对这n 个古董的价值从高到低依次进行重新排序为12,,,n x x x ⋅⋅⋅，其中i x 为该专家给真实价值排第i 位古董的位次编号，记()12,,,n A x x x =⋅⋅⋅，那么A 与I 的差异量()1,nii X A I x i ==-∑可以有效反映一个专家的水平，该差异量(),X A I 越小说明专家的鉴宝能力越强．（1）当3n =时，求(),X A I 的所有可能取值；（2）当5n =时，求(),4X A I =的概率；（3）现在有两个专家甲、乙同时进行鉴宝，已知专家甲的鉴定结果与真实价值I 的差异量为a ，专家甲与专家乙的鉴定结果的差异量为4，那么专家乙的鉴定结果与真实价值I 的差异量是否可能为6a +？请说明理由．【答案】（1）0，2，4（2）18（3）不可能，理由见详解【解析】【分析】（1）利用列举法求A 的所有可能性结果，结合(),X A I 的定义运算求解；（2）分析可知样本容量()Ω120n =，且(),4X A I =只能调整两次两个连续序号或连续三个序号之间调整顺序，结合（1）中结论运算求解；（3）由题意可得：1n ii x i a =-=∑，14niii x y=-=∑，结合绝对值不等式的运算求解.【小问1详解】若3n =时，则()()()()()()1,2,3,1,3,2,2,1,3,2,3,1,3,1,2,3,2,1A =，且()1,2,3I =，可得(),0,2,2,4,4,4X A I =，所以(),X A I 的所有可能取值为0，2，4.【小问2详解】设“(),4X A I =”为事件M ，样本空间为Ω，因为5n =，可知A 共有54321120⨯⨯⨯⨯=个，即样本容量()Ω120n =，显然若对调两个位置的序号之差大于2，则(),4X A I >，可知(),4X A I =只能调整两次两个连续序号或连续三个序号之间调整顺序，若调整两次两个连续序号：则有()(){}()(){}()(){}1,2,3,4,1,2,4,5,2,3,4,5，共有3种可能；若连续三个序号之间调整顺序，连续三个序号有：{}{}{}1,2,3,2,3,4,3,4,5，共3组，由（1）可知：每组均有3种可能满足(),4X A I =，可得共有3412⨯=种可能；综上所述：()31215n M =+=.所以()()()151Ω1208n M P B N ===.【小问3详解】不可能，理由如下：设专家甲的排序为12,,,n x x x ⋅⋅⋅，记()12,,,n A x x x =⋅⋅⋅；专家乙的排序为12,,,⋅⋅⋅n y y y ，记()12,,,n B y y y =⋅⋅⋅；由题意可得：()1,n ii X A I x i a ==-=∑，()1,4niii X A B x y==-=∑，因为()()i i i i i i i i i i y i y x x i y x x i x i x y -=-+-≤-+-=-+-，结合i 的任意性可得11146nnniiiii i i y i x i x ya a ===-≤-+-=+<+∑∑∑，所以专家乙的鉴定结果与真实价值I 的差异量不可能为6a +.【点睛】方法点睛：1.对于（2）：利用转化法，将问题转为（1）中已知的结论；2.对于（3）：结合绝对值不等式分析证明.。

2023-2024学年浙江省温州市苍南县五年级（下）期中数学试卷一、选择题（每题2分，共20分）1．（2分）下面图形中（每格是正方形），不是正方体表面展开图的是（）A．B．C．D．2．（2分）非零自然数按（）分，可以分成如图所示。

A．2的倍数B．因数的个数C．倍数的个数D．奇偶性3．（2分）德国数学家哥德巴赫提出猜想：所有大于2的偶数，都可以表示为两个质数的和。

该猜想成为数学中一个著名的难题，被称为“数学皇冠上的明珠”。

下面符合这个猜想的是（）A．20＝2+18 B．15＝2+13 C．18＝3+15 D．12＝5+74．（2分）有一堆水果，3个装一袋，5个装一袋，最后都剩下2个。

这堆水果总数可能是（）个。

A．60 B．61 C．62 D．635．（2分）选择（）种包装盒，正好可以把40个乒乓球装完。

A．B．C．D．6．（2分）一个长10cm、宽8cm、高4cm的长方体木块，能切成（）个棱长是2cm的小正方体木块。

A．320 B．160 C．80 D．407．（2分）一个几何体，从前面看是，从左面看是，从上面看是，这个几何体是（）A．B．C．D．8．（2分）下面的大正方体都是由27个同样的小正方体搭成的，拿掉表面的2个小正方体（涂色部分），表面积不会发生变化的是（）A．B．C．D．9．（2分）下列选项中，解决的问题与体积有关的是（）A．包装一份生日礼物需要多少彩纸。

B．给一个玻璃柜台各边装上角铁，需要多少角铁。

C．油漆大厅里的柱子，需要多少油漆。

D．一个玻璃球沉入装满水的杯子中，溢出多少水。

10．（2分）下面说法正确的有（）①所有偶数都是合数；②1既不是质数也不是合数；③一个数的倍数的个数是无限的；④一个数越大，因数个数越多。

A．①②③B．②③C．①②③④D．②④二、填空题（第14题2分，其余每空1分，共28分）11．（4分）苍南县位于浙江省沿海最南端，辖区面积约1080平方千米，海岸线长205千米，下辖16镇、2个民族乡，共有常住人口84.85万人。

2021-2022学年浙江省温州市瓯海区景山小学人教版五年级上册期末测试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．1.58×6.05的积是()，精确到十分位是()。

2．22.6÷11的商用循环小数表示是()，保留两位小数约是()。

3．小华坐在教室里的位置用数对表示是（3，6），坐在他正后面的小明的位置用数对表示是_______。

4．果园里有桃树x棵，梨树的棵数是桃树的1.5倍。

那么1.5x表示_____，1.5x﹣x表示_____。

5．一个三位小数“四舍五入”后是6.00,这个小数最大是(),最小是()。

6．如果7x＝1.4，那么5－1.8x的值是()。

7．一个平行四边形的面积是72平方厘米，与它等底等高的三角形的底是18厘米．则三角形的高是________厘米．8．一个同学植树，已知0.5小时植树4棵，平均每小时植树()棵，平均植1棵树用()小时。

9．在0.69、0.69 、0.69 、0.609中，最大的数是()，最小的数是()。

10．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。

4.64×0.9()4.64 6.5÷1.05()6.5×1.0512.5÷0.35()12.50.36×10()0.6÷0.111．一个盒子里有2个白球、3个红球和5个蓝球，从盒中摸一个球，可能有()种结果，摸出()球的可能性最大，可能性是()。

12．一个梯形的面积是24cm2，上、下底之和是12cm，高是()cm。

二、判断题13．5x＋2是方程。

()14．7.8除以一个小数，所得的商一定大于7.8。

()15．等底等高的两个三角形，无论形状是否一样，它们的面积是相等的。

_____。

16．（4，6）和（6，4）表示的是同一个位置。

()17．当梯形的上底和下底相等时，就变成了平行四边形，当梯形的上底为0时，就变成了三角形。