「精品」高中数学第一章不等式的基本性质和证明不等式的基本方法1.5.2综合法和分析法学案新人教B版选修4_5

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1 1．5.2 综合法和分析法

[对应学生用书P19]

[读教材·填要点]

1．综合法

从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理，逐步推导，从而最后导出要证明的命题，这种方法称为综合法．

2．分析法

从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，利用已知的一些定理，逐步探索，最后达到命题所给出的条件(或者一个已证明过的定理或一个明显的事实)，这种证明方法称为分析法．

[小问题·大思维]

1．如何理解分析法寻找的是使要证命题成立的充分条件？

提示：用分析法证题时，语气总是假定的，常用“欲证A只需证B”表示，说明只要B成立，就一定有A成立，所以B必须是A的充分条件才行，当然B是A的充要条件也可．

2．用综合法和分析法证明不等式有怎样的逻辑关系？

提示：综合法：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(逐步推演不等式成立的必要条件)，

即由条件出发推导出所要证明的不等式成立．

分析法：B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A(步步寻求不等式成立的充分条件)，

总之，综合法与分析法是对立统一的两种方法．

[对应学生用书P19]

用综合法证明不等式

[例1] 已知a，b，c均为正实数，且互不相等，又abc＝1.

求证：a＋b＋c<1a＋1b＋1c.

[思路点拨] 本题考查用综合法证明不等式，解答本题可从左到右证明，也可从右到左证明．由左端到右端，应注意左、右两端的差异，这种差异正是我们思考的方向．左端含有精品资料 值得拥有

2 根号，脱去根号可通过a＝1bc<1b＋1c2实现；也可以由右到左证明，按上述思路逆向证明即可．

[精解详析] 法一：∵a，b，c是不等正数，且abc＝1，

∴a＋b＋c＝1bc＋1ac＋1ab＜1b＋1c2＋1a＋1c2＋1a＋1b2＝1a＋1b＋1c.

法二：∵a，b，c是不等正数，且abc＝1，

∴1a＋1b＋1c＝bc＋ca＋ab

＝bc＋ca2＋ca＋ab2＋ab＋bc2

＞ abc2＋a2bc＋ab2c

＝a＋b＋c.

(1)用综合法证明不等式时，主要利用基本不等式，函数的单调性以及不等式的性质等知识，在严密的演绎推理下推导出结论．

(2)综合法证明不等式中所依赖的已知不等式主要是重要不等式，其中常用的有如下几个：①a2≥0(a∈R)．②(a－b)2≥0(a，b∈R)，其变形有：a2＋b2≥2ab，(a＋b2)2≥ab.a2＋b2≥12(a＋b)2.③若a，b为正实数，a＋b2≥ab.特别ba＋ab≥2.④a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.

1．已知a>0，b>0，求证a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.

证明：因为b2＋c2≥2bc，a>0，

所以a(b2＋c2)≥2abc.

又因为c2＋a2≥2ac，b>0，

所以b(c2＋a2)≥2abc.

因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.

用分析法证明不等式

[例2] a，b均为正实数，且2c>a＋b. 精品资料 值得拥有

3 求证：c－c2－ab

[思路点拨] 本题考查分析法在证明不等式中的应用．解答本题需要对原不等式变形为－c2－ab

[精解详析] 要证c－c2－ab＜a＜c＋c2－ab，

只需证－c2－ab＜a－c＜c2－ab，

即证|a－c|＜c2－ab，

两边平方得a2－2ac＋c2＜c2－ab，

也即证a2＋ab＜2ac，即a(a＋b)＜2ac.

∵a，b均为正实数，且a＋b＜2c，∴a(a＋b)＜2ac显然成立．

∴原不等式成立．

(1)当所证不等式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系，或很难发现条件与结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径．

(2)对于无理不等式的证明，常采用分析法通过平方将其有理化，但在乘方的过程中，要注意其变形的等价性．

(3)分析法证题的本质是从被证的不等式出发寻求使结论成立的充分条件，证明的关键是推理的每一步都必须可逆．

2．已知x>0，y>0，求证：(x2＋y2)12>(x3＋y3)13.

证明：要证明(x2＋y2)12>(x3＋y3)13，

只需证(x2＋y2)3>(x3＋y3)2，

即证x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6>x6＋2x3y3＋y6，

即证3x4y2＋3x2y4>2x3y3.

∵x>0，y>0，∴x2y2>0.

即证3x2＋3y2>2xy.

∵3x2＋3y2>x2＋y2≥2xy，

∴3x2＋3y2>2xy成立．

∴(x2＋y2)12>(x3＋y3)13.

分析法与综合法的综合应用 精品资料 值得拥有

4

[例3] 已知a，b，c均为正实数，且b2＝ac.求证：a4＋b4＋c4＞(a2－b2＋c2)2.

[思路点拨] 本题考查综合法与分析法的综合应用．解答本题可先采用分析法将所要证明的不等式转化为较易证明的不等式，然后再用综合法证明．

[精解详析] 欲证原不等式成立，只需证a4＋b4＋c4＞a4＋b4＋c4－2a2b2＋2a2c2－2b2c2，

即证a2b2＋b2c2－a2c2＞0，

∵b2＝ac，故只需证(a2＋c2)ac－a2c2＞0.

∵a、c＞0，故只需证a2＋c2－ac>0，

又∵a2＋c2>2ac，

∴a2＋c2－ac>0显然成立．

∴原不等式成立．

(1)通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式易于证明．

(2)有些不等式的证明，需要一边分析一边综合，称之为分析综合法，或称“两头挤”法，如本例，这种方法充分表明了分析与综合之间互为前提，互相渗透，相互转化的辩证统一关系．

3．已知a>b>c，求证：1a－b＋1b－c＋1c－a>0.

证明：法一：要证明1a－b＋1b－c＋1c－a>0，

只需要证明1a－b＋1b－c>1a－c.

∵a>b>c，∴a－c>a－b>0，b－c>0，

∴1a－b>1a－c，

1b－c>0，∴1a－b＋1b－c>1c－a成立．

∴1a－b＋1b－c－1c－a>0成立．

法二：若令a－b＝x，b－c＝y，则a－c＝x＋y，

∵a>b>c，∴x>0，y>0， 精品资料 值得拥有

5 证明1a－b＋1b－c＋1c－a>0，

只要证明：1x＋1y－1x＋y>0，

也就是要证：yx＋y＋xx＋y－xyxyx＋y>0，

即证：x2＋y2＋xyxyx＋y＞0，

∵x>0，y>0，∴x＋y>0，x2＋y2＋xy>0，

∴上式成立，即1x＋1y－1x＋y＞0，

故1a－b＋1b－c＋1c－a>0.

[对应学生用书P20]

一、选择题

1．设a，b均为正实数，A＝a＋b，B＝a＋b，则A、B的大小关系是( )

A．A≥B B．A≤B

C．A＞B D．A＜B

解析：用综合法(a＋b)2＝a＋2ab＋b，

所以A2－B2＞0.

又A＞0，B＞0，

∴A＞B.

答案：C

2．已知x>y>z，且x＋y＋z＝0，下列不等式中成立的是( )

A．xy>yz B．xz>yz

C．xy>xz D．x|y|>z|y|

解析：由已知得3x>x＋y＋z＝0，

3z0，z<0.

由 x>0，y>z得xy>xz. 精品资料 值得拥有

6 答案：C

3．若a>0，b>0，下列不等式中不成立的是( )

A.ba＋ab≥2 B．a2＋b2≥2ab

C.b2a＋a2b≥a＋b D.1a＋1b≥2＋2a＋b

解析：由ba∈(0，＋∞)且ab∈(0，＋∞)，得ba＋ab≥2ba·ab，所以A成立，B显然成立，不等式C可变形为a3＋b3≥a2b＋ab2⇔(a2－b2)(a－b)≥0.

答案：D

4．已知a、b、c为三角形的三边且S＝a2＋b2＋c2，P＝ab＋bc＋ca，则( )

A．S≥2P B．P

C．S>P D．P≤S＜2P

解析：∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，

∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，

即S≥P.

又三角形中|a－b|＜c，∴a2＋b2－2ab＜c2.

同理b2－2bc＋c2＜a2，c2－2ac＋a2＜b2，

∴a2＋b2＋c2<2(ab＋bc＋ca)．即S<2P.

答案：D

二、填空题

5．已知a，b，c∈R＋，则1a＋1b＋1c与1ab＋1bc＋1ac的大小关系是________________．

解析：因为1a＋1b≥21ab，1b＋1c≥21bc，1a＋1c≥21ab，三式相加可得1a＋1b＋1c≥1ab＋1bc＋1ac .

答案：1a＋1b＋1c≥1ab＋1bc＋1ac

6．若x>0，y>0，且5x＋7y＝20，则xy的最大值是________________．

解析：xy＝135(5x·7y)≤1355x＋7y22＝1352022＝207. 精品资料 值得拥有

7 当且仅当5x＝7y＝10即x＝2，y＝107时取等号．

答案：207

7．已知a＞0，b＞0，若P是a，b的等差中项，Q是a，b的正的等比中项，1R是1a，1b的等差中项，则P、Q、R按从大到小的排列顺序为________．

解析：由已知P＝a＋b2，Q＝ab，

1R＝1a＋1b2＝a＋b2ab，即R＝2aba＋b，显然P≥Q，

又2aba＋b≤2ab2ab＝ab，∴Q≥R.∴P≥Q≥R.

答案：P≥Q≥R

8．若不等式1a－b＋1b－c＋λc－a>0在条件a>b>c时恒成立，则λ的取值范围是________．

解析：不等式可化为1a－b＋1b－c>λa－c.

∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，a－c>0，

∴λ

∵a－ca－b＋a－cb－c＝a－b＋b－ca－b＋a－b＋b－cb－c

＝2＋b－ca－b＋a－bb－c

≥2＋2＝4.

∴λ<4.

答案：(－∞，4)

三、解答题

9．a，b，c为互不相等的正数，且abc＝1.

求证：1a＋1b＋1c>a＋b＋c.

证明：法一：由左式推证右式

∵abc＝1，且a，b，c为互不相等的正数，