中考几何题证明辅助线的作法

- 1 - 全等三角形问题中常见的辅助线的作法

总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等

【三角形辅助线做法】

图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题

2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形

3.角平分线在三种添辅助线

4.垂直平分线联结线段两端

5.用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，

6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形

7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．

2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形． - 2 - DCBAEDFCBA3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。

全等三角形常见辅助线作法

【例1】.已知：如图6, 4BCE、△ACO分别是以8E、为斜边的直角三角形，且= ACDE是

等边三角形.求证：△ A3c是等边三角形.

【例 2】、如图，已知 BC>AB, AD=DCo BD 平分NABC。求证：ZA+ZC=180°.

线段的数量关系: 通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。

1、倍长中线法

【例.3］如图，己知在△ABC中，ZC = 90°, ZB = 30°, A。平分NB4C,交BC于点D.

求证：BD = 2CD

证明：延长DC到E,使得CE=CD,联结AE

ZC=90°

A AC ± CD

VCD=CE

AD=AE

VZB=30° ZC=90°

ZBAC=60°

YAD 平分NBAC

J ZBAD=30°

A DB=DA ZADE=60° VDB=DA

：.BD=DE /. BD=2DC 4

B D

笫3题 •/ ZADE=60° AD=AE

A △ ADE为等边三角形

，AD=DE 【例4.】如图，。是AABC的边上的点，且CD = AB, ZADB = ZBAD, AE是AARD的中线。求证：AC = 2AEo

证明：延长AE至IJ点F,使得EF=AE联结DF

在4ABE和4FDE中

BE=DE

ZAEB=ZFED

AE=FE

/.△ABE 也 AFDE (SAS)

A AB=FD ZABE=ZFDE

VAB=DC

J FD = DC

ZADC=ZABD+ZBAD

ZADB = ZBAD

，ZADC=ZABD+ZBDA VZABE=ZFDE

・・・

NADONADB+NFDE

即 ZADC= ZADF

ffiAADF 和AADC 中

AD=AD

< ZADF= ZADC

、DF =DC

・•・△ ADF也 ADC(SAS)

AAF=AC

AC=2AE【变式练习】、如图，AABC中，BD二DOAC, E是DC的中点，求证：AD平分NBAE.

很多同学都说几何难，不知道从哪里入手！其实，主要还是辅助线的添加问题，那该怎么添辅助线呢?小编今天给大家推荐一些口诀和顺口溜，对你一定有帮助！

初中数学几何常见辅助线作法口诀：

人说几何很困难，难点就在辅助线。

辅助线，如何添？把握定理和概念。

还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。

三角形

三角形辅助线作法口诀：

图中有角平分线，可向两边作垂线

也可将图对折看，对称以后关系现

角平分线平行线，等腰三角形来添

角平分线加垂线，三线合一试试看

线段垂直平分线，常向两端把线连

要证线段倍与半，延长缩短可试验

三角形中两中点，连接则成中位线

三角形中有中线，延长中线等中线

四边形

四边形辅助线作法口诀：

平行四边形出现，对称中心等分点

梯形里面作高线，平移一腰试试看

平行移动对角线，补成三角形常见

证相似，比线段，添线平行成习惯

等积式子比例换，寻找线段很关键

直接证明有困难，等量代换少麻烦

斜边上面作高线，比例中项一大片

圆形

圆形辅助线作法口诀：

半径与弦长计算，弦心距来中间站

圆上若有一切线，切点圆心半径连

切线长度的计算，勾股定理最方便

要想证明是切线，半径垂线仔细辨 是直径，成半圆，想成直角径连弦

弧有中点圆心连，垂径定理要记全

圆周角边两条弦，直径和弦端点连

弦切角边切线弦，同弧对角等找完

要想作个外接圆，各边作出中垂线

还要作个内接圆，内角平分线梦圆

如果遇到相交圆，不要忘作公共弦

内外相切的两圆，经过切点公切线

若是添上连心线，切点肯定在上面

要作等角添个圆，证明题目少困难

辅助线，是虚线，画图注意勿改变

假如图形较分散，对称旋转去实验

基本作图很关键，平时掌握要熟练

解题还要多心眼，经常总结方法显

切勿盲目乱添线，方法灵活应多变

分析综合方法选，困难再多也会减

虚心勤学加苦练，成绩上升成直线

初中数学中，同学们最头疼的就是几何证明题，确切来讲，几何题中只要掌握了辅助线添加技巧就等于离成功解题不远了。而且，几何题也是中考拉分题之一，所以同学们一定要把以上口诀和顺口溜记牢了

三角形全等证明题中常用辅助线的几种作法

石阡县文博中学 彭胜军

在初中数学教材中，三角形全等是初二课程的重点内容，也是中考的重点考查内容。学生应该证题时，将会遇到许多困难，其中最大的困难是不知道怎样作辅助线。现就证题中常用的辅助线作法略举几例，复习时以供参考。

例1，如图，已知AB=AC，CE=BD，那么线段DG和GE有什么关系呢？请说明理由。

分析：从图观察可知DG=GE，要

证两线段相等，通常是证用三形全等

或利用等角对等边来实现，而此题这

两种思路都无法直接证明，提示：山穷水尽“平行线”，柳暗花明证全等。

方法一：过点D作DF//AC

先证DB=DF 可得DF=CE

由△DGF≌△EGC可证GD=GE

方法2：可过点E作EH//AB，通过△EGH≌△DGB 可得GD=GE。

例2：如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC，求证：AC=AB+BD

分析：证一条线等于两条线段之和，学生较为陌生，找不到思路，提示：截长补短法。

方法一：在AC截取AE=AB，由△ABD≌△AED 可得BD=DE，从而只需证EC=DE即可。

方法二：延长AB至E，使BE=BD，连结ED，由∠ABD=2∠C，∠ABD=2∠E，可证△AED≌△ACD。可推出AE=AC。即可证AC=AB+BD。

方法三：延长AB至E，使AE=AC，因而只需证BE=BD，由△AED≌△ACD及∠B=2∠C，可证∠E=∠BDE，从而有BE=BD。

例3：如图，在△ABC中，AC=5，中

线AD=4，求AB的取值范围。

分析：学生面对此类题，无从下手。不

知所措，线索是中线，提示：倍长中线法。

方法1：延长中线AD至E，使DE=AD，连结BE，由△AD≌EDB，可得BE=AC=5，AE=2AD=8，在△AEB中，可得3

方法2：线索——有中点，提示：构造中位线法。

找AB中点E，连结DE，则AE=12AC=52，