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初中数学解题方法之反证法专题

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反证法专题复习

对于一个几何命题，当用直接证法比较困难时，则可采用间接证法，反证法就是一种间接证法，它不是直接去证明命题的结论成立，而是去证明命题结论的反面不能成立。从而推出命题的结论必然成立，它给我们提供了一种可供选择的新的证题途径，掌握这种方法，对于提高推理论证的能力、探索新知识的能力都是非常必要的。

一 真题链接

1.用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。

已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.

2.平面内有四个点，没有三点共线，

证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形

3. 平面内有四个点，没有三点共线

证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形

二 名词释义

反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。

反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。

归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。例如：

已知：a是整数，2能整除2a。试证：2能整除a

① 探究：问题实际上是在讨论a是奇数，还是偶数。已知中：说明2a是偶数，则22ammN，此时2ammN

② 反思：条件已用完，结论还不能明确得证，可能结论自身有问题。

③ 若结论有问题，则“2不能整除a”应该成立，此时会发生怎样的情况，进行推理引出反证法。

总结：在上题由“2不能整除a”这个假设下，推理出了矛盾，肯定了原题的结论，从而说明了这种思想可以作为一种证明问题的方法，再通过问题2继续认识。

三 典型例题

反证法的证题步骤：

① 假设。假设结论的反面成立，重点完成对假设的等价转化

② 归结矛盾。矛盾来源：与已知，定理，公理，已证，已作，矛盾。

③ 否定假设，肯定结论。

例1.求证：2是无理数

证明：假设2不是无理数，即2是有理数，那么它就可以表示成两个整数之比，

设2,0,qpp且,pq互素，则2pq。

所以，222pq。---------①

故2q是偶数，q也必然为偶数。

不妨设2qk，代入①式，则有2224pk，

即 222pk，

所以，p也为偶数。

p和q都是偶数，它们有公约数2，这与,pq互素相矛盾。

这样，2不是有理数，而是无理数。

例2.在同一平面内，两条直线,ab都和直线c垂直。求证：a与b平行。

证明：假设命题的结论不成立，即“直线a与b相交”。

不妨设直线,ab的交点为M,,ab与c的交点分别为,PQ,

如图所示，则00PMQ.

这样，MPQ的内角和PMQMPQPQM

0009090180PMQ

这与定理“三角形的内角和等于0180”相矛盾。说明假设不成立。

所以，直线a与b不相交，即a与b平行。

例3．已知：在四边形ABCD中，M、N分别是AB、DC的中点，且MN＝（AD＋BC）。

求证：AD∥BC

证明：假设ADBC，连结ABD，并设P是BD的中点，再连结MP、PN。

在△ABD中

∵BM＝MA，BP＝PD

∴MPAD，同理可证PNBC

从而MP＋PN＝（AD＋BC） ①

这时，BD的中点不在MN上

若不然，则由MN∥AD，MN∥BC，得AD∥BC与假设ADBC矛盾， P M

Q c a b

于是M、P、N三点不共线。

从而MP＋PN＞MN ②

由①、②得（AD＋BC）＞MN，这与已知条件MN＝（AD＋BC）

相矛盾，

故假设ADBC不成立，所以AD∥BC。

解析：反证法是根据“正难则反”的原理，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以考虑用反证法。反证法不仅在几何中有着广泛的应用，而且在代数中也经常出现。用反证法证明不等式就是最好的应用。

要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设。要证明的不等式中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效。

四 巩固强化

1. 设a，b，c，d均为正数，求证：下列三个不等式①a＋b＜c＋d，②，③中至少有一个不正确。

2. 已知求证：。

3. 若，求证：。

4. 设a，b，c均为小于1的正数，求证：，不能同时大于。

5. 若，，，求证：，不能同时大于1。

6求证：三角形中至少有一个角不大于60°。

7求证：一直线的垂线与斜线必相交。

8．在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于H，求证：AD与BE不能被点H互相平分。

9.求证：直线与圆最多只有两个交点。

10.求证：等腰三角形的底角必为锐角。已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B、∠C必为锐角。

五 参考答案

真题链接答案：

1.证明：假设弦AB、CD被P平分，

连结 AD、BD、BC、AC,

因为弦AB、CD被P点平分，所以四边形ACBD是平行四边形

所以

因为 ABCD为圆内接四边形

所以

因此

所以，对角线AB、CD均为直径，这与已知条件矛盾，即假设不成立

所以，弦AB、CD不被P平分。 CBDCADADBACB,180,180CBDCADADBACB90,90CADACB

2.证明：假设以任意三个点为顶点的三角形都是锐角三角形。记四个点为A、B、C、D。考虑

点D在 △ABC之内或之外两种情况。

(1) 如果点D在△ABC之内，根据假设，都为锐角三角形

所以

这与一个周角为360°矛盾。

3.(1)如果点D在

之外，根据假设，

都是锐角三角形，即

这与四边形内角和矛盾。

所以，综上所述，假设不成立，从而题目结论成立。

即这些三角形不可能都为锐角三角形。

巩固强化答案

1.证明：假设不等式①、②、③都成立，因为a，b，c，d都是正数，所以由不等式①、②得，。

由不等式③得，

因为，所以

综合不等式②，得，即

由不等式④，得，即，显然矛盾。

∴不等式①、②、③中至少有一个不正确。

2.证明：由知≠0，假设，则

又因为，所以，即

从而，与已知矛盾。

∴假设不成立，从而 BDCADBADC,,270BDCADBADCABCBCDBADADCABC,,,360ADCBCDABCBAD

同理，可证。

3.证明：假设，则，即。

因为所以

故

又，，即

∴，即，不成立。

4.证明：假设同时大于，即，，。

故假设不成立，即。

则由，可得

同理，，

三个同向不等式两边分别相加，得，所以假设不成立。

∴原结论成立。

5.证明：由题意知

假设有

那么

同理，

①＋②＋③，得矛盾，假设不成立。

故，，不能同时大于1。

6．证明：假设△ABC中的∠A、∠B、∠C都大于60°

则∠A＋∠B＋∠C＞3×60°＝180°

这与三角形内角和定义矛盾，所以假设不能成立。

故三角形中至少有一个角不大于60°。

7．证明：假设m和n不相交则

m∥n

∵m⊥l ∴n⊥l

这与n是l的斜线相矛盾，所以假设不能成立。

故m和n必相交。

8．证明：假设AD、BE被交点H互相平分，则ABDE是平行四边形。

∴AE∥BD，即AC∥BC

这与AC、BC相交于C点矛盾，

故假设AD、BE被交点H平分不能成立。

所以AD与BE不能被点H互相平分。

9．证明：假设一直线l与⊙O有三个不同的交点A、B、C，

M、N分别是弦AB、BC的中点。

∵OA＝OB＝OC

∴在等腰△OAB和△OBC中

OM⊥AB，ON⊥BC

从而过O点有两条直线都垂直于l，这是不可能的，故假设不能成立。

因此直线与圆最多只有两个交点。

10．证明：假设∠B、∠C不是锐角，

则可能有两种情况：

(1)∠B＝∠C＝90°

(2)∠B＝∠C＞90°

若∠B＝∠C＝90°，则∠A＋∠B＋∠C＞180°，

这与三角形内角和定理矛盾。

若∠B＝∠C＞90°，则 ∠A＋∠B＋∠C＞180°，

这与三角形内角和定理矛盾。

所以假设不能成立。

故∠B、∠C必为锐角。

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反证法在初中数学解题中的运用分析

反证法在初中数学解题中的运用分析

反证法在初中数学解题中的运用分析

反证法是数学解题中常用的一种证明方法，它通过对反命题进行证明，从而推出原命题的真实性。在初中数学中，反证法的应用十分广泛，尤其在数学证明和解题过程中起到了重要作用。本文将通过分析初中数学中常见的反证法运用案例，探讨反证法在数学解题中的运用及其意义。

1.证明题中的应用

在初中数学中，证明题是数学学习中的一个重要内容。而反证法在证明题中常常发挥重要作用。证明某个命题成立时，我们可以采用反证法，假设命题不成立，然后进行推导证明出现矛盾，从而得出原命题的成立。

2. 数学问题的解答中的应用

在初中数学解题中，反证法也常常用于解决一些复杂的数学问题。有一个常见的数列问题：已知数列的通项公式为an=n^2+n+41，要证明对于任意的整数n,an不可能是素数。采用反证法，假设存在一个整数n，使得an是素数，然后进行推导得出矛盾，从而证明了原命题的成立。这个案例展示了反证法在解决数学问题中的应用。

二、反证法在初中数学解题中的意义

1. 提高解题的逻辑性

反证法在初中数学解题中的应用，可以提高解题的逻辑性，让解题过程更加清晰和严密。在解题过程中，采用反证法可以让学生对问题进行更全面的思考，不仅能够得出结论，还能够通过推导和反驳的过程加深对问题的理解。

2. 培养学生的思维能力

反证法的应用可以培养学生的逻辑思维能力和推理能力。通过运用反证法，学生需要进行思考、推导和分析，从而加深对问题的理解和抽象能力。这对学生的思维发展和逻辑能力的培养有着重要的意义。

反证法的应用可以提高学生解题的灵活性。在解题过程中，遇到一些较为复杂的问题，可以尝试采用反证法来解决。这种方法能够拓宽解题思路，增加解题的方式和途径，提高解题的灵活性。

三、结语

反证法在初中数学解题中的运用极为广泛，它在证明题、数学问题解答及几何问题的解答中发挥着重要作用。采用反证法不仅可以提高解题的逻辑性和灵活性，还能够培养学生的思维能力。在教学实践中，应该重视反证法的教学和运用，让学生在解题过程中更加注重推理、严密、逻辑，从而提高数学学习的效果。

漫谈初中数学解题中的“反证法”

漫谈初中数学解题中的“反证法”

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学子 ２０１７．０５数学教学漫谈初中数学解题中的“反证法”王玉琴一、“反证法”解题方法在解题中，反证法一般分为三步：1.提出假设：做出与所要求证的结论相反的假定。2.推理求证：由“假设”出发进行推理，得出与定义、定理、公理或与题设相矛盾的结论。3.得出结论：根据“矛盾”得出假设不成立，原求证结论正确。反证法的步骤好理解和掌握，关键是要反设正确，在结论的方面呈多种情况或比较隐晦时，在反设时就比较困难，现将其中常用的互为否定形式词语总结如下：其中，在至少有一个、至多有n个、至多有一个等证明结论的反设上，需要更为细心的琢磨，让学生明白一个也没有、至多有二个、至多有n个的深刻含义，从而顺利进行证明。反证法的使用，使得一些数学试题的解决简单便捷。二、“反证法”例题展示１．定理性命题的证明在数学的基本定理中，利用“反证法”来证明，更便捷、具有说服力。案例１：勾股定理的证明如图所示，在直角三角形△ABC中，∠C=90°，三个边长分别为a、b、c，求证：c2=a2+b2.证明：过C点作斜边AB上的垂线于D，假设a2+b2 ≠ c2，即AC2+BC2≠AB2，根据三角形的中垂线定理可得：AB2=AB•AB=AB（AD+BD）=AB•AD+AB•BD根据假设又知：AC2≠AB•AD，BC2≠AB•BD即AD：AC≠AC：AB，或者BD：BC≠BC：AB，在△ADC和△ACB中，因为∠A=∠A，则当AD：AC≠AC：AB时，∠ADC≠∠ACB；在△CDB和△ACB中，因为∠B=∠B，则当BD：BC≠BC：AB时，∠CDB≠∠ACB，又因为∠ACB=90°，所以∠ADC≠90°，∠CDB≠90°，这与CD⊥AB是矛盾的，所以AC2+BC2≠AB2不成立，则有：AC2+BC2=AB2，即c2=a2+b2２．无限性命题的证明“无限”、“无穷”等概念，往往出现在求证命题中，正面证明缺乏一定的头绪，而“反证法”使得解题变得非常简单。案例2：求证，0与1之间存在着无穷个有理数。证明：假设0与1之间有n个有理数，分别为a1、a2、a3…an。那么将这些有理数相乘可以得到b=a1•a2•a3•…•an，根据有理数的积仍为有理数可得，b也应该是0到1之间的有理数，故可以推导得出，在0到1之间有n+1个有理数，这与题设相矛盾，所以，在0与1之间存在着无穷个有理数是正确的。３．唯一性命题的证明初中数学有些“唯一性”的证明问题，只要利用“反证法”证明出不能再有第二个就可以了。案例3：如图所示，⊙O上的一条弦CD，做CD的延长线到A，直线AB交于圆上一点为B，且AB2=AD•AC，证明：AB与圆相切。证明：假设AB与圆不相切，则AB与圆相交，与圆有两个交点，分别为B、B’两点，根据切割线定理的推论，有AB•AB’=AD•AC，即AB•（AB±BB’）=AD•AC，解得AB2±AB•BB’=AD•AC从上式可以看出BB’≠0，这个结论与题中的已知条件AB2=AD•AC相矛盾，故B’点存在，AB与圆只有一个交点，即AB与圆相切。４．肯定性命题的证明初中数学中常见一些“肯定性”的命题，否定的假设给了学生新的思路。案例4：如图所示，已知正方形ABCD内一点E，∠ECD=∠EDC=15°。求证：△AEB为等边三角形。证明：假设△AEB不是等边三角形，则有∠AEB>60°(或∠AEB<60°)因为，∠ECD=∠EDC=15°，则有△CED为等腰三角形，∠ACE=75°，AE=BE。则有∠2=∠3<60°（或∠2=∠3>60°），所以AB>AE，有AC>AE=BE，得出∠1=∠BED>∠ACE=∠BDE=75°，又因为∠DEC=150°，所以可以得出∠1+∠AEB+∠CED+∠AEB>360°，这显然是与圆周角的角度是矛盾的，即∠AEB>60°是不成立的。同理∠AEB<60°也是不成立的，故只有∠AEB=60°，即△AEB为等边三角形。５．否定性命题的证明 否定性的命题的反设就是肯定，只要找出其中的“特殊”就可以进行否定，顺利解决问题。案例5：已知n为自然数，证明：n2+n+2不能被15整除。证明：假设n2+n+2能被15整除，那么也必然能被3或5整除，如果为5的倍数，则改数的尾数应该是5。由于n2+n+2=n（n+1）+2，然而当尾数为5时，改数为奇数，从上式可以看 出尾数为偶数，相矛盾，则原命题成立。当尾数为0时，则要求n2+n的尾数为8，然而对于任意自然数，n（n+1）都不会为8，相矛盾，则原命题成立。综上所述两条可以证明：n2+n+2不能被15整除。（作者单位：镇江市第四中学）

反证法在初中数学解题中的运用分析 2

反证法在初中数学解题中的运用分析 2

反证法在初中数学解题中的运用分析

反证法是一种常用的数学证明方法，它的基本思想是通过假设待证命题的反面，然后推导出矛盾的结论，从而证明待证命题是成立的。在初中数学中，反证法常常用于解题过程中，它具有简洁明了、直观易懂的特点，能够帮助学生提升数学思维能力和解题能力。

一、直接反证法

直接反证法是最基本的反证法思想，它主要用于证明一些简单的命题。我们要证明一个命题P成立，可以先假设命题P的反面¬P成立，然后推导出矛盾的结论，从而得出¬P不成立，因此P成立。

在初中数学解题中，直接反证法常常用于证明几何命题。要证明两条直线平行，可以先假设这两条直线不平行，然后推导出两条直线相交，从而得出矛盾的结论。这两条直线一定是平行的。

在初中数学解题中，间接反证法常常用于证明一些数学定理。要证明勾股定理成立，可以先假设勾股定理不成立，然后推导出一个与已知条件和数学推理规律相矛盾的结论，从而得出勾股定理成立。

三、反例法

在初中数学解题中，反例法常常用于证明一些不成立的数学命题。要证明“所有素数都是奇数”，可以举出反例2，从而说明这个命题不成立。

初中数学中的反证法例谈

初中数学中的反证法例谈

初中数学中的反证法例谈

反证法是数学证明中非常常用的一种方法，在初中数学中也经常会遇到一些需要使用反证法来证明的问题。以下是几个反证法的例子：

1. 证明所有正整数都是奇数或偶数。

假设存在一个既不是奇数也不是偶数的正整数，那么这个正整数既不满足奇数的定义也不满足偶数的定义，与假设矛盾。因此，所有正整数都是奇数或偶数。

2. 证明根号2是无理数。

假设根号2是有理数，那么可以表示为一个分数，即根号2 =

a/b，其中a和b都是整数，且a和b互质。将这个等式两边平方得2 = a^2 / b^2，即a^2 = 2b^2。因为2是质数，所以a必须是2的倍数，那么就可以表示为a = 2c（c是整数）。带入到a^2 =

2b^2中得到(2c)^2 = 2b^2，即4c^2 = 2b^2或2c^2 = b^2。这意味着b也是2的倍数，与a和b互质的条件矛盾。因此，根号2是无理数。

3. 证明当正整数n不是完全平方数时，√n是无限不循环小数。

假设√n是有限循环小数，即可以表示为a/b（a和b都是整数，且a和b互质），那么可以得到n = a^2/b^2。因为n不是完全平方数，所以a和b必须互质，且a和b至少有一个是奇数。假设a是奇数，那么a^2是奇数，b^2是偶数，所以a^2/b^2是一个无限不循环小数。同理，如果b是奇数，也可以推出a^2/b^2是一个无限不循环小数。因此，当正整数n不是完全平方数时，√n是无限不循环小数。

这些例子展示了在初中数学中应用反证法的常见情形，可以巩固理解反证法在解决数学问题时的重要作用。