2006年高考数学试卷(湖南卷.理)含详解
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2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（理工农医类）
数学试卷(理工农医类)
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题纸上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。
3. 考试结束后，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回。
一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 函数2log2xy的定义域是
A．),3( B．),3[ C．),4( D．),4[
2. 若数列}{na满足: 311a, 且对任意正整数nm,都有nmnmaaa, 则
)(lim21nnaaa
A．21 B．32 C．23 D．2
3. 过平行六面体1111DCBAABCD任意两条棱的中点作直线, 其中与平面11DDBB平行的直线共有
A．4条 B．6条 C．8条 D．12条
4. “1a”是“函数||)(axxf在区间),1[上为增函数”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5. 已知,0||2||ba 且关于x的方程0||2baxax有实根, 则a与b的夹角的取值范围是
A．]6,0[ B．],3[ C．]32,3[ D．],6[
6. 某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目, 且在同一个城市投资的项目不超过2个, 则该外商不同的投资方案有
A． 16种 B．36种 C．42种 D．60种
7. 过双曲线1:222byxM的左顶点A作斜率为1的直线l, 若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点CB,, 且||||BCAB, 则双曲线M的离心率是
A． 10 B．5 C．310 D．25
8. 设函数1)(xaxxf, 集合}0)(|{},0)(|{xfxPxfxM, 若PM,
则实数a的取值范围是
A．)1,( B．)1,0( C．),1( D．),1[
9. 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上, 若过该球球心的一个截面如图1,
则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 图1
A． 22 B．23 C．2 D．3
10. 若圆0104422yxyx上至少有三个不同的点到直线0:byaxl的
距离为22,则直线l的倾斜角的取值范围是
A． ]412[， B．]12512[， C．]36[， D．]20[，
注意事项：
请用0.5毫米黑色的签字笔直接答在答题卡上。答在试题卷上无效。
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分(第15小题每空2分)，共20分.
把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。
11. 若5)1ax（的展开式中3x的系数是80, 则实数a的值是__________.
12. 已知022011yxyxx 则22yx的最小值是_____________.
13. 曲线xy1和2xy在它们的交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是
___________.
14. 若)0)(4sin()4sin()(abxbxaxf是偶函数, 则有序实数对),(ba可以
是__________.(注: 写出你认为正确的一组数字即可)
15. 如图2, ABOM//, 点P在由射线OM, 线段OB及AB的延长线围成的区域内
(不含边界)运动, 且OByOAxOP,则x的取值范围是__________;
当21x时, y的取值范围是__________.
图2OABPM
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16. （本小题满分12分）
如图3, D是直角ABC斜边BC上一点, ABCCADADAB,,记.
(Ⅰ)证明: 02cossin; (Ⅱ)若DCAC3,求的值.
图3CDBA
17. （本小题满分12分）
某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检), 若安检不合格, 则必须整改. 若整改后经复查仍不合格, 则强制关闭. 设每家煤矿安检是否合格是相互独立的, 且每家煤矿整改前合格的概率是5.0, 整改后安检合格的概率是8.0,
计算(结果精确到01.0);
(Ⅰ) 恰好有两家煤矿必须整改的概率;
(Ⅱ) 平均有多少家煤矿必须整改;
(Ⅲ) 至少关闭一家煤矿的概率 .
18. （本小题满分14分）
如图4, 已知两个正四棱锥ABCDQABCDP与的高分别为1和2, 4AB
(Ⅰ) 证明: ABCDPQ平面 ; (Ⅱ) 求异面直线PQAQ与所成的角;
(Ⅲ) 求点P到平面QAD的距离.
D 图4CBAQP
19．（本小题满分14分）
已知函数xxxfsin)(, 数列}{na满足: 101a, ,3,2,1n
证明 (Ⅰ) 101nnaa ; (Ⅱ) 3161nnaa .
20．（本小题满分14分）
对1个单位质量的含污物体进行清洗, 清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:
）物体质量（含污物）污物质量1为8.0, 要求清洗完后的清洁度为99.0. 有两种方案可供选择, 方案甲: 一次清洗; 方案乙: 分两次清洗. 该物体初次清洗后受残留水等因素影响,
其质量变为)31(aa. 设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是18.0xx)1(ax, 用y单位质量的水第二次清洗后的清洁度是ayacy,
其中c)99.08.0(c是该物体初次清洗后的清洁度.
(Ⅰ)分别求出方案甲以及95.0c时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少;
(Ⅱ)若采用方案乙, 当a为某固定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量, 使总用水量最小? 并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响.
21．（本小题满分14分）
已知椭圆134:221yxC, 抛物线)0(2)(:22ppxmyC, 且21,CC的公共弦
AB过椭圆1C的右焦点 .
(Ⅰ) 当轴时xAB, 求pm,的值, 并判断抛物线2C的焦点是否在直线AB上;
(Ⅱ) 是否存在pm,的值, 使抛物线2C的焦点恰在直线AB上? 若存在, 求出符合条件的pm,的值; 若不存在, 请说明理由 .
答案： DADAB DACCB
11. 2 12. 5 13. 34 14. (1,1) 15. (,0)，13(,)22
1．函数2log2xy的定义域是2log2x≥0，解得x≥4，选D.
2．数列}{na满足: 311a, 且对任意正整数nm,都有nmnmaaa2111119aaaa，1113nnnaaaa，∴数列}{na是首项为31，公比为31的等比数列。)(lim21nnaaa1112aq，选A.
3．如图，过平行六面体1111DCBAABCD任意两条棱的中点作直线,
其中与平面11DDBB平行的直线共有12条，选D.
4．若“1a”，则函数||)(axxf=|1|x在区间),1[上为增函数；而若||)(axxf在区间),1[上为增函数，则0≤a≤1，所以“1a”是“函数||)(axxf在区间),1[上为增函数”的充分不必要条件，选A.
5．,0||2||ba 且关于x的方程0||2baxax有实根，则2||4aab≥0，设向量,ab的夹角为θ，cosθ=||||abab≤221||1412||2aa，∴θ∈],3[，选B. 1111ABCDDCBA
6．某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目, 且在同一个城市投资的项目不超过2个，则有两种情况，一是在两个城市分别投资1个项目、2个项目，此时有123436CA种方案，二是在三个城市各投资1个项目，有3424A种方案，共计有60种方案，选D.
7．过双曲线1:222byxM的左顶点A(1，0)作斜率为1的直线l：y=x－1, 若l与双曲线M的两条渐近线2220yxb分别相交于点1122(,),(,)BxyCxy, 联立方程组代入消元得22(1)210bxx，∴ 1221222111xxbxxb，x1+x2=2x1x2，又||||BCAB,则B为AC中点，2x1=1+x2，代入解得121412xx，∴ b2=9，双曲线M的离心率e=10ca，选A.
8．设函数1)(xaxxf, 集合{|()0}Mxfx，若a>1时，M={x| 10，∴ a>1时，P=R，a<1时，P=； 已知PM,所以选C.
9．棱长为2的正四面体ABCD 的四个顶点都在同一个球面上, 若过该球球心的一个截面如图为△ABF，则图中AB=2，E为AB中点，则EF⊥DC，在△DCE中，DE=EC=3，DC=2，∴EF=2，∴三角形ABF的面积是2，选C.
10．圆0104422yxyx整理为222(2)(2)(32)xy，∴圆心坐标为(2，2)，半径为32，要求圆上至少有三个不同的点到直线0:byaxl的距离为22，则圆心到直线的距离应小于等于2，
∴ 22|22|2abab≤，∴ 2()4()1aabb≤0，∴ 23()23ab≤≤，()akb，∴ 2323≤k≤，直线l的倾斜角的取值范围是]12512[，，选B.
