学必求其心得，业必贵于专精
- 1 - 第一章 计数原理
知识系统整合
规律方法收藏
1．分类和分步计数原理
(1)两个原理的共同之处是研究做一件事，完成它共有的方法种数，而它们的主要差异是“分类”与“分步”．
（2)分类加法计数原理的特点:类与类相互独立，每类方案中的每一种方法均可独立完成这件事(可类比物理中的“并联电路"来理解)．
(3)分步乘法计数原理的特点:步与步相互依存，且只有所有的步骤均完成了(每步必不可少),这件事才算完成(可类比物理中的“串联电路"来理解）．
2．解决排列组合应用题的原则 学必求其心得，业必贵于专精
- 2 - 解决排列组合应用题的原则有特殊优先的原则、先取后排的原则、正难则反的原则、相邻问题“捆绑”处理的原则、不相邻问题“插空”处理的原则．
(1）特殊优先的原则：这是解有限制条件的排列组合问题的基本原则之一，对有限制条件的元素和有限制条件的位置一定要优先考虑．
（2)正难则反的原则:对于一些情况较多、直接求解非常困难的问题，我们可以从它的反面考虑，即利用我们平常所说的间接法求解．
(3）相邻问题“捆绑"处理的原则：对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑"起来看成一个元素与其他元素排列，然后将相邻元素进行排列．
(4)不相邻问题“插空”处理的原则：对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好,然后再将不相邻的元素在这些排好的元素之间及两端插入．
(5）指标问题采用“挡板法”
把问题转化为：把n个相同元素分成m个组的分法，这相当于n个相同元素的每两个元素之间共n－1个空，任插m－1个板子的学必求其心得，业必贵于专精
- 3 - 插法数,即C错误!种．
（6)先取后排的原则:对于较复杂的排列组合问题，常采用“先取后排”的原则,即先取出符合条件的元素，再按要求进行排列．
(7）定序问题倍缩、空位插入原则
定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理．
竞赛题
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第一章 计数原理
1.1 分类加法计数原理和分布乘法计数原理
课程标准点 探究重难点 易混易错点 高考考核点
1.两个基本原理
2.利用两个基本原理解决一些简单的实际问题 1.两个基本原理的内容
2.灵活使用两个基本原理
3.分类讨论的思想方法
4.逐步解决问题的推理习惯 1.如何选择两个基本原理
2.两个基本原理的综合应用 1.基本原理的应用
2.分类讨论的思想方法
A卷 (课内针对训练一)
两个基本原理
【双基再现】
1.★三人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4次传递后,毽子又被踢回甲,则不同的传递方式共有( )
A.6种 B.8种 C.10种 D.16种
2.★从A地到B地,可乘汽车、火车、轮船三种交通工具,如果一天内汽车发3次,火车发4次,轮船发2次,那么一天内从A地到B地乘坐这三种交通工具的不同走法为( )
A.1+1+=3 B.3+4+2=9
C.3×4×2=24 D.以上都不对
3.★若7,6,5,3,2,1yx,则yx的不同值有( )
A.2个 B.6个 C.9个 D.3个
4.★★214321bbaaaa
321ccc展开后共有不同的项数为( )
A.9 B.12 C.18 D.24
5.★十字路口来往的车辆,如果不允许回头,共有_______种行车路线.
6.★★某班新年联欢原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目,如果将这2个节目插入原节目单中,那么不同的插法的种类为_______. 【变式活学】
7.★★(教材1.1例1的变式)
如图1-1-1所示:A→O有几种不同的走法?(不重复过一点)
8.★★★ (教材1.1例1的变式)
用声母b,c和韵母a,o,e,i,u可组成多少个不同的读音?
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1 高中数学
第一章 计数原理整合学案 北师大版选修2-3
知识建构
综合应用
专题一利用两个原理解排列组合问题的常用方法
“两个原理”是两种重要的计数方法，它是列式计数时选择加法或者乘法的理论根据，在排列、组合应用题中，基本上全是用加法和乘法连结了排列数与组合数的计算.所以正确地使用加法和乘法原理是解决排列、组合应用题的基础.
一、树形图法
【例1】将A、B、C、D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，试写出他们四个人所有不同的排法.
解：由于A不排在第一，所以第一只能排B、C、D中的一个，据此可分为三类：
由此可写出所有的排法为
BADC，BCDA，BDAC， 百度文库 - 让每个人平等地提升自我
2 CADB，CDAB，CDBA，
DABC，DCAB，DCBA.
所以他们四个人共有9种不同的排法.
二、依次排序法
利用分步乘法计数原理求解与排列顺序有关的问题时，可以用依次排序法.依次排序法就是把数字或字母分为前后，首先排前面的数字或字母再依次排后面的数字或字母，将最后的数字或字母排完，则排列结束，这种方法多用于数字问题.
【例2】用1、2、3、4四个数字可重复地任意排成三位数，并把这些数由小到大排成一个数列{an}.
(1)写出这个数列的前11项；
（2）求这个数列共有多少项；
（3）若an=341,求n.
解：(1）用1、2、3、4四个数字排成三位数，前11项由小到大的顺序为
111，112，113，114，
121，122，123，124，
131，132，133.
（2）这个数列的项数就是用1、2、3、4排成的三位数的个数，每一个位置都有4种排法，根据分步乘法计数原理共有
4×4×4=64项.
（3）比an=341小的数有两类，分别是：
①
1 × ×
2 × ×
②
3 1 ×
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第 1 页 共 7 页 第1章 计数原理
江苏省宿迁市马陵中学 范金泉
本章是组合数学的最基础的知识，共包含1. 1两个基本计数原理、1. 2排列、1. 3组合、1. 4计数应用题和1. 5二项式定理五节内容，其中分类加法计数原理、分步乘法计数原理这两个计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具．
一、《课程标准》关于《计数原理》的表述及教学要求
1．表述：
计数问题是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具．在本模块中，学生将学习计数基本原理、排列、组合、二项式定理及其应用，了解计数与现实生活的联系，会解决简单的计数问题．
2．教学要求：
（1）分类加法计数原理、分步乘法计数原理．
通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题．
（2）排列与组合．
通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题．
（3）二项式定理．
能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
二、《课程标准》与《教学大纲》在要求上的主要变化
1．2002年4月由教育部颁布实施的《教学大纲》，将这一部分的教学内容的标题定为《排列、组合、二项式定理》，教学目标规定为：
（1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．
（2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应凤凰高中数学教学参考书配套教学软件_教材分析
第 2 页 共 7 页 用问题．
（3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．
