2019版高考数学一轮复习精选提分练(含最新2018模拟题)专题1 集合与命题 第3练 Word版含解析

一、选择题1.如图，直线l 1的倾斜角是150°，l 2⊥l 1，l 2与x 轴相交于点A ，l 2与l 1相交于点B ，l 3平分∠BAC ，则l 3的倾斜角为( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．20°2．已知{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 3)，Q (4，a 4)的直线斜率为( )A ．4B.14 C ．－4 D ．－143．已知直线的点斜式方程为y ＋3＝3(x －4)，则这条直线经过的已知点的坐标、倾斜角分别是( )A ．(4，－3)，π3B ．(－4,3)，π3C ．(4,3)，π6D ．(4，－3)，π64．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫π6，π3B.⎝⎛⎭⎫π6，π2C.⎝⎛⎭⎫π3，π2D.⎣⎡⎦⎤π6，π25．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0(θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( )A ．[0，π) B.⎣⎡⎭⎫π4，π2C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π46．若直线经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R )两点，那么直线l 的倾斜角α的取值范围是( )A ．0≤α<πB ．0≤α≤π4或π2<α<πC ．0≤α≤π4 D.π4≤α<π2或π2<α<π 7．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－1，15 B.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞) C ．(－∞，1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞ D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 8．已知A (－2,0)，点P (x ，y )满足x ＋y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，x －y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4，则直线AP 的斜率的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－33，33 B ．[－3，3]C.⎣⎡⎦⎤－12，12 D ．[－2,2] 二、填空题9．已知经过两点A (－1,1)，B (4，a )的直线的斜率为1，则a 的值为________．10．已知两点A (0,1)，B (1,0)，若直线y ＝k (x ＋1)与线段AB 总有公共点，则k 的取值范围是________．11．与直线x ＋3y ＋2＝0垂直的直线的倾斜角为_______．12．已知点A 在直线x ＋2y －1＝0上，点B 在直线x ＋2y ＋3＝0上，线段AB 的中点为P (x 0，y 0)，且满足y 0>x 0＋2，则y 0x 0的取值范围为________．答案精析1．C 2.A 3.A 4.B 5.C6．B [直线l 的斜率k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1， 又直线l 的倾斜角为α，则有tan α≤1，即tan α<0或0≤tan α≤1，所以π2<α<π或0≤α≤π4，故选B.] 7．D [设直线的斜率为k ，如图，过定点A 的直线经过点B 时，直线l 在x 轴上的截距为3，此时k ＝－1；过定点A 的直线经过点C 时，直线l 在x 轴上的截距为－3，此时k ＝12.故满足条件的直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞.]8．A [由⎩⎨⎧ x ＋y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，x －y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝sin θ，y ＝cos θ，故x 2＋y 2＝1，即点P (x ，y )的轨迹方程是x 2＋y 2＝1，过A 向圆作切线，两切线的斜率分别为33，－33，由图可知，k ∈⎣⎡⎦⎤－33，33，故选A.] 9．6 解析 由题意可知a －14＋1＝1，解得a ＝6. 10．[0,1]解析 ∵y ＝k (x ＋1)是过定点P (－1,0)的直线，k PB ＝0，k P A ＝1－00－(－1)＝1. ∴k 的取值范围是[0,1]．11.π3解析 直线x ＋3y ＋2＝0的斜率为－33，所求直线与直线x ＋3y ＋2＝0垂直，故所求直线斜率为3，故倾斜角为π3.12.⎝⎛⎭⎫－12，－15 解析 因为直线x ＋2y －1＝0与直线x ＋2y ＋3＝0平行， 所以|x 0＋2y 0－1|5＝|x 0＋2y 0＋3|5， 可得x 0＋2y 0＋1＝0.因为y 0>x 0＋2，所以－12(1＋x 0)>x 0＋2，解得x 0<－53. 设y 0x 0＝k ，则k ＝－12(x 0＋1)x 0＝－12－12x 0， 因为x 0<－53，所以0<－12x 0<310， 所以－12<y 0x 0<－15.。

1.袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有4个，分别编号为1,2,3,4.现从袋中随机取两个球． (1)若两个球颜色不同，求不同取法的种数；(2)在(1)的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量X ，求随机变量X 的分布列与均值．2．现有四枚不同的金属纪念币A ，B ，C ，D ，投掷时，A ，B 两枚正面向上的概率均为12，另两枚C ，D 正面向上的概率均为a (0<a <1)，这四枚纪念币同时投掷一次，设ξ表示出现正面向上的枚数．(1)若A ，B 出现一正一反与C ，D 出现两正的概率相等，求a 的值； (2)求ξ的分布列及均值(用字母a 表示)；(3)若有两枚纪念币出现正面向上的概率最大，求实数a 的取值范围．3．某小区停车场的收费标准为：每车每次停车时间不超过2小时免费，超过2小时的部分每小时收费1元(不足1小时的部分按1小时计算)．现有甲、乙两人相互独立到停车场停车(各停车一次)，且两人停车的时间均不超过5小时，设甲、乙两人停车时间(小时)与取车概率如下表所示：(1)求甲、乙两人所付停车费相同的概率；(2)设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量X，求X的分布列及均值E(X)．4．某印刷厂每5年需淘汰一批旧打印机并购买新机，买新机时，同时购买墨盒，每台新机随机购买第一盒墨150元，优惠0元；再每多买一盒墨都要在原优惠基础上多优惠一元，即第一盒墨没有优惠，第二盒墨优惠一元，第三盒墨优惠2元，…，依此类推，每台新机最多可随新机购买25盒墨．平时购买墨盒按零售每盒200元．公司根据以往的记录，十台打印机正常工作五年消耗墨盒数如下表：以这十台打印机消耗墨盒数的频率代替一台打印机消耗墨盒数发生的概率，记ξ表示两台打印机5年消耗的墨盒数．(1)求ξ的分布列；(2)若在购买两台新机时，每台打印机随机购买23个盒墨，求这两台打印机正常使用五年在消耗墨盒上所需费用的均值．答案精析1．解 (1)两个球颜色不同的情况共有C 24·42＝96(种)． (2)随机变量X 所有可能的值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝4C 2496＝14，P (X ＝1)＝3C 14C 1396＝38，P (X ＝2)＝2C 14C 1396＝14，P (X ＝3)＝C 14C 1396＝18.所以随机变量X 的分布列为所以E (X )＝0×14＋1×38＋2×14＋3×18＝54.2．解 (1)由条件得C 12×12×⎝⎛⎭⎫1－12＝a 2，所以a ＝22. (2)ξ所有可能取值为0,1,2,3,4， P (ξ＝0)＝14(1－a )2，P (ξ＝1)＝12(1－a )，P (ξ＝2)＝14(1＋2a －2a 2)，P (ξ＝3)＝12a ，P (ξ＝4)＝14a 2，所以ξ的分布列为所以E (ξ)＝2a ＋1. (3)因为0<a <1，所以P (ξ＝0)<P (ξ＝1)，P (ξ＝4)<P (ξ＝3)， 由⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，P (ξ＝2)≥P (ξ＝1)，P (ξ＝2)≥P (ξ＝3)，解得2－22≤a ≤22，所以a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－22，22.3．解 (1)由题意得13＋4x ＝1，∴x ＝16，16＋13＋y ＝1，∴y ＝12. 记甲、乙两人所付停车费相同为事件A ， 则P (A )＝13×16＋16×13＋13×12＝518，∴甲、乙两人所付停车费相同的概率为518.(2)设甲、乙两人所付的费用之和为X ，X 的可能取值为0,1,2,3,4,5， P (X ＝0)＝118，P (X ＝1)＝13×13＋16×16＝536，P (X ＝2)＝13×16＋16×13＋13×12＝518，P (X ＝3)＝16×16＋13×13＋16×12＝29，P (X ＝4)＝13×12＋16×13＝29，P (X ＝5)＝16×12＝112，∴X 的分布列为∴E (X )＝0×118＋1×536＋2×518＋3×29＋4×29＋5×112＝83. 4．解 (1)ξ＝44,45,46,47,48,49,50.由题设可知，一台打印机在5年内消耗墨盒数为22,23,24,25的概率分别为110，25，25，110，且每台打印机消耗墨盒数发生的事件是相互独立事件，故 P (ξ＝44)＝110×110＝1100，P (ξ＝45)＝2×110×25＝225，P (ξ＝46)＝2×110×25＋25×25＝625，P (ξ＝47)＝2×110×110＋2×25×25＝1750，P (ξ＝48)＝2×110×25＋25×25＝625，P (ξ＝49)＝2×25×110＝225.P (ξ＝50)＝110×110＝1100.故ξ的分布列为(2)记y 表示在题设条件下，购买2台新机使用五年在消耗墨盒上所需的费用(单位：元)． 若在购买两台新机时，每台机随机购买23盒墨，则需付款 150×46－2×⎝⎛⎭⎫23×0＋22×232×1＝6 394.则E (y )＝6 394×⎝⎛⎭⎫1100＋225＋625＋(6 394＋200)×1750＋(6 394＋2×200)×625＋(6 394＋3×200)×225＋(6 394＋4×200)×1100＝6 614.答 这两台打印机正常使用五年所需购买墨盒的费用的均值为6 614元．。

1．命题“任意偶数是2的倍数”的否定是________．[解析] 根据全称命题的否定是存在性命题进行求解．[答案] 存在偶数不是2的倍数2．命题“∃x ∈R ，x 2＋x ≤0”的否定是________．[解析] ∃x ∈R ，p (x )的否定是∀x ∈R ，綈p (x )．[答案] ∀x ∈R ，x 2＋x >03．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－a ≥0，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0.若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围为________．[解析] 由已知条件可知p 和q 均为真命题，由命题p 为真得a ≤0，由命题q 为真得a ≤－2或a ≥1，所以a ≤－2.[答案] (－∞，－2]4．(2018·无锡期中)若命题p ：4是偶数，命题q ：5是8的约数．则下列命题中为真的是________．①p 且q ；②p 或q ；③非p ；④非p 且非q .[解析] 命题p 为真，命题q 为假，故②为真．[答案] ②5．(2018·海口期中检测)已知命题p ：∃x ∈R ，使sin x ＝52； 命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1>0.给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧(綈q )”是假命题；③命题“(綈p )∨q ”是真命题；④命题“(綈p )∨(綈q )”是假命题．其中正确的序号是________．[解析] 命题p ：∃x ∈R ，使sin x ＝52，错误，命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1>0，正确．故②③正确．[答案] ②③6．(2018·连云港模拟)设命题p ：函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2是奇函数；命题q ：函数y ＝cos x的图象关于直线x ＝π2对称．则p ∧q 是________命题．(填真或假) 解析：因为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝2cos x 是偶函数，所以命题p 是假命题，由余弦函数的性质可知命题q 是假命题．故p ∧q 是假命题．答案：假7．(2018·孝感高级中学月考改编)以下有关命题的说法错误的序号是________．①“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件；②若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题；③对于命题p ：∃x ∈R 使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0.解析：对于①，当x ＝1时x 2－3x ＋2＝0，但x 2－3x ＋2＝0时，x ＝1或x ＝2，所以“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件；对于②，若p ∧q 为假命题，则p ，q 至少一个为假命题，并非均为假命题；对于③，含量词命题的否定，先把存在量词改为全称量词，再否定结论，故③正确．答案：②8．(2018·江苏省四校联考)已知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a ＞0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：由“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a ＞0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x 2－5x ＋152a ＞0对任意实数x 恒成立． 设f (x )＝x 2－5x ＋152a ，则其图象恒在x 轴的上方． 故Δ＝25－4×152a ＜0， 解得a ＞56，即实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫56，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫56，＋∞9．若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________． 解析：由题意，原命题等价于tan x ≤m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上恒成立，即y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上。

第01节集合的概念及其基本运算A基础巩固训练1．【2018湖北5月押题】设集合，，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【名师点睛】集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．2．【2018浙江5月考试】已知集合，，若，则A． B． C．D．【答案】B【解析】分析：由可得是方程的两根，再根据韦达定理列方程求解即可．详解：，由，可得是方程得两根，由韦达定理可得，即，故选B．【名师点睛】集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；（3）注意划归思想的应用，常常转化为方程问题以及不等式问题求解．3．【2018云南玉溪一模】已知集合，，则的元素个数为（）A． B． C． D．【答案】B【名师点睛】本题考查了两个集合的交点个数问题，主要注意两个集合都为点集，所以交集的个数也就是两个方程的解的个数，因此可以通过方程思想来解，属于简单题．4．【2018三明一中模拟】设集合，，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】分析：化简集合，根据交集的定义计算．详解：因为集合，化简，所以，故选D．【名师点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性．研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合．5．【2018浙江台州模拟】设全集是实数集，或，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】分析：首先解一元二次不等式，求得集合N，应用补集的定义求得集合M，再结合交集定义求得，从而求得结果．详解：由于，所以，，所以，故选C．【名师点睛】该题考查的是有关集合的运算的问题，在解题的过程中，需要明确集合的运算法则，注意对应集合中元素的特征，从而求得结果．B能力提升训练1．【2018安庆一中模拟】已知全集，集合，，则下图中阴影部分所表示的集合为( )A． B． C． D．【答案】B【解析】分析：求出函数的值域可得集合，解不等式可得集合，然后可求出．详解：由题意得，．∴．图中阴影部分所表示的集合为，∴．故选B．【名师点睛】本题考查函数值域的求法、不等式的解法和集合的运算，解答的关键是正确理解图中阴影部分所表示的集合的含义．2．【2018河北衡水押题】已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】分析：首先根据分式不等式的解法以及指数不等式，化简集合A，B，之后根据交集的定义写出．详解：集合，，则，故选B．【名师点睛】该题考查的是有关集合的运算问题，在解题的过程中，需要先将集合中的元素确定，之后再根据集合的交集中元素的特征，求得结果．3．【2018河南押题】已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】分析：由题意首先求得集合Q 和集合，然后进行交集运算即可求得最终结果． 详解：因为，， 所以．即．本题选择C 选项．【名师点睛】本题主要考查集合的交并补混合运算及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力． 4．【2018广东江门一模】已知，，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】【名师点睛】解答本题注意两点：一是弄清两个集合的含义，二是要借助数形结合的方法解决问题．解题时将两集合间的包含关系转化为圆与直线相离或相切处理，然后根据圆心到直线的距离大于或等于半径来解决．5．【2018内蒙古呼和浩特一模】已知集合，集合，集合，若A B C ⋃⊆，则实数的取值范围是______________．【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】由题意， {|12}A B x x ⋃=-＜＜ ， ∵集合{|10}C x mx A B C =+⋃⊆＞， ， ①111102022m x m m m m -∴-≥∴≥-∴-≤＜，＜，，，＜； ②m 时，成立；③1101101m x m m m m -∴-≤-∴≤∴≤＞，＞，，，＜， 综上所述， 112m -≤≤， 故答案为112m -≤≤．C 思维拓展训练1．【2018郑州模拟】已知全集，集合，，则中元素的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】D【名师点睛】集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提． (2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决． (3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图． 2．【2018重庆二诊】设集合()()(){}22,|3sin 3cos 1,A x y x y R ααα=+++=∈，(){},|34100B x y x y =++=，记P A B =⋂，则点集所表示的轨迹长度为（ ）A ．25B ．27C ．42D ．43 【答案】D【解析】由题意得圆()()223sin 3cos 1x y αα+++=的圆心()3sin ,3cos αα--在圆229x y +=上，当变化时，该圆绕着原点转动，集合A 表示的区域是如图所示的环形区域．由于原点()0,0到直线34100x y ++=的距离为2210234d ==+，所以直线34100x y ++=恰好与圆环的小圆相切．所以P A B =⋂表示的是直线34100x y ++=截圆环的大圆2216x y +=所得的弦长． 故点集所表示的轨迹长度为2224243-=．选D ．【名师点睛】解答本题的关键是正确理解题意，弄懂集合和P A B =⋂的含义，然后将问题转化为求圆的弦长的问题处理，在圆中求弦长时要用到由半径、弦心距和半弦长构成的直角三角形，然后利用勾股定理求解．3．【2018福建莆田模拟】设非空集合满足：当时，有．给出如下三个命题：①若，则； ②若，则；③若，则．其中正确命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】D【解析】分析：先根据非空集合满足：当时，有得到且，然后对三个命题一一进行验证即可． 详解：由定义设非空集合，满足时，有知，符合定义的参数的值，一定大于等于或小于等于，惟如此才能保证时，有即，符合条件的的值一定大于等于，小于等于，惟如此才能保证打时，有即，正对各个命题进行判断： 对于①，故必有，可得；②，则，解之可得，对于③，若，则，解之得，正确命题有个，故选D ．【名师点睛】本题主要考查元素与集合、不等式的解法以及转化与划归思想的应用，属于难题．转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度．运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点．以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中．本题中，将集合问题转化为不等式问题是解题的根据．4．【2018上海普陀二模】设集合1|,2xM y y x R ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，()()()1|1112,121N y y x m x x m ⎧⎫⎛⎫==+-+--≤≤⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭，若N M ⊆，则实数的取值范围是_________． 【答案】()1,0-【解析】1|,2x M y y x R ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭()0,=+∞，N M ⊆，()()()111121y x m x m ⎛⎫∴=+-+--⎪-⎝⎭在[]1,2 上恒为正，设()111f x m ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭()()()112x m x -+--，则()()10{ 20f f >>，即10{ 1101m m ->+>-，得11{1,0m m m -<<><，即10m -<<，实数的取值范围是()1,0-，故答案为()1,0-．5．【2018河北邯郸一模】已知集合1{|}2M x x =≥-，32{|310}A x M x x a =∈-+-=，{|20}B x M x a =∈--=，若集合A B ⋃的子集的个数为8，则的取值范围为__________．【答案】51,11,28⎡⎫⎛⎫--⋃-⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．。