中考数学专题 几何证明压轴题
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中考数学专题 几何证明压轴题
1、如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,∠BCD=90°,且AB=1,BC=2,tan ∠ADC=2.
(1) 求证:DC=BC;
(2) E 是梯形内一点,F 是梯形外一点,且∠E DC=∠F BC ,DE=BF ,试判断
△E CF 的形状,并证明你的结论;
(3) 在(2)的条件下,当BE :CE=1:2,∠BEC=135°时,求sin ∠BFE 的
值.
[解析] (1)过A 作DC 的垂线AM 交DC
于M,
则AM=BC=2.
又tan ∠ADC=2,所以2
12
DM ==.即DC=BC. (2)等腰三角形. 证明
:
因
为,,DE DF EDC FBC DC BC =∠=∠=. 所以,△DEC ≌△BFC
所以,,CE CF ECD BCF =∠=∠.
所以,90ECF BCF BCE ECD BCE BCD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒ 即△ECF 是等腰直角三角形.
(3)设BE k =,则2CE CF k ==,所以22EF k =.
因为135BEC ∠=︒,又45CEF ∠=︒,所以90BEF ∠=︒.
所以22(22)3BF k k k =
+=
所以1
sin 33
k BFE k ∠==.
2、已知:如图,在□ABCD 中,E 、F 分别为边AB 、CD 的中点,BD 是对角线,AG ∥DB 交CB 的延长线于G . (1)求证:△ADE ≌△CBF ;
(2)若四边形 BEDF 是菱形,则四边形AGBD 是什么特殊四边形?并证明你的结论.
[解析] (1)∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴∠1=∠C ,AD =CB ,AB =CD .
∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点, ∴AE =
21AB ,CF =2
1
CD . ∴AE =CF
∴△ADE ≌△CBF .
(2)当四边形BEDF 是菱形时,
四边形 AGBD 是矩形.
∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD ∥BC . ∵AG ∥BD ,
∴四边形 AGBD 是平行四边形. ∵四边形 BEDF 是菱形, ∴DE =BE . ∵AE =BE ,
∴AE =BE =DE . ∴∠1=∠2,∠3=∠4.
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°, ∴2∠2+2∠3=180°. ∴∠2+∠3=90°. 即∠ADB =90°. ∴四边形AGBD 是矩形
3、如图13-1,一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起.现正方形ABCD 保持不动,将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O (点O 也是BD 中点)按顺时针方向旋转.
(1)如图13-2,当EF 与AB 相交于点M ,GF 与BD 相交于点N 时,通过
观察或测量BM ,FN 的长度,猜想BM ,FN 满足的数量关系,并证明你的猜想;
(2)若三角尺GEF 旋转到如图13-3所示的位置时,线段FE 的延长线与
AB 的延长线相交于点M ,线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点
N ,此时,(1)中的猜想还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
E
B F
C
D A 图13-2
E A B D
F O M N 图13-3
A B D G
E
F O M N C 图13-1
A ( G ) E ) O D ( F )
[解析](1)BM =FN .
证明:∵△GEF 是等腰直角三角形,四边形ABCD 是正方形,
∴ ∠ABD =∠F =45°,OB = OF . 又∵∠BOM =∠FON , ∴ △OBM ≌△OFN . ∴ BM =FN .
(2) BM =FN 仍然成立.
(3) 证明:∵△GEF 是等腰直角三角形,四边形ABCD 是正方形,
∴∠DBA =∠GFE =45°,OB =OF . ∴∠MBO =∠NFO =135°.
又∵∠MOB =∠NOF , ∴ △OBM ≌△OFN . ∴ BM =FN .
4、如图,已知⊙O 的直径AB 垂直于弦CD 于E ,连结AD 、BD 、OC 、OD ,且OD =5。
(1)若sin ∠BAD =
3
5
,求CD 的长; (2)若 ∠ADO :∠EDO =4:1,求扇形OAC (阴
影部分)的面积(结果保留π)。
[解析] (1)因为AB 是⊙O 的直径,OD =5
所以∠ADB =90°,AB =10
在Rt △ABD 中,sin ∠BAD BD
AB
=
又sin ∠BAD =35,所以BD 103
5
=,所以BD =6
AD AB BD =-=-=2222
1068
因为∠ADB =90°,AB ⊥CD
所以DE AB AD BD CE DE ··,== 所以DE ⨯=⨯1086 所以DE =
245
所以CD DE ==
2485
(2)因为AB 是⊙O 的直径,AB ⊥CD
所以CB BD AC AD ⌒⌒⌒⌒
,==
所以∠BAD =∠CDB ,∠AOC =∠AOD 因为AO =DO ,所以∠BAD =∠ADO 所以∠CDB =∠ADO
设∠ADO =4x ,则∠CDB =4x
由∠ADO :∠EDO =4:1,则∠EDO =x 因为∠ADO +∠EDO +∠EDB =90° 所以4490x x x ++=︒ 所以x =10°
所以∠AOD =180°-(∠OAD +∠ADO )=100° 所以∠AOC =∠AOD =100°
S OAC 扇形=
⨯⨯=1003605125
18
2ππ
5、如图,已知:C 是以AB 为直径的半圆O 上一点,CH ⊥AB 于点H ,直线AC 与过B 点的切线相交于点D ,E 为CH 中点,连接AE 并延长交BD 于点F ,直线CF 交直线AB 于点G.
(1)求证:点F 是BD 中点; (2)求证:CG 是⊙O 的切线; (3)若FB=FE=2,求⊙O 的半径.
[解析] (1)证明:∵CH ⊥AB ,DB ⊥AB ,
∴△AEH ∽AFB ,△ACE ∽△ADF ∴
FD
CE
AF AE BF EH ==,∵HE =EC ,∴BF =FD (2)方法一:连接CB 、OC ,
∵AB 是直径,∴∠ACB =90°∵F 是BD 中点, ∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO ∴∠OCF=90°,∴CG 是⊙O 的切线---------6′
方法二:可证明△OCF ≌△OBF(参照方法一标准得分) (3)解:由FC=FB=FE 得:∠FCE=∠FEC 可证得:FA =FG ,且AB =BG
由切割线定理得:(2+FG )2=BG ×AG=2BG 2 ○
1