曲率及其计算公式

解
x 0 1 , y0 1 ,
y x 1 2 xx 1 2 , yx12, 在点(1,1)处的曲率半径为
R
(1
y2
)
3 2
(122)23 125
y
2
2
曲率中心为
x0
y(1y2) y
12(122)4 2
y0
1 y2 y
1122 2
7 2
曲率中D(心 4, ： 7). 2
曲率圆的方程为
(x4)2(y7)2125 24
在M 点 处可用一个相应的圆来描述曲线的弯曲程度
曲率中心的坐标
设曲y 线 f(x )方 ,f(x )程 存为 在
f(x0)0,则曲线在点 M(x0, y0)处的曲率
中心 D(, )的坐标为
x0
y(1y2), y
y0
1 y2 y
,
式 y 与 中 y 是 y f(x )在 M 处 点的 .
求抛 yx2 物 在(1 线 ,点 1 )处的 例5 曲率半径、曲率中心和曲率圆方程 .
,
2
,
3,
2
因a为 b, 故在各象限中
dk
d
的符号依次为
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
+
+
由此当 可得:2当 , 32时 0,,k时 取 ,k最 取小 km最 in 值 kab大 m2ax b值 a2
在有些实际问题中 , 若 |y|1 , 则可 k|y 取 |.
k 1, R5. 5
O
M
O
M
曲率圆 曲率半径 曲率中心 曲率半径曲1率
24-平面曲线的曲率
例1 求半径为 R 的圆上任意一点处的曲率 .

x
kA
y (1 y )
3 x x0 2 2
l 1, R
l2 略去二次项 2 , 4R
1 得 kA . R
三、曲率圆与曲率半径
定义 设曲线 y f ( x ) 在点
y
D 1 k
M
y f ( x)
M ( x , y ) 处的曲率为k ( k 0). 在点 M 处的曲线的法线上 , 在凹的一侧取一点D, 使 DM
即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.
四、小结
基本概念:弧微分,曲率,曲率圆.
曲线弯曲程度的描述------曲率; 曲线弧的近似代替曲率圆(弧).
思考题
椭圆 x 2 cos t , y 3 sin t上哪 些点处曲率最大？
思考题解答
k | y | [1 ( y ) ] 6
实际要求 l x0 ,
有
y x x0 y x x0
1 2 1 2 l x0 l , 2 Rl 2 Rl 2R 1 1 1 x0 l , Rl R Rl
y
R
l
A( x0 , y0 ) C ( x 0 ,0 ) ) 2 4R
二、曲率的计算公式
设y f ( x )二阶可导, 有 arctan y,
ds 1 y 2 dx.
tan y,
y d dx, 2 1 y
k
y (1 y )
3 2 2
.
由公式， 直线的曲率处处为零;
x ( t ), 设 二阶可导, y ( t ),
o
1 . 以 D 为圆心, 为半径 k 作圆(如图), 称此圆为曲线在点M 处的曲率圆.

o
MN MN MT NT 当x 0时,
AM x0 x
N T R
x x x
MN (x)2 (y)2 1 ( y )2 x 1 y2 dx , x
MN s ds ,
MT (dx)2 (dy)2 1 y2 dx ,
NT y dy 0, 故 ds 1 y2 dx . 弧微分公式
注意:
1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的 曲率互为倒数.
即 1,k 1 . k
2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点 处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲 率越大(曲线越弯曲).
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
例3 飞机沿抛物线 y x2
S
M M 切线转角为 .
. M0 S M
)
定义
o
x
弧段MM的平均曲率为K .
s
曲线C在点M处的曲率 K lim s0 s
在 lim d 存在的条件下, K d .
s0 s ds
ds
2.曲率的计算公式
设y f ( x)二阶可导, tan y,
有 arctan y,
d
y 1 y2
t , 3 此时k 最大，
22
谢谢
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解 y 2ax b, y 2a,
k
2a 3.
[1 (2ax b)2 ]2
显然, 当x b 时, k最大. 2a
又( b , b2 4ac)为抛物线的顶点, 2a 4a
抛物线在顶点处的曲率最大.
例2 铁轨由直道转入圆弧弯道时，若接头处
的曲率突然改变,容易发生事故，为了行驶平 稳，往往在直道和
s s( x)为单调增函数, 故 ds 1 y2dx.

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二、曲率的定义及其计算公式
1. 定义 设曲线 其切线转角为 则 是光滑的, 弧 称为 的弧长为 的平均曲率, 记作
K .称 s
即 K lim
s 0
为点
处的曲率, 记作
lim s 0 s
K,
lim 存在 s 0 s
1 DM K
y
D
T
M
(K为点 M 处的曲率)
C
O 把以 D 为圆心, ρ为半径的圆 叫做曲线在点 M 处 的 曲率圆,ρ叫做曲率半径, D 叫做曲率中心 .
1 1 注: , K . K
x
在点M 处曲率圆与曲线有下列相同点:
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(1) 有相同切线 MT ; (2) 凹向一致; (3) 曲率相同 .
1 2 解: y 2 , y 3 , 则 x x 3 1 2 3 2 2 (1 ) 3 (1 y ) 2 x4 1 1 2 ( x x2 ) 2 2 2 y 3
y
1
O 1
x
x
显然 R
x 1
2 为最小值 .
利用 a 2 b 2 2 ab
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2.分析


(1) 弧长相等 弧长相等, 切线转角越大, 曲线越弯曲 即曲线弯曲程度与切线转角成正比 (2) 切线转角相等 切线转角相等, 弧长越短, 曲线越弯曲 即曲线弯曲程度与弧长成反比


s
表示弧段 MM
的平均弯曲程度,这比值叫做 弧段的平均曲率.
故所求压力: F G F向
F
5000 9.8 3600