求函数值域的14种方法大盘点
题型1 观察法
例题1 函数=
)(x f ()
1
11x x -- 的最大值是（ ）
A .
45 B . 54 C . 34 D. 43
【解析】第一步，观察函数中的特殊函数
()()2
2111
11113
24f x x x x x x =
==---+⎛⎫-+
⎪⎝
⎭ 第二步，利用二次函数的最值和不等式得到函数的值域：
2133
()244
x -+≥
，所以()f x 的最大值是
4
3
，选D. 变式1 函数x x f 323)(-+=的值域为( )。
A 、),0[+∞
B 、),1[+∞
C 、),2[+∞
D 、),3[+∞ 【解析】032≥-x
，故3323
≥-+x ，∴
)(x f 值域为),3[+∞，选D 。
题型2 单调性法
例题2 求函数y =
【解析】y =
1x ≥，
故y =是减函数，因此当1x =
时，max y =
0y >
，∴(
y ∈。
变式1 求函数的值域.
【解析】第1步，将函数化成基本初等函数()x x f 2
1log =的形式：
令()20532
≤≤+-=x x x μ，所以=y μ2
1log
第2步，讨论函数()20532
≤≤+-=x x x μ的单调性：
因为532
+-=x x μ；
所以532
+-=x x μ在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡230，上是减函数，在⎥⎦
⎤⎢⎣⎡223，
上是增函数； 第3步，讨论函数()()
53log 22
1+-=x x x f 的单调性：
又因为=y μ2
1log 在定义域上是减函数；
所以()()
53log 22
1+-=x x x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡230，上是增函数，在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡22
3，
上是减函数； 第四步，根据单调性得出函数的最值，进而得出值域： 所以=max f 411log 21
，5log 21min =f ，所以函数的值域为⎥⎦⎤
⎢⎣⎡411log 5log 212
1，。
变式2 求函数x
x y 2221+-⎪
⎭
⎫
⎝⎛=的值域
【解析】第1步，将函数化成基本初等函数()x
x f ⎪⎭⎫
⎝⎛=21的形式：
令x x 22
+-=μ，所以μ
⎪⎭
⎫
⎝⎛=21y
第2步，讨论函数x x 22+-=μ的单调性：因为x x 22
+-=μ；
所以x x 22
+-=μ在[]1，
∞-上是增函数，在[]∞+，1上是减函数； 第3步，讨论函数x
x y 2221+-⎪
⎭
⎫
⎝⎛=的单调性：又因为μ
⎪⎭
⎫
⎝⎛=21y 在定义域上是减函数；
212
()log (35)
(02)f x x x x =-+≤≤
所以x
x y 2221+-⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=在[]1，
∞-上是减函数，在[]∞+，1上是增函数； 第四步，根据单调性得出函数的最值，进而得出值域： 所以21min =
f ，所以函数的值域为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∞+，
21。 变式3
求函数()f x =.
【解析】由⎪⎩⎪
⎨⎧-≤≥≤⇔⎩⎨⎧≥--≥2
62
5012402-52x x x x x x 或，解得2-≤x ，在此定义域内函数是单调递减，所以当2-=x 时，函数取得最小值，()32=-f ，所以函数的值域是[)+∞,3
变式4 已知0133
222≤++--x x x x ，且满足1=+y x ，则函数x xy z 3+=的值域为( )。
A 、]415,5[-
B 、]21,2[-
C 、)1,1(-
D 、),2
3
(+∞
【解析】∵0132>++x x ，则原式与0322≤--x x 同解，解之得2
3
1≤
≤-x ， 又1=+y x ，将x y -=1代入x xy z 3+=中，得4)2(422+--=+-=x x x z 且]2
3,1[-∈x ，
函数z 在区间]2
3,1[-上连续且单调递增，故只需比较边界的大小，
当1-=x 时，5-=z ；当23=
x 时，415=z ，∴函数z 的值域为]4
15,5[-，选A 变式5 函数
()f x 对于任意实数、都有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，
()0f x >，(1)2f -=-，求函数()f x 在区间[2,1]-上的值域。
【解析】设1221,x x x x ＜-＞0，∵当0x >时，
()0f x >,∴21(f x x -)＞0，
2211211()()=()+()f x f x x x f x x f x =-+-。∴2121()-()=()0f x f x f x x -＞
∴
21()()()f x f x y f x ⇒=＞为增函数
令0(0)0x y f ==⇒=
x y
