2014-2015年江苏省泰州市二附中九年级上学期期中数学试卷及参考答案

2014-2015学年江苏省泰州市姜堰区高二（上）期中数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）在直角坐标系中，直线2x﹣y﹣1=0的斜率是．2．（5分）圆x2+y2+2x﹣2y﹣7=0的半径是．3．（5分）椭圆+=1的焦点坐标是．4．（5分）抛物线x2=4y的准线方程为．5．（5分）双曲线的两条渐近线方程为．6．（5分）若圆x2+y2=4 与圆x2+y2﹣2mx+m2﹣1=0相外切，则实数m=．7．（5分）已知点P为直线x+y﹣4=0上一动点，则P到坐标原点的距离的最小值是．8．（5分）若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是．9．（5分）已知两圆x2+y2=10和（x﹣1）2+（y﹣3）2=10相交于A，B两点，则直线AB的方程是．10．（5分）已知点P在抛物线y2=4x上运动，F为抛物线的焦点，点M的坐标为（3，2），当PM+PF取最小值时点P的坐标为．11．（5分）已知点P是圆C：x2+y2﹣4ax﹣2by﹣5=0（a＞0，b＞0）上任意一点，若P点关于直线x+2y﹣1=0的对称点仍在圆C上，则+的最小值是．12．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，P为C的右支上一点，且的面积等于．13．（5分）设集合M={（x，y）|y=x+b}，N={（x，y）|y=3﹣}，当M∩N≠∅时，则实数b的取值范围是．14．（5分）设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于．二、解答题（本题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知点P为直线l1：2x﹣3y﹣1=0和直线l2：x+y+2=0的交点，M（1，2），N（﹣1，﹣5）．（Ⅰ）求过点P 且与直线l3：3x+y﹣1=0平行的直线方程；（Ⅱ）求过点P且与直线MN垂直的直线方程．16．（14分）已知三点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）．（Ⅰ）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆标准方程；（Ⅱ）设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程．17．（14分）某城市交通规划中，拟在以点O为圆心，半径为50m的高架圆形车道外侧P处开一个出口，以与圆形道相切的方式，引申一条直道连接到距圆形道圆心O正北250m的道路上C处（如图），以O为原点，OC为y轴建立如图所示的直角坐标系，求直道PC所在的直线方程，并计算出口P的坐标．18．（16分）已知直线l：x+y﹣2=0，两点A（2，0），B（4，0），O为坐标原点．（Ⅰ）动点P（x，y）与两点O、A的距离之比为1：，求P点所在的曲线方程；（Ⅱ）若圆C过点B，且与直线l相切于点A，求圆C的方程．19．（16分）过点P（﹣4，4）作直线l与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点．（Ⅰ）若直线l的斜率为﹣，求弦AB的长；（Ⅱ）若一直线与圆O相切于点Q且与x轴的正半轴，y轴的正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，求点Q的坐标．20．（16分）已知椭圆C经过点，且经过双曲线y2﹣x2=1的顶点．P 是该椭圆上的一个动点，F1，F2是椭圆的左右焦点，（1）求椭圆C的方程；（2）求|PF1|•|PF2|的最大值和最小值．（3）求•的最大值和最小值．2014-2015学年江苏省泰州市姜堰区高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）在直角坐标系中，直线2x﹣y﹣1=0的斜率是2．【解答】解：直线2x﹣y﹣1=0可化为y=2x﹣1，由直线的斜截式可知直线斜率为：2故答案为：22．（5分）圆x2+y2+2x﹣2y﹣7=0的半径是3．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣2y﹣7=0可化为圆（x+1）2+（y﹣1）2=9，∴圆x2+y2+2x﹣2y﹣7=0的半径是3，故答案为：33．（5分）椭圆+=1的焦点坐标是（1，0）和（﹣1，0）．【解答】解：∵椭圆+=1，∴a2=5，b2=4，∴c==1，∴椭圆焦点为（1，0）和（﹣1，0）．故答案为：（1，0）和（﹣1，0）．4．（5分）抛物线x2=4y的准线方程为y=﹣1．【解答】解：∵抛物线方程为x2=4y，∴其准线方程为：y=﹣1．故答案为：y=﹣1．5．（5分）双曲线的两条渐近线方程为．【解答】解：∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：6．（5分）若圆x2+y2=4 与圆x2+y2﹣2mx+m2﹣1=0相外切，则实数m=±3．【解答】解：圆x2+y2=4 的圆心为（0，0）、半径为2；圆x2+y2﹣2mx+m2﹣1=0，即（x﹣m）2+y2=1，表示圆心为（m，0）、半径等于1的圆．根据两圆相外切，可得圆心距等于半径之和，即|m|=2+1=3，求得m=±3，故答案为：±3．7．（5分）已知点P为直线x+y﹣4=0上一动点，则P到坐标原点的距离的最小值是．【解答】解：∵原点O（0，0）到直线x+y﹣4=0的距离为：，∴直线x+y﹣4=0上一动点P到坐标原点的距离的最小值为：．故答案为：：．8．（5分）若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是（5，9）．【解答】解：∵方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，∴k﹣1＞9﹣k＞0，∴5＜k＜9．故答案为：（5，9）．9．（5分）已知两圆x2+y2=10和（x﹣1）2+（y﹣3）2=10相交于A，B两点，则直线AB的方程是x+3y﹣5=0．【解答】解：把两圆x2+y2=10和（x﹣1）2+（y﹣3）2=10的方程相减可得x+3y ﹣5=0，此直线的方程既能满足第一个圆的方程、又能满足第二个圆的方程，故必是两个圆的公共弦所在的直线方程，故答案为：x+3y﹣5=0．10．（5分）已知点P在抛物线y2=4x上运动，F为抛物线的焦点，点M的坐标为（3，2），当PM+PF取最小值时点P的坐标为（1，2）．【解答】解：设点P在准线上的射影为D，由抛物线的定义可知PF=PD，∴要求PM+PF的最小值，即求PM+PD的最小值，只有当D，P，M三点共线时PM+PD最小，且最小值为3﹣（﹣1）=4令y=2，可得x=1，∴当PM+PF取最小值时点P的坐标为（1，2）．故答案为：（1，2）．11．（5分）已知点P是圆C：x2+y2﹣4ax﹣2by﹣5=0（a＞0，b＞0）上任意一点，若P点关于直线x+2y﹣1=0的对称点仍在圆C上，则+的最小值是8．【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣4ax﹣2by﹣5=0（a＞0，b＞0）上任意一点，∴圆心为（2a，b）∵点P是圆C上任意一点，若P点关于直线x+2y﹣1=0的对称点仍在圆C上，∴圆心为（2a，b）在直线x+2y﹣1=0上，∴2a+2b=1，则+=（2a+2b）（+）=4+≥4+4=8，（a=b等号成立）故答案为：812．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，P为C的右支上一点，且的面积等于48．【解答】解：∵双曲线中a=3，b=4，c=5，∴F1（﹣5，0），F2（5，0）∵|PF2|=|F1F2|，∴|PF1|=2a+|PF2|=6+10=16作PF1边上的高AF2，则AF1=8，∴∴△PF1F2的面积为S=故答案为：48．13．（5分）设集合M={（x，y）|y=x+b}，N={（x，y）|y=3﹣}，当M ∩N≠∅时，则实数b的取值范围是[1﹣2，3] ．【解答】解：∵集合M={（x，y）|y=x+b}，N={（x，y）|y=3﹣}，M∩N≠∅，∴直线y=x+b与半圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3）有交点，半圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3）表示：圆心在（2，3），半径为 2 的圆的下半部分，y=x+b表示斜率为1的平行线，其中b是直线在y轴上的截距，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即圆心（2，3）到直线y=x+b的距离d==2，解得b=1﹣2或b=1+2（舍），由图知b的取值范围是[1﹣2，3]．∴实数b的取值范围是[1﹣2，3]．故答案为：[1﹣2，3]．14．（5分）设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于．【解答】解：连接AF1，∵OD∥AB，O为F1F2的中点，∴D为BF1的中点，又AD⊥BF1，∴|AF1|=|AB|．∴|AF1|=2|AF2|．设|AF2|=n，则|AF1|=2n，|F1F2|=n，∴e=====．二、解答题（本题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知点P为直线l1：2x﹣3y﹣1=0和直线l2：x+y+2=0的交点，M（1，2），N（﹣1，﹣5）．（Ⅰ）求过点P 且与直线l3：3x+y﹣1=0平行的直线方程；（Ⅱ）求过点P且与直线MN垂直的直线方程．【解答】解：由题意得：（Ⅰ），解得：，∴P（﹣1，﹣1）．∵所求直线与直线l3：3x+y﹣1=0平行，∴k=﹣3，∴所求直线方程为：3x+y+4=0．（Ⅱ）直线MN所在直线的斜率为：，∵所求直线与两点M（1，2），N（﹣1，﹣5）所在直线垂直，∴k=，则所求直线方程为：2x+7y+9=0．16．（14分）已知三点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）．（Ⅰ）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆标准方程；（Ⅱ）设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程．【解答】解：（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为（a＞b＞0），其半焦距c=6∴，b2=a2﹣c2=9．所以所求椭圆的标准方程为（2）点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）关于直线y=x的对称点分别为点P′（2，5）、F1′（0，﹣6）、F2′（0，6）．设所求双曲线的标准方程为由题意知，半焦距c1=6，，b12=c12﹣a12=36﹣20=16．所以所求双曲线的标准方程为．17．（14分）某城市交通规划中，拟在以点O为圆心，半径为50m的高架圆形车道外侧P处开一个出口，以与圆形道相切的方式，引申一条直道连接到距圆形道圆心O正北250m的道路上C处（如图），以O为原点，OC为y轴建立如图所示的直角坐标系，求直道PC所在的直线方程，并计算出口P的坐标．【解答】解：由题意可得圆形道的方程为x2+y2=502，引伸道与北向道路的交接点C的坐标为（0，250）．设CP的方程为y=kx+250，由图可知k＜0．又CP与圆O相切，∴O到CP距离=50，解得k=﹣7，∴CP的方程为y=﹣7x+250①．又OP⊥CP，∴K OP•K CP=﹣1，∴K OP=﹣=．则OP的方程是：y=x ②．由①②解得P点坐标为（35，5），∴引伸道所在的直线方程为7x+y﹣250=0，出口P的坐标是（35，5）．18．（16分）已知直线l：x+y﹣2=0，两点A（2，0），B（4，0），O为坐标原点．（Ⅰ）动点P（x，y）与两点O、A的距离之比为1：，求P点所在的曲线方程；（Ⅱ）若圆C过点B，且与直线l相切于点A，求圆C的方程．【解答】解：（Ⅰ）依题意得：PO：PA=1：，则PA2=3PO2，…（2分）所以（x﹣2）2+y2=3（x2+y2），…（4分）即（x﹣1）2+y2=3，…（6分）（Ⅱ）设圆C的方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，依题意：圆心（a，b）既在过点A且与直线l垂直的直线上，又在AB的垂直平分线上，因为A（2，0），B（4，0），所以AB的垂直平分线方程是：x=3，…（8分）过点A且与直线l垂直的直线方程是：y=x﹣2，…（10分）所以，解得：a=3，b=1，…（12分）此时：r=，…（14分）所以，圆C的方程是：（x﹣3）2+（y﹣1）2=2 …（16分）19．（16分）过点P（﹣4，4）作直线l与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点．（Ⅰ）若直线l的斜率为﹣，求弦AB的长；（Ⅱ）若一直线与圆O相切于点Q且与x轴的正半轴，y轴的正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，求点Q的坐标．【解答】解：（Ⅰ）因为直线l的斜率为﹣，所以直线l的方程是：y﹣4=﹣（x+4），即x+2y﹣4=0．设点O到直线l的距离为d，则d=，所以=4﹣d2=4﹣=，解得：AB=．（Ⅱ）设切点Q的坐标为（x0，y0），x0＞0，y0＞0，则切线斜率为﹣．所以切线方程为y﹣y0=﹣（x﹣x0）．又+=4，故x0x+y0y=4．此时，两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积S=••=．…（13分）由+=4≥2x0•y0，∴当且仅当x0=y0=时，x0•y0有最大值．即S有最小值．因此点Q的坐标为（，）．20．（16分）已知椭圆C经过点，且经过双曲线y2﹣x2=1的顶点．P 是该椭圆上的一个动点，F1，F2是椭圆的左右焦点，（1）求椭圆C的方程；（2）求|PF1|•|PF2|的最大值和最小值．（3）求•的最大值和最小值．【解答】解：（1）双曲线y2﹣x2=1的顶点为（0，1）由题意，设椭圆C的方程为（a＞1），则将代入可得∴a=2∴椭圆C的方程为；（2）设|PF1|=m，则|PF2|=4﹣m，且≤m≤∴|PF1|•|PF2|=m（4﹣m）=﹣（m﹣2）2+4∴m=2时，|PF1|•|PF2|的最大值为4；m=时，|PF1|•|PF2|的最小值为1；（3）设P（x，y），则•=（﹣x﹣，﹣y）•（﹣x，﹣y）=x2+y2﹣3=（3x2﹣8），∵x∈[﹣2，2]∴当x=0时，即点P为椭圆短轴端点时，•有最小值﹣2；当x=±2，即点P为椭圆长轴端点时，•有最大值1赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

，D 是线段 BC 上
的一个动点，以 AD 为直径画⊙O 分别交 AB、AC 于 E、F，连接 EF，则线段 EF 长度的最小值为 ．
三、解答题（共 10 题，共 102 分） 17． （6 分）计算： 18． （16 分）解方程： （1）x2﹣5=0； （2）x2+3x+2=0； （3）x（x+4）=﹣3（4+x） ； （4） （2x+1） （x﹣3）=﹣6． 19． （8 分）如图转盘，分成三个相同的扇形，3 个扇形分别标有数字 1、2、﹣3， 指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针 所指的位置，并相应得到一个数（指针指向两个扇形的交线时，重新转动转 盘） ． （1）写出此情景下一个不可能发生的事件； （2）用树状图或列表法，求事件“转动两次，第一次得到的数与第二次得到的数 和为正数”发生的概率． ．
A．
B．
C． ）
D．
3． （3 分）一元二次方程 x（x﹣2）=0 根的情况是（ A．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 4． （3 分）下列说法： ①要了解一批灯泡的使用寿命，应采用普查的方式；
B．有两个相等的实数根 D．没有实数根
②若一个游戏的中奖率是 1%，则做 100 次这样的游戏一定会中奖； ③甲、乙两组数据的样本容量与平均数分别相同，若方差 甲组数据比乙组数据稳定； ④“掷一枚硬币，正面朝上”是必然事件． 正确说法的序号是（ A．① ） B．② C．③ D．④ 上， =0.1， =0.2，则
13． （3 分） 如图， A、 B、 C 是⊙上的三个点， ∠ABC=130°， 则∠AOC 的度数是
14． （3 分）如图，在▱ABCD 中，E 在 AB 上，CE、BD 交于 F，若 AE：BE=4：3， 且 BF=2，则 DF= ..

2014-2015学年江苏省扬州市梅岭中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．每题所给的四个选项，只有一个符合题意，请将正确答案的序号填入答题纸的相应表格中）1．（3分）下列方程为一元二次方程的是（）A．ax2﹣bx+c=0（a、b、c为常数）B．x（x+3）=x2﹣1C．x（x﹣2）=3 D．2．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2ax﹣1=0（其中a为常数）的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．可能有实数根，也可能没有C．有两个相等的实数根D．没有实数根3．（3分）甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加了预选赛，他们射击成绩的平均环数及方差s2如表所示．如果选出一个成绩较好且状态稳定的运动员去参赛，那么应选（）A．甲B．乙C．丙D．丁4．（3分）如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图，那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（）A．16，10.5 B．8，9 C．16，8.5 D．8，8.55．（3分）如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD•AB．其中能够判定△ABC∽△ACD的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．（3分）如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，点M在线段AB（包括端点A，B）上移动，则OM的取值范围是（）A．3≤OM≤5 B．3≤OM＜5 C．4≤OM≤5 D．4≤OM＜57．（3分）已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）=8，则x2+y2的值为（）A．﹣5或1 B．1 C．5 D．5或﹣18．（3分）如图，定点C、动点D在⊙O上，并且位于直径AB的两侧，AB=5，AC=3，过点C在作CE⊥CD交DB的延长线于点E，则线段CE长度的最大值为（）A．5 B．8 C．D．二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接写在答题纸相应位置上）9．（3分）如果x1、x2是一元二次方程x2﹣6x﹣2=0的两个根，那么x1+x2的值是．10．（3分）已知关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是．11．（3分）为解决群众看病难的问题，一种药品连续两次降价，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，则平均每次降价的百分率为%．12．（3分）如图，AB、CD是水平放置的轮盘（俯视图）上两条互相垂直的直径，一个小钢球在轮盘上自由滚动，该小钢球最终停在阴影区域的概率为．13．（3分）张家界国际乡村音乐周活动中，来自中、日、美的三名音乐家准备在同一节目中依次演奏本国的民族音乐，若他们出场先后的机会是均等的，则按“美﹣日﹣中”顺序演奏的概率是．14．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC=25°，则∠CAD=°．15．（3分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的中点，则S△ADE：S△ABC=．16．（3分）一油桶高0.8m，桶内有油，一根木棒长1m，从桶盖小口斜插入桶内，一端到桶底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长0.8m，则桶内油面的高度为m．17．（3分）把一个球放在池塘中，球漂浮在水面上．当水结冰后，从冰中拿出球，留下一个冰坑．经测量，冰面圆的直径为24cm，冰坑的最大深度为8cm，则球的半径为cm．18．（3分）如图，在Rt△ABC中（∠C=90°）放置边长分别为a、b、c的三个正方形，则a、b、c三者之间的数量关系为．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出必要的文字说明或演算步骤）19．（8分）解方程：（1）x（x﹣3）﹣4（3﹣x）=0（2）x2+4x﹣896=0．20．（8分）从甲、乙两位运动员中选出一名参加在规定时间内的投篮比赛．预先对这两名运动员进行了6次测试，成绩如下（单位：个）：甲：6，12，8，12，10，12；乙：9，10，11，10，12，8；（1）填表：（2）根据测试成绩，请你运用所学的统计知识作出分析，派哪一位运动员参赛更好？为什么？21．（8分）如图，学校准备修建一个面积为48m2的矩形花园．它的一边靠墙，其余三边利用长20m的围栏．已知墙长9m，问围成矩形的长和宽各是多少？22．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，P是⊙O上一点．（1）请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中∠P的平分线；（2）结合图②，说明你这样画的理由．23．（10分）在一个不透明的盒子中，放入2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同．（1）搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋中，再次搅匀后从中任意摸出1个球，请通过列表或画树状图求2次摸出的球都是白球的概率；（2）搅匀后从中任意一次摸出2个球，则摸出的2个球都是白球的概率为；（3）现有一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成60个相等的扇形，这些扇形除颜色外完全相同，其中40个扇形涂上白色，20个扇形涂上红色，转动转盘2次，指针2次都指向白色区域的概率为．24．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，且，，求AB的值．25．（10分）△ABC内接于⊙O，AH⊥BC，垂足为H，AD平分∠BAC，交⊙O于点D．求证：AD平分∠HAO．26．（10分）晓东在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程x（x+4）=6．解：原方程可变形，得[（x+2）﹣2][（x+2）+2]=6．（x+2）2﹣22=6，（x+2）2=6+22，（x+2）2=10．直接开平方并整理，得．我们称晓东这种解法为“平均数法”．（1）下面是晓东用“平均数法”解方程（x+2）（x+6）=5时写的解题过程．解：原方程可变形，得[（x+□）﹣◯][（x+□）+◯]=5．（x+□）2﹣◯2=5，（x+□）2=5+◯2．直接开平方并整理，得x1=☆，x2=¤．上述过程中的“□”，“◯”，“☆”，“¤”表示的数分别为，，，．（2）请用“平均数法”解方程：（x﹣3）（x+1）=5．27．（12分）【提出问题】（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．28．（12分）如图：⊙M经过O点，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段OA、OB（OA＞OB）的长是方程x2﹣17x+60=0的两根．（1）求线段OA、OB的长；（2）若点C在劣弧OA上，连结BC交OA于D，当OC2=CD•CB时，求点C的坐标；（3）若点C在优弧OA上，作直线BC交x轴于D，是否存在△COB和△CDO相似？若存在，直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．2014-2015学年江苏省扬州市梅岭中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．每题所给的四个选项，只有一个符合题意，请将正确答案的序号填入答题纸的相应表格中）1．（3分）下列方程为一元二次方程的是（）A．ax2﹣bx+c=0（a、b、c为常数）B．x（x+3）=x2﹣1C．x（x﹣2）=3 D．【解答】解：A、缺少a≠0，不是一元二次方程；B、整理后为3x+1=0，不是一元二次方程；C、整理后为x2﹣2x﹣3=0，是一元二次方程；D、含有分式，不是一元二次方程．故选：C．2．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2ax﹣1=0（其中a为常数）的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．可能有实数根，也可能没有C．有两个相等的实数根D．没有实数根【解答】解：△=（﹣2a）2﹣4×（﹣1）=4a2+4，∵4a2≥0，∴4a2+4＞0，即△＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．3．（3分）甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加了预选赛，他们射击成绩的平均环数及方差s2如表所示．如果选出一个成绩较好且状态稳定的运动员去参赛，那么应选（）A．甲B．乙C．丙D．丁【解答】解：由图可知，乙、丙的平均成绩好，由于S2乙＜S2丙，故丙的方差大，波动大．故选：B．4．（3分）如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图，那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（）A．16，10.5 B．8，9 C．16，8.5 D．8，8.5【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，即8；而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是9；故选：B．5．（3分）如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD•AB．其中能够判定△ABC∽△ACD的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：有三个．①∠B=∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；②∠ADC=∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不正确④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；故选：C．6．（3分）如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，点M在线段AB（包括端点A，B）上移动，则OM的取值范围是（）A．3≤OM≤5 B．3≤OM＜5 C．4≤OM≤5 D．4≤OM＜5【解答】解：当M与A或B重合时，达到最大值，即圆的半径5；当OM⊥AB时，为最小值==3．故OM的取值范围是：3≤OM≤5．故选：A．7．（3分）已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）=8，则x2+y2的值为（）A．﹣5或1 B．1 C．5 D．5或﹣1【解答】解：原方程变形得，（x2+y2）2+4（x2+y2）﹣5=0，（x2+y2+5）（x2+y2﹣1）=0，又∵x2+y2的值是非负数，∴x2+y2的值为只能是1．故选：B．8．（3分）如图，定点C、动点D在⊙O上，并且位于直径AB的两侧，AB=5，AC=3，过点C在作CE⊥CD交DB的延长线于点E，则线段CE长度的最大值为（）A．5 B．8 C．D．【解答】解：当CD是直径时，CE最长，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴BC=，∵∠A=∠D，∠ABC=∠ACE=90°，∴△ABC∽△DCE，∴，即，∴CE=，故选：D．二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接写在答题纸相应位置上）9．（3分）如果x1、x2是一元二次方程x2﹣6x﹣2=0的两个根，那么x1+x2的值是6．【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣6x﹣2=0的两个根，∴x1+x2=﹣（﹣6）=6．故答案为6．10．（3分）已知关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是k＞﹣1且k≠0．．【解答】解：根据题意得，k≠0，且△＞0，即22﹣4×k×（﹣1）＞0，解得k ＞﹣1，∴实数k的取值范围为k＞﹣1且k≠0．故答案为k＞﹣1且k≠0．11．（3分）为解决群众看病难的问题，一种药品连续两次降价，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，则平均每次降价的百分率为10%．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，依题意列方程：60（1﹣x）2=48.6，解方程得x1=0.1=10%，x2=1.9（舍去）．故平均每次降价的百分率为10%．12．（3分）如图，AB、CD是水平放置的轮盘（俯视图）上两条互相垂直的直径，一个小钢球在轮盘上自由滚动，该小钢球最终停在阴影区域的概率为．【解答】解：因为AB、CD是水平放置的轮盘（俯视图）上两条互相垂直的直径，故它们把轮盘4等分，每一块阴影的面积在这一圈中都占，∴该小钢球最终停在阴影区域的概率为．13．（3分）张家界国际乡村音乐周活动中，来自中、日、美的三名音乐家准备在同一节目中依次演奏本国的民族音乐，若他们出场先后的机会是均等的，则按“美﹣日﹣中”顺序演奏的概率是．【解答】解：根据题意可得：三名音乐家在同一节目中依次演奏本国的民族音乐，共6种情况；①美﹣日﹣中；②美﹣中﹣日；③中﹣日﹣美；④中﹣美﹣日；⑤日﹣美﹣中；⑥日﹣中﹣美；则按“美﹣日﹣中”顺序演奏的概率是．14．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC=25°，则∠CAD= 65°．【解答】解：∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∵∠D=∠ABC=25°，∴∠CAD=90°﹣∠D=90°﹣25°=65°．故答案为：65．15．（3分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的中点，则S△ADE：S△ABC= 1：4．【解答】解：∵D、E是边AB、AC上的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC且DE=BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE ：S△ABC=（1：2）2=1：4．故答案为：1：4．16．（3分）一油桶高0.8m，桶内有油，一根木棒长1m，从桶盖小口斜插入桶内，一端到桶底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长0.8m，则桶内油面的高度为0.64m．【解答】解：如图：AB表示木棒长，BC表示油桶高，DE表示油面高度，AD表示棒上浸油部分长，∴DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴AD：AB=DE：BC∵AD=0.8m，AB=1m，BC=0.8m∴DE=0.64m∴桶内油面的高度为0.64m．17．（3分）把一个球放在池塘中，球漂浮在水面上．当水结冰后，从冰中拿出球，留下一个冰坑．经测量，冰面圆的直径为24cm，冰坑的最大深度为8cm，则球的半径为13cm．【解答】解：如图，由题意得：在⊙O中，OD⊥AB，BC=AC=12，CD=8，设⊙O的半径为λ，则OC=λ﹣8；由勾股定理得：λ2=（λ﹣8）2+122，解得：λ=13．故答案为13．18．（3分）如图，在Rt△ABC中（∠C=90°）放置边长分别为a、b、c的三个正方形，则a、b、c三者之间的数量关系为b=a+c．【解答】解：如图，∵DH∥AB∥QF∴∠EDH=∠A，∠GFQ=∠B；又∵∠A+∠B=90°，∠EDH+∠DEH=90°，∠GFQ+∠FGQ=90°；∴∠EDH=∠FGQ，∠DEH=∠GFQ；∴△DHE∽△GQF，∴=，∴=，∴ac=（b﹣c）（b﹣a）∴b2=ab+bc=b（a+c），∴b=a+c．故答案为：b=a+c．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出必要的文字说明或演算步骤）19．（8分）解方程：（1）x（x﹣3）﹣4（3﹣x）=0（2）x2+4x﹣896=0．【解答】解：（1）x（x﹣3）+4（x﹣3）=0，（x﹣3）（x+4）=0，x﹣3=0或x+4=0，所以x1=3，x2=﹣4；（2）x2+4x=896，x2+4x+4=900，（x+2）2=900，x+2=±30，所以x1=28，x2=﹣32．20．（8分）从甲、乙两位运动员中选出一名参加在规定时间内的投篮比赛．预先对这两名运动员进行了6次测试，成绩如下（单位：个）：甲：6，12，8，12，10，12；乙：9，10，11，10，12，8；（1）填表：（2）根据测试成绩，请你运用所学的统计知识作出分析，派哪一位运动员参赛更好？为什么？【解答】解：（1）甲：12出现的次数最多，所以众数为12，S甲2=[（6﹣10）2+（12﹣10）2+（8﹣10）2+（12﹣10）2+（10﹣10）2+（12﹣10）2]=；乙：=（9+10+11+10+12+8）=10．故答案为12，；10；（2）解答一：派甲运动员参加比赛，因为甲运动员成绩的众数是12个，大于乙运动员成绩的众数10个，说明甲运动员更容易创造好成绩；解答二：派乙运动员参加比赛，因为两位运动员成绩的平均数都是10个，而乙成绩的方差小于甲成绩的方差，说明乙运动员的成绩更稳定．21．（8分）如图，学校准备修建一个面积为48m2的矩形花园．它的一边靠墙，其余三边利用长20m的围栏．已知墙长9m，问围成矩形的长和宽各是多少？【解答】解：设宽为x m，则长为（20﹣2x）m．由题意，得x•（20﹣2x）=48，解得x 1=4，x2=6．当x=4时，20﹣2×4=12＞9（舍去），当x=6时，20﹣2×6=8．答：围成矩形的长为8m、宽为6m．22．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，P是⊙O上一点．（1）请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中∠P的平分线；（2）结合图②，说明你这样画的理由．【解答】解：（1）如图①，连接AP，即为所求角平分线；如图②，连接AO并延长，与⊙O交于点D，连接PD，即为所求角平分线．（2）∵AD是直径，∴=，又∵AB=AC，∴．∴，所以PD平分∠BPC．23．（10分）在一个不透明的盒子中，放入2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同．（1）搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋中，再次搅匀后从中任意摸出1个球，请通过列表或画树状图求2次摸出的球都是白球的概率；（2）搅匀后从中任意一次摸出2个球，则摸出的2个球都是白球的概率为；（3）现有一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成60个相等的扇形，这些扇形除颜色外完全相同，其中40个扇形涂上白色，20个扇形涂上红色，转动转盘2次，指针2次都指向白色区域的概率为．【解答】解：（1）画树状图，，有9种结果，摸到两个白球的有4种结果，所以P（摸出2个白球）=．（2）共有6种结果，摸出的2个球都是白球的有2种结果，则P（两个都是白球）==，故答案是：；（3）白色和红色的比值是2：1，则可以认为是2个白，1个红．与（1）相同，P（指针2次都指向白色区域）=，故答案是．24．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，且，，求AB的值．【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠C=∠CBD，∴CD=BD=2，∴AC=AD+CD=+2=3，∵∠A是公共角，∴△ABD∽△ACB，∴AD：AB=AB：AC，∴AB2=AD•AC=×3=6，∴AB=25．（10分）△ABC内接于⊙O，AH⊥BC，垂足为H，AD平分∠BAC，交⊙O于点D．求证：AD平分∠HAO．【解答】证明：连接OD，如图，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴弧BD=弧CD，∴OD⊥BC，又∵AH⊥BC，∴OD∥AH，∴∠D=∠2，∵OA=OD，∴∠1=∠D，∴∠1=∠2，即AD平分∠HAO．26．（10分）晓东在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程x（x+4）=6．解：原方程可变形，得[（x+2）﹣2][（x+2）+2]=6．（x+2）2﹣22=6，（x+2）2=6+22，（x+2）2=10．直接开平方并整理，得．我们称晓东这种解法为“平均数法”．（1）下面是晓东用“平均数法”解方程（x+2）（x+6）=5时写的解题过程．解：原方程可变形，得[（x+□）﹣◯][（x+□）+◯]=5．（x+□）2﹣◯2=5，（x+□）2=5+◯2．直接开平方并整理，得x1=☆，x2=¤．上述过程中的“□”，“◯”，“☆”，“¤”表示的数分别为4，2，﹣1，﹣7．（2）请用“平均数法”解方程：（x﹣3）（x+1）=5．【解答】解：（1）4，2，﹣1，﹣7（最后两空可交换顺序）；故答案为：4，2，﹣1，﹣7；（2）（x﹣3）（x+1）=5；原方程可变形，得[（x﹣1）﹣2][（x﹣1）+2]=5，整理得：（x﹣1）2﹣22=5，（x﹣1）2=5+22，即（x﹣1）2=9，直接开平方并整理，得x1=4，x2=﹣2．27．（12分）【提出问题】（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．【解答】（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN，∵在△BAM和△CAN中，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC=∠ACN．（2）解：结论∠ABC=∠ACN仍成立；理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN，∵在△BAM和△CAN中，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC=∠ACN．（3）解：∠ABC=∠ACN；理由如下：∵BA=BC，MA=MN，顶角∠ABC=∠AMN，∴底角∠BAC=∠MAN，∴△ABC∽△AMN，∴=，又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，∴∠BAM=∠CAN，∴△BAM∽△CAN，∴∠ABC=∠ACN．28．（12分）如图：⊙M经过O点，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段OA、OB（OA＞OB）的长是方程x2﹣17x+60=0的两根．（1）求线段OA、OB的长；（2）若点C在劣弧OA上，连结BC交OA于D，当OC2=CD•CB时，求点C的坐标；（3）若点C在优弧OA上，作直线BC交x轴于D，是否存在△COB和△CDO相似？若存在，直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵（x﹣12）（x﹣5）=0，∴x1=12，x2=5，∴OA=12，OB=5；（2）连接AB、AC、MC，MC与OA交于F，如图1，∵OC2=CD•CB，即OC：CD=CB：OC，而∠OCD=∠BCO，∴△COD∽△CBO，∴∠2=∠1，∵∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴弧AC=弧OC，∴MC⊥OA，∴OF=AF=OA=6，∵∠AOB=90°，∴AB为⊙M的直径，在Rt△AOB中，OA=12，OB=5，∴AB==13，∴MC=，∵MF为△AOB的中位线，∴MF=OB=，∴FC=MC﹣MF=4，∴C点坐标为（6，﹣4）；（3）存在．连接AC，连接CM并延长交OA于F，如图2，若CA=CO，则∠COA=∠CAO，∵∠COA+∠COD=180°，∠CAO+∠CBO=180°，∴∠COD=∠CBO，而∠OCD=∠DCO，∴△CBO∽△COD，∵CA=CO，∴弧CA=弧CO，∴CF⊥AC，由（2）得MF=，CM=，OF=6，∴CF=CM+MF=9，∴C点坐标为（6，9）．。

2014-2015学年江苏省南京市秦淮区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）1．（2分）关于x的方程ax2﹣3x+1=0是一元二次方程，则（）A．a＞0 B．a≥0 C．a≠0 D．a=12．（2分）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数与方差s2：（根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（）A．甲B．乙C．丙D．丁3．（2分）把方程x2+4x﹣5=0化成（x+m）2=n的形式，则m、n的值分别是（）A．2，9 B．﹣2，9 C．2，1 D．﹣2，14．（2分）如图，⊙O的半径为6，A、B、C是⊙O上的三点，已知的长为2π，且OC∥AB，则AC的长为（）A．3 B．3 C．6 D．65．（2分）如图，某同学用一扇形纸板为一个玩偶制作一个圆锥形帽子，已知扇形半径OA=13cm，扇形的弧长为10πcm，那么这个圆锥形帽子的高是（）cm．（不考虑接缝）A．5 B．12 C．13 D．146．（2分）如图，CD是大半圆O的直径，点O1在CD上，大半圆的弦AB与小半圆O 1相切于点F，且AB∥CD，AB=6，则阴影部分的面积为（）A．πB．πC．9πD．18π二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）7．（2分）已知一组数据：4，﹣1，5，9，7，则这组数据的极差是．8．（2分）已知关于x的一元二次方程2x2﹣kx=0的一个根是1，则k=．9．（2分）设x1、x2是一元二次方程x2﹣3x=1的两个根，则x1+x2=．10．（2分）南京市2014年的某10天中，每天的最低气温如图所示（单位：℃），则这10天中南京市最低气温的众数是℃，中位数是℃．11．（2分）小明参加了某电视台招聘记者的三项素质测试，成绩如下：采访写作70分，计算机操作60分，创意设计88分，如果采访写作、计算机操作和创意设计的成绩按4：1：3计算，则他的素质测试平均成绩为分．12．（2分）现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得．13．（2分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ABC=50°，则∠D的度数为．14．（2分）如图，正六边形ABCDEF的半径为4，M、N分别为边AF、CD的中点，则四边形MBNE的面积为．15．（2分）如图，四边形ABCD的各边与⊙O分别相切于点E、F、G、H．若AB=4cm，AD=3cm，BC=3.6cm，则CD=cm．16．（2分）如图，点D与半圆上的点C关于直径AB成轴对称．若∠AOC=38°，则∠CDB=°．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解方程：x2+x﹣3=0．18．（6分）解方程：（x+2）2=3（x+2）19．（7分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．20．（8分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB与OC、OD分别相交于点E、F，如果AE=BF，那么AC与BD相等吗？请说明理由．21．（8分）今年圣诞节前夕，小明、小丽两位同学到某超市调研一种袜子的销售情况，这种袜子的进价为每双1元，请根据小丽提供的信息解决小明提出的问题．22．（8分）如图，AC切⊙O于点C，AB过圆心O交⊙O于点B、D，且AC=BC，（1）求∠A的度数；（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．23．（8分）已知甲校有a人，女生占60%；乙校有b人，女生占50%．甲、乙两校合并后，小明认为：“因为=55%，所以合并后的女生占总人数的55%．”老师认为小明的想法是错误的．（1）如果是你，你会怎么列式计算合并后女生在总人数中所占的百分比？（2）请指出在什么情况下小明的答案是正确的，并通过计算说明．24．（8分）如图，△ABC中，AB=AC，AD∥BC．（1）用圆规和直尺作△ABC的外接圆⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；（2）判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若AB=AC=5，BC=6，求⊙O的半径．25．（8分）甲、乙两支篮球队进行了5场选拔赛，比赛成绩绘制成图①、图②．（1）在图②中画出折线统计图表示乙队这5场比赛成绩的变化情况；（2）分别求甲、乙两队这5场比赛成绩的平均数和方差；（3）根据计算结果和折线统计图，你认为哪支球队参赛更能取得好成绩？26．（9分）阅读以下内容，并回答问题：若一个三角形的两边平方和等于第三边平方的两倍，我们称这样的三角形为奇异三角形．（1）命题“等边三角形一定是奇异三角形”是命题（填“真”或“假”）；（2）在△ABC中，已知∠C=90°，△ABC的内角∠A、∠B、∠C所对边的长分别为a、b、c，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；（3）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（点C与点A、B不重合），D是半圆的中点，C、D在直径AB的两侧，若存在点E，使AE=AD，CB=CE．求证：△ACE是奇异三角形．27．（12分）如图，A、B是⊙O上的两个点，已知P为平面内一点，（P、A、B 三点不在同一条直线上）．（1）若点P在⊙O上，⊙O的半径为1．①当∠APB=45°时，AB的长度为，②当AB=1时，∠APB=°；（2）若点P不在⊙O上，直线PA、PB交⊙O于点C、D（点C与点A、点D与点B均不重合），连接AD，设∠CAD=α，∠ADB=β，试用α、β表示∠APB（请直接写出答案，并画出示意图）．2014-2015学年江苏省南京市秦淮区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）1．（2分）关于x的方程ax2﹣3x+1=0是一元二次方程，则（）A．a＞0 B．a≥0 C．a≠0 D．a=1【解答】解：使x的方程ax2﹣3x﹣2=0是一元二次方程，根据一元二次方程的定义可知：二次项系数不为0，∴a≠0．故选：C．2．（2分）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数与方差s2：（根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（）A．甲B．乙C．丙D．丁【解答】解：∵甲的方差是3.5，乙的方差是3.5，丙的方差是15.5，丁的方差是16.5，∴S甲2=S乙2＜S丙2＜S丁2，∴发挥稳定的运动员应从甲和乙中选拔，∵甲的平均数是561，乙的平均数是560，∴成绩好的应是甲，∴从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择甲；故选：A．3．（2分）把方程x2+4x﹣5=0化成（x+m）2=n的形式，则m、n的值分别是（）A．2，9 B．﹣2，9 C．2，1 D．﹣2，1【解答】解：方程移项得：x2+4x=5，配方得：x2+4x+4=9，即（x+2）2=9，可得m=2，n=9，故选：A．4．（2分）如图，⊙O的半径为6，A、B、C是⊙O上的三点，已知的长为2π，且OC∥AB，则AC的长为（）A．3 B．3 C．6 D．6【解答】解：如图，连接OB，交AC于点D；设∠AOB的度数=α；∵的长为2π，∴，解得：α=60，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA==60°；又∵OC∥AB，∴∠AOC=180°﹣60°=120°，∴AC2=62+62﹣2×6×6•cos120°，∴AC=．故选：D．5．（2分）如图，某同学用一扇形纸板为一个玩偶制作一个圆锥形帽子，已知扇形半径OA=13cm，扇形的弧长为10πcm，那么这个圆锥形帽子的高是（）cm．（不考虑接缝）A．5 B．12 C．13 D．14【解答】解：先求底面圆的半径，即2πr=10π，r=5cm，∵扇形的半径13cm，∴圆锥的高==12cm．故选：B．6．（2分）如图，CD是大半圆O的直径，点O1在CD上，大半圆的弦AB与小半圆O1相切于点F，且AB∥CD，AB=6，则阴影部分的面积为（）A．πB．πC．9πD．18π【解答】解：设大圆圆心为O1，作EO1⊥AB，垂足为E．连接OA，则OA是大圆半径，∵AB∥CD，∴EO1的长等于小圆的半径，由垂径定理知，点E是AB的中点．由勾股定理知，O1A2﹣EO12=AE2=9，∴阴影部分的面积=（O1A2﹣EO12）π=π．故选：B．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）7．（2分）已知一组数据：4，﹣1，5，9，7，则这组数据的极差是10．【解答】解：这组数据的极差是：9﹣（﹣1）=10；故答案为：10．8．（2分）已知关于x的一元二次方程2x2﹣kx=0的一个根是1，则k=2．【解答】解：把x=1代入方程得：2﹣k=0，解方程得k=2．故答案为：2．9．（2分）设x1、x2是一元二次方程x2﹣3x=1的两个根，则x1+x2=3．【解答】解：方程化为一般式为x2﹣3x﹣1=0，根据题意得x1+x2=3．故答案为3．10．（2分）南京市2014年的某10天中，每天的最低气温如图所示（单位：℃），则这10天中南京市最低气温的众数是7℃，中位数是7.5℃．【解答】解：这几天的温度分别为：7，6，8，10，11，7，9，6，7，8，这组数据按照从小到大的顺序排列为：6，6，7，7，7，8，8，9，10，11，则众数为7，中位数为：=7.5，故答案为：7，7.5．11．（2分）小明参加了某电视台招聘记者的三项素质测试，成绩如下：采访写作70分，计算机操作60分，创意设计88分，如果采访写作、计算机操作和创意设计的成绩按4：1：3计算，则他的素质测试平均成绩为75.5分．【解答】解：根据题意得：（70×4+60+88×3）÷8=75.5（分），答：他的素质测试平均成绩为75.5分．故答案为：75.5．12．（2分）现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得x2﹣70x+825=0．【解答】解：由题意得：（80﹣2x）（60﹣2x）=1500整理得：x2﹣70x+825=0，故答案为：x2﹣70x+825=0．13．（2分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ABC=50°，则∠D的度数为40°．【解答】解：∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴∠A=90°﹣∠ABC=90°﹣50°=40°，由圆周角定理可知，∠D=∠A=40°，故答案为：40°．14．（2分）如图，正六边形ABCDEF的半径为4，M、N分别为边AF、CD的中点，则四边形MBNE的面积为16．【解答】解：如图，连接OM、ON、OB、OC、OD、OE；∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC=∠COD=∠DOE==60°，∠BCN=∠EDN，BC=CD=DE；而OB=OC，∴△OBC为等边三角形，∠BOC+∠COD+∠DOE=180°，∴BC=OB=4，B、O、E三点共线，BE=2OB=8；同理可求MN=4；在△BCN与△EDN中，，∴△BCN≌△EDN（SAS），∴BN=EN；同理可求NE=EM=MB，∴四边形MBNE是菱形，∵在△OCD中，ON=2，∴MN=4，∴=×8×4=16．15．（2分）如图，四边形ABCD的各边与⊙O分别相切于点E、F、G、H．若AB=4cm，AD=3cm，BC=3.6cm，则CD= 2.6cm．【解答】解：∵四边形ABCD的各边与⊙O分别相切于点E、F、G、H，∴DG=DH，CG=CF，BF=BE，AE=AH，则DC+AB=AD+BC∵AB=4cm，AD=3cm，BC=3.6cm，∴CD=3+3.6﹣4=2.6．故答案为：2.6．16．（2分）如图，点D与半圆上的点C关于直径AB成轴对称．若∠AOC=38°，则∠CDB=71°．【解答】解：∵点D与半圆上的点C关于直径AB成轴对称，∴=，∴∠ABD=∠AOC=×38°=19°，AB⊥CD，∴∠CDB=90°﹣∠ABD=71°．故答案为：71°．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解方程：x2+x﹣3=0．【解答】解：∵a=1，b=1，c=﹣3，∴b2﹣4ac=1+12=13＞0，∴x=，∴x1=，x2=．18．（6分）解方程：（x+2）2=3（x+2）【解答】解：原方程可变形为（x+2）2﹣3（x+2）=0，（x+2）（x﹣1）=0，x+2=0，x﹣1=0，∴x1=﹣2，x2=1．19．（7分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．【解答】解：∵a=1，b=2m+1，c=m2﹣1．∴b2﹣4ac=（2m+1）2﹣4（m2﹣1）=4m+5．∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1=0有两个不相等的实数根，∴△=4m+5＞0．∴m＞﹣．20．（8分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB与OC、OD分别相交于点E、F，如果AE=BF，那么AC与BD相等吗？请说明理由．【解答】解：AC与BD相等．∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA．在△OAE和△OBF中，，∴△OAE≌△OBF（SAS）．∴∠AOC=∠BOD，∴AC=BD．21．（8分）今年圣诞节前夕，小明、小丽两位同学到某超市调研一种袜子的销售情况，这种袜子的进价为每双1元，请根据小丽提供的信息解决小明提出的问题．【解答】解：设每双袜子的定价为x元时，每天的利润为800元．根据题意，得（x﹣1）（500﹣10×）=800，解得x1=3，x2=5．∵售价不能超过进价的300%，∴x≤1×300%．即x≤3．∴x=3．答：每双袜子的定价为3元时，每天的利润为800元．22．（8分）如图，AC切⊙O于点C，AB过圆心O交⊙O于点B、D，且AC=BC，（1）求∠A的度数；（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．【解答】解：（1）连接OC．∵AC切⊙O于点C，∴OC⊥AC．∴∠ACO=90°，设∠A=x°，∵AC=BC，∴∠B=∠A=x°．∵OB=OC，∴∠OCB=∠B=x°．∴∠AOC=∠OCB+∠B=2x°．在Rt△ACO中，∵∠A+∠AOC=90°，∴x+2x=90．∴x=30．即∠A=30°．（2）连接DC．在Rt△ACO中，∠AOC=90°﹣∠A=60°．又∵OD=OC，∴△OCD是等边三角形．∴CD=OD=2，∠AOC=60°．∵BD是直径，∴∠DCB=90°，BD=4．由勾股定理得BC=2． ∴AC=BC=2．∴S △ACO =AC•OC=2， S 扇形ODC =π•22=π，∴S 阴影=S △ACO ﹣S 扇形ODC =2﹣π．23．（8分）已知甲校有a 人，女生占60%；乙校有b 人，女生占50%．甲、乙两校合并后，小明认为：“因为=55%，所以合并后的女生占总人数的55%．”老师认为小明的想法是错误的．（1）如果是你，你会怎么列式计算合并后女生在总人数中所占的百分比？（2）请指出在什么情况下小明的答案是正确的，并通过计算说明．【解答】解：（1）根据题意得： 合并后女生在总人数中所占的百分比是：×100%．（2）当a=b 时，小明的答案正确，理由如下：当a=b 时，×100%=55%．24．（8分）如图，△ABC 中，AB=AC ，AD ∥BC ．（1）用圆规和直尺作△ABC 的外接圆⊙O （不写作法，保留作图痕迹）；（2）判断直线AD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（3）若AB=AC=5，BC=6，求⊙O 的半径．【解答】解：（1）如图，（2）AD与⊙O相切．连接AO并延长交BC于点E，连接OB、OC．∵AB=AC，∴点A在BC的垂直平分线上．∵OB=OC，∴点O在BC的垂直平分线上．∴AO垂直平分BC．又∵AD∥BC，∴AO⊥AD．又∵点A在⊙O上，∴AD与⊙O相切于点A．（3）在△ABC中，∵AO垂直平分BC，∴∠AEB=90°，BE=BC=3．在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=4．设⊙O的半径为r．在Rt△OBE中，∵OB2=OE2+BE2，∴r2=（4﹣r）2+32．解得r=．答：⊙O的半径为．25．（8分）甲、乙两支篮球队进行了5场选拔赛，比赛成绩绘制成图①、图②．（1）在图②中画出折线统计图表示乙队这5场比赛成绩的变化情况；（2）分别求甲、乙两队这5场比赛成绩的平均数和方差；（3）根据计算结果和折线统计图，你认为哪支球队参赛更能取得好成绩？【解答】解：（1）根据题意如图：（2）==90（分）．甲==90（分）．s甲2==41.2．s乙2==111.6．（3）两队比赛的平均数相同，说明两队的实力大体相当；从方差来看，甲队的方差较小，说明甲队的比赛成绩更稳定，因此甲队参赛更能取得好成绩．26．（9分）阅读以下内容，并回答问题：若一个三角形的两边平方和等于第三边平方的两倍，我们称这样的三角形为奇异三角形．（1）命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题（填“真”或“假”）；（2）在△ABC中，已知∠C=90°，△ABC的内角∠A、∠B、∠C所对边的长分别为a、b、c，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；（3）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（点C与点A、B不重合），D是半圆的中点，C、D在直径AB的两侧，若存在点E，使AE=AD，CB=CE．求证：△ACE是奇异三角形．【解答】解：（1）∵若一个三角形的两边平方和等于第三边平方的两倍，我们称这样的三角形为奇异三角形，∴等边三角形一定是奇异三角形是真命题．故答案为：真；（2）∵∠C=90°，∴a2+b2=c2①．∵Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a，∴a2+c2=2b2②．由①②得：b=a，c=a．∴a：b：c=1：：．（3）连接BD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°．在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2，在Rt△ADB中，AD2+BD2=AB2，∵点D是半圆的中点，∴=．∴AD=BD．∴AB2=AD2+BD2=2AD2．∴AC2+CB2=2AD2．又∵CB=CE，AE=AD，∴AC2+CE2=2AE2．∴△ACE是奇异三角形．27．（12分）如图，A、B是⊙O上的两个点，已知P为平面内一点，（P、A、B 三点不在同一条直线上）．（1）若点P在⊙O上，⊙O的半径为1．①当∠APB=45°时，AB的长度为，②当AB=1时，∠APB=30°或150°°；（2）若点P不在⊙O上，直线PA、PB交⊙O于点C、D（点C与点A、点D与点B均不重合），连接AD，设∠CAD=α，∠ADB=β，试用α、β表示∠APB（请直接写出答案，并画出示意图）．【解答】解：（1）①∵点P在⊙O上，∠APB=45°，∴∠AOB=90°，∵OA=OB=1，∴AB=；②∵AB=1，OA=OB=1，∴△OAB是等边三角新，∴∠AOB=90°，若点P在优弧上，则∠APB=30°，若点P在劣弧上，则∠APB=180°﹣30°=150°；综上可得：∠APB=30°或150°；故答案为：①；②30°或150°；（2）①P在圆外时，如图①，若点C、D分别在线段PA、PB上，则∠APB=β﹣α；如图②，若点C在线段PA的延长线上，点D在线段PB上，则∠APB=α+β﹣180°；如图③，若点C在线段PA上，点D在线段PB的延长线上，则∠APB=180°﹣α﹣β；如图④，若点C、D分别在线段PA、PB的延长线上，则∠APB=α﹣β；②P在圆内时，如图⑤，∠APB=α+β．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。