一、选择题1．已知关于x 的一元二次方程()()250x m n x mn m n -++-=<有两个不相等的实数根(),,a b a b <则实数,,,m n a b 的大小关系可能是（ ）A ．m a b n <<<B ．m a n b <<<C ．a m n b <<<D ．a m b n <<<2．在同一坐标系中，函数y ax b =+与2(0)y ax bx a =+≠的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．一次函数y ＝ax +b 与二次函数y ＝ax 2+bx +c 在同一坐标系中的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．4．如图，一边靠墙（墙有足够长），其它三边用12m 长的篱笆围成一个矩形（ABCD ）花园，这个花园的最大面积是（ ）A ．18m 2B ．12 m 2C ．16 m 2D ．22 m 2 5．如图在平面直角坐标系中，点A 在抛物线245y x x =-+上运动.过点A 作AC x ⊥轴于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，则对角线BD 的最小值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．16．下列函数中，当0x >时，y 随x 增大而增大的是（ ）A ．2y x =B ．22y x =+C ． 1y x =-+D ．22 y x =-- 7．如图，已知ABC 中，,120,3AC BC ACB AB =∠=︒=，点D 为边AB 上一点，过点D 作//DE AC ，交BC 于点E ，过点E 作EF DE ⊥，交AB 于点F ．设,AD x DEF =的面积为y ，则能大致反映y 与x 函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．8．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，且a ≠0）中的x 与y 的部分对应值如表： x﹣1 0 1 3 y﹣1 3 5 3 则代数式﹣2a （4a +2b +c ）的值为（ ） A ．92 B ．152 C ．9 D ．159．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数和二次函数的图象大致如图所示，它们的表达式可能分别为（ ）A ．2,k y y kx x x =-=-+ B ．2,k y y kx x x =-=-- C ．2,k y y kx x x ==-- D ．2,k y y kx x x==-+ 10．如图，二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，且0a ≠）的图象与x 轴的一个交点为()3,0A ，对称轴为直线1x =，下列结论：①0abc <；②0a b c -+<；③2b a =-；④80ac +>．其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 11．在平面直角坐标系中，下列二次函数的图象开口向上的是（ ） A ．22y x = B ．221y x x =-++ C ．22y x x =-+D ．20.5y x x =-+ 12．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于,A B 两点，与y 轴负半轴交于点C ，它的对称轴为直线12x =，则下列选项中正确的是（ ）A ．0abc <B ．0a b -=C ．40a c ->D ．当2(1x n n =+为实数）时，y c ≤二、填空题13．函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图像如图所示，过点（﹣1，0），对称轴为x ＝2，下列结论正确的是_____．①4a +b ＝0；②24a +2b +3c <0；③若A （﹣3，y 1），B （﹣0.5，y 2），C （3.5，y 3）三点都在抛物线上，y 1<y 2<y 3； ④当y 1>﹣1时，y 随x 增大而增大．14．如图，在平面直角坐标中，对抛物线222y x x =-+在x 轴上方的部分进行循环反复的轴对称或中心对称变换，若点A 是该抛物线的顶点，则经过第2020次变换后所得的A 点的坐标是_________．15．若点A （﹣12021，y 1）、B （40412021，y 2）都在二次函数y ＝﹣x 2+2x +m 的图像上，则y 1_____y 2．16．将抛物线y ＝3x 2沿y 轴向上平移1个单位，所得的抛物线关系式为_____． 17．将抛物线y ＝2x 2向左平移2个单位，所得抛物线的对称轴是直线_____．18．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，其对称轴为直线1x =-，与x 轴的交点为()()12,0,0x x ，其中201x <<，有下列结论：①240b ac ->；②421a b c -+>-；③132x -<<-；④当m 为任意实数时，2a b am bm -≤+；⑤30a c +<．其中，正确结论的序号是（________）19．抛物线23(2)4=---y x 的顶点坐标是______．20．有五张正面分别标有数字32112---，，，，的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a ，则使关于以x为自变量的二次函数22(1)2y x a x a =-++-的图象不经过点(1,0)的概率是____．三、解答题21．平安路上，多“盔”有你．在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶．（1）若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？（2）商店降价销售后，决定每销售1顶头盔，就向某慈善机构捐赠m 元（m 为整数，且15m <），帮助做“交通安全”宣传．捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m 的值．22．已知抛物线239y x kx k =-+-．求证：无论k 为何值，该二次函数的图象与x 轴都有交点．23．如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中A （﹣2，0），B （4，0）．（1）求该抛物线的表达式；（2）根据图象，直接写出y ＞0时，x 的取值范围；（3）若要使抛物线与x 轴只有一个交点，则需将抛物线向下平移几个单位？24．平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x bx c =++经过()21,21m m -++､()20,22m m ++两点，其中m 为常数．（1）求b 的值，并用含m 的代数式表示c ；（2）若抛物线2y x bx c =++与x 轴有公共点，求m 的值；（3）设()1,a y ､()22,a y +是抛物线2y x bx c =++上的两点，请比较2y 与1y 的大小，并说明理由．25．天气寒冷，某百货商场准备销售一种围巾，围巾的进货价格为每条50元，并且每条的售价不低于进货价，经过市场调查，每月的销售量y （条）与每条的售价x （元）之间满足人体所示的函数关系．（1）求每月销售y （条）与售价x （元）的函数关系式；（2）物价部门规定，该围巾的每条利润不允许高于进货价的30%，设这种围巾每月的总利润为w （元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？26．如图1是某校园运动场主席台及遮阳棚，其侧面结构示意图如图2所示．主席台（矩形ABCD ）高2AD = 米，直杆5DE =米，斜拉杆EG ，EH 起稳固作用，点H 处装有一射灯．遮阳棚边缘曲线FHG 可近似看成抛物线的一部分，G 为抛物线的最高点且位于主席台边缘BC 的正上方，若点E ，H ，C 在同一直线上，且1DF =米，4EG =米，60AEG ∠=︒，则射灯H 离地面的高度为______米．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除1．C解析：C【分析】设抛物线解析式为y =x 2-(m +n )x +mn -5，根据题意可得当x =a 或x =b 时，y =0，分别求出当x =n ，x =m 时y 的符号，根据二次函数的性质即可得答案．【详解】设抛物线解析式为y=x 2-(m+n)x+mn-5，∵一元二次方程()()250x m n x mn m n -++-=<有两个不相等的实数根(),a b a b <， ∴当x =a 或x =b 时，y =0，∵1＞0，∴抛物线y =x 2-(m +n )x +mn -5图象的开口向上，与x 的交点坐标为（a ，0），（b ，0）， ∵a ＜b ，∴当a ＜x ＜b 时，y ＜0，当x =m 时，y =m 2-(m +n )m +mn -5=-5＜0，当x =n 时，y=n 2-(m +n )n +mn -5=-5＜0，∵m ＜n ，∴a ＜m ＜n ＜b ，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与一元二次方程之间的关系是解题关键．2．A解析：A【分析】根据二次函数的c 值为0，确定二次函数图象经过坐标原点，再根据a 值确定出二次函数的开口方向与一次函数所经过的象限即可得解．【详解】解：2(0)y ax bx a =+≠，0c ，∴二次函数经过坐标原点，故B 、C 选项错误； A 、根据二次函数开口向上0a >，对称轴b x 02a =->， 所以，0b <，一次函数经过第一三象限，0a >，与y 轴负半轴相交，所以，0b <，符合，故本选项正确；D 、二次函数图象开口向下，0a <，一次函数经过第一三象限，0a >，矛盾，故本选项错误．【点睛】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，熟练掌握函数解析式的系数与图象的关系是解题的关键．3．B解析：B【分析】先由一次函数y ax b =+的图象得到a 、b 的正负，再与二次函数2y ax bx c =++的图象的开口方向、对称轴位置相比较即可做出判断．【详解】解：A 、由抛物线可知，a ＜0，x ＝﹣2b a ＜0，得b ＜0，由直线可知，a ＞0，b ＞0，故本选项错误；B 、由抛物线可知，a ＜0，x ＝﹣2b a ＜0，得b ＜0，由直线可知，a ＜0，b ＜0，故本选项正确；C 、由抛物线可知，a ＞0，x ＝﹣2b a ＞0，得b ＜0，由直线可知，a ＞0，b ＞0，故本选项错误；D 、由抛物线可知，a ＜0，x ＝﹣2b a＜0，得b ＜0，由直线可知，a ＜0，b ＞0，故本选项错误．故选：B ．【点睛】本题主要考查一次函数的图象、二次函数2y ax bx c =++的图象与性质，熟练掌握两函数图象与解析式的系数的关系是解答的关键． 4．A解析：A【分析】根据题意可以列出相应的函数关系式，然后化为顶点式即可解答本题．【详解】解：设与墙垂直的矩形的边长为xm ，则这个花园的面积是：S=x （12-2x ）=()222122318x x x -+=--+，∴当x=3时，S 取得最大值，此时S=18，故选：A ．【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．5．D解析：D【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（2，1），再根据矩形的性质得BD ＝AC ，由于AC 的长等于点A 的纵坐标，所以当点A 在抛物线的顶点时，点A 到x 轴的距离最小，最小值为2，从而得到BD 的最小值．【详解】解：∵y ＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（2，1），∵四边形ABCD 为矩形，∴BD ＝AC ，而AC ⊥x 轴，∴AC 的长等于点A 的纵坐标，当点A 在抛物线的顶点时，点A 到x 轴的距离最小，最小值为1，∴对角线BD 的最小值为1．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了矩形的性质．6．B解析：B【分析】根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断．【详解】解：A 、2y x=，反比例函数，k=2＞0，分别在一、三象限，在每一象限内，y 随x 的增大而减小，不符合题意； B 、22y x =+，a=1＞0，开口向上，对称轴为y 轴，故当图象在对称轴右侧，y 随着x 的增大而增大，符合题意；C 、1y x =-+，一次函数，k=-1＜0，故y 随着x 增大而减小，不符合题意；D 、22y x =--，a=-1＜0，开口向下，对称轴为y 轴，故当图象在对称轴右侧，y 随着x 的增大而减小，不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查一次函数，二次函数及反比例函数的增减性，掌握函数图像性质利用数形结合思想解题是本题的解题关键．7．B解析：B【分析】过点C 作CG ⊥AB ，求出CG 、AC ，证明△ACB ∽△DEB ，求出DE ，再根据直角三角形的性质求出EF ，根据三角形面积公式得到y 关于x 的函数表达式，从而判断图像．【详解】解：∵AC=BC ，∠ACB=120°，∴∠A=∠B=30°，过点C 作CG ⊥AB ，则AG=BG=12AB=32，AC=2CG ， 则CG=3=32，AC=3， ∵DE ∥AC ，∴△ACB ∽△DEB ，∴AC AB DE BD =，即333x=-， 解得：DE=()333x -， ∵∠DEF=90°，∠EDF=∠A=30°，∴EF=3=33x -， ∴y=S △DEF =12DE EF ⨯⨯=()3313233x x --⨯⨯=()23318x -， 可得：当0＜x ＜3时，图像为抛物线，y 随x 的增大而减小，选项B 中的图像最合适，故选B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，以及直角三角形的性质，二次函数，解题的关键是通过相似三角形的性质得到线段的长，从而得到二次函数表达式．8．B解析：B【分析】由当x=0和x=3时y 值相等，可得出二次函数图象的对称轴为直线x=32，进而可得出2b a -的值，由x=1时y=5，可得出当x=2时y=5，即4a+2b+c=5，再将2b a -=32及4a+2b+c=5代入2b a -（4a+2b+c ）中即可求出结论． 【详解】解：∵当x ＝0和x ＝3时，y 值相等，∴二次函数图象的对称轴为直线x ＝32， ∴3=22b a -． ∵当x ＝1时，y ＝5，∴当x ＝2×32﹣1＝2时，y ＝5， ∴4a +2b +c ＝5． ∴2b a -（4a +2b +c ）＝32×5＝152． 故选：B ．【点睛】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出2b a-和（4a+2b+c ）的值是解题的关键． 9．D解析：D【分析】根据反比例函数图像的位置判断k 的符号，再结合二次函数的图像和性质，逐项判断即可【详解】A 、由反比例函数k y x=-的图像可知，0k >，则二次函数2y kx x =-+的图像开口应向下，与图像不符，故选项错误； B 、由反比例函数k y x=-的图像可知，0k >，则二次函数2y kx x =--的图像开口应向下，与图像不符，故选项错误； C 、由反比例函数k y x=的图像可知，0k <，则二次函数2y kx x =--的图像开口向上，对称轴110222b x a k k-=-=-=->-应位于y 轴的右侧，与图像不符，故选项错误； D 、由反比例函数k y x =的图像可知，0k <，则二次函数2y kx x =-+的图像开口向上，对称轴110222b x a k k=-=-=<-应位于y 轴的左侧，与图像相符，故选项正确； 故选：D ．【点睛】 本题考查了反比例函数，二次函数图像的性质，解题关键是熟练掌握反比例函数和二次函数的图像和性质．10．B解析：B【分析】利用数形结合思想，从抛物线的开口，与坐标轴的交点，对称轴等方面着手分析判断即可．【详解】∵抛物线的开口向上，对称轴在原点的右边，与y 轴交于负半轴，∴a ＞0， b ＜0，c ＜0，∴abc ＞0，∴结论①错误；∵抛物线的对称轴为x=1， ∴12b a-=， ∴2b a =-； ∴结论③正确；∵二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，且0a ≠）的图象与x 轴的一个交点为()3,0A ，对称轴为直线1x =， ∴1312x +=， ∴11x =-，∴二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，且0a ≠）的图象与x 轴的另一个交点为（-1,0），∴0a b c -+=；∴结论②错误；∵当x=-2时，y=4a-2b+c ＞0， ∵12b a-=，则b=-2a ∴80a c +>，∴结论④正确；故选B ．【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数之间的关系，对称轴的使用，代数式符号的判定，熟练运用数形结合的思想，二次函数的性质是解题的关键．11．A解析：A【分析】二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），①当a ＞0时，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的开口向上；②当a ＜0时，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的开口向下，据此判断即可．【详解】解：A 、∵a ＞0， ∴2y =的图象开口向上，故本选项符合题意；B 、∵a ＝﹣1＜0，∴y ＝﹣x 2+2x +1的图象开口向下，故本选项不符合题意；C 、∵a ＝﹣2＜0，∴y ＝﹣2x 2+x 的图象开口向下，故本选项不符合题意；D 、∵a ＝﹣0.5＜0，∴y ＝﹣0.5x 2+x 的图象开口向下，故本选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．12．D解析：D【分析】根据二次函数的图像和性质，分别对每个选项进行判断，即可得到答案．【详解】解：由图象开口向上，可知a<0，与y 轴的交点在x 轴的下方，可知c<0， 又对称轴方程为12x =，所以122b a -=>0，所以b ＞0， ∴abc ＞0，故A 错误； ∵122b a -= ∴=-a b ， ∴0a b +=，故B 错误； 当12x =时，则11042y a b c =++>， ∵=-a b ，∴11042a a c -+>， ∴104a c -+>， ∴40a c -<，故C 错误；当21x n =+时，222(1)(1)y a n b n c =++++4222an an a an a c =++--+42an an c =++22(1)an n c =++；∵n 为实数，∴20an ≤，211n +≥，∴22(1)an n c c ++≤，即y c ≤，故D 正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．①②③【分析】由抛物线的对称轴可判断①；由①可得出过点（﹣10）代入可得出c ＝﹣5a 代入化简即可判断②；根据二次函数的增减性知抛物线上点离对称轴水平距离越小函数值越大据此可判断③；由抛物线的图像的增 解析：①②③【分析】由抛物线的对称轴可判断①；由①可得出=4b a -，过点（﹣1，0），代入可得出c ＝﹣5a ，代入化简即可判断②；根据二次函数的增减性知抛物线上点离对称轴水平距离越小，函数值越大，据此可判断③；由抛物线的图像的增减性直接判断④．【详解】函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴2b x a =-， ∵ 对称轴2x =， ∴=22b a-， ∴=4b a -，∴ 4+=0a b ，故①正确；有图可知，a ＜0，∴=4b a -，∴ 2=8b a -，过点（﹣1，0），∴ a-b+c ＝0，∴ b=a+c ，即a+c=﹣4a ，∴ c ＝﹣5a ，∴24a +2b +3c ＝24a －8a －15a ＝a ＜0，故②正确；当x ＝0时，y ＝c ，∵A （﹣3，y 1），B （﹣0.5，y 2），C （3.5，y 3）三点都在抛物线上，点A 与2x =的水平距离为5，点B 与2x =的水平距离为2.5，点C 与2x =的水平距离为1.5，∵5＞2.5＞1.5，∴ 123y y y <<，故③正确；有图可知，当11y >-，y 随x 增大先增大后减小，故④不正确；综上，正确的有：①②③．故答案为：①②③．【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点及顶点的坐标等．14．【分析】观察图形可知每三次对称为一个循环组依次循环用2020除以3然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A 所在的象限然后解答即可【详解】解：∵∴抛物线的顶点坐标为点A 第一次关于x 轴对称后在第四象限第 解析：11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】观察图形可知每三次对称为一个循环组依次循环，用2020除以3，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A 所在的象限，然后解答即可．【详解】解：∵2221122=2()2()22y x x x x x =-+--=--+∴抛物线222y x x =-+的顶点坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭点A 第一次关于x 轴对称后在第四象限，第二次关于原点对称后在第二象限，第三次关于y 轴对称后在第一象限，回到原始位置，所以每3次对称为一个循环组，∵20203=6731÷∴经过第2020次变换后所得的A 点位置第一次变换后的位置相同，在第四象限，坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭故答案为：11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每三次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．15．＜【分析】把AB 两点坐标代入函数关系式再根据已知条件求出的值最后求出答案即可【详解】解：∵点A （﹣y1）B （y2）都在二次函数y ＝﹣x2+2x+m 的图像上∴====∴故答案为：＜【点睛】本题考查了二解析：＜【分析】把A ，B 两点坐标代入函数关系式，再根据已知条件求出21y y -的值，最后求出答案即可．【详解】解：∵点A （﹣12021，y 1）、B （40412021，y 2）都在二次函数y ＝﹣x 2+2x +m 的图像上， ∴21y y -=224041404111()2[()2()]2021202120212021m m -+⨯+---+⨯-+ =2111(2)2(2)()202120212021--+⨯-+-222021+ =22412124()4()20212021202120212021-+-+-++ =402021> ∴12y y <故答案为：＜．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能选择适当的方法求解是解答此题的关键． 16．y ＝3x2+1【分析】根据抛物线平移规律常数项加1即可【详解】解：抛物线y ＝3x2沿y 轴向上平移1个单位所得的抛物线关系式为y ＝3x2+1故答案为：y ＝3x2+1【点睛】本题考查了抛物线平移的变化规解析：y ＝3x 2+1．【分析】根据抛物线平移规律，常数项加1即可．【详解】解：抛物线y ＝3x 2沿y 轴向上平移1个单位，所得的抛物线关系式为y ＝3x 2+1， 故答案为：y ＝3x 2+1．【点睛】本题考查了抛物线平移的变化规律，解题关键是准确掌握函数平移的规律，左加右减自变量，上加下减常数项．17．x ＝-2【分析】利用平移可求得平移后的抛物线的解析式可求得其对称轴【详解】解：∵将抛物线y ＝2x2向左平移2个单位长度后抛物线解析式为y ＝2(x+2)2∴所得抛物线的对称轴为直线x ＝-2故答案是：x解析：x ＝-2【分析】利用平移可求得平移后的抛物线的解析式，可求得其对称轴．【详解】解：∵将抛物线y ＝2x 2向左平移2个单位长度后抛物线解析式为y ＝2(x +2)2，∴所得抛物线的对称轴为直线 x ＝-2．故答案是：x ＝-2．【点睛】主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握函数图象平移的规律并准确运用平移规律求函数解析式是解题的关键．18．①③④【分析】根据函数图象与x 轴有两个交点即可判断①正确；根据对称性可得：故③正确；x=0与x=-2时的函数值相等即可判断②错误；根据对称轴为直线得到当x=-1时函数值最小故当x=m 时函数值大于等于解析：①③④【分析】根据函数图象与x 轴有两个交点即可判断①正确；根据对称性可得：132x -<<-，故③正确；x=0与x=-2时的函数值相等，即可判断②错误；根据对称轴为直线1x =-，得到当x=-1时，函数值最小，故当x=m 时，函数值大于等于x=-1时的函数值，即2a b c am bm c -+≤++，即可判断④正确；由对称轴为直线1x =-，得到b=2a ，由图象可得：当x=1时，y>0，故a+b+c>0，代入得到3a+c>0，由此判断⑤错误．【详解】∵函数图象与x 轴的交点为()()12,0,0x x ，∴240b ac ->，故①正确；∵对称轴为直线1x =-，与x 轴的交点为()()12,0,0x x ，其中201x <<，∴132x -<<-，故③正确；根据抛物线的对称性得到：x=0与x=-2时的函数值相等，∵图象与y 轴的交点纵坐标小于-1，∴421a b c -+<-，故②错误；∵对称轴为直线1x =-，∴当x=-1时，函数值最小，故当x=m 时，函数值大于等于x=-1时的函数值，即2a b c am bm c -+≤++， ∴2a b am bm -≤+，故④正确；∵对称轴为直线1x =-， ∴12b a-=-，得b=2a ， 由图象可得：当x=1时，y>0，∴a+b+c>0，∴3a+c>0，故⑤错误，故答案为：①③④．【点睛】此题考查二次函数的图象，函数图象与x 轴交点问题，利用图象判断式子的正负，函数最值，根据图象得到相关的信息是解题的关键．19．【分析】根据题目中的抛物线可以写出该抛物线的顶点坐标本题得以解决【详解】解：∵物线∴该抛物线的顶点坐标为（2-4）故答案为：（2-4）【点睛】本题考查了二次函数的性质解题的关键是明确题意利用二次函数 解析：(2,4)-【分析】根据题目中的抛物线，可以写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．【详解】解：∵物线23(2)4=---y x ，∴该抛物线的顶点坐标为（2，-4），故答案为：（2，-4）．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 20．【分析】把点的坐标代入解析式转化为a 的一元二次方程确定方程的根从给出的数字中扣除方程的根就是符合题意的a 值计算概率即可【详解】当二次函数的图象经过点时得解得所以符合题意的a 值有-3-12共三个所以二 解析：35【分析】把点的坐标代入解析式，转化为a 的一元二次方程，确定方程的根，从给出的数字中扣除方程的根就是符合题意的a 值，计算概率即可.【详解】当二次函数22(1)2y x a x a =-++-的图象经过点(1,0)时，得 220a a +-=，解得 122,1a a =-=，所以符合题意的a 值有-3，-1,2，共三个，所以二次函数22(1)2y x a x a =-++-的图象不经过点(1,0)的概率是35， 故答案为：35. 【点睛】 本题考查了简单事件的概率计算、二次函数，利用二次函数的图象过点的意义，判定符合题意的a 值是解题的关键．三、解答题21．（1）20元；（2）3或4【分析】（1）设每顶头盔应降价x 元，根据题意列出方程求解即可；（2）设每周扣除捐赠后可获得利润为w 元，每顶头盔售价a 元，根据题意列出函数求解即可；【详解】解：（1）设每顶头盔应降价x 元．根据题意，得(10020)(6840)4000x x +--=．解得123,20x x ==．当3x =时，68365-=；当20x 时，682048-=；每顶售价不高于58元，∴每顶头盔应降价20元．（2）设每周扣除捐赠后可获得利润为w 元，每顶头盔售价a 元，根据题意，得[10020(68)](40)w a a m =+---220(202260)1460(40)a m a m =-++-+ 抛物线对称轴为直线1132m a +=，开口向下， 当58a 时，利润仍随售价的增大而增大，113582m +∴，解得3m ． 15,35m m <∴<． m 为整数，3m ∴=或4． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，结合一元二次方程的求解是解题的关键．22．证明见详解．【分析】令y=0，构造一元二次方程239=0x kx k -+-，由1,,39a b k c k ==-=-，判别式()22123660k k k ∆=-+=-≥即可．【详解】解：令y=0，239=0x kx k -+-，∵1,,39a b k c k ==-=-， ()()()222=4139123660k k k k k ∴∆--⨯⨯-=-+=-≥，∴二次函数的图象与x 轴都有交点．【点睛】本题考查二次函数与x 轴的交点问题，掌握二次函数与x 轴交点问题转化为y=0时，一元二次方程有实根问题，理解二次函数和一元二次方程之间的关系式解此题的关键，此题是一个比较典型的题目．23．（1）y ＝﹣x 2+2x +8；（2）当﹣2＜x ＜4时，y ＞0；（3）把抛物线y ＝﹣x 2+2x +8向下平移9个单位，抛物线与x 轴只有一个交点．【分析】（1）把A 点和B 点坐标分别代入y=-x 2+bx+c 得到关于b 、c 的方程组，然后解方程组即可；（2）根据函数图象直接得到答案；（3）先利用配方法得到抛物线的顶点坐标，然后把抛物线的平移问题转化为点的平移问题；【详解】解：（1）把A(﹣2，0)，B(4，0)代入y ＝﹣x 2+bx+c ，得 4201640b c b c --+=⎧⎨-++=⎩， 解得28b c =⎧⎨=⎩， 抛物线解析式为y ＝﹣x 2+2x+8；（2）∵A(﹣2，0)，B(4，0)∴由图象知，当﹣2＜x ＜4时，y ＞0；（3）∵y ＝﹣x 2+2x+8＝﹣（x ﹣1）2+9，∴抛物线的顶点坐标为(1，9)，∴把抛物线y ＝﹣x 2+2x+8向下平移9个单位，抛物线与x 轴只有一个交点．【点睛】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数图象与几何变换，待定系数法确定函数关系式等知识点，注意“数形结合”数学思想的应用；24．（1）b =2，c =m 2+2m +2；（2）m =-1；（3）见解析【分析】（1）由抛物线上两点代入抛物线解析式中即可求出b 和c ；（2）令y =0，抛物线和x 轴有公共点，即△≥0，再结合非负数的性质确定出m 的值， （3）将两点代入抛物线解析式中，表示出y 1，y 2，求出y 2-y 1分情况讨论即可【详解】解：（1）∵抛物线y =x 2+bx +c 经过（-1，m 2+2m +1）、（0，m 2+2m +2）两点， ∴2212122b c m m c m m ⎧-+=++⎨=++⎩， ∴2222b c m m =⎧⎨=++⎩， 即：b =2，c =m 2+2m +2；（2）由（1）得y =x 2+2x +m 2+2m +2，令y =0，得x 2+2x +m 2+2m +2=0，∵抛物线与x 轴有公共点，∴△=4-4（m 2+2m +2）≥0，∴（m +1）2≤0，∵（m +1）2≥0，∴m +1=0，∴m =-1；（3）由（1）得，y =x 2+2x +m 2+2m +2，∵（a ，y 1）、（a +2，y 2）是抛物线的图象上的两点，∴y 1=a 2+2a +m 2+2m +2，y 2=（a +2）2+2（a +2）+m 2+2m +2，∴y 2-y 1=[（a +2）2+2（a +2）+m 2+2m +2]-[a 2+2a +m 2+2m +2]=4（a +2）当a +2≥0，即a ≥-2时，y 2-y 1≥0，即y 2≥y 1，当a +2＜0，即a ＜-2时，y 2-y 1＜0，即y 2<y 1．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线与x 轴的交点，比较代数式的大小，解本题的关键是求出b ，用m 表示出抛物线解析式，难点是分类讨论．25．（1）y 101200x =-+（x≥50）；（2）售价定为65元可获得最大利润，最大利润8250元．【分析】（1）设一次函数解析式y kx b =+ （x≥50），利用待定系数法将（60,600），（80,400）代入即得解得解析式；（2）根据题意列出函数关系式，再利用二次函数的性质求最大利润即可，注意考虑自变量的范围，围巾的每条利润不允许高于进货价的30%．【详解】解：（1）设一次函数解析式y kx b =+ （x≥50）．由函数图像可知（60,600），（80,400）在函数图像上，代入即得：6006040080k b k b =+⎧⎨=+⎩解得：101200k b =-⎧⎨=⎩． 所以，每月销售y （条）与售价x （元）的函数关系式：y 101200x =-+（x≥50）． （2）由题意得：()()=10120050w x x -+-化简得：2=10170060000w x x -+-由函数解析式可知对称轴是x=85时，x≤85时，w 随x 的增加而增大．因为，围巾的每条利润不允许高于进货价的30%，那么 x ≤50×（1+30%），即x≤65. 所以，当x=65时，w 取到最大值：2=106517006560000=8250w -⨯+⨯-． 所以，售价定为65元可获得最大利润，最大利润8250元．【点睛】本题考查了一次函数与二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．26．5【分析】首先建立以AB 为x 轴，以AD 为y 轴的直角坐标系，过点G 作GQ ⊥AD 交AE 于Q ，再得出抛物线的解析式为y= -16+5及直线EC 解析式为y= -56x+7，最后求出H 的纵坐标即可得解．【详解】解：如图所示，建立以AB 为x 轴，以AD 为y 轴的直角坐标系，过点G 作GQ ⊥AD 交AE于Q，∵AD=2，DE=5，DF=1，∴D(0，2)，E(0,7)，F(0,3)，∵GQ⊥AD,EG=4，∠AEG=60°，∴GQ=sin60°×EG=34232=∴2216122EG GQ-=-=，∴AQ=AE-EQ=7-2=5,∴35)，3，0)，32)，∵35)为抛物线顶点，∴设抛物线的解析式为：3，将点F(0,3)代入解析式得3)²+5，即12a+5=3，解得a= -16，故抛物线解析式为：y= -163+5，设直线EC解析式为：y=kx+b(k≠0)，将E(0，7)，32)代入解析式联立，得：7223bk b=⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得：7536bk=⎧⎪⎨=⎪⎩直线解析式为：y= -563，∴H同时在抛物线与直线EC上联立得(21567y x y ⎧=--+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 解得：(舍去）即Hy=7+， 得H的纵坐标为：7=4.5， 故射灯离地面高度4.5米．故答案为：4.5．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形．。
