第四节重积分应用举例

2
2
F F F x
y
r2a2 2 F y1ADydxdy
z
z
zh(t)2(xh2(t)y2)
Dz[x y (za) ]2 a
0(y2z2) IOD (x,y)dxdy D0 9h(t)0,
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例3. 计算双曲抛物面
被柱面 AD 1zx2zy2dxdy所截
出的面积 A .
dxdy 解: 曲面在 xOy 面上投影为V dxdydz则
x2y2z2R2 — 对 x 轴的 静矩
π
r2sin Fz
—对y 静矩
轴的
3 2
得D 的形心坐标: AD 1( xz)2( yz)2dxdy
Dz[xF2y2(za)2] 2 z
xDxdxdy , ( A 为D 的面积) A
a
0(y2z2) IOD (x,y)dxdy D0 15h(t)0,
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转动惯量.
dxdy 解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴, 设球所占
x Fz
域为 ( x2y2)dxdydz则
Fz
Fz 2 π a5
5
(用球坐标)
y
r(xx0)2(yy0)2(zz0)2
:x 2 y 2 z 2 a 2 ,
3 M4πa3 2 l 2 2 3
Fz 0,
F z
球体的质量
k 1
n
(k ,k , k )vk
k 1
将第
k
块看作质量集中于点
的质点, hz(3z)2dz 09
此质点
dxdy 系的质心坐标就近似该物体的质心坐标. 例如,
ydxdydz
y

第九章 重积分
第四节 利用柱面坐标及球面 坐标计算三重积分
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第九章 重积分
第四节 利用柱面坐标及球面 坐标计算三重积分
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O
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O
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z

=1Байду номын сангаас

0
y
x
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z

x
=2cos
y
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人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
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π
z
∫∫∫ zdxdydz
o
3 1 2 = h (3 h + h ) 9 2 5 60 30h + 4h2 ∴ z =h 2 90 40h + 5h
3
x
π
21
四,物体的转动惯量
因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故 连续体的转动惯量可用积分计算. 设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数
z 2 z 2 1+ ( ) + ( ) d x d y x y
A= ∫∫
D
若光滑曲面方程为 x = g( y, z) , ( y, z) ∈Dy z ,则有
Dy z
9
若光滑曲面方程为 y = h(z, x) , (z, x) ∈Dz x ,则有
A= ∫∫ Dz x
y 2 y 2 1+ ( ) + ( ) d zd x z x
A
(A 为 D 的面积)
18
例1. 求位于两圆 的质心.
和
之间均匀薄片
y
解: 利用对称性可知 x = 0 1 y = ∫∫ ydxdy 而 A D 1 = ∫∫ r 2 sinθ drdθ 3π D
4
C2 D
o
x
4sinθ 2 1 π 56 π 4 r d r = ∫ sin θ dθ = ∫ sinθ dθ ∫ 2sinθ 3π 0 9π 0
12
例6. 计算半径为 a 的球的表面积. 方法2 解: 方法 利用球坐标方程. 设球面方程为 r = a 球面面积元素为
z
asin
asindθ dθ
d A= a2 sin d dθ
∴
π 2 2π A= a dθ sin d 0 0 2

元素பைடு நூலகம் 首页 上页 返回 下页 结束 铃
一、曲面的面积
曲面的面积元素 设曲面S的方程为zf(x y) f(x y)在 区域D上具有连续偏导数 设dA为曲面上点M处的面积元素 dA在xOy平面上的投影为小闭区域d 点 M 在 xOy 平面上的投影为点 P ( x y ) 因为点M处的法向量为n(fx fy 1) 所以
d
D
y
yd
D
d
D

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二、质心
设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 其面密度(x y) 是闭区域D上的连续函数 则该平面薄片的质心坐标为
My x M
x(x, y)d
D D
Mx y M ( x , y ) d
显然 质心在 z 轴上 故x y 0
因为
zdv zdv 3 a z dv dv 8
所以质心坐标为(0, 0, 3a ) 8
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三、转动惯量
设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 其面密度(x y) 是D上的连续函数 则该平面薄片对x、y轴的转动惯量为
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P(x,y)
d
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三、转动惯量
设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 其面密度(x y) 是D上的连续函数 则该平面薄片对x、y轴的转动惯量为
I x y 2 (x, y)d I y x2 (x, y)d
D D
类似地 设一物体占有空间闭区域 其密度(x y z)是 上的连续函数 则该物体对于x、y、z轴的转动惯量为