微积分期末试卷
选择题（6×２）
cos sin 1.()2,()()22
()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π==1设在区间（0，）内（ ）。Ａ是增函数，是减函数
是减函数，是增函数
二者都是增函数
二者都是减函数
2x 1n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 2
1C X (1) x n e x x n a D a π→-=--==>、x 时，与相比是（ ）
Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ）
Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点
４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）
n 1 X cos n = 200000001()5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()0
6x f x X X o B X o
C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）
Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ）
Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线
Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线
1~6 DDBDBD
一、填空题
1d 12lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２２１１、（ ）＝ｘ+1
、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为：ｘ
２３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１
ｘ５、若则的值分别为：ｘ＋2x-3
1 In 1x + ;
2 322y x x =-;
3 2log ,(0,1),1x y R x
=-; 4(0,0) 5解：原式=11(1)()1m lim
lim 2(1)(3)3477,6x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-=
二、判断题
1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ）
2、 0sin lim x x x
→-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（）
4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ）
5、 设函数ｆ(x)在[]0,1上二阶可导且
'()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有
1~5 FFFFT
三、计算题
1用洛必达法则求极限21
20
lim x x x e → 解：原式=2221
11
330002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x
x
--→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求
解： 332233
33232233432'()4(10)312(10)''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0
f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+⋅=+=⋅++⋅⋅+⋅=⋅+++∴= 3 24
0lim(cos )x
x x →求极限
4
I cos 2204
I cos lim 022000002
lim 1(sin )4
cos tan cos lim cos lim lim lim lim 22224
n x x x n x x x x x x x x e e x In x x x x In x x x x x
x e →→→→→→→-=---=====-∴=解：原式=原式
4 (3y x =-求 511I 3112322
1531111'3312122511'(3312(1)2(2)n y In x In x In x y y x x x y x x x x =-+---=⋅+⋅-⋅---⎤=-+-⎥---⎦
解：
5 3tan xdx ⎰ 2222tan tan sec 1)tan sec tan tan sin tan tan cos 1tan tan cos cos 1tan cos 2x xdx x xdx
x xdx xdx
x xd x dx x
xd x d x x
x In x c =----++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：原式=（ = = = =
6arctan x xdx ⎰求
22222222211arctan ()(arctan arctan )22
111(arctan )2111arctan (1)211arctan 22
xd x x x x d x x x x dx x
x x dx x x x x c =-+--+⎡⎤--⎢⎥+⎣⎦
+-+⎰⎰⎰⎰解：原式= = = =
四、证明题。
1、 证明方程3
10x x +-=有且仅有一正实根。
证明：设3()1f x x x =+- [][]1221
222212222(0)10,(1)10,()0,10,1),'(0
()01)()00()00,,(),,()()0
,()0
'()31f f f x f f x f x f x x x x f x x x x x f x f x x x f f ξξξξξξ=-<=>∴∈==+∞=+∞>==∴∃∈⋅==+且在上连续
至少存在（使得）即在（，内至少有一根，即在（，）内至少有一实根假设在（，）有两不同实根x 在上连续，在（）内可导
且至少（），s t 而3110x x ≥∴+-=与假设相矛盾
方程有且只有一个正实根
2、arcsin arccos 1x 12
x x π
+=-≤≤证明（）
[][]
()arcsin arccos '()0,1,1()(0)arcsin 0arccos 02(1)arcsin1arccos12
(1)arcsin(1)arccos(1)2
()arcsin arccos 1,12f x x x
f x x f x c f f f f x x x x ππ
π
π
=+=-=∈-∴===+=
=+=-=-+-=∴=+=∈-证明：设综上所述，，
