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第十章-梁的应力-习题集规范标准答案

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习题

10−1 一工字型钢梁，在跨中作用集中力F，已知l=6m，F=20kN，工字钢的型号为20a，求梁中的最大正应力。

解：梁内的最大弯矩发生在跨中 kN.m30maxM

查表知20a工字钢 3cm237zW

则 MPa6.126Pa106.126102371030663maxmaxzWM

10−2 一矩形截面简支梁，受均布荷载作用，梁的长度为l，截面高度为h，宽度为b，材料的弹性模量为E，试求梁下边缘的总伸长。

解：梁的弯矩方程为 22121qxqlxxM q

l A B

b h F

l/2 l/2 A B ,.

则曲率方程为 2212111qxqlxEIEIxMxzz

梁下边缘的线应变 2212122qxqlxEIhxhxz

下边缘伸长为 23020221212EbhqldxqxqlxEIhdxxllzl

10−3 已知梁在外力作用下发生平面弯曲，当截面为下列形状时，试分别画出正应力沿横截面高度的分布规律。

解：各种截面梁横截面上的正应力都是沿高度线性分布的。中性轴侧产生拉应力，另一侧产生压应力。

10−4 一对称T形截面的外伸梁，梁上作用均布荷载，梁的尺寸如图所示，已知l=1.5m,q=8KN/m，求梁中横截面上的最大拉应力和最大压应力。

l/3 B C q

A l 10cm

8cm 4cm

4cm ,.

解：

1、设截面的形心到下边缘距离为y1

则有 cm33.741084104104841y

则形心到上边缘距离 cm67.433.7122y

于是截面对中性轴的惯性距为

42323cm0.86467.24101241033.3841284zI

2、作梁的弯矩图

设最大正弯矩所在截面为D，最大负弯矩所在截面为E，则在D截面

MPa08.15Pa1008.15100.8641033.710778.168231maxt,yIMzD

MPa61.9Pa1061.9100.8641067.410778.168232maxc,yIMzD

在E截面上

MPa40.5Pa1040.5100.8641067.4100.168232maxt,yIMzE 1.778kN.m 1.0kN.m 0.667m ,.

MPa48.8Pa1048.8100.8641033.7100.168231maxc,yIMzE

所以梁内MPa08.15maxt,，MPa61.9maxc,

10−5 一矩形截面简支梁，跨中作用集中力F，已知l=4m，b=120mm，h=180mm，弯曲时材料的许用应力[σ]=10Mpa，求梁能承受的最大荷载Fmax。

解：梁内的最大弯矩发生在跨中 4maxFlM

矩形截面梁 62bhWz

则由 zWMmaxmax 得 642bhFl

即 N64804318.012.02101032262lbhF

10−6 由两个28a号槽钢组成的简支梁，如图所示，已知该梁材料为Q235钢，其许用弯曲正应力[σ]=170Mpa，求梁的许可荷载[F]。

F

l/2 l/2 A B

b

h

F

2m B A F F

2m 2m 2m ,.

解：作弯矩图

梁内的最大弯矩发生在跨中 FM4max

矩形截面梁 3'max'maxcm656.6802zzzzWyIyIW

则由 zWMmaxmax 得 zWF4

即 N28927410656.68010170466zWF

10−7 圆形截面木梁，梁上荷载如图所示，已知l=3m，F=3kN，q=3kN/m，弯曲时木材的许用应力[σ]=10MPa，试选择圆木的直径d。

q

d F

l l/3 A B C 3F 3F 4F ,.

解：作弯矩图

则由 zWMmaxmax 得 maxMWz

即 633101010332d，得145mmm145.0d

10−8 起重机连同配重等重P=50kN，行走于两根工字钢所组成的简支梁上，如图所示。起重机的起重量F=10kN，梁材料的许用弯曲应力[σ]=170Mpa，试选择工字钢的型号。设全部荷载平均分配在两根梁上。

A B P F

1m 4m

10m C D

1m 3kN.m 1.167m

2.042kN.m ,.

解：设起重机左轮距A端为x，则有

2650xMC，803862xxMD

从而确定出 kN.m2.104maxCM，kN.m2.140maxDM

即梁内出现的最大弯矩为kN.m2.140

则由 zWMmaxmax 得 3463maxm1025.810170102.140MWz

又对于本题 'max'max2zzzzWyIyIW

所以3344'cm5.412m10125.421025.82zzWW

查表选 25b号工字钢。

10−9 两个矩形截面的简支木梁，其跨度、荷载及截面面积都相同，一个是整体，另一个是由两根方木叠置而成，试分别计算二梁中的最大正应力。

解： q

l B A

a a 2a a

a ,.

1、第一种情况

梁内的最大弯矩发生在跨中 82maxqlM

矩形截面梁 32632abhWz

则 3332maxmax163283aqlaqlWMz

2、第二种情况

梁内的最大弯矩发生在跨中 162maxqlM

矩形截面梁 6632abhWz

则 3332maxmax83166aqlaqlWMz

10−10 直径d=0.6mm的钢丝绕在直径D=600mm的圆筒上，已知钢丝的弹性模量E=2×105MPa，试求钢丝中的最大正应力。

解：

由

zEIM1 得

N.m1024115.4103.03.064106.01023312411zEIM

200MPaPa1020032106.01024115.43269333maxdMWMz

或

200MPaPa10200103.03.0103.010263311maxmaxEy

10−11 一矩形截面简支梁由圆柱形木料锯成。已知F=5kN，a=1.5m，[σ]=10Mpa。试确定弯曲截面系数最大时矩形截面的高宽比h:b，以及梁所需木料的最小,.

直径d。

解：

66222bdbbhWz

由06322bddbdWz 得 db33，又022bdbWdz 所以 db33时

zW取极大值，所以弯曲截面系数最大时，db33，dh36，即 1:2:bh

梁内的最大弯矩 kN.m5.7maxFaM

矩形截面梁 322736dbhWz

则由 zWMmaxmax 得 maxMWz

即 max3273Md

227mmm227.01010105.739393633maxMd

10−12 一铸铁梁如图所示。已知材料的拉伸强度极限σb=150Mpa，压缩强度极限σbc=630Mpa，试求梁的安全因数。 b h d A B

a F F

a

3a C D ,.

解：

1、设截面形心距离下边缘为y1

则有 mm33.532160104016021201601020401601y

则形心到上边缘距离 mm67.14633.532002y

于是截面对中性轴的惯性距为

42323mm4.29013333267.6616010121601033.33401601240160zI2、作梁的弯矩图

C截面 1m 0.5m 1m A B D 16kN

C 32kN

160 200

40 10 10

8kN.m

12kN.m

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材料力学_xt10

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材力 习题训练 第十章 第 1 页

计算题

10-1、图示矩形截面杆h=200mm，b=100mm，P=20KN，试计算最大正应力。（cl-xtzj11）

10-2 人字架及承受的载荷如图所示。试求截面II上的最大正应力和a点的正应力。

10-3 悬臂吊如图所示，起重量（包括电葫芦）G=30kN，横梁BC为工字钢，许用应力[]=140MPa，试选择工字钢的型号（可近似按G行至梁中点位置计算）。

10-4 图示悬臂梁自由端受一与z轴成角的横向力P作用，该力可分解为垂直分力cosPPz和水平分力sinPPy。试据叠加法写出任一截面上任一点K的正应力计算式，并确定该梁危险点的位置及其应力的计算式。

10-5 斜杆AB的横截面为100×100mm2的正方形，若P=3kN，试求其最大拉应力和最大压应力。

10-6 砖砌烟囱高H=30m，底截面II的外径d1=3m，内径d2=2m，自重G1=2000kN，受q=1kN/m的风力作用。试求：

（a）烟囱底截面上的最大压应力。

（b）若烟囱的基础埋深h=4m，基础及填土自重按G2=1000kN计算，土壤的许用压应力MPa3.0][，圆形基础的直径D应为多大？

注：计算风力时，可省去烟囱直径的变化，把它看作是等截面的。

10-7 图示一矩形截面杆，用应变片测得杆件上、下表面的轴向应变分别为a=1×10-3，b=0.4×10-3,材料的弹性模量E=210GPa。试绘制横截面的正应力分布图；并求拉力P及其偏心距e的数值。 材力 习题训练 第十章 第 2 页

10-8 一矩形截面短柱，受图示偏心压力P作用，已知许用拉应力[t]=30MPa，许用压应力[c]=90MPa，求许可压力[P]。

10-9 材料为灰铸铁ＨＴ15-33的压力机框架如图所示。许用拉应力为30tMPa，许用压应力为80cMPa。试校核框架立柱的强度。

第十章应力状态、强度理论与组合变形_工程力学

第十章应力状态、强度理论与组合变形_工程力学

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265 第十章 应力状态、强度理论与组合变形

在前面各章中，已经讨论了杆件的拉伸与压缩、圆轴的扭转和梁的弯曲三类基本变形。研究问题的基本方法都是以力的平衡方程、变形的几何协调方程及力与变形间的物理方程为主线，得到构件的内力，进而讨论截面的应力，并由此写出强度条件来控制设计的。承受拉伸与压缩的杆件，横截面上是由轴力引起的正应力；承受扭转的圆轴，横截面上是由扭矩引起的剪应力（最大值在外圆周处）；承受弯曲的梁，横截面上有由弯矩引起的正应力（最大值在离中性轴最远处）及由剪力引起的剪应力（最大值在中性轴上）。所建立的强度条件，都是由单一的最大应力（最大正应力或最大剪应力）小于等于相应的许用应力描述的。当某危险点处于既有正应力又有剪应力的复杂状态时，如何判断其强度是否足够？这是本章要讨论的问题。

§10.1 应力状态

10.1.1 平面应力状态的一般分析

若构件只在xy平面内承受载荷，在z方向无载荷作用，则构件中沿坐标平面任取的六面体微元在垂直于z轴的前后二个面上无内力、应力作用。其余四个面上作用的应力都在xy平面内，此即平面应力状态。图10.1示出了平面应力状态的最一般情况。

在垂直于x轴的左右二平面上作用有正应力x和剪应力xy，在垂直于y轴的上下二平面上作用有正应力y 和剪应力yx。且由剪应力互等定理可知必有xy=yx=。现在讨论图中虚线所示任一斜截面上的应力，设截面上正法向n与x轴的夹角为。 o x

图10.1 平面应力状态分析 x y

x y

y yx

yx xy xy

x xy

y yx 

   n

x

b a y —————————————————— 工程力学 ————————————————

266 单位厚度的微元oab如图，截面oa上作用的应力为x和xy，沿x、y方向的内力分别为xabcos和xyabcos；截面ob上作用的应力为y 和yx，沿x、y方向的内力分别为yxabsin和yabsin；设斜截面ab上的应力为n 和n，则斜截面上沿法向、切向的内力则为nab和nab。将上述各力投影到x、y轴上，有平衡方程：Fx=nabcosn absinx abcosyx absin

周建方版材料力学习题解答[第十章]

周建方版材料力学习题解答[第十章]

10-1 题10-1图所示木制短柱的四角用四个40mm40mm4mm的等边角钢加固。已知角钢的许用应力GPaEMPa200,160][钢钢；木材的许用应力GPaEMPa10,12][木木。试求许可载荷。解：由静力平衡条件：

FFF钢木 （1）

变形协调条件：钢钢钢木木木lElFlElFl （2）

20625.025.025.0mA木

241016.12036.004.0004.04mA钢

代入（2）式可得

钢钢木FFF57.21016.2102000625.01010499 （3） 题10-1图

由于：kNAF7500625.010126木木木

kNAF4.4911016.121016046钢钢钢

从（3）是可知，当角钢达到一定的许用载荷时（194.4kN），而木材未达到2.57194.4kN=499.6kN的许用载荷

kNFFF6944.19457.24.194木钢

10-2 受予拉力10kN拉紧的缆索如题10-2图所示。若在C点再作用向下的载荷15kN，并设缆索不能承受压力，试求在5lh和54lh两种情况下，AC和BC两段内的内力。

解：已知预拉力kNFy10，图a所示，再在C处加F=15kN载荷，缆索中所产生的轴力如图所示，然后叠加起来。

平衡条件： FFFNBNA （1）

变形协调条件： 0BCACll （2）

即 0EAhFEAhlFNANB （3）

由1)、3)式得 FlhlFFlhFNANB,

于是缆索AC,BC所受轴力分别为 题10-2图 FlhFFFFyNByNBC （4）

材料力学第六版答案第10章

材料力学第六版答案第10章

第十章 组合变形的强度计算

10-1图示为梁的各种截面形状，设横向力P的作用线如图示虚线位置，试问哪些为平面弯曲？哪些为斜弯曲？并指出截面上危险点的位置。

（a） (b) (c) (d)

斜弯曲 平面弯曲 平面弯曲 斜弯曲

弯心（）（）弯心弯心（）（）

斜弯曲 弯扭组合 平面弯曲 斜弯曲

“×”为危险点位置。

10-2矩形截面木制简支梁AB，在跨度中点C承受一与垂直方向成＝15°的集中力P＝10 kN 作用如图示，已知木材的弹性模量MPa100.14E。试确定①截面上中性轴的位置；②危险截面上的最大正应力；③C点的总挠度的大小和方向。

解：66.915cos10cosPPyKN

59.215sin10sinPPzKN

4310122015zJ 4cm

3310cmWz

335625121520cmJy

3750cmWy

25.74366.94maxlPMyz KN-M

94.14359.24maxlPMzy KN-M

MPaWMWMyyzz84.9107501094.110101025.763633maxmaxmax

中性轴：

47.2515tan562510tantantan411yzJJ

2849333105434.0101010104831066.948zyyEJlPf m