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一、第七章 万有引力与宇宙航行易错题培优（难）
1．在太阳系外发现的某恒星a 的质量为太阳系质量的0.3倍，该恒星的一颗行星b 的质量是地球的4倍，直径是地球的1.5倍，公转周期为10天．设该行星与地球均为质量分布均匀的球体，且分别绕其中心天体做匀速圆周运动，则（ ） A ．行星b 的第一宇宙速度与地球相同
B ．行星b 绕恒星a 运行的角速度大于地球绕太阳运行的角速度
C ．如果将物体从地球搬到行星b 上，其重力是在地球上重力的169
D ．行星b 与恒星a 【答案】BC 【解析】 【分析】 【详解】
A ．当卫星绕行星表面附近做匀速圆周运动时的速度即为行星的第一宇宙速度，由
22Mm v G m R R
= 得
v =
M 是行星的质量，R 是行星的半径，则得该行星与地球的第一宇宙速度之比为
v v 行地：=
故A 错误；
B ．行星b 绕恒星a 运行的周期小于地球绕太阳运行的周期；根据2T
π
ω= 可知，行星b 绕恒星a 运行的角速度大于地球绕太阳运行的角速度，选项B 正确； C ．由2
GM
g R =
，则 2
216
9
M R g g M R =⨯=行地行地地行：
则如果将物体从地球搬到行星b 上，其重力是在地球上重力的16
9
，则C 正确； D ．由万有引力提供向心力：
2
224Mm G m R R T
π= 得：
2
3
2
4
GMT
R
π
=
则
22
b3
3
22
0.310
==
360
ab a
R M T
R M T
日
日地地
⨯
则D错误；
故选BC。
2．中国火星探测器于2020年发射，预计2021年到达火星（火星与太阳的距离大于地球与太阳的距离），要一次性完成“环绕、着陆、巡视”三步走。现用h表示探测器与火星表面的距离，a表示探测器所受的火星引力产生的加速度，a随h变化的图像如图所示，图像中a1、a2、h0为已知，引力常量为G。下列判断正确的是（）
A．火星绕太阳做圆周运动的线速度小于地球绕太阳做圆周运动的线速度
B．火星表面的重力加速度大小为a2
C10
21
a
a a
-
D．火星的质量为
2
2
120
21
2
a a h
G
a a
-
【答案】ABC
【解析】
【分析】
【详解】
A．根据
2
2
Mm v
G m
r r
=
知
GM
v
r
=
轨道半径越大线速度越小，火星与太阳的距离大于地球与太阳的距离，所以火星绕太阳做圆周运动的线速度小于地球绕太阳做圆周运动的线速度，故A正确；
B．分析图象可知，万有引力提供向心力知
2
Mm
G
ma r = r 越小，加速度越大，当h =0时的加速度等于火星表面的重力加速度大小，大小为a 2，故B 正确；
CD ．当h =h 0时，根据
12
0()Mm
G
ma R h =+
22
Mm
G
ma R = 得火星的半径
1021a R h a a =
-
火星的质量
2
12
2
021()a a h M G
a a =-
故C 正确，D 错误。 故选ABC 。
3．假设太阳系中天体的密度不变，天体直径和天体之间距离都缩小到原来的一半，地球绕太阳公转近似为匀速圆周运动，则下列物理量变化正确的是( ) A ．地球的向心力变为缩小前的一半 B ．地球的向心力变为缩小前的
C ．地球绕太阳公转周期与缩小前的相同
D ．地球绕太阳公转周期变为缩小前的一半 【答案】BC 【解析】
A 、
B 、由于天体的密度不变而半径减半，导致天体的质量减小，所以有：
3
/
4328
r M
M ρπ⎛⎫==
⎪⎝⎭ 地球绕太阳做圆周运动由万有引力充当向心力．所以有：
//
2
21G
162M M M M G R R =
⎛⎫ ⎪⎝⎭
日日地
地
， B
正确，A 错误； C 、D 、由
//
2/2
24G
22M M R M T R π⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭
日地
地
，整理得：23?4T r GM
π=C 正确；D
错误； 故选BC ．
4．按照我国整个月球探测活动的计划，在第一步“绕月”工程圆满完成各项目标和科学探测任务后，第二步是“落月”工程。已在2013年以前完成。假设月球半径为R ，月球表面的重力加速度为g 0，飞船沿距月球表面高度为3R 的圆形轨道Ⅰ运动，到达轨道的A 点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B 时再次点火进入月球近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动。下列判断正确的是（ ）
A ．飞船在轨道Ⅰ上的运行速率0g R v =
B ．飞船在A 点处点火变轨时，速度增大
C ．飞船从A 到B 运行的过程中加速度增大
D ．飞船在轨道Ⅲ绕月球运动一周所需的时间0
2πR T g =【答案】ACD 【解析】 【分析】 【详解】
A ．飞船在轨道Ⅰ上，月球的万有引力提供向心力
22(4)4Mm v G m R R
= 在月球表面的物体，万有引力等于重力，得
002
Mm G
m g R
= 解得
0g R v =
故A 正确；
B ．在圆轨道实施变轨成椭圆轨道远地点是做逐渐靠近圆心的运动，要实现这个运动必须万有引力大于飞船所需向心力，所以应给飞船减速，从而减小所需的向心力，则变轨时速度减小，故B 错误；
