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G
gR M R Mm
G mg 2
2
=
=第六章 万有引力与航天
（1）开普勒行星运动定律适用于一切行星（卫星）绕恒星（行星）运动的情况； （2）不同行星绕太阳运动的椭圆轨道是不同的； （3
（4k 值只与中心天体有关。
引力和重力的关系
1、在两极或不考虑地球自转：重力和万有引力相等2R Mm G
mg =
2、赤道位置向F mg R Mm
G
+=2 3、重力加速度与高度的关系
万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比、与它们之间距离r 的二次方成反比。
2．公式：122m m
F G r
=（G =6.67×10-11 N·m 2/kg 2）。
G 物理意义：引力常量在数值上等于两个质量都是1 kg 的质点相距1 m 时的相互吸引力。 3．适用范围：
（1）质点间引力的计算；
（2）质量分布均匀的球体，r 是球体球心间的距离；
（3）一均匀球体与球外一个质点间的万有引力的计算，r 是球心到质点的距离； （4）两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，r 为两物体质心间的距离。
计算天体的质量和密度
1、忽略天体自转，天体表面重力和万有引力相等：
2
R
Mm
G mg =2
)(h R Mm G
g m +='
2、测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r 和周期T 。
（1）由2224πMm r G m r T
=得天体的质量23
2
4πr M GT =。 （2）若已知天体的半径R ，则天体的密度3233
3π=4π3
M M r V GT R R ρ==。 若卫星绕中心天体表面运行，轨道半径r =R ，则有23πGT ρ=，22
4πR
M GT =。
人造地球卫星
一、卫星的动力学规律
由万有引力提供向心力，222
n 224πMm v r G ma m m r m r r T
ω====。
二、卫星的各物理量随轨道半径变化的规律
1．线速度v ：由22Mm v G m r r =
得v =r 越大，v 越小；r 越小，v
越大。
2．角速度ω：由2
2Mm G m r r ω=
得ω=r 越大，ω越小；r 越小，
ω越大。
3．周期T ：由222π()Mm G m r r T =
得2T =r 越大，T 越大；r 越小，
T 越小。
4．向心加速度a n ：由n 2Mm G ma r =得n 2GM
a r
=，可见，r 越大，a n 越小；r 越小，
a n 越大。
以上结论可总结为“一定四定，越远越慢”。
三种宇宙速度
②由2
10
v mg m R =得1v =。
（2）第一宇宙速度的公式不仅适用于地球，也适用于其他星球，只是M 、R 0、g 必须与之相对应，不能套用地球的参数。
卫星变轨问题
人造地球卫星发射过程要经过多次变轨，如图所示，我们从以下几个方面讨论： 1．变轨原理及过程
（1）为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。 （2）卫星在A 点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。
（3）在B 点（远地点）再次点火加速进入圆轨道Ⅲ。 2．一些物理量的定性分析
（1）速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v 1、v 3，在轨道Ⅱ上过A 点和B 点时速率分别为v A 、v B 。在A 点加速，则v A ＞v B ，在B 点加速，v 3＞v B ，又因v 1＞v 3，故有v A ＞v 1＞v 3＞v B 。
（2）加速度：因为在A 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A 点，卫星的加速度都相同，同理，经过B 点加速度也相同。
（3）周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T 1、T 2、T 3，轨道半径分
别为r 1、r 2（半长轴）、r 3，由开普勒第三定律3
2r k T
=可知T 1＜T 2＜T 3。
极地卫星和近地卫星
1．极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
2．近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行的线速度约为7.9 km/s 。
同步卫星
同步卫星是指相对地球“静止不动”的卫星。 同步卫星的六个“一定”： 赤道上的物体与同步卫星以及近地卫星的运动规律
1．地球赤道上的物体，静止在地面上与地球相对静止，随地球的自转绕地轴做匀速圆周运动。地球赤道上的物体受到的地球的万有引力，其中的一个分力提供物体随地球自转做圆周运动的向心力，产生向心加速度a ，另一个分力为重力，
有G 2Mm
R
－mg =ma （其中R 为地球半径）。
轨道平面一定 轨道平面与赤道平面重合
高度一定
距离地心的距离一定，h =4.225×104 km ；距离地面的高度为3.6×104 km
环绕速度一定 v =3.08 km/s ，环绕方向与地球自转方向相同 角速度一定 57.310rad/s ω-=⨯ 周期一定 与地球自转周期相同，常取T =24 h 向心加速度一定
a =0.23 m/s 2
