数学实验报告四非线性方程的数值解
2013012472
生医三汪一凡
2015/4/5
一实验目的
1.掌握用Matlab软件求解非线性方程额方程组的基本用法，并对结果作初步分析。
2.练习用非线性方程和方程组建立实际问题的模型并进行求解。
二．实验内容：
1.1小张夫妇以按揭方式贷款买了一套价值20万的房子，首付5万元，每月还款1000元，15年还清。问贷款利率是多少。
1.2某人欲贷款50万元购房，他咨询了两家银行。第一家开出的条件是每月还款4500元。第二家银行开出的条件是每年还45000元，20年还清。从利率方面哪一家更优惠？（简单假设年利率等于月利率*12）
问题分析：
假定在购买发生后的第n个月（有时是年，不过在本题中可以不用考虑年利率到月利率的转换问题）贷款者还清贷款。若购买时商品价值为P0，月利率为r，首付x0，每月还款x则在
n个月之后，商品价值为P0（1+r）n
，在这n个月中，他所支付的钱的总价值为
x0（1+r）n
+x+x2+……+x n=x0（1+r）
n
+x*1−（1+r）
n
r
由还款基本知识可知，x0（1+r）n
+x*1−（1+r）
n
r
= P0(1+r)n（1）。在小张夫妇的那一问中，
我们已知x0=5，P0=20，x=0.1，n=180，即可由（1）式求出贷款月利率。
为了解答本题，首先写出函数monthrate：
function y=monthrate(p0,x0,x,n,r)
y=(p0-x0)*(1+r)^n+x*((1+r)^n-1)/r;
end
下面运用monthrate函数求解小张夫妇的月利率：
>> p0=200000;
>> x0=50000;
>> x=1000;
>> n=180;
>> r0=0.001;
>> [r,fv,ef,out]=fzero(@monthrate,r0,[],p0,x0,x,n);
但是这样总是会显示Error using fzero (line 309)
Function value at starting guess must be finite and real.具体原因是什么我也不清楚，减小倍数后给出的答案竟然不相同。用inline语句检查方程没有问题。难道是程序自己的故障？为此我还是采取运用inline语句。
>> f=inline('150000*r*(1+r)^180/((1+r)^180-1)-1000');
>> r=fzero(f,0.001)
解得r =0.00208116388946即约为0.21%。
对于1.2，同样可以采用inline语句
>> f1=inline('500000*r*(1+r)^180/((1+r)^180-1)-4500');
>> r1=fzero(f1,0.001)
r1 =0.005850792582845
第二家银行
>> f2=inline('500000*r*(1+r)^20/((1+r)^20-1)-45000');
>>r2=fzero(f2,0.01);
>> r2=0.063948777092386 月利率=r2/12=0.51%
两者相比显然第二家月利率较小，所以选择第二家银行。
小结：需要注意的是，对于这样的银行贷款问题，实际生活中，年利率和月利率绝对不能简单的乘以12倍了事。但是一般以年为单位的利率为相对低一些。同时虽然第二家利率低，但因为年限较长，考虑到CPI等一些通胀因素，不一定会比第一种方案更为优惠。如果物价变化比较大，银行也一般不会改变一份合同中的利率，但不同的经济情况有不同的方案，这些都是要综合比较的。
在一些情况需要考虑复利问题，那么式子就会变得稍微更加复杂。如果1.2考虑首付，由计算方法看出也不会出现方案一更优惠的结论。
3.由汽缸控制关闭的门，关闭状态的示意图如图。门宽a，门枢在H处，与H相距b出有一
门销，通过活塞与圆柱形的汽缸相连，活塞半径r，汽缸长l0 汽缸内气体的压强p0 。当用力F推门，使门打开一个角度α时（示意图），活塞下降的距离为c，门销与H的水平距离b保持不变，于是汽缸内的气体被压缩，对活塞的压强增加。已知在绝热条件下，气体的压强p和体积V满足pVγ=C，其中γ 是绝热系数，C是常数。试利用开门力矩和作用在活塞上的力矩相平衡的关系（对门枢而言），求在一定的力F作用下，门打开的角度α 。
设a=0.8m，b=0.25m，r=0.04m，l0 =0.5m，p0 =104N m2
⁄，γ=1.4，F=25N。
如图，在门打开一定的角度α时，由题目各个条件可得b tanα=c，pVγ=C，S=πr2，
V0=Sl0 ，V=S(l0 –c)，p=（l0
l0 –C ）
γ
p0 。假设推力始终与门所在平面垂直，假设此时气
缸的气压为p，则根据受力力矩相等，可得：Fa cosα=pSb，结合以上各式，得到
Fa cosα=（
l0
）
γ
p0 πr2b
由此方程写出函数alp function y=alp(x) a=0.8;
b=0.25;
r=0.04;
l0=0.5;
p0=10^4;
gamma=1.4;
F=25;
y=(l0/(l0-b*tan(x)))^gamma*p0*pi*r^2*b-F*a*cos(x)
end
>>x=fzero（@alp，0.01）
>> x2=x*180/pi;
>> x2
解之得x2 = 24.81°，即门打开了24.81°。
小结：这样数学物理结合的问题最主要要找到其对应的数学模型与其原理。力矩这一块我不是很熟悉了已经，还要重新找资料。对于物理量之间的变化关系，“牵一发而动全身”也要特别注意。
3 用迭代公式x k+1=ax k exp (−bx k)计算序列{x k}分析其收敛性，其中a分别取5，11，15；b(>0)任意，初值x0=1，观察是否有混沌现象出现，并找出前几个分岔点，观察分岔点的极限趋势是否符合Feigenbaum常数提示的规律。
分析：
非线性方程在求解过程中，可能出现迭代中得到的解相差甚远的情况，这是由于其自身属性造成的。一旦参数不在收敛域的范围之中，得到的解释一片混沌。在这里x k+1= ax k exp (−bx k)的收敛情况由方程x=axexp (−bx)决定。X1=0，x2=lna/b,若x2<1,则有，平衡点收敛。所以b>lna.因为a取值为5,11,15，可以取b=5.
首先按照书上的程序编写chaos.m
function chaos(iter_fun,x0,r,n)
kr=0;
for rr=r(1):r(3):r(2)
kr=kr+1
y(kr,1)=feval(iter_fun,x0,rr);
for i=2:n(2)
y(kr,i)=fetal(iter_fun,y(kr,i-1),rr);
end
end
plot([r(1):r(3):r(2)],y(:,n(1)+1:n(2)),'k.');
然后编写函数iter.m
function y=iter(x,a)
y=a*x*exp(-5*x);
end
之后写主程序（以a为5为例）
chaos(@iter,5,[1,30,0.02],[100,200]);
a=5;
n=40;
x(1)=1;
