《二次根式》单元复习教案
1.使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质,并能熟练地化简含二次根式的式子.
2.熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算.
在复习过程中,体会知识的连贯性,以及提高对知识的应用能力.
感受数学的实用价值,提高解决问题的能力.
【重点】含二次根式的式子的混合运算.
【难点】综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子.
二次根式
专题一二次根式的定义和性质
【专题分析】
关于二次根式的定义和性质,主要考查求字母的取值范围,涉及单个知识点或与分式综合在一起考查,一般较为简单,题型以选择题、填空题为主.
(2014·巴中中考)要使式子有意义,则m的取值范围是()
A.m>-1
B.m≥-1
C.m>-1且m≠1
D.m≥-1且m≠1
〔解析〕根据二次根式有意义和分式有意义的条件,得出关于m的不等式组,然后进行求解,得出结论.由题意,得解得m≥-1且m≠1.故选D.
几种常见求字母取值范围的类型:
所给式子的形式x的取值范围
整式全体实数
分式使分母不为零的一切实数.注意不能随意约分,同时要区分“且”和“或”的含义
偶次根式被开方式为非负数
0次幂或负整数指数
幂
底数不为零
复合形式列不等式组,兼顾所有式子同时有意义
【针对训练1】(2014·金华中考)在式子,,,中,x可以取2和3的是()
A. B.
C. D.
〔解析〕分别求出各式有意义的条件,再进行选择.当x≠2时,分式有意义;当x≠3时,分式有意义;当x≥2时,二次根式有意义;当x≥3时,二次根式有意义.综上所述,只有中的x可以取2和3.故选C.
要求x可以取什么值,对于分式,只需分母不为0;对于二次根式,只需根号里面为非负数.
(2014·镇江中考)若实数x,y满足+2(y-1)2=0,则x+y的值等于()
A.1
B.
C.2
D.
〔解析〕由于,2(y-1)2都是非负数,两个非负数的和为0,故这两个数都等于0.由题意得解得∴x+y=.故选B.
初中阶段学习了三种非负数,①|a|≥0;②a2≥0;③≥0(a≥0).若出现几个非负数的和为零,则说明这几个非负数的值都等于0,此时可得一个方程(组),解方程(组)即可求得未知数的值.【针对训练2】(2014·安顺中考)已知等腰三角形的两边长分别为a,b,且a,b满足
+(2a+3b-13)2=0,则此等腰三角形的周长为()
A.7或8
B.6或10
C.6或7
D.7或10
〔解析〕先根据二次根式的双重非负性、完全平方式的非负性列出二元一次方程组,解方程组得到a,b的值,进而求出等腰三角形的周长.∵+(2a+3b-13)2=0,∴解得∴等腰三角形的周长是7或8.故选A.
二次根式具有双重非负性,即被开方数是非负数,二次根式为非负数,这一性质经常在化简问题中运用.
专题二二次根式的最值问题
【专题分析】
涉及二次根式的最值问题,一般选择题、填空题或解答题的形式都可以出现,单独考查这一个知识点的情况较少,一般与其他知识点综合考查.
当x取何值时,+3的值最小?最小值是多少?
〔解析〕由二次根式的非负性可知≥0,即的最小值为0,因为3是常数,所以+3的最小值为3.
解:∵≥0,∴+3≥3,
∴当9x+1=0,即x=-时,+3有最小值,最小值为3.
涉及二次根式的最值问题,应根据题目的具体情况来决定应采用的方法,不能一概而论,但一般情况下利用二次根式的非负性来求解.
【针对训练3】代数式++的最小值为()
A.0B.1+C.1D.不存在的
〔解析〕由二次根式有意义知被开方数必须是非负数,所以x≥0,x-1≥0,x-2≥0,故x≥2,而被开方数越小,算术平方根的值就越小,所以当x=2时,++取得最小值,其值为+1.故选B.
解决此类问题一定要熟练掌握二次根式的非负性,即≥0(a≥0),同时需要注意被开方数越小,算术平方根的值就越小.
专题三最简二次根式
【专题分析】
主要考查最简二次根式的概念,考查单个知识点时一般较为简单,题型以选择题、填空题为主.在二次根式的计算中,结果必须要化成最简二次根式.
下列式子中,属于最简二次根式的是()
A. B. C. D.
〔解析〕本题解题的关键在于紧扣住最简二次根式的概念逐个分析.选项A:=4,选项C:=2,选项D:=,根据最简二次根式的概念知选B.
判断是不是最简二次根式的方法:在二次根式的被开方数中,只要含有分数或小数,就不是最简二次根式;在被开方数中,每一个因数或因式如果幂的指数等于或大于2,也不是最简二次根式.
【针对训练4】(2014·孝感中考)下列二次根式中,不能与合并的是()
A.B.C.D.
〔解析〕先将各式化成最简二次根式,再看哪一个被开方数与的被开方数相同即可.A. =,故能与合并;B.=2,故能与合并;C.=2,故不能与合并;D.=3,故能与合并.故选C.
最简二次根式的被开方数相同,那么这几个二次根式才能合并.所以判断几个二次根式是否能合并,必须先化简,再判断.
专题四二次根式的化简求值及混合运算
【专题分析】
二次根式的混合运算主要考查二次根式的加、减、乘、除的运算能力,题型为选择题、填空题和解答题均可.二次根式的化简求值主要考查化简的能力和代值计算的能力,化简根式的题目较少,一般是化简分式,然后代入值计算,一般难度不大,题型以解答题为主.
计算×+()0的结果为()
A.2+
B.+1
C.3
D.5
〔解析〕先分别进行二次根式的乘法运算和零指数幂的运算,然后再进行加法运算.原式=2+1=3.故选C.
解决此类题目的关键是熟练掌握平方、立方、零指数幂、二次根式等式子的运算.在计算时,需要针对每个式子分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果.
