山东省枣庄四中高中数学 第一章 计数原理 单元测试题 新人教A版选修23

第一章 计数原理滚动训练二(§1.1～§1.3)一、选择题1．设二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋3x n的展开式各项系数的和为a ，所有二项式系数的和为b ，若a ＋2b ＝80，则n 的值为( ) A ．8 B ．4 C ．3 D ．2 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 C解析 由题意a ＝4n ，b ＝2n，∵a ＋2b ＝80， ∴4n ＋2×2n－80＝0，即(2n )2＋2×2n－80＝0，解得n ＝3.2．已知甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( ) A ．150种 B ．180种 C ．300种 D ．345种 考点 排列的应用题点 元素“在”与“不在”问题 答案 D解析 由题知共有C 25C 16C 12＋C 15C 13C 26＝345(种)选法．3．3对夫妇去看电影，6个人坐成一排，若女性的邻座只能是其丈夫或其他女性，则不同的坐法种数为( )A ．54B ．60C ．66D ．72 考点 排列的应用题点 元素“相邻”与“不相邻”问题 答案 B解析 记3位女性为a ，b ，c ，其丈夫依次为A ，B ，C,3位女性都相邻的可能情形有两类：第一类，男性在两端(如BAabcC )，有2A 33种坐法；第二类，男性在一端(如BCAabc )，有2A 22A 33种坐法，故共有A 33(2A 22＋2)＝36(种)坐法．仅有两位女性相邻的可能情形也有两类：第一类，这两人在一端(如abBACc )；第二类，这两人两端都有其他人(如AabBCc )，共有2A 23(1＋1)＝24(种)坐法．综上，满足题意的坐法共有36＋24＝60(种)．4．9名同学分别到数学、物理、化学3个学习小组参加研究性学习活动，每组3人，则不同的分配方案种数为( ) A ．C 39C 36A 33B.C 39C 36C 33A 33C ．C 39C 36C 33D ．以上都不对考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题 答案 C解析 分配方案分三步完成：第一步，从9名同学中选3人到数学学习小组，有C 39种方法；第二步，从其余的6名同学中选3人到物理学习小组，有C 36种方法；第三步，剩余的3名同学到化学学习小组，有C 33种方法．根据分步乘法计数原理知，不同的分配方案共有C 39C 36C 33种．5.⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x (1＋x )4的展开式中，含x 2的项的系数为( ) A ．10 B ．6 C ．4 D ．12 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求多项展开式中特定项的系数 答案 A解析 根据乘法公式，得因式1＋1x中的1和(1＋x )4展开式中含x 2的项相乘可得含x 2的项；因式1＋1x 中的1x和(1＋x )4展开式中含x 3的项相乘可得含x 2的项．(1＋x )4展开式的通项为T k＋1＝C k 4x k (k ＝0,1，…，4)，故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x (1＋x )4展开式中含x 2的项为1·C 24x 2＋1x·C 34x 3＝10x 2，即含x 2的项的系数为10.6．从集合{1,2,3，…，10}中选出由5个数组成的子集，使得这5个数中任何两个数的和不等于11，则这样的子集共有( ) A ．10个 B ．16个 C ．20个 D ．32个 考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题 答案 D解析 因为这10个数中两数之和为11的共有5组，即(1,10)，(2,9)，(3,8)，(4,7)，(5,6)，所以从10个数中任取5个数组成一个子集，使得这5个数中任何两个数的和不等于11的子集个数共有C 12C 12C 12C 12C 12＝32(个)．7．把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在如图1,2,3,4,5,6,7，所示的位置上，其中3盆兰花不能放在一条直线上，则不同的摆放方法有( )A ．2 680种B ．4 320种C ．4 920种D ．5 140种考点 排列的应用 题点 排列的简单应用 答案 B解析 先将7盆花全排列，共有A 77种排法，其中3盆兰花排在一条直线上的排法有5A 33A 44(种)，故所求摆放方法有A 77－5A 33A 44＝4 320(种)．8．在(ax ＋1)7的展开式中，x 3的系数是x 2的系数和x 5的系数的等比中项，则实数a 的值为( )A.259B.45C.253D.53 考点 展开式中系数的和问题 题点 多项展开式中系数的和问题 答案 A解析 ∵(ax ＋1)7的二项展开式的通项为T k ＋1＝C k 7(ax )7－k，∴x 3的系数是C 47a 3，x 2的系数是C 57a 2，x 5的系数是C 27a 5.∵x 3的系数是x 2的系数与x 5的系数的等比中项，∴(C 47a 3)2＝C 57a 2×C 27a 5，∴a ＝259.二、填空题9．不等式A 2n －1－n <7的解集为________． 考点 排列数公式题点 解含有排列数的方程或不等式 答案 {3,4}解析 由不等式A 2n －1－n <7，得(n －1)(n －2)－n <7，整理得n 2－4n －5<0，解得－1<n <5.又因为n －1≥2且n ∈N *，即n ≥3且n ∈N *，所以n ＝3或n ＝4，故不等式A 2n －1－n <7的解集为{3,4}． 10．若(x －m )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，其中a 5＝56，则a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________. 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 128解析 由已知条件可得a 5＝C 38·(－m )3＝－56m 3＝56，∴m ＝－1， 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8＝28，①令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8＝0，② 由①＋②，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝28＋02＝128.11．若(1－2x )2 017＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 017x2 017(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017的值为________．考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 －1 解析 (1－2x )2 017＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 017x2 017，令x ＝12，则⎝⎛⎭⎪⎫1－2×12 2 017＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017＝0，其中a 0＝1，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017＝－1.12．将A ，B ，C ，D ，E ，F 6个字母排成一排，且A ，B 均在C 的同侧，则不同的排法共有________种．(用数字作答) 考点 排列的应用 题点 排列的简单应用 答案 480解析 按C 的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘2即可．当C 在左边第1个位置时，有A 55种排法，当C 在左边第2个位置时有A 24A 33种排法，当C 在左边第3个位置时，有A 23A 33＋A 22A 33(种)排法．所以不同的排法共有2(A 55＋A 24A 33＋A 23A 33＋A 22A 33)＝480(种)． 三、解答题13．学校选派5名同学参加“华约”“北约”“卓越联盟”自主招生考试，每项考试至少选派1人参加，共有多少种不同的选派方法？ 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题解 可先分组，再分配，分两个步骤完成．先把5名同学分成三组：①一组3人，另两组各1人，有C 35C 12C 11A 22种方法；②一组1人，另两组各2人，有C 15C 24C 22A 22种方法．再把三组学生分配到“华约”“北约”“卓越联盟”参加考试，有A 33种方法．故不同的的选派方法共有⎝ ⎛⎭⎪⎫C 35C 12C 11A 22＋C 15C 24C 22A 22A 33＝150(种)． 四、探究与拓展14．若n ∈N *，n <100，且⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋1x2n 的展开式中存在常数项，则所有满足条件的n 的值的和是________．考点 二项式定理的应用 题点 二项式定理的简单应用 答案 950解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋1x 2n 的展开式的通项为T k ＋1＝C k n (x 3)n －k·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2k ＝C k n x3n －5k ，令3n －5k ＝0，得n ＝53k .当k ＝3,6，...，57时，n ＝5,10，...，95，故所有满足条件的n 的值的和是5＋10＋ (95)19×(5＋95)2＝950. 15．已知(1－2x )n＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n (n ∈N *)，且a 2＝60，求： (1)n 的值；(2)－a 12＋a 222－a 323＋…＋(－1)n an2n 的值．考点 二项式定理的应用 题点 二项式定理的简单应用 解 (1)因为T 3＝C 2n (－2x )2＝a 2x 2， 所以a 2＝C 2n (－2)2＝60，化简可得n (n －1)＝30，且n ∈N *， 解得n ＝6.(2)T k ＋1＝C k6(－2x )k＝a k x k，所以a k ＝C k6(－2)k， 所以(－1)k ak2k ＝C k6，－a 12＋a 222－a 323＋…＋(－1)n an2n ＝C 16＋C 26＋…＋C 66＝26－1＝63.。

[提高训练C 组] 一、选择题1．若346n n A C =，则n 的值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．92．某班有30名男生，30名女生，现要从中选出5人组成一个宣传小组， 其中男、女学生均不少于2人的选法为（ ）A ．230C 220C 146CB ． 555503020C C C --C ．514415*********C C C C C --D ． 322330203020C C C C +3．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，不同的分法种数是（ ）A ．2264C C B ．22264233C C C A C ．336AD ．36C 4．设含有10个元素的集合的全部子集数为S ，其中由3个元素 组成的子集数为T ，则TS的值为（ ） A.20128 B ．15128 C ．16128 D ．211285．若423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为（ ）A.1 B ．1- C ．0 D ．26．在()nx y +的展开式中，若第七项系数最大，则n 的值可能等于（ ）A.13,14 B ．14,15 C ．12,13 D ．11,12,137．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．6个 D ．7个8．由0,1,2,3,...,9十个数码和一个虚数单位i 可以组成虚数的个数为（ ） A.100 B ．10 C ．9 D ．90 二、填空题1．将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有 种？2．在△AOB 的边OA 上有5个点，边OB 上有6个点，加上O 点共个点，以这12个点为顶点的三角形有 个.3．从0,1,2,3,4,5,6这七个数字中任取三个不同数字作为二次函数2y ax bx c =++的系数,,a b c 则可组成不同的函数_______个,其中以y 轴作为该函数的图像的对称轴的函数有______个.4．若9a x ⎛- ⎝的展开式中3x 的系数为94，则常数a 的值为 . 5．若2222345363,n C C C C ++++=则自然数n =_____.6．若56711710m m mC C C -=,则8__________mC =. 7．50.991的近似值（精确到0.001）是多少？8．已知772127(12)o x a a a x a x -=++++,那么127a a a +++等于多少?三、解答题1．6个人坐在一排10个座位上,问(1)空位不相邻的坐法有多少种?(2) 4个空位只有3个相邻的坐法有多少种?(3) 4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种?2．有6个球,其中3个黑球,红、白、蓝球各1个，现从中取出4个球排成一列，共有多少种不同的排法？3．求54(12)(13)x x -+展开式中按x 的降幂排列的前两项.4．用二次项定理证明2289n C n +--能被64整除()n N ∈.5．求证：0212(1)22nn n n n n C C n C n -++++=+⋅.6．(1)若(1)nx +的展开式中，3x 的系数是x 的系数的7倍，求n ；(2)已知7(1)(0)ax a +≠的展开式中, 3x 的系数是2x 的系数与4x 的系数的等差中项,求a ;(3)已知lg 8(2)x x x+的展开式中,二项式系数最大的项的值等于1120,求x .离散型随机变量解答题精选（选修2--3）1． 人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：（1）第3次拨号才接通电话； （2）拨号不超过3次而接通电话.解：设i A ={第i 次拨号接通电话}，1,2,3i =（1）第3次才接通电话可表示为321A A A 于是所求概率为;1018198109)(321=⨯⨯=A A A P（2）拨号不超过3次而接通电话可表示为：112123A A A A A A ++于是所求概率为112123()P A A A A A A ++=112123()()()P A P A A P A A A ++=1919813.10109109810+⨯+⨯⨯=2． 出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是.31（1）求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率； （2）求这位司机在途中遇到红灯数ξ的期望和方差。

种方法．不同的买法共有 2＋3＋2＝7 种．
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答案
解析
3.ax＋
36
6
的展开式的第
2
项的系数为－
3，则a x2dx 的值为( -2
)
A．3
7 B.3
C．3
或7 3
D．3
或－10 3
答案 B
解析
该二项展开式的第
2
项的系数为
C16×a5×
3＝－ 6
3，解得 a＝－
解析 当五位数的万位数字为 4 时，个位数字可以是 0,2，此时满足条
件的偶数共有 C12A34＝48(个)；当五位数的万位数字为 5 时，个位数字可以是 0,2,4，此时满足条件的偶数共有 C13A34＝72(个)，所以比 40000 大的偶数共有 48＋72＝120(个)．选 B.
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答案 D
解析 因为第一天和第七天吃的水果数相同，所以“多 1 个”或“少 1 个”的天数必须相同，可均为 0,1,2,3 天，共 4 种情况，所以不同的选择方案 共有 C06＋C16C15＋C26C24＋C36C33＝141(种)．选 D.
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答案
解析
9．在x2－1xn 的展开式中，常数项为 15，则 n 的一个值可以是(
又 k＋r＝3，
则kr＝＝30， 或kr＝＝21， 或kr＝＝12， 或kr＝＝03，， ∴x3 的系数为 C34－C16C24＋C26C14－C36＝8.
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答案
解法二：∵(1－x)6(1＋x)4 ＝[(1－x)(1＋x)]4(1－x)2 ＝(1－x2)4(1－x)2 ＝(1－C14x2＋C24x4－C34x6＋C44x8)(1－x)2， ∴x3 的系数为－C14·(－2)＝8.

【优化方案】2021-2021学年高中数学 第一章 计数原理章末综合检测 新人教A 版选修2-3(时刻：100分钟；总分值：120分)一、选择题(本大题共10小题，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．假设A 3m ＝6C 4m ，那么m 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：选C.由m (m －1)(m －2)＝6·m m －1m －2m －34×3×2×1，解得m ＝7.2．(1－x )10展开式中x 3项的系数为( ) A ．－720 B ．720 C ．120D ．－120解析：选D.由T r ＋1＝C r 10(－x )r ＝(－1)r C r 10x r ，r ＝3，因此系数为(－1)3C 310＝－120.3．编号为一、二、3、4、五、六、7的七盏路灯，晚上历时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，那么不同的开灯方案有( )A ．60种B ．20种C ．10种D ．8种解析：选C.四盏熄灭的灯产生的5个空位中放入3盏亮灯，即C 35＝10.4．某汽车生产厂家预备推出10款不同的轿车参加车展，但主办方只能为该厂提供6个展位，每一个展位摆放一辆车，而且甲、乙两款车不能摆放在1号展位，那么该厂家参展轿车的不同摆放方案的种类为( )A ．C 210A 48B ．C 19A 59 C ．C 18A 59D ．C 18A 58解析：选C.考查分步乘法计数原理和排列数公式，在1号位汽车选择的种数为C 18，其余位置的排列数为A 59，故种数为C 18A 59，应选C.5．(2－x)8展开式中不含x4项的系数的和为( ) A．－1 B．0C．1 D．2解析：选B.(2－x)8展开式的通项为T r＋1＝C r8·28－r·(－x)r＝C r8·28－r·(－1)r·x r2.由r 2＝4得r＝8.∴展开式中x4项的系数为C88＝1.又(2－x)8展开式中各项系数和为(2－1)8＝1，∴展开式中不含x4项的系数的和为0.6．把五个标号为1到5的小球全数放入标号为1到4的四个盒子中，不准有空盒且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，那么不同的放法有( )A．36种B．45种C．54种D．96种解析：选A.先把5号球放入任意一个盒子中有4种放法，再把剩下的四个球放入盒子中，依照4的“错位数”是9，得不同的放法有4×9＝36种．7．咱们把列位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，那么“六合数”中首位为2的“六合数”共有( )A．18个B．15个C．12个D．9个解析：选B.依题意，那个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4、0、0组成3个数别离为400、040、004；由3、一、0组成6个数别离为310、30一、130、103、013、031；由二、二、0组成3个数别离为220、20二、022；由二、一、1组成3个数别离为21一、12一、112.共计：3＋6＋3＋3＝15个．8．已知等差数列{a n}的通项公式为a n＝3n－5，那么(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中含x4项的系数是该数列的( )A．第9项B．第10项C．第19项D．第20项解析：选D.∵(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7展开式中含x4项的系数是C45·11＋C46·12＋C47·13＝5＋15＋35＝55，∴由3n－5＝55得n＝20，应选D.9．记者要为5名志愿者和他们帮忙的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两头，不同的排法共有( )A．1440种B．960种C．720种D．480种解析：选B.将5名志愿者全排列为A55，因2位老人相邻且不排在两头，故将2位老人看成一个整体插在5名志愿者之间形成的4个空内，为A14，再让2位老人全排列为A22，故不同的排法总数为A55A14A22＝960.10．假设(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，那么实数m的值为( )A．1或－3 B．－1或3C．1 D．－3解析：选A.令x＝0，取得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2＋m)9，令x＝－2，取得a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝m9，因此有(2＋m)9m9＝39，即m2＋2m＝3，解得m＝1或－3.二、填空题(本大题共5小题，把答案填在题中横线上)11．男、女学生共有8人，从男生当选取2人，从女生当选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有________人．解析：设女生有x人，那么C28－x·C1x＝30，即8－x7－x2·x＝30，解得x＝2或3.答案：2或312．假设(3x＋1)n(n∈N*) 的展开式中各项系数的和是256，那么展开式中x2项的系数是________．解析：令x＝1，得(3＋1)n＝256，解得n＝4，(3x＋1)4的展开式中x2项的系数为C24×32＝54. 答案：5413．5个人排成一排，要求甲、乙两人之间至少有一人，那么不同的排法有________种．解析：甲、乙两人之间至少有一人，确实是甲、乙两人不相邻，那么有A 33·A 24＝72种不同的排法．答案：7214．航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验，要求2艘解决型核潜艇一前一后，2艘驱逐舰和2艘护卫舰排列左、右，同侧不能都是同种舰艇，那么舰艇分派方案的方式数是________．解析：先将2艘驱逐舰和2艘护卫舰平均分成两组，再排有C 12C 12A 22A 22种方式，然后排两艘解决型核潜艇有A 22种方式，故舰艇分派方案的方式数为C 12C 12A 22A 22A 22＝32.答案：3215．在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，那么展开式中常数项为________．解析：由题意知n ＝8，通项为T r ＋1＝(－1)r ·C r 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫128－r ·x 8－43r, 令8－43r ＝0，得r ＝6，故常数项为第7项，且T 7＝(－1)6·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·C 68＝7. 答案：7三、解答题(此题共5小题，解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤)16．从编号为1,2，…，9的9个球中任取4个球，使它们的编号之和为奇数，再把这4个球排成一排，共有多少种不同的排法？解：知足条件的4个球的编号有两类取法：①一奇三偶排法数为C 15C 34A 44； ②三奇一偶排法数为C 35C 14A 44.故共有C 15C 34A 44＋C 35C 14A 44＝1 440种不同的排法．17．已知(1＋2x )n 的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，是它后一项的系数的56，求该展开式中二项式系数最大的项．解：第r ＋1项系数为C r n 2r ，第r 项系数为C r －1n 2r －1， 第r ＋2项系数为C r ＋1n 2r ＋1，依题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧C r n 2r ＝2C r －1n2r －1C r n 2r ＝56C r＋1n 2r ＋1，整理得⎩⎪⎨⎪⎧C r n ＝C r －1nC r n ＝53C r ＋1n ，即⎩⎪⎨⎪⎧2r ＝n ＋15n －r ＝3r ＋1，求得：n ＝7.故二项式系数最大的项是第4项和第5项．T 4＝C 37(2x )3＝280x32，T 5＝C 47(2x )4＝560x 2.18．已知(2x i ＋1x2)n ，i 是虚数单位，x ＞0，n ∈N *.(1)若是展开式中的倒数第3项的系数是－180，求n 的值； (2)对(1)中的n ，求展开式中系数为正实数的项．解：(1)由已知，得C n －2n (2i)2＝－180，即4C 2n＝180， 因此n 2－n －90＝0，又n ∈N *，解得n ＝10. (2)(2x i ＋1x2)10展开式的通项为T k ＋1＝C k 10(2x i)10－k x －2k ＝C k 10(2i)10－k x 5－52k . 因为系数为正实数，且k ∈{0,1,2，…，10}，因此k ＝2,6,10. 因此所求的项为T 3＝11 520，T 7＝3 360x －10，T11＝x－20.19．已知集合A＝{x|1＜log2x＜3，x∈N*}，B＝{4,5,6,7,8}．(1)从A∪B中掏出3个不同的元素组成三位数，那么能够组成多少个？(2)从集合A中掏出1个元素，从集合B中掏出3个元素，能够组成多少个无重复数字且比4 000大的自然数？解：由1＜log 2x ＜3，得2＜x ＜8，又x ∈N *，因此x 为3,4,5,6,7，即A ＝{3,4,5,6,7}，因此A ∪B ＝{3,4,5,6,7,8}．(1)从A ∪B 中掏出3个不同的元素，能够组成A 36＝120个三位数． (2)假设从集合A 中取元素3，那么3不能作千位上的数字，有C 35·C 13·A 33＝180个知足题意的自然数；假设不从集合A 中取元素3，那么有C 14C 34A 44＝384个知足题意的自然数．因此，知足题意的自然数共有180＋384＝564个．20．7名师生站成一排照相留念，其中教师1人，男生4人，女生2人，在以下情形下，各有不同站法多少种？(1)两名女生必需相邻而站； (2)4名男生互不相邻；(3)假设4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站； (4)教师不站中间，女生不站两头．解：(1)两名女生站在一路有站法A 22种，视为一种元素与其余5人全排，有A 66种排法．故有不同站法A 22·A 66＝1 440种．(2)先站教师和女生，有站法A 33种，再在教师和女生站位的距离(含两头)处插入男生，每空一人，有插入方式A 44种．故共有不同站法A 33·A 44＝144种． (3)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A 44种，而由高到低有从左到右，或从右到左的不同．故共有不同站法2·A 77A 44＝420种．(4)中间和两头是特殊位置，可如下分类求解：①教师站两头之一，另一端由男生站，有A 12·A 14·A 55种站法，②两头全由男生站，教师站除两头和正中间的另外4个位置之一，有A 24·A 14·A 44种站法．故共有不同站法2 112种．。