新课改高考二轮复习数学(文)讲练案：第一部分 重点增分专题十二 概 率

A．甲地区：平均数为90，方差为10
C．丙地区：中位数为50，极差为70
）
B．乙地区：平均数为60，众数为50
D．丁地区：极差为20，80%分位数为80
【答案】AD
均数为60，众数为50，但该地区的环境治理不达标，故B错
【解析】设每天的空气质量指数为 （ = 1 ，2，…，10）， 误；
对于C，假设第1天为120，后面9天为50，此时中位数为50，
1
2
则方差10 σ10
=1 − .
1
对于A，由 10 σ10
=1
− 90
极差为70，但该地区的环境治理不达标，故C错误；
2
=
10 ，得 σ10
=1
− 90
2
= 100 ，
对于D，如果最大值大于100，根据极差为20，则最小值大于
若这10天中有1天的空气质量指数大于100，则必有
【例1】（2024·青海西宁·高三统考期末）用分层抽样的方法从某社区的500名男居民和700名女居民中选
取12人参与社区服务满意度调研，则女居民比男居民多选取（
A．8人
B．6人
C．4人
D．2人
【答案】D
500
【解析】由题可知，男居民选取1200 × 12 = 5人，女居民
选取12 − 5 = 7人，
64×5+56×3
5+3
= 61 ，
2
3
+ 8 159 + 56 − 61
2
= 169，
考点题型三：传统线性拟合
【例3】某科学兴趣小组的同学认为生物都是由蛋白质构成的，高温可以使蛋白质变性失活，于是想初步探究某微生
物的成活率与温度的关系，微生物数量（个）与温度

§12.2　几何概型最新考纲　1.了解随机数的意义，能运用模拟方法(包括计算器产生随机数来进行模拟)估计概率.2.初步体会几何概型的意义.3.通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程．1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．在几何概型中，事件A 的概率的计算公式P (A )＝.构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．4．随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M 和总的随机数个数N ；③计算频率f n (A )＝作为所求概率的近似值．MN 概念方法微思考1．古典概型与几何概型有什么区别？提示　古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个．2．几何概型中线段的端点、图形的边框是否包含在内影响概率值吗？提示　几何概型中线段的端点，图形的边框是否包含在内不会影响概率值．题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．(　√　)(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．(　√　)(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．(　√　)(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．(　√　)(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．(　×　)(6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P ＝.(　×　)19题组二　教材改编2．在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( )A. B. C. D ．1121314答案　B解析　坐标小于1的区间为[0,1)，长度为1，[0,3]的区间长度为3，故所求概率为.133．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )答案　A解析　∵P (A )＝，P (B )＝，P (C )＝，P (D )＝，38282613∴P (A )>P (C )＝P (D )>P (B )．4.如图所示的正方形及其内部表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A. B.π4π－22C. D.π64－π4答案　D解析　如题干图所示，区域D 的面积为4，而阴影部分(不包括)表示的是区域D 内到坐 AC 标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是，4－π4故选D.题组三　易错自纠5．在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为，则m ＝________.56答案　3解析　由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m .当0<m ≤2时，由题意得＝，解得m ＝2.5，矛盾，舍去．2m 656当2<m <4时，由题意得＝，解得m ＝3.故m ＝3.m －(－2)6566．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为________．答案　23解析　设AC ＝x cm(0<x <12)，则CB ＝(12－x )cm ，则矩形的面积S ＝x (12－x )＝12x －x 2(cm 2)．由12x －x 2<32，即(x －8)(x －4)>0，解得0<x <4或8<x <12.在数轴上表示，如图所示．由几何概型概率计算公式，得所求概率为＝.81223题型一　与长度、角度有关的几何概型例1 在等腰Rt △ABC 中，直角顶点为C .(1)在斜边AB 上任取一点M ，求|AM |<|AC |的概率；(2)在∠ACB 的内部，以C 为端点任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求|AM |<|AC |的概率．解　(1)如图所示，在AB 上取一点C ′，使|AC ′|＝|AC |，连接CC ′.由题意，知|AB |＝|AC |.2由于点M 是在斜边AB 上任取的，所以点M 等可能分布在线段AB 上，因此基本事件的区域应是线段AB .所以P (|AM |<|AC |)＝＝＝.|AC ′||AB ||AC |2|AC |22(2)由于在∠ACB 内以C 为端点任作射线CM ，所以CM 等可能分布在∠ACB 内的任一位置(如图所示)，因此基本事件的区域应是∠ACB ，所以P (|AM |<|AC |)＝＝＝.∠ACC ′∠ACB π－π42π234思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的概率的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同，解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．跟踪训练1　(1)某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A. B. C. D.13122334答案　B解析　如图所示，画出时间轴．小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型的概率计算公式，得所求概率P ＝＝，故选B.10＋104012(2)如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧3，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________． DE答案　13解析　因为在∠DAB 内任作射线AP ，所以它的所有等可能事件所在的区域是∠DAB ，当射线AP 与线段BC 有公共点时，射线AP 落在∠CAB 内，则区域为∠CAB ，所以射线AP 与线段BC 有公共点的概率为＝＝.∠CAB ∠DAB 30°90°13题型二　与面积有关的几何概型命题点1　与面积有关的几何概型的计算例2 (2017·全国Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A. B. C. D.14π812π4答案　B解析　不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S 正方形＝4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝S 圆＝，所以12π2由几何概型知，所求概率P ＝＝＝.S 黑S 正方形π24π8命题点2　随机模拟例3 (1)如图所示，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据估计椭圆的面积为( )A ．7.68B ．8.68C ．16.32D ．17.32答案　C解析　由随机模拟的思想方法，可得黄豆落在椭圆内的概率为＝0.68.由几何概型的概300－96300率计算公式，可得＝0.68，而S 矩形＝6×4＝24，则S 椭圆＝0.68×24＝16.32.S 椭圆S矩形(2)若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率．先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0,1,2,3表示没有击中目标，4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：7527　0293　7140　9857　0347　4373　8636　6947　1417　46980371　6233　2616　8045　6011　3661　9597　7424　7610　4281根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为________．答案　0.4解析　根据数据得该运动员射击4次至少击中3次的数据分别为7527　9857　8636　6947　4698　8045　9597 7424，共8个，所以该运动员射击4次至少击中3次的概率为＝0.4.820思维升华 求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．跟踪训练2 (2016·全国Ⅱ)从区间[0,1]内随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.B. C. D.4n m 2n m 4m n 2m n答案　C解析　由题意得(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知＝，π41mn∴π＝，故选C.4mn题型三　与体积有关的几何概型例4 如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M —ABCD 的体积小于的概率为________．16答案　12解析　过点M 作平面RS ∥平面AC ，则两平面间的距离是四棱锥M —ABCD 的高，显然点M 在平面RS 上任意位置时，四棱锥M —ABCD 的体积都相等．若此时四棱锥M —ABCD 的体积等于，只要M 在截面以下即可小于，当V M —ABCD ＝时，即×1×1×h ＝，解得h ＝，即161616131612点M 到底面ABCD 的距离，所以所求概率P ＝＝.1×1×121×1×112思维升华 求解与体积有关的几何概型的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．跟踪训练3 在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( )A. B.π C. D.6π323π233π答案　D解析　由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V 1＝1，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R ＝，球的体积V 2＝π×3＝π，3243(32)32则此点落在正方体内部的概率P ＝＝.V 1V 2233π1．在区间[0，π]上随机地取一个数x ，则事件“sin x ≤”发生的概率为( )12A. B. C. D.34231213答案　D解析　在[0，π]上，当x ∈∪时，sin x ≤，故概率为＝.[0，π6][5π6，π]12π3π132．在区间[－1,3]上随机取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为，则实数m 为( )12A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案　B解析　区间[－1,3]的区间长度为4.不等式|x |≤m 的解集为[－m ，m ]，当1<m ≤3时，由题意得＝，解得m ＝1(舍)，m ＋1412当0<m ≤1时，由＝，则m ＝1.故m ＝1.2m 4123．(2018·益阳市、湘潭市调考)若正方形ABCD 的边长为4，E 为四边上任意一点，则AE 的长度大于5的概率等于( )A.B. C. D.132783818答案　D解析　设M ，N 分别为BC ，CD 靠近点C 的四等分点，则当E 在线段CM ，CN (不包括M ，N )上时，AE 的长度大于5，因为正方形的周长为16，CM ＋CN ＝2，所以AE 的长度大于5的概率为＝，故选D.216184．(2018·广东七校联考)在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是( )π3A ．2－B ．4－33π63πC ．－－D.1332π23答案　B解析　设圆的半径为r ，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S ＝24＝4πr 2－6r 2，圆的面积S ′＝πr 2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概(16πr 2－34r 2)3率为＝4－，故选B.S S ′63π5．(2018·石家庄模拟)已知P 是△ABC 所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒黄豆随PB → PC → PA → 机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )A. B. C. D.14132312答案　D解析　以PB ，PC 为邻边作平行四边形PBDC ，则＋＝，因为＋＋2＝0，PB → PC → PD → PB → PC → PA →所以＋＝－2，得＝－2，PB → PC → PA → PD → PA →由此可得，P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点，点P 到BC 的距离等于点A 到BC 的距离的，12所以S △PBC ＝S △ABC ，12所以将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为＝，故选D.S △PBC S △ABC 126．(2018·惠州模拟)我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中给出了勾股定理的绝妙证明．如图所示是赵爽的弦图．弦图是一个勾股形(即直角三角形)之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱(红)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股＋(股－勾)2＝4×朱实＋黄实＝弦实＝弦2，化简得：勾2＋股2＝弦2.设勾股形中勾股比为1∶，若向弦图内随机抛掷1 000颗图钉(大小忽略不计)，则落在3黄色图形内的图钉数大约为( )A ．866B ．500C ．300D ．134答案　D解析　设勾为a ，则股为a ，所以弦为2a ，小正方形的边长为a －a ，所以题图中大正33方形的面积为4a 2，小正方形的面积为(－1)2a 2，所以小正方形与大正方形的面积比为3＝1－，所以落在黄色图形(小正方形)内的图钉数大约为×1 000≈134.(3－1)2432(1－32)7．(2016·山东)在[－1,1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为______．答案　34解析　由已知得，圆心(5,0)到直线y ＝kx 的距离小于半径，∴<3，解得－<k <，由几|5k |k 2＋13434何概型得P ＝＝.34－(－34)1－(－1)348．在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，在直角边BC 上任取一点M ，则∠CAM <30°的概率是________．答案　33解析　因为点M 在直角边BC 上是等可能出现的，所以“区域”是长度．设BC ＝a ，则所求概率P ＝＝.33a a 339.如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A —A 1BD 内的概率为______．答案　16解析　因为＝＝AA 1×S △ABD 1A A BD V -1A ABD V -13＝×AA 1×S 矩形ABCD ＝V 长方体，1616故所求概率为＝.V 长方体1610．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程＋＝1表示焦点在x 轴上x 2m 2y 2n2的椭圆的概率是________．答案　12解析　∵方程＋＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m >n .x 2m 2y 2n 2如图，由题意知，在矩形ABCD 内任取一点Q (m ，n )，点Q 落在阴影部分(不包括m ＝n 这条直线)的概率即为所求的概率，易知直线m ＝n 恰好将矩形平分，∴所求的概率为.1211．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率；(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0的概率．解　(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36，由a ·b ＝－1，得－2x ＋y ＝－1，所以满足a ·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个．故满足a ·b ＝－1的概率为＝.336112(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}．满足a ·b <0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y <0}．画出图象如图所示，矩形的面积为S 矩形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－×2×4＝21，12故满足a ·b <0的概率为.212512．甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．解　设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，记事件A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24，0≤y ≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上，即y －x ≥1或x －y ≥2.故所求事件构成集合A ＝{(x ，y )|y －x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0,24]，y ∈[0,24]}．A 为图中阴影部分，全部结果构成的集合Ω为边长是24的正方形及其内部．所求概率为P (A )＝A 的面积Ω的面积＝(24－1)2×12＋(24－2)2×12242＝＝.506.5576 1 0131 15213．在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于的概率为________．12答案　34解析　设任取两点所表示的数分别为x ，y ，则0≤x ≤1，且0≤y ≤1，如图所示，则总事件所占的面积为1.记这两点之间的距离小于为事件A ，则A ＝Error!，如图中阴影部分所示，12空白部分所占的面积为2×××＝，所以所求两点之间的距离小于的概率P (A )＝＝.12121214121－1413414．向圆C ：(x －2)2＋(y －)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x 轴下方的概率为________．3答案　－1634π解析　如图所示，连接CA ，CB ，依题意，圆心C 到x 轴的距离为，所以弦AB 的长为2.又圆的半径为2，3所以∠ACB ＝60°，所以S 圆C ＝π×22＝4π，所以S 弓形ADB ＝－×2×＝－60°×π×22360°1232π3，所以向圆C 内随机投掷一点，则该点落在x 轴下方的概率P ＝＝－.32π3－34π1634π15．在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥”的概率，p 2为事件“|x －y |≤”1313的概率，p 3为事件“xy ≤”的概率，则( )13A ．p 1<p 2<p 3B ．p 2<p 3<p 1C ．p 3<p 1<p 2D ．p 3<p 2<p 1答案　B解析　因为x ，y ∈[0,1]，所以事件“x ＋y ≥”表示的平面区域如图(1)阴影部分(含边界)S 1，13事件“|x －y |≤”表示的平面区域如图(2)阴影部分(含边界)S 2，事件“xy ≤”表示的平面区1313域如图(3)阴影部分(含边界)S 3，由图知，阴影部分的面积满足S 2<S 3<S 1，正方形的面积为1×1＝1，根据几何概型概率计算公式可得p 2<p 3<p 1.16.如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，求此点取自空白部分的概率．解　设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图，连接OC ，DC .不妨令OA ＝OB ＝2，则OD ＝DA ＝DC ＝1.在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝＋×1×1－＝1，π412(π4－12×1×1)所以整个图形中空白部分面积S 2＝2.又因为S 扇形OAB ＝×π×22＝π，14所以P ＝.2π。

文科数学专题概率与统计(学案)高考二轮复习资料含答案1．以客观题形式考查抽样方法，样本的数字特征和回归分析，独立性检验的基本思路、方法及相关计算与推断．2．本部分较少命制大题，若在大题中考查多在概率与统计、算法框图等知识交汇处命题，重点考查抽样方法，频率分布直方图和回归分析或独立性检验，注意加强抽样后绘制频率分布直方图，然后作统计分析或求概率的综合练习．3．以客观题形式考查古典概型与几何概型、互斥事件与对立事件的概率计算．4．与统计结合在大题中考查古典概型与几何概型．(1)在频率分布直方图中：频率①各小矩形的面积表示相应各组的频率，各小矩形的高＝；②各小矩形面积之和等于1；③中位数组距左右两侧的直方图面积相等，因此可以估计其近似值．(2)茎叶图当数据有两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，从总体中逐个抽取少在起始部分抽样时采按事先确定的规则在各用简单随机抽样总体中的个体数较多分层抽样时采用简单总体由差异明显的随机抽样或系统抽样几部分组成即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图．当数据有三位有效数字，前两位相对比较集中时，常以前两位为茎，第三位(个位)为叶(其余类推)．3．样本的数字特征(1)众数在样本数据中，频率分布最大值所对应的样本数据(或出现次数最多的那个数据)．(2)中位数样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取当中两个数据的平均数作为中位数．(3)平均数与方差－1样本数据的平均数某＝(某1＋某2＋＋某n)．n1－2－2－22方差＝[(某1－某)＋(某2－某)＋＋(某n－某)]．n注意：(1)现实中总体所包含的个体数往往较多，总体的平均数与标准差、方差是不知道(或不可求)的，所以我们通常用样本的平均数与标准差、方差来估计总体的平均数与标准差、方差．(2)平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定．4．变量间的相关关系(1)利用散点图可以初步判断两个变量之间是否线性相关．如果散点图中的点从整体上看大致分布在一条直线的附近，我们说变量某和y具有线性相关关系．(2)用最小二乘法求回归直线的方程^^^设线性回归方程为y＝b某＋a，则^b＝－某－某^－^－a＝y－b某ni＝1nii＝1－－某i－某yi－y＝－－某iyi－n某yi＝1nn22i－n某某2－i＝1.－－注意：回归直线一定经过样本的中心点(某，y)，据此性质可以解决有关的计算问题．5．回归分析n某i－某yi－yi＝1－－r＝n，叫做相关系数．某i－某2yi－y2i＝1i＝1－n－相关系数用来衡量变量某与y之间的线性相关程度；|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越高，|r|越接近于0，相关程度越低．6．独立性检验假设有两个分类变量某和Y，它们的取值分别为{某1，某2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2某2列联表)为某1某2总计2y1aca＋c2y2bdb＋d总计a＋bc＋da＋b＋c＋da＋b＋c＋dad－bc则K＝，a＋bc＋da＋cb＋d若K>3.841，则有95%的把握说两个事件有关；若K>6.635，则有99%的把握说两个事件有关；若K<2.706，则没有充分理由认为两个事件有关.7.随机事件的概率随机事件的概率范围：0≤P(A)≤1；必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.8．古典概型①计算一次试验中基本事件的总数n；②求事件A包含的基本事件的个数m；③利用公式P(A)＝计算．9．一般地，如果事件A、B互斥，那么事件A＋B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．－10．对立事件：在每一次试验中，相互对立的事件A和A不会同时发生，但一定有一个发生，因此有222mnP(A)＝1－P(A)．11．互斥事件与对立事件的关系－对立必互斥，互斥未必对立．12．几何概型一般地，在几何区域D内随机地取一点，记事件“该点落在其内部区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)＝考点一几何概型例1．【2022课标1，】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是d的测度.D的测度141C．2A．【答案】Bπ8πD．4B．【变式探究】(2022·江苏卷)记函数f(某)＝6＋某－某的定义域为D.在区间[－4,5]上随机取一个数某，则某∈D的概率是________．5【答案】93－－252【解析】由6＋某－某≥0，解得－2≤某≤3，则D＝[－2,3]，则所求概率为＝.5－－49【变式探究】从区间[0，1]随机抽取2n个数某1，某2，，某n，y1，y2，，yn，构成n个数对(某1，y1)，(某2，y2)，，(某n，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A.4n2m2nB.mC.4mn2mD.n【答案】Cmπ4m4m【解析】由题意知，＝，故π＝，即圆周率π的近似值为.n4nn考点二古典概型例2．(2022·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()A.B.C.D.【答案】D3102511015【2022山东】从分别标有1，2，，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（A）5475（B）（C）（D）18999【答案】C【解析】标有1，2，，9的9张卡片中，标奇数的有5张，标偶数的有4张，所以抽到的2张卡112C5C45,选C.片上的数奇偶性不同的概率是989【变式探究】袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为()A.51011B.C.D．1212121【变式探究】(2022·天津卷)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()A.B.C.D.【答案】C【解析】从5支彩笔中任取2支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，其中取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共424种，所以所求概率P＝＝.105故选C.考点三概率与其他知识的交汇例3、(2022·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温天数[10,15)2[15,20)16[20,25)36[25,30)25[30,35)7[35,40)44 5352515以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率．(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．【变式探究】某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下表：消费次数收费比例第1次1第2次0.95第3次0.90第4次0.85第5次及以上0.80该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如下表：消费次数频数第1次60第2次20第3次10第4次5第5次及以上5假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：(1)估计该公司一位会员至少消费两次的概率；(2)某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；(3)该公司要从这100位里至少消费两次的顾客中按消费次数用分层抽样方法抽出8人，再从这8人中抽出2人发放纪念品，求抽出的2人中恰有1人消费两次的概率．40【解析】(1)100位会员中，至少消费两次的会员有40位，所以估计一位会员至少消费两次的概率为100＝0.4.(2)该会员第1次消费时，公司获得的利润为200－150＝50(元)．50＋40第2次消费时，公司获得的利润为200某0.95－150＝40(元)，所以，公司获得的平均利润为＝245(元)。

概率与统计是高考考查的核心内容之一，在高考中一般有1～2个选择或者填空题，一个解答题．选择或者填空题有针对性地考查概率或统计学问，主要是对基本概念和基本抽样方法的考查，试题的难度一般不大；解答题考查多在概率与统计、算法框图等学问交汇处命题，重点考查抽样方法，频率分布直方图和回归分析或独立性检验，留意加强抽样后绘制频率分布直方图，然后作统计分析或求概率的综合练习．1 古典概型与统计图表结合概率与与统计图表相结合是高考考查圆锥曲线的一个重要命题点，在历年的高考试题中曾多次毁灭．需娴熟把握．我们主要要把握频率分布直方图、茎叶图、频率分布密度曲线的几何意义。

例 1 【2022高考辽宁理第18题】一家面包房依据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（1）求在将来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率； （2）用X 表示在将来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X 及方差()D X . 思路分析：（Ⅰ）设1A 表示大事“日销售量不低于100个”，2A 表示大事“日销售量低于50个”，B 表示大事“在将来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此可求出1()0.6P A =，2()0.15P A =，利用大事的独立性即可求出()P B ；(Ⅱ)由题意可知X ~B (3,0.6),所以即可列出分布列，求出期望为E (X )和方差D （X ）的值.2 古典概型与统计的数字特征相结合概率与统计的数字特征相结合进行考查是概率统计考查得一个主要内容。

主要要求我们把握统计的常见的数字特征的算法，比如中位数、平均数、众数、方差和标准差． 例 2 【2022高考大纲理第20题】设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.（I ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（II ）X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望.思路分析：（I ）首先用字母表示有关的大事，i A 表示大事：同一工作日乙、丙恰有i 人需使用设备，0,1,2i =；B 表示大事：甲需使用设备；C 表示大事：丁需使用设备；D 表示大事：同一工作日至少3人需使用设备．将D 分解为互斥大事的和：122D A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅，再利用互斥大事的概率加法公式计算()P D ；（II ）X 的可能取值为0，1，2，3，4．先用分解策略求分别()()0,1,2,3,4P X i i ==，最终利用离散型随机变量数学期望公式求EX 的值．。