《等比数列的前n项和公式》教学设计的反思
数学科组邓美玉
1.情境创设与反思
1.1 情境设计
《数学课程标准》中明确指出:教材应注意创设情境,从具体实例出发,展现数学知识的发生、发展过程,使学生能够从中发现问题、提出问题,经历数学的发现和创造过程,了解知识的来龙去脉.这既是对教材编写的建议,也是对课堂教学实践的要求.因此,在教学设计中进行了一定的问题情境创设.
情境:某公司由于资金短缺,决定向银行进行贷款,双方约定,在3年内,公司每月向银行借款10万元,为了还本付息,公司第一个月要向银行还款10元,第二个月还款20元,第三个月还款40元,……,即每月还款的数量是前一个月的2倍.请问:假如你是公司经理或银行主管,你会在这个合约上签字吗?
1.2 情境设置的反思
教学情境是教师为了发展学生的心理机能,通过调动学生的“情商”,激发学生的兴趣、求知欲等非智力因素来增强教学效果而营造的情绪氛围.建构主义学习理论认为:学习是学生主动的建构活动,学习应与一定的情境相联系,在实际情境下进行学习,有利于学生用原有的知识和经验去同化或顺应当前要学习的新知识.创设教学情境,让学生“触境生情”,既可以掌握数学知识和技能,又可以体验教学内容中的情感,使原本枯燥的、抽象的数学知识变得生动形象,饶有趣味.但如何设计问题情境,才能使数学知识的发生及形成更为自然,更能贴近学生的认知特征?这应该是每一位教师进行教学设计的重要切入点.
情境突出教育的激励功能,对学生的成长有良好的心理暗示作用.应该引起注意的是,问题情境并不单一的指向实例或情景,它还包括问题、活动、实验、叙述等多种形式.绝不能把应用作为数学课程的唯一目标,数学还应具备抽象的心智训练功能.根据高中学生的认知特征,可以保持对数学问题的适度抽象,课堂教学是应用价值与理性价值的统一.苏教版教材正是依据这样的理念进行编写的.教材中,确实有许多章节都是以入口较浅的、学生能理解的生活实例或其他实例,来引发学生思考的,这是章节的主背景,但也有以问题形式引领章节内容的,这是章节的生长点,是章节的核心内容或研究方法的出发点.而本节内容的教材处理方式属于后者,直接以问题为情境引发学生探索.也不失为一种好的情境设置.
2.公式推导与反思
2.1 探究设计
丰富学生的学习方式,改进学生的学习方法是高中数学新课程的基本理念.《数学课程标准》明确指出:教学中,应鼓励学生积极参与教学活动,包括思维的参与和行为的参与.既要有教师的讲授和指导,也有学生的自主探索与合作交流.鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径,使他们经历知识形成的过程.为贯彻该理念,数学探究活动成了课堂教学的全新教学方式.
对等比数列的前n和公式的推导,设计了如下探究方案
方案:复习等差数列的前n项和公式的推导方法:将a1与a n、a2与a n-1,所有与首末等距离两项交换位置,得到S n的倒序和的形式,然后两式相加.这样2S n就是一个有n 项的每一项都是a1a n的常数列,从而导出S n的公式.
激发学生类比联想:等比数列是不是也可以用类似的方法进行求和呢?让学生亲自去试一试.这时候学生们很自然的会用倒序相加的方法来进行思考.结果显然是行不通的.
教师适时点拔,引导学生进行思维发散——从倒序相加的定势中解脱出来.等差数列的求和方法,形式上是倒序相加,本质上就是消去数列中项与项之间的差异,把省略号(……)的
“无形”化为“有形”(上下对应两项的和都等于a1a n).对于等比数列而言,难点也是如何把省略号(……)的“无形”化为“有形”?引导学生从等比数列的定义出发,进一步认识等比数列从第二项起,每一项都是前一项的q倍,也就是说将每一项乘以q以后就变成了它的后一项.那么将S n 这个和式的两边同时乘以q,则在q S n这个和式与S n的和式中,就会出现许多相同的项.这样通过两个和式相减,自然可以将省略号(……)的“无形”化为“无影”(相同项相减等于0).
2.2 探究方案的反思
数学探究是高中数学课程中引入的一种新的学习方式,它有利于学生形成功能良好的认知结构.在问题探究过程中,学生通过思考、操作、内化等学习过程,深化知识和方法的建构,同时也不断地促进学生主动参与学习,使课堂教学真正做到让学生“动起来”,让课堂“活起来”.
探究方案借助推导等差数列求和公式的思想方法,类比寻求推导等比数列的前n项和公式的方法,则更符合高一学生的认知特征.应该说等差和等比数列的求和公式的推导方法,从数学思想和数学方法上讲是一致的,都是将“无限”化为“有限”,但是它们也有差异,即错位的方法不同.正是由于这种差异,致使很多参赛教师都错误地认为:不能通过类比推理探究等比数列的前n项和公式的推导方法.实际上,他们是基于这样的错误认识:通过运算方式的类比,由等差数列的前n项和．公式只可以类比得出等比数列的前n项积．公式.而这里却是解题方法的类比.
从认知层面看,在陈述性知识、程序性知识与策略性知识的分类中, 等比数列的前n项和公式属于学生最高需求层次的掌握策略与方法的策略性知识.因此,本节内容的重点有两个,一个是掌握等比数列的前n项和公式,一个是掌握公式推导中涉及到的数列求和方法——错位相减法.在一节课的时间内要达到这样的双重目的,时间是教学设计时必须考虑的要素,方案5利用类比进行公式推导,应该说很好地解决了这个问题.既使求和方法得以同化,形成能力,又节省时间便于知识的强化.
我们必须承认:在数学课堂教学中,实施探究教学是基于新课程理念的教师的一种追求,长期渗透于教学之中,势必会取得显著的成效.但我们还应该意识到,探究教学需要花费很多时间.正如《数学课程标准》中的要求“高中阶段至少应为学生安排1次数学探究活动.还应将课内与课外有机地结合起来.”再说,探究教学还受教学进度、教学内容、教师精力、班级人数等等条件制约,特别是新教材课时紧、任务重,每课必探究是不现实的,真正意义上的探究教学也是不容易的.教师应善于根据不同的教学内容、灵活应用不同的教学方法.教师谋求的是不同教学方式之间的平衡与互补,寻求的是不同教学方法的一种最佳的整合.该“探究”就探究,该“接受”就接受.只有多种教学方法取长补短、平衡互补、相辅相成,才能促使学生的最优发展.
结果因过程而精彩,现象因方法而生动.无论是情境创设,还是探究设计,都必须以学生为主体、教师为主导、训练为主线,设法从庞杂的知识中引导学生去寻找关系,挖掘书本背后的数学思想,建构基于学生发展的知识体系,教学生学会思考,让教学真正成为发展学生能力的课堂活动.
虽然数学课堂由表演走向对话,由预设走向生成,已是大势所趋,人心所向,但进行教学设计依然是重要的备课活动,只有充分研究教材中知识的形成与发展过程,关注学生的学情和思维“最近发展区”,学生的主体地位才有可能体现,学生的潜能才有可能被开发,课堂才有可能鲜活.
