方差与标准差PPT课件

在实际生活中的应用
金融风险评估
在金融领域，方差和标准差用 于评估投资组合的风险，以确 定投资策略。
市场调研
在市场调研中，方差和标准差 用于分析不同产品或品牌的市 场表现，以指导营销策略。
质量控制
在生产过程中，方差和标准差 用于监测产品质量，以确保产 品的一致性和稳定性。
05
例题选讲
例题一：计算一组数据的方差和标准差
平方差值
04 $(-2)^2 = 4, (-1)^2 = 1, 0^2
= 0, 1^2 = 1, 2^2 = 4$
总和
$4+1+0+1+4 = 10$
05
标准差
06 $sigma = sqrt{frac{10}{5}} =
sqrt{2}$
04
方差和标准差的应用
在数据分析中的应用
描述数据的离散程度
02
当一组数据的标准差较大时，说 明这组数据的离散程度较大；当 标准差较小时，说明这组数据比 较集中。
02
方差的计算方法
计算公式
02
01
03
方差计算公式：$S^{2} = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n}(x_i - bar{x})^{2}$
其中，$n$为数据个数，$x_i$为每个数据，$bar{x}$ 为数据平均值。
例题三：比较两组数据的离散程度
题目
比较两组数据：A组数据为2，4，5，7，10；B组数据为3，5，6，8，9。
解答
为了比较两组数据的离散程度，我们可以计算每组的方差或标准差，然后进行 比较。通过计算可得A组的方差或标准差大于B组的方差或标准差，因此A组数 据的离散程度更大。
THANK YOU

如果将每次的差都平方再求和，能解决上面的问题 吗？试一下……
此时甲求和后为2，乙求和后为16，可以 解决上面的问题。那么这种方法适用于 所有的情况吗？看一下下面的问题，想 一想，算一算，再来给出你的结论吧！
• 如果一共进行了七次射击测试， 而甲因故缺席了两次，怎样比 较谁的成绩更稳定呢？用上面 甲 成 7 的方法计算一下填入下面的表 绩 格中，然后想一下这种方法适 差 用吗？如果不适用，应该如何 的 1 改进呢？ 对，有的同学已经发现了这种 方法在这里看似是适用的，但 仔细想来两组数据并不一样多， 这样对数据多的一组来说不公 平！那么应该怎样解决呢？
2
一般步骤：
求平均－再求差－然后平方－最后再平均
方差越大, 波动越大，越不稳定。
例: 为了考察甲、乙两种小麦的长势,分别 从中抽出10株苗，测得苗高如下(单位:cm): 甲: 12
16 乙: 11 19
13
13 16 6
14
11 17 8
15
15 14 10
10
11 13 16
问哪种小麦长得比较整齐?
平 方
1
2
8
3
8
4
8
5 6 7
求和
缺9 缺 席 席
0
0
0
∕ 1∕
8 7 9 1 0
2
乙 成 10 6 绩
差 的 平 方
10 6
4
4
4
4
1 18
对，咱们的同学真聪明！ 求平均数就可以解决了！
方差：
一组数据中，各数据与它们的平均 数的差的平方的平均数。 计算公式：
1 2 2 2 S ＝ x1 x x2 x „ xn x n

金融风险评估
在金融领域，方差和标准差被用于评估投资组合的风险。通过计算投资组合收益率的方差 和标准差，投资者可以了解投资组合的风险水平。
质量控制
在生产过程中，方差和标准差可用于质量控制。通过监测产品特性的方差和标准差，可以 了解生产过程的稳定性和产品质量的一致性。
社会科学研究
在社会学、心理学和经济学等社会科学研究中，方差和标准差被用于分析调查数据和研究 结果。例如，通过比较不同群体之间的方差和标准差，可以了解它们之间的差异和相似性 。
中，可以用于分析消费者偏好的分散程度。
案例二：统计学中的方差和标准差应用
总结词
阐述方差和标准差在统计学中的重要性和应用，如何利用它们进行假设检验、回归分析和方差分析等 统计方法。
详细描述
在统计学中，方差和标准差是基础概念，广泛应用于各种统计方法。例如，在假设检验中，方差分析 可以用来比较两组或多组数据的差异；在回归分析中，方差和标准差可以用来评估模型的拟合度和预 测精度；在方差分析中，方差和标准差可以用来比较不同因素对数据变异的贡献程度。
《方差和标准差》ppt课件
• 方差概述 • 标准差概述 • 方差和标准差的应用 • 方差和标准差的比较 • 案例分析
01 方差概述
方差的定义
方差是用来度量一组数据分散程度的统计量，其计算公式为：方差 = Σ[(x_i μ)^2] / (n-1)，其中x_i表示每个数据点，μ表示平均值，n表示数据点的数量。
标准差的作用和意义
总结词
标准差在统计学中具有重要的意义，它可以用于比较不同数据的离散程度、评估数据的稳定性、进行假设检验等 。
详细描述
标准差是衡量数据分散程度的重要指标，它可以用来比较两组或多组数据的离散程度，从而了解数据的稳定性或 波动性。在假设检验中，标准差可以用于计算样本的置信区间和显著性水平。此外，标准差也是许多统计模型和 算法的重要参数，如线性回归、方差分析等。

11
由于方差S2的单位与原始数据单位不一致，因此在实际 应用中常常求出方差后，再求它的算术平方根，这个算术平 方根称为这组数据的标准差，用S表示.
s = (x1 - x)2 + (x2 - x)2 + L (xn - x)2 . n
标准差也是表示一组数据离散程度的量.
-
12
三、拓展提升：
1、甲、乙两种五组（一组20棵
882 － 600=282（毫米）
639 － 600=39(毫米)
偏差
513 － 600=－87(毫米)
366 － 600=－234(-毫米)
4
二、合作探究 （1）
能用偏差的和表示一组数据 的离散程度吗？ 偏差和是多少？
这是不是偶然 现象呢？
-
5
丰水年、平水年、偏枯年、特枯年的降水量与年平均降 水量的差分别是282毫米、 39毫米、 － 87毫米、 －234毫米.
（1）求大刚进球个数的平均数； （2）求大刚进球个数的方差.
解:（1）大刚进球个数的平均数为
x = 5 + 4 + 5 + 3 + 3 + 5 + 2 + 5 + 3 + 5 =4(个); 10
（2）大刚进球个数的方差为
s2
=
(5 -
4)2
+
(4
-
4)2
+ (5 10
4)2
+L
+ (5 - 4)2
=1.2
n
x
)2＋
……
＋（xn－
x)2
-
7
计算方差的思路总结：
先平均，后偏差。 平方和，再平均。

甲: 7, 8, 7, 9, 5, 4, 9, 10, 7, 4
乙: 9, 5, 7, 8, 7， 6, 8, 6, 7, 7 如果你是教练，你应该如何对这次射击情况作出评价?如 果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？
解：x 甲 1 1(7 0 8 7 9 5 4 9 1 0 7 4 ) 7
思考：1.标准差s的取值范围是：s 0
2.怎样求样本标准差？ 答：先求样本的平均数，再求方差，最后求标准差. 3.标准差是怎样刻画数据的离散程度大小的呢？ 标准差越大，数据的离散程度就越大，也就是越不稳定； 标准差越小，数据的离散程度就越小，也就是越稳定. 4.标准差为0时的样本数据有什么特点？ 答:所有的样本数据都等于样本平均数.
5 x 乙 1 （ 9 .4 1.3 0 1.8 0 9 .7 9 .8 ) 10
5
s 甲 2 [9 .8 ( 1 ) 2 0 ( 9 .9 1 ) 2 0 ( 1 .1 0 1 ) 2 0 ( 1 1 0 ) 2 0 ( 1 .2 0 1 ) 2 ] 0 5
1 x 乙 1(9 0 5 7 8 7 6 8 6 7 7 ) 7
s 甲 1 1 [7 0 ( 7 )2 (8 7 )2 (7 7 )2 (4 7 )2 ] 2
s 乙 1 1 [9 0 ( 7 )2 (5 7 )2 (7 7 )2 (7 7 )2 ] 1 .1
解：众数是1.75米，说明跳1.75米的人数最多.
中位数是1.70米，说明1.70米以下和1.70米以上的数 据个数相等.
平均数是1.69米，说明所有参赛运动员的平均成绩是1.69米.
归纳：
众数、中位数，平均数都是用来描述一组数据的集中趋势。

离散程度的统计指标。
离差平方和法和枚举
根，衡量数据集的离
法。
散程度和平均偏离程
度。
4 方差和标准差在金融、质量控制等
领域有广泛应用。
5 方差和标准差的计算存在局限性。
品质控制
方差和标准差可以评估产品制造过程中的变异性，从而改进产品的质量。
研究统计
方差和标准差在科学研究中能够帮助分析实验数据的稳定性和结果的可靠性。
方差与标准差的局限性
方差和标准差是衡量数据离散程度的有力工具，但在某些情况下可能存在局限性，例如对异常值的敏感性。
结论和要点
1 方差是衡量数据集合 2 方差的计算方法包括 3 标准差是方差的平方
方差的计算方法
离差平方和法
将每个数据点与均值的差值平方，然后将这些差值 平方值相加得到离差平方和，再除以数据点的个数。
枚举法
逐个计算每个数据点与均值的差值的平方，然后将 这些差值平方值相加得到方差。
标准差的定义
标准差是方差的平方根，它衡量了数据集的离散程度，以及数据点与均值的 平均偏离程度。
标准差与方差的关系
1
相互关联
标准差是方差的平方根，两者的数值大小与数据集的离散程度息息相关。
2
共同应用
方差和标准差在统计学、金融、质量控制等领域具有广泛的应用，能够帮助揭示 数据的分布规律和稳方，而标准差更关注离散程度的平均偏离程度。
方差与标准差的应用
财务管理
方差和标准差可用于衡量投资组合中的风险，帮助投资者做出明智的决策。
方差与标准差ppt课件
欢迎来到方差与标准差的PPT课件！今天我们深入探讨方差和标准差的定义、 计算方法以及它们在实际应用中的重要性和局限性。
方差的定义

详细描述
通过对一个班级的学生成绩进行均值分析， 可以了解整体平均水平；通过方差分析，可 以了解成绩分布的离散程度，即个体成绩与 平均成绩的偏差程度；通过标准差分析，可 以进一步了解成绩分布的稳定性，即成绩分 布是否过于集中或分散。
实例二
总结词
投资组合风险的均值、方差和标准差分析有 助于评估投资组合的风险水平。
06
详细描述
方差越小，说明数据点越集中在平均值周围， 数据的离散程度越低。
方差和标准差的关系
总结词
标准差是方差的平方根
详细描述
标准差是方差的平方根，用于衡量数据的离散程度。标 准差的单位与数据的单位相同，而方差的单位是该数据 的单位的平方。
总结词
标准差和方差具有相同的符号
详细描述
如果数据的方差为正，则标准差也为正；如果方差为负 ，则标准差也为负。这是因为标准差是方差的平方根， 所以它们的符号必须相同。
均值、方差、标准差之间的关 系
均值和方差的关系
总结词
方差越大，数据分布越分散
01
总结词
均值相同，方差不一定相同
03
总结词
方差越小，数据越集中
05
02
详细描述
方差是衡量数据点与平均值之间离散程度的 指标。方差越大，说明数据点在平均值周围 的分布越分散，离散程度越高。
04
详细描述
即使两个数据集的平均值相同，它们 的方差也可能不同。这取决于数据点 与平均值的离散程度。
其中 $n$ 是数值的个数，$x_i$
是每一个数值。
计算方法
首先，将所有数值加起来得到总和。 然后，将总和除以数值的个数得到均值。
均值的应用
描述一组数据的“平均水平”。 比较不同组数据的“平均水平”。

2 月 23 日 14
ห้องสมุดไป่ตู้
2 月 24 日 22
2 月 25 日 6
2 月 26 日 8
2 月 27 日 9
2 月 28 日 12
2002年 13 13 12 9
11 16 12 10
这是不是说，两个时段的气温情况没有 什么差异呢？
下图是根据两段时间的气温情况绘成 的折线图．
观察一下，它们有区别吗？说说你观察 得到的结果．
极差、方差与标准差
下表显示的是上海2001年2月下旬和 2002年同期的每日最高气温，如何对这 两段时间的气温进行比较呢？ 2 月 21 日 2001年 12 2 月 22 日 13 2 月 23 日 14 2 月 24 日 22 2 月 25 日 6 2 月 26 日 8 2 月 27 日 9 2 月 28 日 12
2002年 13 13 12 9
11 16 12 10
从表中你能得到哪些信息？
比较两段时间气温的高低，求平均气 温是一种常用的方法．
经计算可以看出，对于 2 月下旬的这 段时间而言，2001年和2002年上海地区的 平均气温相等，都是12度．
2 月 21 日 2001年 12
2 月 22 日 13
什么样的指标可以反映一组数 据变化范围的大小？
用一组数据中的最大值减去最小 值所得到的差来反映这组数据的变化 范围．用这种方法得到的差称为极差 （range）．
为什么说图中的两个城市，一个“四 季分明”，一个“四季温差不大”？
下图是某年布宜诺斯艾利斯和伊 基托斯两地的气温与降水图． 两地的年平均气温是多少？
两地这一年气温的极差分别是 多少？
在生活中，我们常常会和极差 打交道．班级里个子最高的学生比 个子最矮的学生高多少？家庭中年 纪最大的长辈的年龄比年纪最小的 孩子大多少？这些都是求极差的例 子． 你还能举出其他的求极差的例 子来吗？

方差的意义
01
方差是衡量数据分散程度的重要指标，可以用 于比较不同数据集的离散程度。
02
方差在统计学中有着广泛的应用，如回归分析 、假设检验等。
03
通过对方差的分析，可以了解数据的波动情况 ，为决策提供依据。
02
标准差的概念
标准差的定义
01
标准差是用来衡量一组数据离散 程度的统计量，其计算方法为各 数据与平均数之差的平方的平均 数再取平方根。
方差与标准差的联系
方差和标准差都是衡量数据离散程度的统计量，它们之间存 在密切的联系。具体来说，标准差是方差的平方根，因此方 差和标准差的值会随着数据的波动而变化，但方向是一致的 。
当我们比较不同数据集的离散程度时，可以使用方差或标准 差来进行比较。由于标准差具有单位，因此在比较不同数据 集时，使用标准差更为直观和方便。
05
方差与标准差的实例分析
方差实例分析
1 2
3
方差实例1
一组学生的考试成绩，通过计算方差，可以了解成绩的离散 程度，即学生的成绩分布情况。
方差实例2
股票价格的波动，通过计算股票价格的方差，可以了解价格 的波动情况，从而评估投资风险。
方差实例3
体育比赛中的射击或者投篮成绩，通过计算方差，可以了解 运动员的技术稳定程度。
方差的大小表示数据点与平均值之间的离散程度，方差越大，数据点越离散；方 差越小，数据点越集中。
方差的计算方法
01
计算每个数据点与平均值的差值，即(x_i - μ) 。
03
将所有差值的平方相加，即Σ[(x_i - μ)^2]。
02
将每个差值平方，即(x_i - μ)^2。
04
将总和除以数据的数量减一，即Σ[(x_i - μ)^2] / (n1)，得到方差。

课堂练习
【训练 5】在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没 有发生大规模群体感染的标志为“连续 10 天，每天新增疑似病例不超过 7 人”， 根据过去 10 天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 () A.甲地：总体平均数为 3，中位数为 4 B.乙地：总体平均数为 1，总体方差大于 0 C.丙地：中位数为 2，众数为 3 D.丁地：总体平均数为 2，总体方差为 3
提示：平均数相同只能说明五次射击的平均环数一样， 但是并不知道其稳定性怎么样.
新知探索 知识点一：极差
一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的 差.不难看出,极差反映了一组数的变化范围,描述了这组 数的离散程度.
注意：极差反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数 据中的极端值极为敏感，极差只需考虑两个极端值，便于 计算，但没有考虑中间的数据，可靠性较差.
即时训练 知识点二：方差与标准差
【解析】(1)甲组：最高分为 95 分，最低分为 60 分，极差为 95－60＝35(分)， 平均分为甲＝110×(60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋95＋80)＝79(分)， 方差为 s2甲＝110×[(60－79)2＋(90－79)2＋(85－79)2＋(75－79)2＋(65－79)2＋(70 －79)2＋(80－79)2＋(90－79)2＋(95－79)2＋(80－79)2]＝119， 标准差为 s 甲＝ s2甲＝ 119≈10.91(分).
,
.
【解析】(1)将每一个数乘以 10,再减去 190,可得
为
方差为
这组新数的平均数
由此可知,所求平均数为 19.2,方差为
.
教材例题
(2)可将数据整理为

x 甲 =8（环） x 乙 =8（环）
教练的烦恼
甲，乙两名射击手的测试成绩统计如下：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲命中环数 6
8
8
8 10
乙命中环数 10 6 10 6
8
⑴ 请分别计算两名射手的平均成绩；
⑵ 请根据这两名射击手的成绩在 成绩（环）
下少？
1、方差是衡量数据稳定性的一个统计量； 2、要求某组数据的方差，要先求数据的平均数； 3、方差的单位是所给数据单位的平方； 4、方差越大，波动越大，越不稳定；
方差越小，波动越小，越稳定。
例题精选
例 为了考察甲乙两种小麦的长势，分别从中
抽出10株苗，测得苗高如下（单位：cm）： 甲：12，13，14，15，10，16，13，11，15，11； 乙：11，16，17，14，13，19， 6， 8，10，16；
问：哪种小麦长得比较整齐？
解: X甲＝
1 (12 13 14 15 10 16 13 1115 11) 13（ cm） 10
X乙＝
1 (11 16 17 14 13 19 6 8 10 16) 13（cm） 10
S2甲＝110 (12 13)2 (13 13)2 (11 13)2 3.6（cm2）
B厂：39.8，40.2，39.8，40.2，39.9， 40.1，39.8，40.2，39.8，40.2.
你认为哪厂生产的乒乓球的直径与标准的误差更小呢?
现在可以判断了吗？试试看。
标准差的定义
为了使得与数据单位一致，可用方差的 算术平方根来表示（即标准差）：
S 1 (x x) (x x)2 (x x)2
S2乙＝
1 10
(11
13) 2

极差、四分位数间距应用
01
02
03
极差
一组数据中最大值与最小 值之差，反映数据的波动 范围。
四分位数间距
上四分位数与下四分位数 之差，反映中间50%数据 的离散程度。
应用
在数据分析中，极差和四 分位数间距常用于初步了 解数据的分布情况和离散 程度。
平均差、方差和标准差比较
平均差
所有数据与平均数之差的绝对值的平 均数，反映数据离散程度的另一种方 法。
04
概率论中方差与标准差应用
随机变量及其分布概述
随机变量定义
随机变量是描述随机试 验结果的变量，常用大
写字母表示。
离散型随机变量
取值可数的随机变量， 如抛硬币试验中的正面
、反面次数。
连续型随机变量
取值充满某个区间的随 机变量，如测量误差、
气温等。
随机变量的分布
描述随机变量取值的概 率分布，包括离散型分
的平均数。
性质
01
02
03
方差非负。
方差反映了一组数据与其平 均数的偏离程度。
04
05
如果一组数据中的每一个数 都加上或减去一个常数，方
差不变。
标准差定义及性质
定义：标准差是方差的算术平方根，用s 表示。
对于同一组数据，标准差越小，说明数 据越集中；标准差越大，说明数据越分 散。
标准差反映了数据与平均数的偏离程度 ，但与方差相比，它提供了更直观的度 量单位。
标准差
标准差是方差的算术平方根，用s表示。标准差用s表示。标 准差在数学上定义为方差的平方根，标准差与方差一样，表 示的也是数据点的离散程度。
样本波动大小描述方法
样本方差
样本方差是各样本数据与其平均 数差的平方和的平均数，用s^2 表示。样本方差用于描述样本数 据的离散程度。