平面向量知识点汇总
基本知识回顾：
1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.
2.向量的表示方法：
①用有向线段表示-----AB u u u r
(几何表示法)；
②用字母a r 、b r
等表示(字母表示法)；
③平面向量的坐标表示（坐标表示法）：
若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=，222121()()AB x x y y =-+-3.零向量、单位向量：
①长度为0的向量叫零向量，记为0；
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.就是单位向量）
4.平行向量：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②我们规定0r 与任一向量平行.向量a r 、b r 、c r 平行，记作a r ∥b r ∥c r
.共线向量与平行向量
关系：平行向量就是共线向量.
性质：//(0)(a b b a b λλ≠⇔=r u r r r r r 是唯一）||b a b a a b λλλ⎧⎧>⎪⎪⎨⎪
<⎪⎩⎨⎪
=⎪⎩
u r r
u r r r r 0,与同向方向---0,与反向长度---
1221//(0)0a b b x y x y ≠⇔-=r u r r r （其中 1122(,),(,)a x y b x y ==r u r
）
5.相等向量和垂直向量：
①相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ②垂直向量——两向量的夹角为2
πθ=
性质：0a b a b ⊥⇔=r u r r r
g
12120a b x x y y ⊥⇔+=r u r （其中 1122(,),(,)a x y b x y ==r u r
）
6.向量的加法、减法：
①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。 平行四边形法则：
AC a b =+u u u r r r
（起点相同的两向量相加，常要构造平行四边形）
DB a b
=-
u u u r r r
三角形法则
,
---
⎧
⎨
---
⎩
加法首尾相连
减法终点相连方向指向被减数
差向量的意义：
OA= a
r
, OB=b
r
, 则BA
=a
r
-b
r
③平面向量的坐标运算：若
11
(,)
a x y
=
r
，
22
(,)
b x y
=
r
，则a b
+
r
r
)
,
(
2
1
2
1
y
y
x
x+
+
=，a b
-
r
r
)
,
(
2
1
2
1
y
y
x
x-
-
=，(,)
a x y
λλλ
=
r
。
④向量加法的交换律：a+b=b+a；向量加法的结合律：(a+b) +c=a+ (b+c) 7．向量的模：
1、定义：向量的大小，记为 |a
r
| 或 |AB
u u u r
|
2、模的求法：
若(,)
a x y
=
r
，则 |a
r
|22
x y
=+
若
1122
(,),(,)
A x y
B x y，则 |AB
u u u r
|22
2121
()()
x x y y
=-+-
8．实数与向量的积：实数λ与向量a
ρ
的积是一个向量，记作：λa
ρ
（1）|λa
ρ
|=|λ||a
ρ
|；
（2）λ>0时λa
ρ
与a
ρ
方向相同；λ<0时λa
ρ
与a
ρ
方向相反；λ=0时λa
ρ
=0；
（3）运算定律λ(μa
ρ
)=(λμ)a
ρ
，(λ+μ)a
ρ
=λa
ρ
+μa
ρ
，λ(a
ρ
+b
ρ
)=λa
ρ
+λb
ρ
交换律：a b b a
=
r r r r
g g;
分配律：()a b c a c b c +=+r r r r r r r
g
g g (λa )·b r =λ(a ·b r )=a ·(λb r
);
9. 向量a 和b 的数量积：
①a ·b =| a |·|b |cos θ，其中θ∈[0，π]为a 和b 的夹角。 ②|b |cos θ称为b 在a 的方向上的投影。
③a ·b 的几何意义是：b 的长度|b |在a 的方向上的投影的乘积，是一个实数（可正、可负、也可是零），而不是向量。
④若a =（1x ，1y ）, b =（x 2，2y ）, 则2121y y x x b a +=•ρ
ρ
⑤运算律：a · b =b ·a , (λa )· b =a ·(λb )=λ（a ·b ）， （a +b ）·c =a ·c +b ·c 。
⑥a 和b 的夹角公式：cos θ=a b
a b
•⋅r
r r r ＝
22
22
21
2
12121y
x y x y y x x +⋅
++
⑦==•2a a a ρρρ|a |2=x 2+y 2
，或|a |=2
2
2
a
y x =+⑧| a ·b |≤| a |·| b |。
)3
,3(
3
21321y y y x x x ++++
10.两个向量平行的充要条件：
符号语言：若→
a ∥→
b ，→
a ≠→
0，则→
a =λ→
b
坐标语言为：设→
a =（x 1,y 1），→
b =(x 2,y 2)，则→
a ∥→
b ⇔(x 1,y 1)=λ(x 2,y 2)，即⎩⎨⎧λ=λ=21
21y y x x ，
或x 1y 2-x 2y 1=0
在这里，实数λ是唯一存在的，当→
a 与→
b 同向时，λ>0；当→
a 与→
b 异向时，λ<0。 |λ|=
|
b ||a |→
→
，λ的大小由→a 及→b 的大小确定。因此，当→a ，→
b 确定时，λ的符号与大小就确
定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。 11.两个向量垂直的充要条件：
符号语言：→
a ⊥→
b ⇔→
a ·→
b =0
坐标语言：设→
a =(x 1,y 1), →
b =(x 2,y 2)，则→
a ⊥→
b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0
