初中数学“平方根”与“立方根”知识点小结教学文案
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初中数学“平方根”与“立方根”知识点
小结
“平方根”与“立方根”知识点小结
一、知识要点
1、平方根:
⑴、定义:如果x2=a,则x叫做a的平方根,记
作“a称为被开方数)。
⑵、性质:正数的平方根有两个,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根。
⑶、算术平方根:正数a的正的平方根叫做a的
2、立方根:
⑴、定义:如果x3=a,则x叫做a的立方根,记
a称为被开方数)。
⑵、性质:正数有一个正的立方根;0的立方根是0;负数有一个负的立方根。
3、开平方(开立方):求一个数的平方根(立方根)的运算叫开平方(开立方)。
二、规律总结:
1、平方根是其本身的数是0;算术平方根是其本身的数是0和1;立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根,其中正的那个是算术平方根;任何一个数都有唯一一个立方根,这个立方根的符号与原数相同。
3
≥0
义的条件是a≥0。
4、公式:⑴
2=a(a≥0
=
(a取任何数)。
5、非负数的重要性质:若几个非负数之和等于0,则每一个非负数都为0(此性质应用很广,务必掌握)。
例1求下列各数的平方根和算术平方根
(1)64;(2)2)3
(-;(3)
49
15
1;⑷
2
1
(3)
-
例2 求下列各式的值
(1)81
±;(2)16
-;(3)
25
9
;(4)2)4
(-.
(5)44
.1,(6)36
-,(7)
49
25
±(8)2
)
25
(-
例3、求下列各数的立方根:
⑴ 343;⑵
10
2
27
-;⑶ 0.729
二、巧用被开方数的非负性求值.
大家知道,当a ≥0时,a 的平方根是±a ,即a 是非负数.
例4、若,622=----y x x 求y x
的立方根.
练习:已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.
三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值. 我们知道,当a ≥0时,a 的平方根是±
a ,而.0)()(=-++a a
例5、已知:一个正数的平方根是2a-1与2-a ,求a 的平方的相反数的立方根.
练习:若32+a 和12-a 是数m 的平方根,求m 的值.
四、巧解方程
例6、解方程(1)(x+1)2=36 (2)27(x+1)3=64
五、巧用算术平方根的最小值求值.
我们已经知道0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.
例4、已知:y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时,y 也有不同的值.当y 最小时,求b a 的非算术平方根.
练习①已知233(2)0x y z -+-++=,求xyz 的值。 ②已知互为相反数,求a ,b
的值。
六、实数
1、实数:有理数和无理数统称为实数.我们一般用下列两种情况将实数进行分类:
①按属性分类: ②按符号分类
2.关于有理数的运算法则:运算规律和运算性质,在进行实数运算时仍适用.在实数范围内,不仅可以进行加.减.乘.除.乘方运算,而且正数和零总可以进行开平方运算,任何一个数都可以开立方运算.
3.实数和数轴上的点的对应关系:实数和数轴上的点一一对应,即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示.反过来,数轴上的每一个点都可以表示一个实数.我们可以用几何作图方法,在
数轴上表示某些无理数,如
、
等.
思考:(1)-a 2一定是负数吗?-a 一定是正数吗?
(2)大家都知道是一个无理数,那么
-1
在哪两 个整数之间?
(3)15的整数部分为a,小数部分为b,则a=____, b=____
(4)实数包括____________或__________________; (5)下列各数:
3
3
5,π,0.28,04,
3.14159,0.121121112L ,322
7
.其中无理数有( )个
七、实数大小比较的方法
一、平方法 比较2
3
和3的大小
二、移动因式法 比较32和23的大小
三、求差法 比较2
1
5-和1的大小
四、求商法 比较53
4
和11的大小
练习:比较下列各组数的大小:
①2-和3-;②3和23-;③15和
5
43; ④7-和-2.45。
八、解答题(每题4分,共8分) 1、当2
1
≤
a 时,化简|12|4412-++-a a a
2、已知实数a 、b 在数轴上表示的点如上图,
化简
b a ++2)1(+-b a
b
10
a -1