备战中考数学(青岛版)综合能力提升练习(含解析)

2024年山东省青岛市九年级中考数学模拟冲刺试题一、单选题1．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．2023年，我国将全面推进探月工程，规划包括嫦娥六号、嫦娥七号和嫦娥八号任务，数据384000000用科学记数法表示为（ ） A ．90.38410⨯B ．83.8410⨯C ．738.410⨯D ．638410⨯3．如图中几何体的左视图为（ ）．A ．B ．C ．D ．4．我市今年一月连续10天的最高气温统计如下：则最高气温（单位：C o ）的中位数和众数分别是（ ） A ．4，3B ．5，2C ．5，3D ．4，25．已知直线//a b ，含30︒角的直角三角板按如图所示放置，顶点A 在直线a 上，斜边BC 与直线b 交于点D ，若135∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．35︒B ．45︒C ．65︒D ．75︒6．如图，将ABC V 先向右平移3个单位，再绕原点O 旋转180︒，得到A B C '''V ，则点A 的对应点A '的坐标是（ ）A ．(2,0)B ．(2,3)--C ．(1,3)--D ．(3,1)--7．如图，在O e 中，直径AB 与弦CD 相交于点P ，连接AC ，AD ，BD ，若15C ∠=︒，40ADC ∠=︒，则BPC ∠的度数为（ ）A ．50︒B ．55°C ．60︒D ．65︒8．如图，在四边形ABCD 中，90A ∠=︒，AB =1AD =，点M ，N 分别是边BC ，AB 上的动点（含端点，但点M 不与点B 重合），点E ，F 分别是线段DM ，MN 的中点，则线段EF 长度的最大值为（ ）A ．2 BC ．1 D9．如图，在ABC V 中，8cm AB =，16cm BC =，动点P 从点A 开始沿AB 边运动，速度为2cm/s ；动点Q 从点B 开始沿BC 边运动，速度为4cm/s ；如果P 、Q 两动点同时运动，那么经过（ ）秒时QBP △与ABC V 相似．A ．2秒B ．4秒C ．2或0.8秒D ．2或4秒10．已知二次函数()20y ax bx c a =++<的图象与x 轴的一个交点坐标为()2,0-，对称轴为直线1x =，下列结论中：①0a b c -+>；②若点()13,y -，()22,y ，()36,y 均在该二次函数图象上，则132y y y <<；③方程210ax bx c +++=的两个实数根为12,x x ，且12x x <，则12x <-，24x >；④若m 为任意实数，则29am bm c a ++≤-．正确结论的序号为（ ）A ．①②④B ．①③④C ．②③④D ．①③二、填空题11．计算：3212xy ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．12．反比例函数m y x =的图象经过点,8m A m ⎛⎫⎪⎝⎭，则反比例函数的表达式为．13． 14．若关于x 的一元二次方程 ()2204kkx k x +-+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围15．如图，从一块半径为3m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90︒的最大扇形，则阴影部分的面积为2m ．16．如图，已知正方形ABCD 的边长为12，BE =EC ，将正方形边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于G ，连接DG ，现在有如下4个结论：①△ADG ≌△FDG ；②GB =2AG ；③△GDE ∽△BEF ；④S △BEF =725．在以上4个结论中，其中一定成立的（把所有正确结论的序号都填在横线上）三、解答题17．已知：O ∠及其一边上的两点A ，B ．求作：以AB 为底的等腰ABC V ，使点C 在O ∠的内部，且BAC O ∠=∠．18．(1)化简：244411--+⎛⎫-÷⎪--⎝⎭a a a a a a (2)求不等式组43(1)3252x x x x -⎧⎪⎨--<⎪⎩…的整数解． 19．如图，在平行四边形ABCD 中，AE CF 、分别平分BAD ∠、BCD ∠，分别交BC 、AD 于点E 、F ．(1)求证：ABE CDF △≌△；(2)若=60B ∠︒，2BE CE ==AECF 的面积．20．某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用A ，B ，C ，D表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答以下问题；(1)本次抽取的学生共有_______人，扇形统计图中A 所对应扇形的圆心角是______°，并把条形统计图补充完整；(2)依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，则抽取的这部分学生书写成绩的众数是_______分，中位数是_______分，平均数是_______分；(3)若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有_____人： (4)A 等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率．21．为建设和谐新社区，增强群众幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳棚，便于社区居民休憩（图①）．在侧面示意图中（图②），遮阳棚AB 长为4米，从点A 看棚顶顶点B 的仰角为20︒，靠墙端离地高BC 为5米，当太阳光线AD 与地面CE 的夹角为50︒时，求凉荫处CD 的长．（结果精确到0.1m ，参考数据：sin200.34︒≈，cos200.94︒≈，tan200.36︒≈，sin500.77︒≈，cos500.64︒≈，tan50 1.19︒≈）22．如图，AB 是O e 的直径，AC 是O e 的切线，连接OC ，过B 作BD OC ∥交O e 于点D ，连接CD 并延长，交AB 延长线于E ．(1)求证：CE 是O e 的切线； (2)若2,4BE DE ==，求CD 的长．23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数1y k x b =+（1k ，b 为常数，且10k ≠）与反比例函数2k y x=（2k 为常数，且20k ≠）的图象交于点(),6A m ，()4,3B -．(1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)当210k k x b x>+>时，直接写出自变量x 的取值范围； (3)已知一次函数1y k x b =+的图象与y 轴交于点C ，点P 在x 轴上，若PAC △的面积为8，求点P 的坐标．24．某服装店经销A ，B 两种T 恤衫，进价和售价如下表所示：(1)第一次进货时，服装店用6000元购进A ，B 两种T 恤衫共120件，全部售完获利多少元？ (2)受市场因素影响，第二次进货时，A 种T 恤衫进价每件上涨了5元，B 种T 恤衫进价每件上涨了10元，但两种T 恤衫的售价不变．服装店计划购进A ，B 两种T 恤衫共150件，且B 种T 恤衫的购进量不超过A 种T 恤衫购进量的2倍．设此次购进A 种T 恤衫m 件，两种T恤衫全部售完可获利W 元． ①请求出W 与m 的函数关系式；②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由．25．如图①，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交与()10A ,、()30B -,两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)设抛物线与y 轴交于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ．使得QAC △的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图②，P 是线段BC 上的一个动点．过P 点作y 轴的平行规交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值：26．已知：如图，在四边形ABCD 和Rt EBF △中，//AB CD ，CD AB >，点C 在EB 上，90ABC EBF ∠=∠=︒，8AB BE cm ==，6BC BF cm ==，延长DC 交EF 于点M ，点P 从点A 出发，沿AC 方向匀速运动，速度为2cm s ；同时，点Q 从点M 出发，沿MF 方向匀速运动，速度为1cm s ，过点P 作GH AB ⊥于点H ，交CD 于点G ．设运动时间为()()05t s t <<．解答下列问题：（1）当t 为何值时，点M 在线段CQ 的垂直平分线上？（2）连接PQ ，作QN AF ⊥于点N ，当四边形PQNH 为矩形时，求t 的值；S cm，求S与t的函数关系式；（3）连接QC，QH，设四边形QCGH的面积为()2∠的平分线上？若存在，求（4）点P在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点P在AFE出t的值；若不存在，请说明理由．。

备战2022年中考数学全真模拟卷（山东青岛专用）第一模拟（本卷共24小题，满分120分，考试用时120分钟）一、单选题(共24分)1．(本题3分)32-的绝对值的倒数是（）A．23-B．23C．32-D．32【答案】B【解析】【分析】根据绝对值和倒数的定义进行解答即可．【详解】解：32-的绝对值是32，32的倒数是23．故答案为：B【点睛】本题考查了绝对值、倒数．解题的关键是掌握绝对值和倒数的定义．要注意一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.2．(本题3分)将三个相同的正方体搭成如图所示的几何体，则该几何体的主视图是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图．根据图中正方体摆放的位置判定则可．【详解】解：从正面看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．故选：D．【点睛】本题考查了三种视图中的主视图，正确理解主视图的定义，树立空间观念是解题关键．3．(本题3分)下列说法：①-27的立方根是3；②36的算数平方根是6±；③18的立方根是12；3±．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A【解析】【分析】分别进行立方根运算、算术平方根运算、平方根运算逐个判断即可．【详解】解：①－27的立方根是－3，错误；②36的算数平方根是6，错误；③18的立方根是12，正确；∴正确的说法有1个，故选：A．【点睛】本题考查立方根、算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根和平方根的区别是解答的关键．4．(本题3分)某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（）A．10801080615x x=+-B．10801080615x x=--C．10801080615x x=-+D．10801080615x x=++【答案】C【解析】【分析】设每个A型包装箱可以装书x本，则每个B型包装箱可以装书(x15+)本，所用A型包装箱的数量=所用B型包装箱的数量-6，列分式方程10801080615x x=-+即可．【详解】解：设每个A型包装箱可以装书x本，则每个B型包装箱可以装书(x15+)本，根据题意，得：10801080615x x=-+，故选：C．【点睛】本题考查了列分式方程解应用题，由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出等量关系．5．(本题3分)函数y＝kx﹣k（k≠0）的图象经过点P，且y的值随x的增大而增大，则点P的坐标不可以为（）A．(0，3) B．(﹣1，2) C．(﹣1，﹣1) D．(3，﹣2)【答案】B【解析】【分析】根据函数的增减性判断一次项系数，和常数的取值范围，进而判断函数经过的象限，根据函数经过的象限选出适合的答案即可．【详解】解：∵函数y＝kx﹣k（k≠0）中y的值随x的增大而增大，k>，∴0k-<，∴0∴函数图形经过一三四象限，∵点(﹣1，2)在第二象限，∴不可能为(﹣1，2)，故选：B．【点睛】本题考查一次函数的解析式，一次函数的图像，能够熟练掌握一次函数解析式与函数图象之间的关系是解决本题的关键．6．(本题3分)如图，折叠长方形ABCD纸片，点D落在BC边的点F处（AE为折痕）．已知AB=8，BC=10，则EC等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】【分析】根据勾股定理求出BF的长；进而求出FC的长度；由题意得EF=DE；利用勾股定理列出关于EC的方程，解方程即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴DC=AB=8；∠B=∠C=90°；由题意得：AF=AD=BC=10，由勾股定理得：BF2=AF2-AB2=102-82，∴BF=6，∴CF=BC-BF=10-6=4；设EF=DE=x，EC=8-x；在Rt△EFC中，由勾股定理得：x2=42+（8-x）2，解得：x=5，∴EF=DE=5，∴EC=CD-DE=8-5=3，故选：A．【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理；运用勾股定理得出方程是解决问题的关键．7．(本题3分)若双曲线ayx=在第二、四象限，那么关于x的方程2210ax x++=的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．无实根【答案】A【解析】【分析】由双曲线在ayx=第二、四象限，可得出a<0，进而可得出Δ=22−4a>0，再利用根的判别式可得出于x的方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根．【详解】解：∵双曲线ayx=在第二、四象限，∴a<0，∵关于x的方程ax2+2x+1=0，∴2240a∆=->，∴关于x的方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根．故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数图象与系数的关系以及根的判别式，牢记k<0⇔ayx=(k≠0)的图象在二、四象限是解题的关键．8．(本题3分)如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，OC∥BD，连接AD、CD，若∠C＝28°，则若∠A的大小为（）A．30°B．28°C．24°D．34°【答案】D【解析】【分析】证明∠COB＝∠OBD＝56°，再证明∠ADB＝90°，即可求出∠DAB．【详解】解：∵OC∥BD，∴∠C＝∠CDB＝28°，∴∠COB＝2∠CDB＝56°，∴∠COB＝∠B＝56°，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＝90°﹣56°＝34°，故选：D．【点睛】本题考查圆周角定理，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．二、填空题(共18分)9．(本题3分)我们要“远离毒品，珍惜生命”，科学研究发现某种毒品的分子直径是0.000000056米，则数字0.000000056用科学计数法表示为_________．【答案】5.6⨯10-8【解析】【分析】科学记数法的表现形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n 是正数，当原数绝对值小于1时n 是负数；由此进行求解即可得到答案．【详解】解：数字0.000000056用科学记数法表示为85.610-⨯；故答案为85.610-⨯．【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．10．(本题3分)如图，点AB 、在数轴上，它们所对应的数分别是1580.348 3.4416⨯=和2x +，且满足AO BO =，则x 的值为________．【答案】2【解析】【分析】由AO BO =且 AB 、在原点的两侧，可知()24x -和2x +互为相反数，据此可列出方程，再求解．【详解】 解： 点AB 、在数轴原点两侧，它们所对应的数分别是()24x -和2x +，且满足AO BO =，∴ ()24x -和2x +互为相反数；∴ ()()2204x x ++-=解得：2x =故答案为：2．【点睛】本题考查数轴及方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，找出等量关键，利用相反数的和为0这一等量关系，列出方程，再求解．11．(本题3分)如图，直线AB 、CD 相交于O 点，射线OE 平分∠BOC ，已知∠AOC ＝50°，则∠BOE 的大小是 _____度．【答案】65【解析】【分析】先根据邻补角的和等于180°求∠BOC 的度数，再根据角平分线的定义，求出∠BOE 的度数．【详解】解：∵∠AOC =50°，∴∠BOC＝180°−50°=130°，∵OE平分∠BOC，∴∠BOE＝12∠BOC＝12×130°＝65°，故答案为65．【点睛】本题考查了角平分线的定义以及邻补角的和等于180°，数形结合是解题的关键．12．(本题3分)如图，点P在△ABC的边AC上，要使△ABP∽△ACB，还需添加条件：_______．（填写一个即可）【答案】∠ABP=∠C或∠APB=∠ABC或AP ABAB AC=（填一个即可）【解析】【分析】由题意直接根据相似三角形的判定方法进而分析即可解决问题．【详解】解：在△ABP和△ACB中，∵∠A=∠A，∴∠ABP=∠C或∠APB=∠ABC或AP ABAB AC=时，△ABP∽△ACB.故答案为：∠ABP=∠C或∠APB=∠ABC或AP AB AB AC=．【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是记住相似三角形的判定方法．13．(本题3分)小明连续两周居家健康检测，如图是小明记录的体温情况折线统计图，则这两周小明体温的中位数是______℃．【答案】36.7【解析】【分析】根据折线统计图求得这两周的体温数据，按从小到大的顺序排列好，根据中位数的定义求得第7,8个数的平均数即可求解．【详解】解：这两周的体温数据为：36.4,36.6,36.6,36.6,36.6,36.7,36.7,36.7,36.8,36.8,36.9,37.2,37.2,37.2,第7,8个数的平均数36.7故答案为：36.7【点睛】本题考查了折线统计图，中位数，注意图中重复的数据是解题的关键．14．(本题3分)对于实数a，b，定义运算“*”：()22**()a b a ab a ba b ab b a b⎧=-≥⎨=-<⎩，例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42－4×2＝8．若x1、x2是一元二次方程x2－5x＋6＝0的两个根，则x1*x2的值是______．【答案】-2或-5【解析】 【分析】先求出方程的两个根，再利用新定义的运算法则计算，计算时需要分类讨论． 【详解】解：∵2560x x -+=， ∴()()230x x --=， 解得2x =或3x =∵1x 、2x 是一元二次方程2560x x -+=的两个根， ∴1223x x =⎧⎨=⎩或1232x x =⎧⎨=⎩，当1223x x =⎧⎨=⎩时， ∵()()22a b a ab a b a b ab b a b ⎧*=-≥⎪⎨*=-<⎪⎩， ∴22121222335x x x x x *=-=⨯-=-；当1232x x =⎧⎨=⎩时，∵()()22a b a ab a b a b ab b a b ⎧*=-≥⎪⎨*=-<⎪⎩， ∴22121122232x x x x x *=-=-⨯=-；故答案为：-2或-5． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程和新定义下的运算，正确读懂题意是解题的关键．三、解答题(共78分)15．(本题4分)正比例函数()10y ax a =≠与反比例函数()20ky k x=≠图象的一个交点为()2,3A ．(1)求a ，k 的值；(2)画出两个函数图象，并根据图象直接回答12y y >时，x 的取值范围． 【答案】(1)32a =，6k =； (2)见解析，20x -<<或2x > 【解析】 【分析】（1）将A 坐标代入双曲线解析式中，求出k 的值，确定出反比例函数解析式，将A 坐标代入一次函数解析式中，求出a 的值，确定出一次函数解析式； （2）画出两函数图象，由函数图象，即可得到12y y >时x 的取值范围． (1)解：将()2,3A 代入正比例函数解析式得：32a =，即32a =，故132y x =；将()2,3A 代入双曲线解析式得：32k =，即6k =，故26y x=； (2)解：如图所示：由图象可得：当12y y >时，20x -<<或2x >． 【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法确定函数解析式，解题的关键是利用了数形结合的思想，数形结合是数学中重要的思想方法．16．(本题6分)（1）计算（1；（2）解方程x 2+3＝0．【答案】（1）；（2）x 1＝x 2【解析】 【分析】（1）先利用平方差公式计算，同时计算二次根式的乘除法，再进一步计算即可； （2）利用因式分解后求解可得．【详解】解：（1）原式＝1﹣2﹣＝；（2）x2+3＝0，（x2＝0，∴x0，∴x1＝x2【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算和解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．17．(本题5分)北京将于2022年举办冬奥会和冬残奥会，中国将成为一个举办过五次各类奥林匹克运动会的国家．小亮是个集邮爱好者，他收集了如图所示的三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同），现将三张邮票背面朝上，洗匀放好．(1)小亮从中随机抽取一张邮票是“冬奥会会徽”的概率是______；(2)小亮从中随机抽取一张邮票（不放回），再从余下的邮票中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张邮票恰好是“冬奥会会徽”和“冬奥会吉祥物冰墩墩”的概率．（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）【答案】(1)1 3(2)抽到的恰好是“冬奥会会徽”和“冬奥会吉祥物冰墩墩”的概率为1 3【解析】【分析】（1）确定所有等可能性为3，目标事件的可能性有1种，根据概率公式计算即可．（2）利用树状图或列表法计算即可．(1)∵事件所有等可能性为3种，抽取一张邮票是“冬奥会会徽”的可能性有1种，∴从中随机抽取一张邮票是“冬奥会会徽”的概率是13，故答案为：13．(2)这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示，画树状图如下，共有6种等可能情况，其中抽到恰好是“冬奥会会徽”和“冬奥会吉祥物冰墩墩”的可能性有2种，抽到的恰好是“冬奥会会徽”和“冬奥会吉祥物冰墩墩”的概率为：2163=． 【点睛】本题考查了概率的计算，正确分清是概率公式类计算还是列表或画树状图的方法计算是解题的关键．18．(本题8分)如图，已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠ACB ＝30°，AB ＝2．(1)求AC 的长及∠AOB 的度数；(2)以OB ，OC 为邻边作菱形OBEC ，求菱形OBEC 的面积． 【答案】(1)4AC =，60AOB ∠=︒；(2)菱形OBEC 的面积是 【解析】 【分析】( 1 )根据AB 的长结合“在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半”可得出AC 的长度，根据矩形的对角线互相平分可得出OBC 为等腰三角形，从而利用外角的知识可得出∠AOB 的度数；( 2 )先求出△OBC 和的面积，从而可求出菱形OBEC 的面积. (1)解：在矩形ABCD 中，90ABC ∠=︒， 在Rt ABC 中，30ACB ∠=︒．∴24AC AB ==． ∴2AO OB ==． 又∵2AB =， ∴AOB 是等边三角形．∴60AOB ∠=︒． (2)解：在Rt ABC 中，由勾股定理，得BC = ∴122ABCS=⨯⨯． ∴12BOC ABC S S ==△△ ∴菱形OBEC 的面积是【点睛】本题考查矩形的性质、菱形的性质及勾股定理的知识，熟练掌握矩形的性质、菱形的性质及勾股定理是解题的关键．19．(本题9分)某零食店销售牛轧糖、雪花酥2种糖果，如果用800元可购买5千克牛轧糖和4千克雪花酥，用1000元可购买10千克牛轧糖和2千克雪花酥． (1)求牛轧糖、雪花酥每千克的价格分别为多少元？(2)已知该零食店在12月共售出牛轧糖50千克、雪花酥30千克．春节将近，1月份超市将牛轧糖每千克的售价提升m 元，雪花酥的价格不变，结果与12月相比牛轧糖销量下降了12m 千克，雪花酥销量上升1m 5千克，但牛轧糖的销量仍高于雪花酥，销售总额比12月多出250元，求m 的值．【答案】(1)每千克牛轧糖的价格为80元，每千克雪花酥的价格为100元； (2)10． 【解析】【分析】（1）根据题意，设每千克牛轧糖为x 元，每千克雪花酥为y 元，然后列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）根据题意，由销售总额比12月多出250元，列出关于m 的一元二次方程，解方程即可得到答案． (1)解：根据题意，设每千克牛轧糖为x 元，每千克雪花酥为y 元，则548001021000x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：80100x y =⎧⎨=⎩， ∴每千克牛轧糖的价格为80元，每千克雪花酥的价格为100元； (2)解：根据题意，12月的销售总额为：8050100307000⨯+⨯=（元）， ∴11(80)(50)100(30)700025025m m m +⨯-+⨯+=+， 解得：50m =或10m =； ∵11503025m m ->+，解得：2007m <， ∴10m =； ∴m 的值为10． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确的列出方程，从而进行解题．20．(本题6分)越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角∠MBC＝33°，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角∠MEC ＝45°，（点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度MN的长．（结果精确到1米；参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）【答案】电池板离地面的高度MN的长为8米．【解析】【分析】延长BC交MN于点F．结合题意即可知 3.5AD BE m==， 1.6FN DE AB m===．由等腰直角三角形的判定和性质可求出MF EF=．再在Rt MBF中，利用解直角三角形即：tanMFMBFBF∠=，即可求出MF的长，从而即可求出MN的长．【详解】如图，延长BC交MN于点F．有题意可知 3.5AD BE m ==， 1.6FN DE AB m ===∵45MEF ∠=︒，∴MF EF =．∵在Rt MBF 中，tan 3.5MF MF MF MBF BF EF BE MF ∠===++， ∴tan 330.653.5MF MF =︒=+， 解得： 6.5MF m =，∴ 6.5 1.68MN MF FN m =+=+≈．故电池板离地面的高度MN 的长为8米．【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用．作出常用的辅助线是解答本题的关键． 21．(本题10分)如图，已知在ABC 中，A ∠是钝角，以AB 为边作正方形ABDE ，使ABC 正方形ABDE 分居在AB 两侧，以AC 为边作正方形ACFG ，使ABC 正方形ACFG 分居在AC 两侧，BG 与CE 交于点M ，连接AM ．(1)求证1BG CE =；(2)求：AMC ∠的度数(3)若BG a =，MG b =，EM c =，求：:ABM ACM S S △△（结果可用含有a ，b ，c 的式子表示）．【答案】(1)见解析(2)45° (3)a b a c--【分析】（1）由题意画出图形，利用SAS公理判定△BAG≌△EAC即可得出结论；（2）利用全等三角形的性质可得∠BGA=∠ECA，利用三角形的内角和定理可得∠GMN=∠CAN=90°，利用正方形的性质可得∠AGC=45°，证明A，M，G．C四点共圆，利用同弧所对的圆周角相等即可得出结论；（3））由△BAG≌△EAC可得BG=EC=a，S△BAG=S△EAC；利用同高的三角形的面积比等于底的比可得用a，b，c的式子表示出的S△ABM：S△BAG和S△ACM：S△EAC，将两个式子联立即可得出结论．(1)解：证明：由题意画出图形，如下图，∵四边形ABDE是正方形，∴AB=AE，∠BAE=90°．∵四边形ACFG是正方形，∴AG=AC，∠GAC=90°．∵∠BAG=∠BAE=∠EAG=90°+∠EAG，∠EAC=∠GAC+∠EAG=90°+∠EAG，∴∠BAG=∠EAG．在△BAG和△EAC中，BAG EAC AG AC ⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAG ≌△EAC （SAS ）．∴BG =CE ．(2)∵△BAG ≌△EAC ，∴∠BGA =∠EC A ．设EC 与AG 交于点N ，∵∠MNG =∠ANC ，∴∠GMN =∠CAN ．∵四边形ACFG 是正方形，∴∠GAC =90°，∴∠GMC =90°．∴∠BMC =90°．连接GC ，如图，∵四边形ACFG 是正方形，∴∠AGC =45°．∵∠GMC =∠GAC =90°，∴A ，M ，G ．C 四点共圆．∴∠AMC =∠AGC =45°．(3)∵△BAG ≌△EAC ，∴BG =EC =a ，S △BAG =S △EA C ． ∵ABM BAG S BM BG MG a b S BG BG a --===△△， ACM EAC S CM CE ME a c S CE CE a --===△△，∴S △ABM =a b a-S △BAG ，S △ACM =a c a -S △EA C ． ∴ABMACM a b S a b a a c S a c a--==--△△．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，四点共圆的判定与性质，三角形的面积，准确找到图形中的全等三角形是解题的关键．22．(本题8分)【概念学习】若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条公共底边互为顶针点，这条公共底边叫做这两个互为顶针点的顶针线段．如图1，四边形ABCD 中，BC 是一条对角线，AB ＝AC ，DB ＝DC ，则点A 与点D 关于顶针线段BC 互为顶针点．(1)【概念理解】判断下列结论是否正确（在题后括号内正确的打“√”，错误的打“×”） ①互为顶针点的两个点一定位于它的顶针线段的同侧；②一条顶针线段的顶针点有无数多对；③互为顶针点的两个点所在直线一定是其顶针线段的垂直平分线；④互为顶针点的两个点所在直线平分对应等腰三角形的顶角．(2)【实践操作】如图2，在长方形ABCD中，AB＜AD．若在边AD上存在点F，边AB 上存在点E，使得点E与点C关于顶针线段BF互为顶针点．请用直尺和圆规在图2中作出满足条件的点F、E．（要求不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色墨水签字笔描黑．）(3)【思维探究】在（2）的条件下，若AB＝8，AD＝10．请利用备用图求AE的长度．【答案】(1)①×②√③√④√(2)见解析(3)AE=3【解析】【分析】（1）根据新定义，逐项判断即可求解；（2）在AD上取点F，使CF=BC，再作出∠BCF的平分线交AB于点E，则点F、E即为所求；理由：连接EF，BF，可得△BCE≌△FCE，从而得到△BEF和△BCF是等腰三角形，且BF为公共底边，即可求解；（3）根据题意可得EB=EF，CB=CF=10，再由勾股定理可得DF=6，从而得到AF=AD-DF=4，然后在Rt△AEF中，利用勾股定理，即可求解．(1)解：①互为顶针点的两个点可能位于它的顶针线段的同侧，也可能位于它的顶针线段的异侧，故①错误；②一条顶针线段的顶针点有无数多对，故②正确；③根据题意得：顶针点为等腰三角形的顶角的顶点，而等腰三角形的顶角的顶点位于其底边的垂直平分线上，即互为顶针点的两个点所在直线一定是其顶针线段的垂直平分线，故③正确；④根据等腰三角形的顶角平分线，底边中线，底边高线三条线互相重合，可得互为顶针点的两个点所在直线平分对应等腰三角形的顶角，故④正确；故答案为：①×②√③√④√(2)解：如图所示．在AD上取点F，使CF=BC，再作出∠BCF的平分线交AB于点E，则点F、E即为所求；理由如下：连接EF，BF，根据题意得：BC=CF，∠BCE=∠FCE，∵CE=CE，∴△BCE≌△FCE，∴BE=FE，∴△BEF和△BCF是等腰三角形，且BF为公共底边，∴点E与点C关于顶针线段BF互为顶针点；(3)解：∵点E与点C关于顶针线段BF互为顶针点，∴EB=EF，CB=CF=10，在Rt△CFD中，DF6，∴AF=AD-DF=4，在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，∴AE2+42=（8-AE）2，解得AE=3．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，尺规作图，勾股定理，理解新定义，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，尺规作图，勾股定理是解题的关键．23．(本题10分)如图所示，CD为⊙O的直径，AD、AB、BC分别与⊙O相切于点D、E、C（AD＜BC）．连接DE并延长与直线BC相交于点P，连接OA、OB．(1)求证：OA⊥OB；(2)求证：BC＝BP；(3)若OA＝3，OB＝4，求AD•BC的值．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)144 25【解析】【分析】（1）如图，连接OE，根据切线长定理可得AD=AE，BE=BC，根据切线的性质可得OD⊥AD，OE⊥AB，OC⊥BC，即可得出点A在∠DOE的角平分线上，点B在∠COE 的角平分线上，根据平角的定义即可得答案；（2）如图，连接CE，根据等腰三角形的性质可得∠BCE=∠BEC，根据CD是直径可得∠CED=90°，可得∠PEB+∠BEC=90°，∠P+∠BCE=90°，即可证明∠P=∠PEB，可得BE=BP，即可得出BC=PB；（3）如图，连接OE，由（1）可知∠AOB=90°，OE⊥AB，利用勾股定理可求出AB=5，根据两角对应相等可证明△AOE∽△ABO，△BOE∽△BAO，根据相似三角形的性质可得AE OAOA AB=，BE OBOB AB=，即可求出AE、BE的长，根据AD=AE，BC=BE即可得答案．(1)如图，连.接OE，∵CD为⊙O的直径，AD、AB、BC分别与⊙O相切于点D、E、C（AD＜BC）．∴AD=AE，BE=BC，OD⊥AD，OE⊥AB，OC⊥BC，∴点A在∠DOE的角平分线上，点B在∠COE的角平分线上，∴∠DOA=∠EOA，∠COB=∠EOB，∴∠EOA+∠BOE=∠DOA+∠COB=90°，即∠AOB=90°，∴OA⊥OB．(2)如图，连接CE，∵BC=BE，∴∠BCE=∠BEC，∵CD是直径，∴∠CED=90°，∴∠PEB+∠BEC=90°，∠P+∠BCE=90°，∴∠P=∠PEB，∴BE=BP，∴BC＝BP．(3)如图，连接OE，由（1）可知∠AOB=90°，OE⊥AB，∵OA＝3，OB＝4，∴AB，∵∠AEO=∠AOB=90°，∠OAE=∠BAO，∴△AOE∽△ABO，∴AE OA=，OA AB∴AE =2OA AB =95， ∵∠BEO =∠OEA =90°，∠OBE =∠ABO ，∴△BOE ∽△BAO ， ∴BE OB OB AB=， ∴BE =2OB AB =165， ∵AD =AE ，BE =BC ，∴AD •BC =AE •BE =95×165=14425．【点睛】本题考查切线长定理、角平分线性质定理的逆定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．24．(本题12分)在平面直角坐标系中，抛物线y ＝13-x 2＋bx ＋c 交x 轴于A （﹣3，0），B （4，0）两点，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)如图，直线3944y x =+与抛物线交于A ，D 两点，与直线BC 交于点E ．若P （m ，0）是线段AB 上的动点，过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点F ，交直线AD 于点G ，交直线BC 于点H ．①当m ＜0时，是否存在一个m 值，使得S △EFG ＝S △OEG ，如果存在，求出m 的值，如果不存在，请说明理由；②当△EFH 是以点F 为直角顶点的等腰直角三角形时，求出点P 的坐标．【答案】(1)211433y x x =-++(2)①不存在，见解析；②点P 00） 【解析】【分析】（1）把A （3- ，0 ），B （4 ，0）代入解析式，得到方程组，解方程组即可得到答案；（2）①如图1，先利用待定系数法求直线BC 的解析式，联立方程可得交点E 的坐标，根据P （m ，0 ）且MH x ⊥ 轴，表示出G ，F 的坐标，由S △EFG ＝S △OEG ，列方程可得结论；②如图，当△EFH 以点F 为直角顶点时，可证明△EFH 是以点F 为直角顶点的等腰直角三角形，由①可得E 点坐标，根据等腰直角三角形的性质可得方程，解方程即可得到答案． (1) 抛物线213y x bx c =-++交x 轴于A （3- ，0 ），B （4 ，0）两点， ∴10933101643b c b c ⎧=-⨯-+⎪⎪⎨⎪=-⨯++⎪⎩解得434b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线的表达式为214433y x x =-++． (2)①如图1， 抛物线的表达式为214433y x x =-++，抛物线与y 轴交于点C C ∴（0，4）设BC 的解析式为y kx n =+又B （4 ，0）404n k n =⎧∴⎨=+⎩ ， 解得14k n =-⎧⎨=⎩ BC ∴的解析式为 4y x =-+ 直线3944y x =+与y 轴交于点N 、与直线BC 交于点E N ∴（0 ，94） 当39444x x -+=+时，解得1x = E ∴（1，3） P （m ，0）且PH x ⊥轴G ∴（m ，3944m +），F （m ，214433m m -++） S △EFG ＝S △OEG 即11()()22E F E G FG x x ON x x -=-214399(4)(1)(1)33444m m m m m ∴-++---=- 整理得：24560m m ++=25446710∆=-⨯⨯=-<∴此方程无解0m ∴<时，不存在一个m 值，使得S △EFG ＝S △OEG ；②存在，理由如下：如图FH x ⊥轴EFH ∴∆以点F 为直角顶点时，即FH EF ⊥EF x ∴∥轴B （4 ，0），C （0，4）4,90OB OC COB ∴==∠=︒45OBC ∴∠=︒45HEF OBC ∴∠=∠=︒此时，EFH ∆是以点F 为直角顶点的等腰直角三角形 P （m ，0）且FH x ⊥轴F ∴（m ，214433m m -++） 由上问得E （1，3）2144333m m ∴-++=解得12m m ==P ∴00） 【点睛】本题是二次函数的综合题目，涉及等腰直角三角形的存在性问题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、函数的交点、解一元二次方程及根的判别式的应用、等腰直角三角形的判定和性质，熟练运用以上知识是解题的关键．。

2023年山东省青岛市中考冲刺数学模拟试题（原题卷）一、单选题1 ）A ．3BC ．±3D ．-32．箱厘盒是古代人民日常生活使用的物品．如图是一个清代黄花梨凹面枕头箱（箱匣盒的一种），既可当枕头又可存放银钱、文件等物品，它的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图是我市一周内日最高气温的折线统计图，关于这7天的日最高气温的说法正确的是（ ）A ．最高气温是28℃B ．众数是28℃C ．中位数是24℃D ．平均数是26℃4.如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B 到C 的方向平移到DEF V 的位置，10AB =，4DO =，平移距离为6，则阴影部分面积为（ ）A ．48B ．42C ．40D ．245．如图，BC 是O e 的直径，点A 是O e 外一点，连接AC 交O e 于点E ，连接AB 并延长交O e 于点D ．若35A ∠=︒，则DOE ∠的度数是（ ）A ．110︒B ．120︒C ．120.5︒D ．115︒6．在如图所示的单位正方形网格中，ABC V 经过平移后得到111A B C △，已知在AC 上一点()2.4,2P 平移后的对应点为1P ，点1P 绕点O 逆时针旋转180°，得到对应点2P ，则2P 点的坐标为（ ）A ．()1.6,1--B ．()1, 1.6--C ．()1.6,1D ．()1, 1.6-7.如图，在矩形ABCD 中，4,6AB BC ==，点E 为BC 的中点，将ABE V 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ．则CF 的长为（ ）A ．185B ．165C ．125D ．958．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，反比例函数a y x=与正比例函数()y b c x =+在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．二、解答题9＝_______．10．元旦期间，某游乐场发布一游戏规则：在一个装有6个红球和若干个白球的不透明袋子中，随机摸出一个球，摸到红球就可获得欢动世界通票一张．已知有300人参加这个游戏，游乐场为此发放欢动世界通票60张，请你估计袋子中白球的数量是______个．11．已知关于x 的一元二次方程()2212(1)10k x k x -+-+=有两个实数根，则k 的取值范围是___________．12.如图，在正六边形ABCDEF 中，分别以C ，F 为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为24π，则正六边形的边长为_____．13.如图，两个反比例函数1y x =和2y x=-的图像分别是1l 和2l ．设点P 在1l 上，PC ⊥x 轴，交2l 于点A ．PD ⊥x 轴，交2l 于点B ，则△PAB 的面积为_____．14.如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点D 、C 分别落在点D ¢、C '的位置，ED '的延长线恰好经过B 点，若3DE DC ==，2CF =，则AE 等于___________．三、解答题15．如图，△ABC 是一块三角形木料，现要在该木料中切割出一个圆形模板，要求圆形模板经过木料边缘AB 上的点P ，且与边缘AB ，AC 都相切，请在图中画出符合条件的圆形模板．16．（1）计算：224211693x x x x x +-⎛⎫÷- ⎪-+-⎝⎭；（2）解不等式组()5231131722x x x x ⎧->+⎪⎨-≥-⎪⎩．17.在学校组织的知识竞赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A 、B 、C 、D 四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图：请你根据以上提供的信息解答下列问题：(1)求一班参赛选手的平均成绩；(2)此次竞赛中，二班成绩在C 级以上（包括C 级）的人数有几人？(3)求二班参赛选手成绩的中位数，众数．18．2022年北京冬奥会的召开惊艳世界，冬奥村的餐厅更是得到了各国运动员的好评．运动员主餐厅位于北京冬奥村居住区西南侧，共设置了世界餐台、亚洲餐台、中餐餐台、清真餐台、鲜果台、面包和甜品台等12种餐台．一送餐机器人从世界餐台A处向正南方向走200米到达亚洲餐台B处，再从B处向正东方向走500米到达中餐餐台C处，然后从C处向北偏西37°走到就餐区D处，最后从D回到A处，已知就餐区D在A的北偏东73°方向，求中餐台C到就餐区D（即CD）的距离．（结果保留整数）（参考数值：19sin7320︒≈，29cos73100︒≈，10tan733≈︒，3sin375︒≈，4cos375≈︒，3tan374︒≈．）19.北京冬奥会开幕以来，吉祥物“冰墩墩”凭借憨态可掬的模样收到了全世界人民的喜爱。

2024年山东省青岛中考数学一模考前训练试卷（解析版）（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。

写在本试卷上无效。

4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。

写在本试卷上无效。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果某天中午的气温是4℃，记作4+℃，那么这天晚上的气温是零下5℃可记作（ ）A ．5−℃B ．4−℃C ．5+℃D ．9+℃【答案】A【分析】此题考查负数的意义，解题的关键是运用负数来描述生活中的实例．首先审清题意，明确正数和负数所表示的意义；再根据题意作答．【详解】解：某天中午的气温是4℃，记作4+℃，那么这天晚上的气温是零下5℃可记作5−℃，故选：A ．2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】D【分析】根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可．【详解】解：A.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B. 该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；C.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．故选：D ．3 .第19届亚运会即将在杭州举办，据官网消息杭州奥体中心体育场建筑总面积约为216000平方米， 数据216000用科学记数法表示为（ ）A ．52.1610×B ．421.610×C ．42.1610×D ．321610×【答案】A 【分析】把一个大于10的数记成10n a ×的形式，其中110a ≤<，n 为正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案．【详解】解：根据科学记数法的概念可得，5216000 2.1610=×，故选：A ．4．下列运算正确的是（ ）A B ．3=C 4=D 【答案】D【分析】根据二次根式的加减法对A 、B 进行判断；根据二次根式的乘法法则对D 进行判断；根据二次根式的除法法则对C 进行判断．【详解】解：A A 选项错误；B 、B 选项错误；C 2=，所以C 选项错误；D D 选项正确．故选D ．5 .如图，将ABC 先向右平移3个单位，再绕原点O 旋转180°，得到A B C ′′′ ，则点A 的对应点A ′的坐标是（ ）A ．(2,0)B ．(2,3)−−C ．(1,3)−−D ．(3,1)−−【答案】C 【分析】先画出平移后的图形，再利用旋转的性质画出旋转后的图形即可求解．【详解】解：先画出△ABC 平移后的△DEF ，再利用旋转得到△A 'B 'C '，由图像可知A '（-1，-3），故选：C ．6 . 赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m ，拱高约为7m ，则赵州桥主桥拱半径R 约为（）A. 20mB. 28mC. 35mD. 40m【答案】B【解析】【分析】由题意可知，37m AB =，7m =CD ，主桥拱半径R ， 根据垂径定理，得到37m 2AD =，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．【详解】解：如图，由题意可知，37m AB =，7m =CD ，主桥拱半径R ，()7m OD OC CD R ∴=−=−，OC 是半径，且OC AB ⊥，137m 22AD BD AB ∴===， 在Rt △ADO 中，222AD OD OA +=，()2223772R R ∴+−= ， 解得：156528m 56R =≈， 故选B7 .如图，O 为正方形ABCD 对角线AC 的中点，ACE △为等边三角形．若2AB =，则OE 的长度为（ ）A B C ．D ．【答案】B【分析】利用勾股定理求出AC 的长度，再利用等边三角形的性质即可解决问题．【详解】在正方形ABCD 中：2,90AB BC ABC ==∠=°，∴AC∵O 为正方形ABCD 对角线AC 的中点，∴12OC AC ==∵ACE △为等边三角形, O 为AC 的中点，∴EC AC ==，EO AC ⊥，∴90EOC ∠=°,∴OE 故选：B ．8 .已知二次函数2y ax bx c ++的图象开口向下，对称轴为直线=1x −，且经过点(30)−，， 则下列结论正确的是（ ）A ．0b >B ．0c <C ．0a b c ++>D ．30a c +=【答案】D 【分析】图象开口向下，得a <0， 对称轴为直线12b x a=−=−，得b =2a ，则b <0，图象经过(30)−，，根据对称性可知，图象经过点(1)0，，故c >0，当x =1时，a +b +c =0，将b =2a 代入，可知3a +c =0． 【详解】解：∵图象开口向下，∴a <0，∵对称轴为直线12b x a=−=−， ∴b =2a ，∴b <0，故A 不符合题意；根据对称性可知，图象经过(30)−，， ∴图象经过点(1)0，， 当x =1时，a +b +c =0，故C 不符合题意；∴c =-a -b ，∴c >0，故B 不符合题意；将b =2a 代入，可知3a +c =0，故D 符合题意．9. 如图，在ABC 中，8cm AB =，16cm BC =，动点P 从点A 开始沿AB 边运动，速度为2cm/s ；动点Q 从点B 开始沿BC 边运动，速度为4cm/s ；如果P 、Q 两动点同时运动，那么经过（ ）秒时QBP △与ABC 相似．A ．2秒B ．4秒C ．2或0.8秒D ．2或4秒【答案】C 【分析】设经过t 秒时, QBP △与ABC 相似,则2cm,82)cm,4(cm AP t BP t BQ t ==−=, 利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：当 BP BQ BA BC=时,BPQ BAC ∽ ,即 824;816t t −= 当BP BQ BC BA =时,BPQ BCA △∽△,即 824,168t t −=然后解方程即可求出答案． 【详解】解：设经过t 秒时, QBP △与ABC 相似,则2cm,82)cm,4(cm AP t BP t BQ t ==−= PBQ ABC ∠=∠ ,∴当 BP BQ BA BC=时,BPQ BAC ∽ , 即 824,816t t −= 解得：2t =当 BP BQ BC BA=时,BPQ BCA △∽△ , 即 824,168t t −=综上所述：经过0.8s 或2s 秒时,QBP △与ABC 相似故选：C10. 如图，在矩形纸片ABCD 中，将AB 沿BM 翻折，使点A 落在BC 上的点N 处，BM 为折痕，连接MN ；再将CD 沿CE 翻折，使点D 恰好落在MN 上的点F 处，CE 为折痕，连接EF 并延长交BM 于点P ，若2415AD AB ==，，则线段PE 的长等于（）A ．22B ．20C ．18D ．16解：过点P 作PG FN PH BN ⊥⊥，，垂足为G 、H ，由折叠得：ABNM 是正方形，15AB BN NM MA ====，1590CD CF D CFE ED EF ==∠=∠=°=，，，∴24159NC MD ==−=，在Rt FNC △中，12FN ，∴15123MF =−=，在Rt MEF 中，设EF x =，则9ME x =−，由勾股定理得，()22239+−=x x ，∵9090CFN PFGPFG FPG ∠+∠=°∠+∠=°，， ∴CFN FPG ∠=∠， ∵90CNF PGF ∠=∠=°， ∴FNC PGF ∽，∴345FGPG PF NC FN FC ==∶∶∶∶∶∶， 设3FG m =，则45PG m PF m ==，， ∴()12315123334GN PH BH m HN m m PG m ===−=−−=+==，，解得：3m =，∴515PFm ==， ∴15520PE PF FE =+=+=，故选：B ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．﹣12的绝对值是 ． 【答案】12 【详解】﹣12的绝对值是|﹣12|=12 12 . 如果x ＝1是关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0的一个实数根，那么m ＝ ；【答案】2【分析】把x =1代入方程x 2-3x +m =0得1-3+m =0，然后解关于m 的方程．【详解】解：把x =1代入方程x 2-3x +m =0得1-3+m =0，解得m =2．故答案为：2．13 . 一个袋子中装有4个黑球和n 个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个， 摸到白球的概率为35，则白球的个数n 为___________ 【答案】6【分析】根据白球概率求出黑球概率，黑球共有4个，就可以求出球的总数，再减去黑球个数即可解答． 【详解】解：∵摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为35， ∴摸到黑球的概率为25． ∵袋子中有4个黑球，∴袋子中共有10个球，∴白球有6个．故答案为：6．14 .某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为95分、85分、90分，综合成绩笔试占40%，试讲占40%，面试占20%，则该名教师的综合成绩为 ___ 分．【答案】90【分析】根据加权平均公式进行计算，即可得到答案．【详解】解：该名教师的综合成绩为9540%8540%9020%90×+×+×=（分），故答案为：90．15 .如图，已知双曲线(0)k y k x=>经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ， 与直角边AB 相交于点C ，若OBC △的面积为6，则k = .【答案】4【分析】过D 点作x 轴的垂线交x 轴于E 点，可得到四边形DBAE ，和三角形OBC 的面积相等，通过面积转化，可求出k 的值．【详解】解：过D 点作x 轴的垂线交x 轴于E 点，ODE △的面积和OAC 的面积相等．OBC ∴ 的面积和四边形DEAB 的面积相等且为6．设D 点的横坐标为x ，纵坐标就为k x， D 为OB 的中点．EA x ∴=，2k AB x=， ∴四边形DEAB 的面积可表示为：12()62kk x x x += 4k =．故答案为：4．16 .如图，已知正方形ABCD 的边长为12，BE =EC ，将正方形边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于G ，连接DG ，现在有如下4个结论：①△ADG ≌△FDG ；②GB =2AG ；③△GDE ∽△BEF ；④S △BEF =725． 在以上4个结论中，其中一定成立的 （把所有正确结论的序号都填在横线上）【答案】①②④．【详解】解：由折叠可知，DF =DC =DA ，∠DFE =∠C =90°，∴∠DFG =∠A =90°，∴△ADG ≌△FDG ，①正确；∵正方形边长是12，∴BE =EC =EF =6，设AG =FG =x ，则EG =x +6，BG =12-x ，由勾股定理得：EG 2=BE 2+BG 2，即：（x +6）2=62+（12-x ）2，解得：x =4∴AG =GF =4，BG =8，BG =2AG ，②正确；BE =EF =6，△BEF 是等腰三角形，,DG DE ≠ 则△GED 不是等腰三角形， ∴△GDE 与△BEF 不相似， ③错误；S △GBE =12×6×8=24，S △BEF =EF EG S △GBE =610×24=725，④正确. 故答案为：①②④三、作图题（本大题满分4分）17． 已知：Rt ABC ， ∠B =90°；求作：点P ，使点P 在ABC 内部，且,45PB PC PBC =∠=°．【答案】见解析【分析】分别以点B 、C 为圆心，大于BC 长的一半为半径画弧，交于两点，连接这两点，然后再以点B 为圆心，适当长为半径画弧，交AB 、BC 于点M 、N ，以点M 、N 为圆心，大于MN 长一半为半径画弧，交于一点Q ，连接BQ ，进而问题可求解．【详解】解：如图，点P 即为所求：四、解答题（本大题共9小题，共68分）18．（1）计算：2111442a a a a − ÷+ −+−； （2）解不等式组：()231212x x x ≥− −<【答案】（1）12a −；（2）23x <≤ 【分析】（1）先计算括号内的分式的减法，再把除法转化为乘法，约分后可得答案；（2）分别解不等式组中的两个不等式，再确定不等式解集的公共部分即可．【详解】（1）解：原式2121442a a a a a −−+÷−+− 212(2)1a a a a −−⋅−− 12a =−． （2）解：解不等式23(1)x x ≥−得：3x ≤ 解不等式212x −<得：2x > ∴原不等式组的解集是23x <≤．19．2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课开讲，航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．小冰和小雪参加航天知识竞赛时，均获得了一等奖，学校想请一位同学作为代表分享获奖心得．小冰和小雪都想分享，于是两人决定一起做游戏，谁获胜谁分享，游戏规则如下：甲口袋装有编号为1，2的两个球，乙口袋装有编号为1，2，3，4，5的五个球，两口袋中的球除编号外都相同．小冰先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为奇数，则小冰获胜；若两球编号之和为偶数，则小雪获胜．请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．【答案】游戏对双方都公平【分析】根据题意列表求得双方的概率即可求解．【详解】解：所有可能的结果如下：1 2 3 4 51 ()1,1 ()1,2()1,3 ()1,4 ()1,5 2 ()2,1 ()2,2 ()2,3()2,4 ()2,5 ∴共有10种等可能的结果，其中两球编号之和为奇数的有5种结果，两球编号之和为偶数的有5种结果．∴P （小冰获胜）51102== P （小雪获胜）51102== ∵P （小冰获胜）=P （小雪获胜）∴游戏对双方都公平．图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE 的倾斜角EAD ∠为22°，长为3米的真空管AB 与水平线AD 的夹角为37°，安装热水器的铁架竖直管CE 的长度为0.5米．(1)真空管上端B 到水平线AD 的距离．(2)求安装热水器的铁架水平横管BC 的长度．（结果精确到0.1米）参考数据：3sin 375°≈，4cos375≈°，3tan 374°≈，3sin 228°≈，15cos 2216°≈，tan 220.4°≈ 【答案】(1)1.8米(2)0.9米【分析】（1）过B作BF⊥AD于F．构建R t△ABF中，根据三角函数的定义与三角函数值即可求出答案．（2）根据BF的长可求出AF的长，再判定出四边形BFDC是矩形，可求出AD，根据BC＝DF＝AD−AF计算即可．【详解】（1）如图，过B作BF⊥AD于F．在R t△ABF中，∵sin∠BAF＝BF AB，∴BF＝AB sin∠BAF＝3sin37°≈1.8．∴真空管上端B到AD的距离约为1.8米．（2）在Rt△ABF中，∵cos∠BAF＝AF AB，∴AF＝AB cos∠BAF＝3cos37°≈2.4，∵BF⊥AD，CD⊥AD，又BC∥FD，∴四边形BFDC是矩形．∴BF＝CD，BC＝FD，∵EC＝0.5米，∴DE＝CD−CE＝1.3米，在Rt △EAD 中，∵tan ∠EAD ＝ED AD ， ∴1.3AD 25=， ∴AD ＝3.25米，∴BC ＝DF ＝AD −AF ＝3.25−2.4＝0.85≈0.9∴安装热水器的铁架水平横管BC 的长度约为0.9米．20．孔子曾说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者．”兴趣是最好的老师，阅读、书法、绘画、手工、烹饪、运动、音乐……各种兴趣爱好是打并创新之门的金钥匙． 某校为了解学生兴趣爱好情况，组织了问卷调查活动，从全校2200名学生中随机抽取了200人进行调查，其中一项调查内容是学生每周自主发展兴趣爱好的时长．对这项调查结果使用画“正”字的方法进行初步统计，得到下表：学生每周自主发展兴趣爱好时长分布统计表 组别 时长t （单位：h ） 人数累计 人数第一组 12t ≤< 正正正正正正 30第二组 23t ≤< 正正正正正正正正正正正正 60第三组 34t ≤< 正正正正正正正正正正正正正正 70第四组 45t ≤< 正正正正正正正正 40根据以上信息，解答下列问题：(1)补全频数直方图；(2)这200名学生每周自主发展兴趣爱好时长的中位数落在第__________组；(3)若将上述调查结果绘制成扇形统计图，则第二组的学生人数占调查总人数的百分比为__________，对应的扇形圆心角的度数为__________°；(4)学校倡议学生每周自主发展兴趣爱好时长应不少于2h，请你估计，该校学生中有多少人需要增加自主发展兴趣爱好时间？【答案】(1)图见解析(2)三(3)30%，108(4)330人【分析】（1）根据频数分布表补全图形即可；（2）根据中位数的定义，中间的一个数或两个数的平均数求出中位数；×°，即可得出答案；（3）根据百分比=该组频数÷总数，圆心角=百分比360（4）用2200乘以第一组所占百分比即可得出答案．【详解】（1）解：学生每周自主发展兴趣爱好时长频数直方图：（2）∵总人数为200人，∴中位数落在第100、101个学生每周自主发展兴趣爱好的时长的平均数， 又∵30+60=90＜100，30+60+70=160＞101，∴中位数落在第三组，故答案为：三；（3）第二组的学生人数占调查总人数的百分比为：60100%30%200×= 第二组的学生人数对应的扇形圆心角的度数为：30%360108×°=° 故答案为：30%，108；（4）估计该校需要增加自主发展兴趣爱好时间的人数为：302200330200×=（人） 答：估计该校有330人需要增加自主发展兴趣爱好时间．22 .某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现， 该种健身球每天的销售量y （个）与销售单价x （元）有如下关系：()2802040y x x =−+≤≤， 设这种健身球每天的销售利润为w 元．(1)如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是 个；(2)求w 与x 之间的函数关系式；(3)该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】(1)30(2)221201600w x x =−+−(3)该种健身球销售单价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元【分析】（1）在2080y x =−+中，令25x =，进行计算即可得； （2）根据总利润=每个建生球的利润×销售量即可列出w 与x 之间的函数关系式；（3）结合（2）的函数关系式，根据二次函数性质即可得．【详解】（1）解：在280y x =−+中，令25x =得，2258030y =−×+=， 故答案为：30；（2）解：根据题意得，2(20)(280)21201600w x x x x =−−+=−+−， 即w 与x 之间的函数关系式为：221201600w x x =−+−；（3）解：22212016002(30)200w x x x =−+−=−−+， ∵20−<，∴当30x =时，w 取最大值，最大值为200，即该种健身球销售单价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元．23 . 如图，一次函数y kx b =+的图象与x 轴正半轴相交于点C ， 与反比例函数2y x=−的图象在第二象限相交于点(1,)A m −，过点A 作AD x ⊥轴，垂足为D ，AD CD =．(1)求一次函数的表达式；(2)已知点(,0)E a 满足CE CA =，求a 的值．【答案】(1)1y x =−+(2)1−1+【分析】（1）将点A 坐标代入反比例函数解析式求出m ，得(1,2)A −，由AD x ⊥轴可得2,1AD OD ==， 进一步求出点(1,0)C ，将A ，C 点坐标代入一次函数解析式，用待定系数法即可求出一次函数的解析式；（2）由勾股定理求出AC 的长，再根据CE CA =且E 在x 轴上，分类讨论得a 的值．【详解】（1）解：（1）∵点(1,)A m −在反比例函数2y x=−的图象上， ∴221m =−=− ∴(1,2)A −∵AD x ⊥轴∴2,1AD OD == ∴2CDAD == ∴211OC CD OD =−=−=∴(1,0)C∵点(1,2),(1,0)A C −在一次函数y kx b =+的图象上 ∴20k b k b −+= +=解得11k b =− =∴一次函数的表达式为1y x =−+．（2）在Rt ADC 中，由勾股定理得，AC∴AC CE ==当点E 在点C 的左侧时，1a =−当点E 在点C 的右侧时，1a =+∴a的值为1−1+24．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE=EF=FD，∠BAF=∠DCE=90°．(1)求证：△ABF≌△CDE；(2)连接AE，CF，已知__________（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AECF 的形状，并证明你的结论．条件①：∠ABD=30°；条件2：AB=BC．（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）【答案】(1)证明见解析(2)见解析【分析】（1）利用AAS即可证明△ABF≌△CDE；（2）若选择条件①：先证明四边形AECF是平行四边形，利用直角三角形斜边上的中线性质以及含30度角的直角三角形的性质证得AE=AF，即可证明平行四边形AECF是菱形．若选择条件②：先证明四边形AECF是平行四边形，得到AO=CO，再根据等腰三角形的性质即可证明平行四边形AECF是菱形．【详解】（1）证明：∵BE=FD，∴BE+EF=FD+EF，即BF=DE，∵AB∥CD，∴∠ABF=∠CDE，又∵∠BAF=∠DCE=90°，∴△ABF≌△CDE(AAS)；（2）解：若选择条件①：四边形AECF是菱形，由（1）得，△ABF≌△CDE，∴AF=CE，∠AFB=∠CED，∴AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠BAF=90°，BE=EF，∴AE=12 BF，∵∠BAF=90°，∠ABD=30°，∴AF=12 BF，∴AE=AF，∴平行四边形AECF是菱形．若选择条件②：四边形AECF是菱形，连接AC交BD于点O，由（1）得，△ABF≌△CDE，∴AF=CE，∠AFB=∠CED，∴AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形，∴AO=CO，∵AB=BC，∴BO⊥AC，即EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形．25.如图，直线y23−＝x＋4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2103＋x＋c经过B、C两点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标；(3)在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)y23=−x2103+x+4(2)E（3，8）(3)存在，点P的坐标是（32−，52−）或（132，52−）或（12−，136）【分析】（1）由一次函数的解析式可求出B点和C点坐标．再代入抛物线解析式中即可求出a和c的值，即得出抛物线解析式；（2）过E作EG∥y轴，交直线BC于G，设E（m，23−m2103+m+4），则G（m，23−m+4），则可用m表示出EG的长，最后利用三角形面积公式即可求出S△BEC的值，再利用二次函数的性质即得出答案；（3）根据二次函数解析式即得出其对称轴，由此可得出A点坐标．再由点Q是抛物线对称轴上的动点，得出Q的横坐标为52．①当平行四边形以AM为边时，由题意可知点M的横坐标是3，再根据点M在直线y23=−x+4上，即得出其纵坐标．再结合平行四边形的性质即得出平移规律，由此可得出P点坐标；②当平行四边形以AM为边时，同理可知点M的横坐标是3，Q的横坐标为52，从而即得出P的坐标；③当平行四边形以AM为对角线时，由平行四边形的性质得出P到A的平移规律，即得出P点坐标．【详解】（1）当x＝0时，y＝4，∴B（0，4），当y＝0时，23−x+4＝0，解得：x＝6，∴C（6，0），把B （0，4）和C （6，0）代入抛物线y ＝ax 2103+x +c 中得： 41036603c a c = +×+=， 解得：234a c =− = ， ∴抛物线的解析式为：y 23=−x 2103+x +4； （2）如图1，过E 作EG ∥y 轴，交直线BC 于G ，设E （m ，23−m 2103+m +4），则G （m ，23−m +4）， ∴EG ＝（23−m 2103+m +4）﹣（23−m +4）223m =−+4m ， ∴S △BEC 12=EG •OC 12=×6（223m −+4m ）＝﹣2（m ﹣3）2+18， ∵﹣2＜0，∴S 有最大值，此时E （3，8）；（3）y 23=−x 2103+x +423=−（x 52−）2496+； ∴该抛物线对称轴是：x 52=， ∴A （-1，0）∵点Q 是抛物线对称轴上的动点，∴Q的横坐标为52，在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形；①如图2，以AM为边时，由（2），可得点M的横坐标是3，∵点M在直线y23=−x+4上，∴点M的坐标是（3，2），又∵点A的坐标是（-1，0），点Q的横坐标为52，根据M到Q的平移规律：可知：P的横坐标为32−，∴P（32−，52−）；②如图3，以AM为边时，∵由（2），可得点M的横坐标是3，∵A （-1，0），且Q 的横坐标为52， ∴P 的横坐标为132， ∴P （132，52−）； ③以AM 为对角线时，如图4，∵M 到Q 的平移规律可得P 到A 的平移规律，∴点P 的坐标是（12−，136）， 综上所述，在抛物线上存在点P ，使得以P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形，点P 的坐标是（32−，52−）或（132，52−）或（12−，136）． 26 .（1）【问题发现】如图1所示，ABC 和ADE 均为正三角形，B 、D 、E 三点共线．猜想线段BD 、CE 之间的数量关系为______；BEC ∠=______°；（2）【类比探究】如图2所示，ABC 和ADE 均为等腰直角三角形，90ACB AED ∠=∠=°，AC BC =，AE DE =，B 、D 、E 三点共线，线段BE 、AC 交于点F ．此时，线段BD 、CE 之间的数量关系是什么？请写出证明过程并求出BEC ∠的度数；（3）【拓展延伸】如图3所示，在ABC 中，90BAC ∠=°，30B ∠=°，8BC =，DE 为ABC 的中位线，将ADE 绕点A 顺时针方向旋转，当DE 所在直线经过点B 时，请直接写出CE 的长．【答案】（1）BD CE =，60；（2）BD ，BEC ∠的度数为45°，过程见解析；（3【分析】（1）证()SAS ABD ACE △≌△，得BD CE =，=BDA CEA ∠∠，进而判断出60BEC ∠=°即可； （2）证BAD CAE ∽，得135ADB AEC ∠=∠=°，BD AB AD CE AC AE==，则45BEC AEC AED ∠=∠−∠=°，再求出BD AB CE AC ==（3）分两种情况，根据相似三角形的判定与性质结合勾股定理分别求出CE 的长即可．【详解】解：（1）∵ABC 和ADE 均为正三角形，∴AB AC =，AD AE =，60BAC DAE ∠=∠=°，60ADE AED ∠=∠=°， ∴BAC DAC DAE DAC ∠−∠=∠−∠，即BAD CAE ∠=∠，在ABD △和ACE △中，AB AC BAD CAE AD AE = ∠=∠ =， ∴()SAS ABD ACE △≌△，∴BD CE =，=BDA CEA ∠∠，∵点B ，D ，E 在同一直线上，∴180120ADBADE ∠=°−∠=°， ∴120AEC ∠=°， ∴1206060BEC AEC AED ∠=∠−∠=°−°=°，综上所述, 线段BD 、CE 之间的数量关系为BD CE =，60BEC ∠=°， 故答案为：BD CE =，60．（2）∵ABC 和ADE 均为等腰直角三角形，90ACB AED ∠=∠=°， ∴45BAC ABC ADE DAE ∠=∠=∠=∠=°， ∴BAD CAE ∠=∠，135ADB ∠=°， ∵Rt ABC △和Rt ADE △中，sin AC ABC AB ∠=，sin AE ADE AD ∠=，sin 45=°∴AC AE AB AD==， ∴AB AC AD AE=， 又∵BAD CAE ∠=∠， ∴BAD CAE ∽，∴135ADB AEC ∠=∠=°，BD AB AD CE AC AE==， ∴45BEC AEC AED ∠=∠−∠=°，∵AC AE AB AD==，∴AB AC =∴BD AB CE AC ==∴BD =；BD 、CE 之间的数量关系是BD =，BEC ∠的度数为45°；（3）分两种情况：①如图4，∵90BAC ∠=°，30B ∠=°，8BC =， ∴142AC BC ==，∴AB ∵DE 为ABC 的中位线，∴142DE BC ==，DE BC ∥，122AE AC ==，12AD AB == ∴30ADE ABC ∠=∠=°，12AD AE AB AC ==， 由旋转的性质得：BAD CAE ∠=∠， ∴BAD CAE ∽，∴BD AB CE AC ==180150ADBAEC ADE ∠=∠=°−∠=°， ∵9060AEDADE ∠=°−∠=°，∴90BEC AEC AED ∠=∠−∠=°，设CE x =，则BD ，4BE BD DE =++，在Rt BCE 中，由勾股定理得：)22248x ++=，解得：x =x ，∴CE =；②如图5，同①可得，BAD CAE ∽，∴BD AB CE AC ==ACE ABD ∠=∠， ∴90CBE BCE ABD ABC BCE ACE ABC BCE ACB ABC ∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠=°，∴90BEC ∠=°,设CE x =，则BD ，4BE BD DE =−=−，在Rt BCE 中，由勾股定理得：)22248x +−=，解得：x =x =，∴CE =；综上所述，CE。