对称可微广义一致V-I型多目标半无限规划的对偶性
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Ｐｒ ｇ ａ ｍ ｉ ｇ ｕ ｅ ｎｅ ａ ｉ ｅ ｉｏ ｍ — Ｔｙ ｎ ｅ ｉｙ ｏ ｒｍ ｎ ｎｄ ｒ Ｇｅ ｒ ｌ ｄ Ｕｎ ｆ ｒ Ｖ — ｐｅ Ｉ Ｉ ｖ ｘ ｔ ｚ
ＷＡ Ｇ Ｒ ｎ —ｏ Ｚ Ａ Ｇ Ｑ ｎ —ｉ ｇ Ｎ ｏｇｂ ， Ｈ Ｎ ｉｇｘａ ｎ
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第２ ５卷
第 ５期
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Ｖｏ ． ５ Ｎｏ ５ １２ ．
２０ ０ ７年 １ 月 ０
ＪＡＮＧ Ｓ Ｉ Ｉ ＸＩ Ｃ ＥＮＣ Ｅ
Ｏｃ ． ０ ｔ ２ ０７
文 章 编 号 ：０ １ ３ ７ （０ ７ ０ ０ ３ ０ １０ — ６９ ２０ ） ５— ５ ５— ５
尺
是一个非空开子集 ， ｃ 是一个无 限参数集 ，
文献 ［ ］中将 文献 ［ ］中的 修 订 日期 ：０ ７—０ ２０ ７— ９； ２０ ８～１ ６
作者简介 ： 王荣 波（ ９６一） 女 ， １７ ， 陕西绥德县人 ， 师 ， 讲 硕士 ， 主要从 事最优化理论与应用 的研究工作
偶、 强对 偶 和 逆 对 偶 定 理 。
关键词 ： 义一致 Ｖ—Ｉ 广 型不变凸性 ； 目标半无 限规 划； 多 对偶性 ； 效解 有
中图 分 类 号 ： ２ ． ； ２ ２２ ０１２ ２ ０ ４ ９ 文 献 标 识 码 ： Ａ
Ｄｕ ｌｙｆｒＳ ｍｍｅｒａｌ ｆ ｒｎ ｉｂｅＭｕｉｂ ｅｔ ｅＳ ｍｉ＿ｎ ｎｔ ａｉ ｏ ｙ ｔ ｔｃ ｌ Ｄｉ ｅｅ ｔ ｌ ｙ ａ ｌ ｊｃｉ ｅ ・Ｉｆ ｉ ｏ ｖ ｉ ｅ
一
ｇ ， ０ ∈ ， ∈ Ｕ｝ （ ） ， 其 中 ： ｏ ｘ 一 是 对称 可微 函数 ， ｘ ｇ： ｏ×Ｕ—
对 于 ＶＭ∈ Ｕ关 于 是 对称 可微 函数 。
记
种 一， 函数推 广到对 称可 微 的非光 滑情 形 ， 型 给
出 了 — 型 和拟 — 型等不 变 凸 函数 的概念 。
（ ｏ ｅｅｏ ｔｅ ｔｓａｄＣ ｍ ｕｅ ｃｅｃ ， ａ ’ｌＵ ｉ ｒ ｔ，ｈｎｉ ａ ’ｌ７ Ｏ Ｒ ） Ｃ ｌ ｇ ｆ ｈｍａ ｃ ｎ ｏ ｐ ｔ Ｓｉ ｅＹ ｎ ａ ｌｖ ｓｙＳ ａｘ Ｙ ｎ ａ １Ｏ ＯＰ Ｃ ｌ Ｍａ ｉ ｒ ｎ ｌ ｅｉ ｌ ６
Ａ ｓ ａ ｔＳ ｍ ｅｋｄ ａ ｔ， ｒｎ ｕｌｙａ ｄｃｎｅｓ ｕ ｌｙｔｅｒｍｓ ｏ ｌｏｊｃｉ ｅ — ｂ ｔ ｃ：ｏ ｅｗ ａ ｕ ｌｙ ｓ ｏ ｇｄ ａｉ ｎ ｏ ｖｒ ｄ ａ ｔ ｈ ｏｅ ｒ ｔ ｂｅｔ ｅｓｍｉ ｒ ｉ ｔ ｔ ｅ ｉ ｆ ｍｕ ｉ ｖ
ｉｆｉ ｒｇａ ｎ ｎｔ ｐ ｏ ｒ ｍｍ ｉ ｒ ｉｅ ｎｄ ｒｇ ｎ ｒｌｚ ｄ ｕｎ ｆｒ — Ｔｙ ｎ ｅ ｍ ｃ ｉｎ ． ｅ ｎｇ ａ ｅ ｇｖ ｎ ｕ ｅ ｅ ｅ ａ ｉｅ ｉ ｍ Ｖ ｏ ｐｅ Ｉｉ ｖ ｘ ｆ ｔｏ ｓ ｉ
Ｋｅ ｒ ｓ Ｇ ｎｒｌ ｅ ｎｆｒ —Ｔ ｐ ｖｘｔ ｓ Ｍ ｈｏ ｊｃｖ ｅ —ｉｆ ｉ ｒｇａ ｍｉｇ ｙｗｏｄ ： ｅ ｅａ ｚｄｕ ｉ ｍ Ｖ ｉ ｏ ｙ ｅＩ ｎ ｅｉｅ ， ｕ ｉ ｅｔ ｅｓｍｉ ｎ ｎｔ ｐｏ ｍ ｎ ， ｉ ｉ ｂ ｉ ｉ ｅ ｒ
＝
｛ Ｉ （ ，‘ ｉ ｇ ｘ ｌ）＝０ ∈ｘ ，‘∈ Ｕ｝ Ｌ ， ｏｌ Ｌ 。 设 Ｕ ＝ ｛‘ ｌ ∈ＵＩ （ ｌ） ０ ｉ Ａ ， Ｌ ， ， ∈ ｇ Ｌ Ａ是
。
基金项 目： 陕西省教育厅专项科研基金资助课题 （ Ｊ １２ ； 晒 Ｋ ５ ） 延安大学科研基金 （ Ｄ（０５～ｏ７ ＹＪ ｏ ２ ４）
。
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Ｘ ： ｛ Ｉ （ ｕ ０， ∈ｘ ， ， ） ｇ ｏｌ Ｌ∈Ｕ｝ ｌｘ ，（ ）
数 为凸 函数 ， 可将 其放 宽到更 广 的领域 。因此 ， 许 多学 者致 力 于广 义 凸 函数 概 念 的推 广 。如 ： 晨 张 科 利 用 Ｃａｋ 一广义 方 向导数 给 出 了 （ ， ） ｌｒｅ ｐ， 叼
一
规划的 Ｍ ｎ ｗ ｉ型对偶 ， 出了若干个对偶性 ｏｄ— ｅ ｒ 得
Ｄｕ ｌｙ， ｆｉｉｎ ｏｕ ｉｎｓ ａｉ Ｅｆ ｃｅ ｔｓ ｌ ｔｏ ｔ
０ 引言
凸 函数 在数 学规划 的研究 中 占有 十分 重要 的 位置 。但许 多 问题 的讨 论不 一定 要求 所讨 论 的 函
数推 广 给 出了广义 一致 一， 不 变 凸 函数 等 概 型 念， 得到 了一 类 多 目标 半 无 限 规 划若 干 个 最 优 性 条 件 。 文利 用文 献 ［ ］中给 出 的广 义一 致 ｌ一 本 ５ ， 型 不变 凸 函数等 概 念 ， 究 了一 类 多 目标 半 无 限 研
定理。
考 虑 多 目标 半无 限规划 （ Ｉ Ｐ ： ＳＶ ）
（ＩＰ ｛ ｉ （ ＳＶ ） ｒ ｎ ）＝ （ ） … √ （ ） ｓ， ａ ｆ ． （ ， ） ，ｔ ，
不 变 凸 函数 ； ｈ ｍｅ ｃ ｉ 利 用 Ｃ ａｋ Ｍｏ ａ ｄ Ｈａｈｍｉ ｌｒｅ
广义 方 向导数 给 出了（ ， ）一， Ｆ， Ｐ， 型凸 函数 ； 张 庆祥 利 用 Ｍｉｅ ｎ ｈ对称 梯度 把 Ｈａ ｓｎ４ ｎｏ ＿ 的各
对 称 可 微 广 义 一 致 Ｖ—Ｉ 多 目标 型 半 无 限规 划 的对偶 性
王荣波 ， 张庆祥
（ 安大学数学与计算机科学院 ， 延 陕西 延 安 ７ ６０ ） １０ ０
摘 要 ： 广 义一 致 Ｖ—Ｉ 不 变 凸 函 数 的 基 础 上 ， 究 了一 类 多 目标 半 无 限规 划 的 对 偶 性 ， 到 了若 干 个 弱 对 在 型 研 得
ＷＡ Ｇ Ｒ ｎ —ｏ Ｚ Ａ Ｇ Ｑ ｎ —ｉ ｇ Ｎ ｏｇｂ ， Ｈ Ｎ ｉｇｘａ ｎ
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文 章 编 号 ：０ １ ３ ７ （０ ７ ０ ０ ３ ０ １０ — ６９ ２０ ） ５— ５ ５— ５
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文献 ［ ］中将 文献 ［ ］中的 修 订 日期 ：０ ７—０ ２０ ７— ９； ２０ ８～１ ６
作者简介 ： 王荣 波（ ９６一） 女 ， １７ ， 陕西绥德县人 ， 师 ， 讲 硕士 ， 主要从 事最优化理论与应用 的研究工作
偶、 强对 偶 和 逆 对 偶 定 理 。
关键词 ： 义一致 Ｖ—Ｉ 广 型不变凸性 ； 目标半无 限规 划； 多 对偶性 ； 效解 有
中图 分 类 号 ： ２ ． ； ２ ２２ ０１２ ２ ０ ４ ９ 文 献 标 识 码 ： Ａ
Ｄｕ ｌｙｆｒＳ ｍｍｅｒａｌ ｆ ｒｎ ｉｂｅＭｕｉｂ ｅｔ ｅＳ ｍｉ＿ｎ ｎｔ ａｉ ｏ ｙ ｔ ｔｃ ｌ Ｄｉ ｅｅ ｔ ｌ ｙ ａ ｌ ｊｃｉ ｅ ・Ｉｆ ｉ ｏ ｖ ｉ ｅ
一
ｇ ， ０ ∈ ， ∈ Ｕ｝ （ ） ， 其 中 ： ｏ ｘ 一 是 对称 可微 函数 ， ｘ ｇ： ｏ×Ｕ—
对 于 ＶＭ∈ Ｕ关 于 是 对称 可微 函数 。
记
种 一， 函数推 广到对 称可 微 的非光 滑情 形 ， 型 给
出 了 — 型 和拟 — 型等不 变 凸 函数 的概念 。
（ ｏ ｅｅｏ ｔｅ ｔｓａｄＣ ｍ ｕｅ ｃｅｃ ， ａ ’ｌＵ ｉ ｒ ｔ，ｈｎｉ ａ ’ｌ７ Ｏ Ｒ ） Ｃ ｌ ｇ ｆ ｈｍａ ｃ ｎ ｏ ｐ ｔ Ｓｉ ｅＹ ｎ ａ ｌｖ ｓｙＳ ａｘ Ｙ ｎ ａ １Ｏ ＯＰ Ｃ ｌ Ｍａ ｉ ｒ ｎ ｌ ｅｉ ｌ ６
Ａ ｓ ａ ｔＳ ｍ ｅｋｄ ａ ｔ， ｒｎ ｕｌｙａ ｄｃｎｅｓ ｕ ｌｙｔｅｒｍｓ ｏ ｌｏｊｃｉ ｅ — ｂ ｔ ｃ：ｏ ｅｗ ａ ｕ ｌｙ ｓ ｏ ｇｄ ａｉ ｎ ｏ ｖｒ ｄ ａ ｔ ｈ ｏｅ ｒ ｔ ｂｅｔ ｅｓｍｉ ｒ ｉ ｔ ｔ ｅ ｉ ｆ ｍｕ ｉ ｖ
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Ｋｅ ｒ ｓ Ｇ ｎｒｌ ｅ ｎｆｒ —Ｔ ｐ ｖｘｔ ｓ Ｍ ｈｏ ｊｃｖ ｅ —ｉｆ ｉ ｒｇａ ｍｉｇ ｙｗｏｄ ： ｅ ｅａ ｚｄｕ ｉ ｍ Ｖ ｉ ｏ ｙ ｅＩ ｎ ｅｉｅ ， ｕ ｉ ｅｔ ｅｓｍｉ ｎ ｎｔ ｐｏ ｍ ｎ ， ｉ ｉ ｂ ｉ ｉ ｅ ｒ
＝
｛ Ｉ （ ，‘ ｉ ｇ ｘ ｌ）＝０ ∈ｘ ，‘∈ Ｕ｝ Ｌ ， ｏｌ Ｌ 。 设 Ｕ ＝ ｛‘ ｌ ∈ＵＩ （ ｌ） ０ ｉ Ａ ， Ｌ ， ， ∈ ｇ Ｌ Ａ是
。
基金项 目： 陕西省教育厅专项科研基金资助课题 （ Ｊ １２ ； 晒 Ｋ ５ ） 延安大学科研基金 （ Ｄ（０５～ｏ７ ＹＪ ｏ ２ ４）
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数 为凸 函数 ， 可将 其放 宽到更 广 的领域 。因此 ， 许 多学 者致 力 于广 义 凸 函数 概 念 的推 广 。如 ： 晨 张 科 利 用 Ｃａｋ 一广义 方 向导数 给 出 了 （ ， ） ｌｒｅ ｐ， 叼
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规划的 Ｍ ｎ ｗ ｉ型对偶 ， 出了若干个对偶性 ｏｄ— ｅ ｒ 得
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凸 函数 在数 学规划 的研究 中 占有 十分 重要 的 位置 。但许 多 问题 的讨 论不 一定 要求 所讨 论 的 函
数推 广 给 出了广义 一致 一， 不 变 凸 函数 等 概 型 念， 得到 了一 类 多 目标 半 无 限 规 划若 干 个 最 优 性 条 件 。 文利 用文 献 ［ ］中给 出 的广 义一 致 ｌ一 本 ５ ， 型 不变 凸 函数等 概 念 ， 究 了一 类 多 目标 半 无 限 研
定理。
考 虑 多 目标 半无 限规划 （ Ｉ Ｐ ： ＳＶ ）
（ＩＰ ｛ ｉ （ ＳＶ ） ｒ ｎ ）＝ （ ） … √ （ ） ｓ， ａ ｆ ． （ ， ） ，ｔ ，
不 变 凸 函数 ； ｈ ｍｅ ｃ ｉ 利 用 Ｃ ａｋ Ｍｏ ａ ｄ Ｈａｈｍｉ ｌｒｅ
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王荣波 ， 张庆祥
（ 安大学数学与计算机科学院 ， 延 陕西 延 安 ７ ６０ ） １０ ０
摘 要 ： 广 义一 致 Ｖ—Ｉ 不 变 凸 函 数 的 基 础 上 ， 究 了一 类 多 目标 半 无 限规 划 的 对 偶 性 ， 到 了若 干 个 弱 对 在 型 研 得
