铁路大提速下的弯道设计

1 暑期数学建模竞赛

承 诺 书

我们仔细阅读了暑期数学建模竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： A

参赛队员 (打印并签名) ：1. 姜伟月

2. 李海

3. 孙浩

指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 教练组

日期： 2011

年

8月 11 日

评阅编号（由组委会评阅前进行编号）： 2 暑期数学建模竞赛

编 号 专 用 页

评阅编号（由组委会评阅前进行编号）：

评阅记录（可供评阅时使用）：

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统一编号：

评阅编号：

3 题目：铁路大提速下的弯道设计

摘要

目前，我国铁路运输，供需矛盾十分突出。因此，火车提速，进一步利用现有资源提高运行效率是十分有必要的。根据调查显示，我国有进一步提速的能力。提速要求确保列车的安全运行，而铁路弯道的设计是保证列车高速安全运行的关键问题之一。因此，对与弯道设计和列车安全运行有关的因素之间的关系的研究具有重要意义。

对于问题一，我们研究了倾斜度、弯度、速度、缓和曲线这些因素对列车安全运行的关系，通过模型分析，首先建立了在理想状态下超高、速度、弯度之间的关系表达式：h=Rv28.11然后考虑实际情况，为了更加直观的表现安全性与我们所研究的因素之间的关系，我们引入了偏载系数与安全系数K，并且得到K=hHkS2k2 。

对于问题二，为了保证货车与客车能够安全通过，需要设计合理的轨道弯曲度与倾斜度，我们确立了轨道半径和超高两个变量，通过线性规划模型，找到它们之间的的联系，对轨道的一般情况和困难情况进行了讨论。

对于问题三，我们在问题二的基础上进行了定性的分析，讨论了轨迹半径较小与轨迹半径较大以及分别对应的超高比较大和比较小时的的情况，对于客货车的安全性和提速问题进行了宏观上的确定

关键字 偏载系数 安全系数 缓和曲线 线性规划模型

4 一．问题重述

我国铁路自1997年以来先后已进行了５次大提速，从以前的最高时速60公里/小时至80公里/小时，到2004年4月18日的第５次提速后，最高时速达到了160公里/小时至200公里/小时，其中京沪、京广、京九、京哈等路段的最高时速已达到或超过200公里/小时。据不完全统计，目前时速在160公里/小时以上的线路总长已达到7700多公里。根据我国的铁路资源状况和供需关系有必要提速，也有进一步提速的能力，但提速要确保列车的安全运行，安全是第一位的。铁路弯道的设计是保证列车高速安全运行的关键问题之一。一般认为影响列车在弯道上运行的因素主要有弯道的弯曲程度、倾斜度、列车的行驶速度和列车的重量等。

另外，已知我国铁路采用国际标准，二路轨宽距为1.435米；客车自重15~17吨，平均载重量为10吨；货车自重22吨，最大载重量为60吨；铁路设计标准规定行驶道上弯道半径最小不得少于350米。

要研究的问题是：

(1) 请你分析研究与弯道设计和列车安全运行有关的因素之间的关系。

(2) 如果客货车的重量一定，按我国铁路目前的这种客货列车混合运行的模式，要保证货车时速在60~80公里/小时，客车时速在160~200公里/小时运行，则应该如何来设计弯道（即弯曲度和倾斜度如何），才能保证列车的安全运行？

(3) 按照你的设计方案，对列车的最低允许速度、最高允许速度和相应的可靠性，以及进一步提速的可行性进行讨论。

二．问题分析

由材料可知我国当今无论是客运，还是货运，供需矛盾都是十分突出的。为此，火车提速，进一步利用现有资源提高运行效率是必要的。

但是，火车的提速受各方面因素的限制，比如火车运行安全以及铁轨、弯道设计。这些因素都在一定程度上影响和制约着火车速度的进一步发展。因此，对这些因素进行分析和研究是很有意义的。

列车在过弯道时，其安全性受倾斜度、弯度、速度、缓和曲线、铁轨的平顺度等因素的影响，在这里要凸显主要因素，忽略次要因素，对弯道设计和列车安全运行有关因素之间的关系进行分析。

在我们建立的模型中，我们假设火车的运行速度、铁轨的弯度、倾斜度和缓和曲线是影响列车安全运行的主要因素。经过分析可得到列车在过弯道时安全系数与倾斜角、缓和曲线及列车速度有关的表达式，及弯道设计和列车安全运行有关因素之间的关系。

三．模型假设

1、假设在整个过程中火车速度保持不变；

2、假设该弯道地处平原，没有火车的爬坡和下坡过程；

3、假设当火车弯道半径大于350m 时，转弯轨道宽度不变化；

4、假设弯道最大半径不超过4000m。

四．主要符号说明

R——为曲线半径（m）； 5 H——客车重心高（mm）；

S——内外钢轨中心距（mm）；

F 、N ——为轨道对列车的作用力（N）；

h——未被平衡的超高（mm）;

h——标准超高（mm）；

maxh——最大超高（mm）；

maxh——最大欠超高（mm）；

maxh——最大过超高（mm）

minh——最小欠超高（mm）；

[h] ——为未被平衡的容许过超高（mm）；

[h]为未被平衡的容许欠超高（mm）；

v——火车运行的速度（m/s）；

pv——火车运行的理想速度（m/s）；

υmax——最高行车速度（m/s）；

θ ——弯道倾角；

——偏载系数；

K——安全系数；

k——比例系数；

maxa——为最大离心加速度； 6 mina——为最小离心加速度；

pa——为以平均速度通过曲线时的平均离心加速度；

ng——为标准自由落体加速度；

J——惯性离心力；

五．模型的建立与求解

（一）问题一的求解

1、研究上述因素与列车运行之间的关系（主要研究h 、R 和列车速度V 之间的关系）

1.1 h 、R 和v 在理想状态下应满足的关系式

列车通过弯道时的受力分析如下：（图2 为实体图，图3 为简化的受力图）

图2 外轨超高

S 轨距 h 超高 θ 倾角

G 车厢重力 O 车厢重心

7

图3

F 、N 为轨道对列车的作用力

如图3 所示，设F 为轨道内外侧对列车轮胎的压力， N 为轨道对列车的支持力，则有以下

方程： N·cos + F·sin=Mg ……….(1)

N·sin - F·cos=M·R2v ……..(2)

sin=sh ………(3)

联立（1）、（2）、（3）得到：h=gFRv2·s ………(4)

由于列车前行的理想状态是F = 0 ，则得到h=Rv28.11(此时v为理想状态速度pv)

1.2 h 、R 和v 在非理想状态下应满足的关系式

在非理想状态下，列车在实际过程中通过弯道时，列车的速度v存在v< pv或v> pv两种情况，此时F并不等于0，使内外轨产生偏载，引起内外轨不均匀磨耗，并影响旅客的乘坐舒适度，还可能导制列车倾覆。

为此，我们引入未被平衡的超高，从而为列车何时安全运行以及弯道设计何时最优提供判断依据。当列车以任意速度通过曲线时，离心力J为J=RgGvn2。

（1）当υ＞υp时，离心力J大于设置超高后所提供的向心力 nF=1ShG，说明 8 超高不足（此差值称为欠超高），从而导致外轨承受偏载，同时也因离心力未被平衡而使旅客感觉不舒适。

（2）当υ＜υp时，离心力J小于设置超高后所提供的向心力nF=1ShG，说明超高过大（此差值称为过超高），从而导致内轨承受偏载和旅客不适。

对实设曲线来说，超高h是定值. 当列车以υmax（或minv）通过时，将产生大的未被平衡超高Δhmax（Δ＇hmax），即

)(max12max1212max1maxaagSRgvSRgvSRgvShhpnnnpn ………(5)

maxmax1153)(agSn ………(6)

(6） 式中，右边的负号表示欠超高。同理可得最大的过超高。

)(max1maxaagShpn ………(7)

maxmax1153agSn ………(8)

1．3 偏载系数与安全系数

低速列车行驶于超高很大的曲线轨道时有倾覆的危险。为了保证行车安全必须限制外轨超高的最大值。该值的确定为：设曲线外轨最大超高度为hmax，与之相适应的行车速度为υ，产生的惯性离心力为J，车辆的重力为G，J与G的合力为Q，它通过轨道中心点O，见下图。当某一车辆以υ1＜υ的速度通过该曲线时，相应的离心力为列车通过曲线时，由于未被平衡的超高导致内轨外轨偏载，由此而引起的钢轨附加荷载用偏载系数表示。

SHh22 ………(9)

由上式可以看出（H ，S为常数） h越大，就越大，对内外磨损就越大，安全性就越差。

于是我们引入安全系数K，作出合理假设，K与存在反比关系。

K=hHkS2k2, ………(10)

由于我国铁路上规定双线地段实设超高的最大值： maxh =150mm， 根据

由前可知S =1435mm，H 取一估计值，从而可以得到：